定積分習題及標準答案

1、第五章 定積分（A 層次 ）102 sin xcos3 xdx；2x2 a2x2dx ；33 dx ； x2 1 x2 ；4xdx ；1 5 4x54 dxx163 1 dxx 1 ；4 1 x 17e2dx ；x 1 ln x80 dx ；2 x2 2x 2 ；90 1 cos2xdx ；104x sin xdx ；112 4cos4 xdx ；212325 x sin x4 2 dx ；x4 2x2 11343sinx2 xdx；144 ln xx dx ；151xarctgxdx ；1602e2x cosxdx；17xsinx 2dx ；018esin lnxdx ；192 cosx c

2、os3 xdx ；4204 sin x4 dx1 sin x21xsin x0 1 xcsionsx2 xdx；22102xln1xdx；1x2321 x24 dx1 x42402lnsinxdx；25dx1 x21xdx 0 。（B 層次 ）1求由0yetdt0x0 costdt 0 所決定的隱函數(shù)y 對 x 的導數(shù) dy 。 dx2當x為何值時，函數(shù) I x xte t2 dt有極值？03d cosxcos t2 dt dx sinxx 1,4設 f x 1 22x ,x12，求 f x dx 。x 1 01 / 3156x20 arctgt 2dt lim xx2 11sin x, 設

3、f x2sin x,0,0x其它，求 x 0 f t dt 。781, 設 f x1 1x1x,1 ex , lim 12 n 2n n n2當 x 0時當 x 0時n22，求 f x 1dx 。k9nen求 lim2k 。n2kk 12證明： 2e 2nn ne n10設 f x 是連續(xù)函數(shù)，且 f x x 2 f t dt ，求 f x 。2ln 2 dt11若 xet1，求 x 。6112 e x dx 2 。13已知 li4x2e 2x dx ，求常數(shù) a 。 a1421 x2,xe,x0x03，求 f x 2 dx 。115設 f x 有一個原函數(shù)為 1 sin2 x ，求 2 xf

4、 2x dx 。016設 f x ax b lnx，在 1,3 上 f x 0，求出常數(shù) a，b 使 f x dx最 小。2117已知 f x e x ，求 0 f x f x dx 。2 2 118設 f x x2 x f x dx 2 f xdx ，求 f x 。190 f cosx cosx f cosx sin2dx。x20設 x 0時， F xx2 t2 f t dt的導數(shù)與 x 2是等價無窮小，試求f 0 。(C 層次)1設 f x 是 任意 的二 次多 項式， g x 是某 個二 次多項式，已知 111b0 f xdx1f 0 4f1f 1 ，求ag xdx。062a2設函數(shù) f

5、 x 在閉區(qū)間 a,b 上具有連續(xù)的二階導數(shù)，則在 a,b 內(nèi)存在 ，使得 f x dx b a f a b 1 b a 3 f a 2 243 f x 在 a,b 上 二 次 可 微 ， 且 f x 0 ， f x 0 。 試 證 b f b f ab a f a a f xdx b a f b 2 f a 。4設函數(shù) f x 在 a,b 上連續(xù)， f x 在 a,b 上存在且可積， f a f b 0 ，1b試證 f x 1 f x dx(a x b)10 xf xdx 1 ，求證存在一點 x ，2a5設 f x 在 0,1 上連續(xù)， 01 f xdx 0 ，0 x 1 ，使 f x 4

6、。6設 f x 可微，f 0 0， f 0 1， F x9設 f x 為奇函數(shù)，在 , 內(nèi)連續(xù)且單調(diào)增加， F x x 3t f t dt ， 證明：(1)F x 為奇函數(shù)； (2)F x 在 0, 上單調(diào)減少。10設 f x 可微且積分 1 f x xf xt dt 的結果與 x無關，試求 f x 。3 / 31tf x2 t2 dt ，求lim F 4x 。0 x 0 x7 設 f x 在 a,b 上 連 續(xù) 可 微 ， 若 f a f b 0 ， 則f x dx max f x 。 a a x b8設 f x 在 A,B 上 連 續(xù)，b求證 lkim0 af x k f x dx k11

7、若 f x 在 0, 連續(xù)， f 0 2 ， f1 ，證明：f x f x sin xdx 3 。x12求曲線 yt 1 t 2 dt 在點(0,0)處的切線方程。13設 f x 為連 續(xù)函數(shù)， 對任意 實數(shù) a 有sinxf x dx 0 ，求證af 2 x f x 。14設方程 2x tg x ysec2 tdt ，求 d 2y 。0dx215設 f x 在 a,b 上連續(xù)，求證：hlim0 1h a f t h f t dt f x f a (a x b)x 2 1 x16當 x 0 時， f x 連續(xù)，且滿足 0x 1 x f t dt x，求 f 2 。17設 f x 在 0,1 連

8、續(xù)且遞減，證明10f x dx 0 f x dx，其中 0,1 。x18設 f x 連續(xù)， F x 0xf t f 2a t dt， f 0 0， f a 1，試證：F 2a 2F a 1 。19設 g x 是 a,b 上的連續(xù)函數(shù)， f x ag tdt ，試證在 a,b 內(nèi)方程 ag x f b 0 至少有一個根。ba20設 f x 在 a,b 連續(xù)，且 f x 0，又 F xf t dt 1 dt ，證明：a b f t(1)F x 2 (2)F x 0 在 a,b 內(nèi)有且僅有一個根。21設 f x 在 0,2a 上連續(xù)，則 f xdx f x f 2a x dx 。22設 f x 是以

9、 為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：2sinx x f xdx 2x f x dx。0023設 f x 在 a,b 上正值，連續(xù)，則在 a,b 內(nèi)至少存在一點 ，使 / 31a f x dxb1f x dx 2ba f x dx 。1 x f u 1 124證明 ln f x t dt ln du ln f u du 。25設 f x 在 a,b 上連續(xù)且嚴格單調(diào)增加， 則 a b f x dx 2 xf x dx 。 aab M 226設 f x 在 a,b 上可導，且 f x M ，f a 0，則 f x dx b a 2 。27設 f x 處處二階可導，且 f x 0，又 u t 為任一連續(xù)函數(shù)，

10、則1 a1 a0 f u t dt f0u t dt ，ab。a 0a 028設 f x 在 a,b 上二階可導， 且 f x 0，則 f x dx b a f a29設 f x 在 a,b 上連續(xù)，且 f x 0， bf xdx 0，證明在 a,b 上必有 af x 0 。30 f x 在 a,b 上 連 續(xù) ， 且 對 任 何 區(qū) 間 , a,b 有 不 等 式 f x dx M 1 (M ， 為正常數(shù))，試證在 a,b 上 f x 0。第五章 定積分(A)12 sin x cos3 xdx0解：原式2 cos3 xdx14 cosx2104042x2 a2 x2 dx0解：令 x a s

11、in t ，則 dx a costdt當 x 0時 t 0 ，當 x a時 t2原式2 a2 sin2 t acost a cos tdt0 / 3133 1 3解：令dx2x原式222sin01 x242tdt81 sin 4t4tg ，則 dx02 1 c o 4st dt4 a 16sec2 d1 ， 3 時 分別為sec243tgs2ecsec d3 si n 2dsi n41 xdx41 5 4x解：令 5 4xu，則x， dx 12udu當 x 1，1 時， u 3,111原式 1 5 u2 du 1638dx45 1 x 1解：令 x t ， dx 2tdt當 x 1時， t 1

12、 ；當x 4 時，t2原式 1212tdtt22 dt2 1 dt 1 1 t2t12 ln 1 t2122 2ln 23dx16 341x16 / 31解：令 1 x u，則 x 1 u2， dx 2udu31當 x 3,1 時 u 1,0421原式 1 2u du 2 2 u 1 1du 1 2ln22 u 1 0 u 17e21dxx 1 ln x解：e21原式 1 1 ln xdln x2 1 lnxe28dx2x 2解：原式0 dxe211 lnd 1 ln xx2 arctg x 121 x 1 202ar ct1g ar ctg1490 1 cos2xdx解：原式2cos2 xd

13、x 2cosx dx2 2co sxdx 2 cosx dx022 si nx 02 si nx 2 2410 x sin xdx解： x4sin x為奇函數(shù)4 x sin xdx 011 2 4cos4 xdx2解：原式 4 2 02 cos4 xdx 2 02 2cos2 x dx7 / 312 492 2 1 cos2x 2dx 2 2 1 2cos2x cos2 2x dx2x 02 2 2 cos 2 xdx2 1 cos4x dx12sin2x 02 2 431ln 3 02 cos4xd4x1sin4x4325 x sin x 12 5 4 2 dx5 x4 2x2 1解：32x

14、 sin xx4 2x2 1為奇函數(shù)32x sin xx4 2x2 1dxx13 3 x2 dx4 sin x解：原式3 xdctgx4xct g3x 3ctg xdx44939lnsi nx 34144 ln x1 lnxxdx解：4原式 2 1 lnxd x1 3 3 2ln ln4 9 2 28 / 312ln x1xdln x12 4ln 2 x1x1418ln2 2 1 x 2dx8ln 2 4151xarctgxdx解：11原式 arctgxdx21 x2arctgx1 x21 x21821dx1x8212ar1 dx1 x21ctgx01421602e2xcosxdx解：原式2

15、2x2edsinxe2xsinx02sinx2e2xdx2 0 2 e2xdcosx2 2x2 cosx 2e dx2x2e cosx170 xsinx dx2202 4 2 e2x cosxdx0故 02 e2x cosxdx 1 e 205解：原式 xsin x 2 dx1 cos2xdx218解：dx 1213x60316431643164xc o2sx140x2esin lnxdx原式 xsin ln0 x20cos2xdx2x dsi n2x2x si n2xsi n2x 2x d x0000 xdc o 2sxc o2sx d x64x 1eexcos ln1x dxxesin1c

16、os ln x dxesin1 xcos ln xxsin ln xesin1eecos1 1 sin lnx dxe1ee故 sin ln x dx sin1 cos1 119 2 cosx cos3 xdx44 4 2解：原式 2 cosx1 cos2 xdx4cosx si nxdx 2 coxssinxdx 43310 / 31204 sin x1 sin xdx解：原式4 sin x1 sin x0 1 sin 2 xdx21解：令x22解：04si nx tg2x dx2cosx4 dc o sxc o sxco xsxsin xcos2 xdxt ，則原式xln原式tg204 s

17、e 2cx 1dxxxt sin221 cosc ots222 1 si n2t1x1x1llnc ots1 si n2 tdxlndt1x1x1x1xn3 2 l n0dttc ots1 si n2tdtr c tsgi ntx2 1dx1x1 x 1 dx11 / 311ln 32dx 28 0 012 dxx2 11ln381 3ln 32823解：1 x4 dx1 x421 x2原式 4 dx 20 1 x4012 1x2x dx122 x2x20x 1 2 2dx12 x xarctg x2224解：02 ln sin xdx原式2 ln 2sinxcos2dx令x 2t 2 4 l

18、n2 ln sint ln cost dtt2u2ln2 2 04 lnsintdt 04 ln c o tsdtln 2 2 4 ln sin tdt 2lnsi nuduln2 2 2lnsi ntdt20故 02 ln sin xdx 2ln2250 1 x2 1 x 012 / 31t dt1 t 2 1 t1tt11解：令 x 1t ，則dx t12dt10t 2 dt原式2t1 t 2t220dxdx1 x2 1 x0 1 x2 1 xx dx 0 1 x2 1 x11 x2dx ar ct g0 xdx1 x21x(B)y1求由 0 etdtxcostdt00所決定的隱函數(shù) y對

19、x的導數(shù) dy 。 dx解：將兩邊對 x 求導得 y dye cosx 0dxdy cosxdxey2當x為何值時，函數(shù) I xxte t2 dt有極值？解：I x xex2，令 I x 0得 x 03解：當 x 0 時， I x 0當 x 0 時， I x 0當 x 0 時，函數(shù) I x 有極小值d cosxcos t2 dt 。dx sinx原式 d dx d dxcos t 2 dtsin xcos t2 dtsin x2 cosx 2cos t2 dt a cos t2 dtcos sin2 x sinx coscos2x cosxcossi n2 coxs cos co2sx sin

20、x13 / 31cossin2 x cosx sinxcossin2xsi nx coxs co s si n2 xx 1,x14設 f x12 x, 2x12 求 0 f x dx 。解：20 f x dx2 1 2x 1dx 1 12 x2dx11 2 1 3x2 x x32 0 621835limxx20 arctgt 2dtx2 1x解：limx0 arctgt dt 型0limx2 1 x 12arctgx2x21 2 2xlimxx2 1 a r c t g2xx limxx 1 x12 a r c t 2g x6設 f x 21sinx,0x0,其它求 x 0 f t dt。解：

21、當 x 0 時，f t dtx0x 0dt0當 0 x 時， x1 sin tdt 1 cosxx0dt 10 2 2x x 1 當 x 時， x 0 f t dt 0 f t dt f t dt 0 21 sin tdt0, 當 0時1故 x 1 1 cosx, 當0 x 時21,當 x 時14 / 311,7設 f x 1 1x1,1 ex當 x 0時當 x 0時20 f x 1dx 。當 x 1時解：f x 1 x 1 ,1 ex 1 ,當 x 1時1 x 1 dx2 dx0 f x 1dx 01 dexx 11 x 1 x 111 e e x1 1e2 dx d x 1 1 dxx1

22、ln1 ex 1ln20ln1 e8lim 12 n 2n n2 。 n n2解：1n2 nnnken2k 。ne n0 xdx 239求 limn k 1nkn en 解：原式 lim e 2k n k 1且 f x x 2 0 f t dt，求 f x 。nkk 11 e n01 e 2x dx01 e2xa r ct xg0e arctge410設 f x 是連續(xù)函數(shù)，1解：令 01f t dt A，則f x x 2A ，15 / 3111從而 f x dx x 2A dx2A11即 A 2A， A222ln 2 dt11若 x2ln 2dtxet 1，求 x 。6解：令 et 1 u

23、，則 t ln1 u2 ，dt 2u du1 u2當t 2ln 2時，u3當 t x 時， u ex 12ln 2 dt3 2uduxet 1ex 1 1 u2 u2arctgu ex 12ar c t gex從而 x ln 212證明： 2e 22e x dx 2 。證：考慮12, 122上的函數(shù) y e x2 ，則2y 2xe x ，令 y 0 得 x當x1 ,0 時， y 02當x0, 1 時， y 0x2在 x 0 處取最大值故 2122xe 2dx21 e x dx2112 1dx16 / 31即 2e 2121e2x2dx 2 。13已知 limxa4x2e 2x dx ，求常數(shù)

24、a 。解：左端 limxx2a x1xa2a e右端2x2e 2xa2 2xd 2x2x2de 2xa2 x2e 2xaa2xe 2xdx2a2e 2a2xde2x2a2e 2ae 2x dx2a2 2a 1e 2a 2a2 2a 1e2a2a解之 a 0 或 a 114設 f x21 x2,x0x03求 1 f x 2dx。解：令 x 2 t ，31 f x 2dx111f t dt 11 tdt1t0e tdt15設 f x 有一個原函數(shù)為 1 sin2 x ，求 2 xf 2x dx解：令 2x t ，且 f x 1 sin2 x sin2x1102xf 2xdx 0 2 f t 2dt

25、 4 0tf t dt1141 0 tdf t 14 tf t 0 0 f t dt1tsi n2t41 sin2t 0 016設 f x ax b lnx，在 1,3 上 f x 0 ，求出常數(shù)a，3b使 f x dx最17 / 3133解：當 f x dx 最小，即 ax b lnx dx 最小，由 f x ax b lnx 0 知，ax b在 y ln x的上方，其間所夾面積最小， 則 y ax b是 y ln x的切線，11x0x0y ，設切點為 x0,ln x0 ，則切線 y x x0 ln x0 ，故a ， xlnx0 1 。3于是 I ax b ln x dxa x2 bx31

26、ln xdx34a 21 lna lnxdx令I a 4 2 0得a 1a23f x dx 最小。從而 x0 2 ， b ln 2 12又I a22 0，此時a17已知 f x e x1求 f x f x dx 。解：x2f x 2xe x10 f x f xdx0 f x df x 12 f x 218解：1 2xe x2設 f x x2 x2e 221f x dx 2 f xdx ，求 f x 。001設 f x dx A ，02f x dx B ，則 f x x2 Bx 2A 01A 0 f x dx1 2 1 1 x2 Bx 2Adx B 2A322 B f x dx02x2 Bx 2

27、A dx 8 2B 4A 031解得： A 13，B43，于是2 4 2f x x2 4 x 23319f cosx cosx f cosxsin2 xdx。18 / 31解：原式 f cosx cosxdx sinxf cosx dcosxf coxs c o xsdx si nxf coxs 0 f coxs coxsd x0x20設 x 0時， F x x2 t2 f t dt的導數(shù)與 x 2是等價無窮小，試求f 0 。x 2 2 x0 x2 t2 f t dt 02xf tdt 解： lim 03lim 0 2x 0x3x 0 x23x2 0 f t dt 2xflim 0 lim 2

28、xf0,xx 0x x 0 x2f 0 11故 f 0 12(C)b 求 g xdx 。a1設 f x 是任意的二次多項式， g x 是某個二次多項式，已知f xdx 1 f 0 4f 1 f 1 ，62解：設 x b a t a ，則b1I ag x dx 0g b a t a b a dt a01 b a 0g b a t a dt令g b a t a f t于是 f 0 g a ， f 1 g b a ， f 1 g b22由已知得 I b a g a 4g b a g b622設函數(shù) f x 在閉區(qū)間 a,b 上具有連續(xù)的二階導數(shù)，則在 a,b 內(nèi)存在 ，19 / 31使得 f x d

29、x b a fa2b 214 b a 3 f證：由泰勒公式f2f x f x0 f x0 x x0 f 2! x x0 2其中 x0,x a,b ， 位于 x0與 x之間。兩邊積分得：x x0 2 dxb b b b fa f x dxa fx0 dx a fx0 x x0 dxa2!b af x0 f x0 bx0 2 a x0 2f b x0 3a x0326令 x0 a b ，則2bf x dx b a f aa 2b fa2b 12 b 2aababa2a2b 214 b a 3 f ， a,b 。3 f x 在 a,b 上 二 次 可 微 ， 且 f x 0 ， f x 0 。 試

30、證b a f a f xdx b a f b f a 。證明：當 x a,b 時，由 f x 0， f x 0 知 f x 是嚴格增及嚴格凹的， 從而 f x f a 及 f x f a f b f a x a ba bb故 f x dx f a dx b a f a aab a f a f b f a 1 b a 22bf x dx b f a f b f a x a dx a a b abaf b f aba2f x 在 a,b 上存在且可積， f a f b 0 ，4設函數(shù) f x 在 a,b 上連續(xù)，20 / 311b試證 f x f x dx (a x b)證明：因為在 a,b 上

31、f x 可積，故有b x ba f x dx a f t dt x f t dtxb而 f x f t dt， f x f t dt ax 于是 f x 12 a f t dt x f t dtf x 12a f t dt x f t dt5設 f x 在 0,1 上連續(xù)，1b2110 f xdx 0， 0 xf xdx 1 ，求證存在一點 x ，a f t dta0 x 1 ，使 f x 4 。證：假設 f x 4 ，x 0,1x 12 f x dxx f x dx 41x dx21 x dx2x 12 dx 1故 x 1f x dx 41x0202從而 x 1 f x 4 dx 002dx

32、1124 012011由已知 f x dx 0 ， xf x dx 1，得1 1 11 0 xf x dx 2 0 f x dx f x 4 0因為 f x 在 0,1 連續(xù)，則 f x 4或 f x 4。從而 f x dx 4或 4 ，1這與 0 f x dx 0矛盾。故 f x 4 。6設 f x 可微， f 00，f 01， F xxtfx2t2 dt ，求limF4x。0 x 0 x21 / 31解：令 x2 t2 u，則 F x 1 0x f u du ，顯然 F x xf x2 于是lim F 4xlim F x3limf x22lim f x22f 01 f0 1 。x 0 x4

33、x 0 4x3x 04x2x 0 4x204 47 設 f x 在 a,b 上 連 續(xù) 可 微 ， 若 f a f b 0 ， 則4baba f x dx ma xaxb f x 。證：因 f x 在 a,b 上連續(xù)可微，則 f x 在 a,a2b 和 a2b,b 上均滿足拉格朗日定理條件，設 Mmax f x ，則有 a x bb a ba f x dx a 2f x dx a b f x dxaba2bf a f 1 x a dx a b f b f 2 x b dx2aba2abf 1 x a dx a b2f 2 x b dxab2ax adx Mbabx2bdx M b a4故4ba

34、bf x dx M a8設 f x 在 A,B 上連續(xù)， A a b B ，求證 lkim0b f x k f xdx af b f a 。b f x k f x 證：adx 1 k b1 b f x k dx 1 f x dx k a k abk令x k u，則 f x k dx f u duakbka于是 b f x k f ka k k1 b k 1 a k1 bb k f x dx 1 aa k f x dx k b k ab f x k f x 1 b k 故 limdx limk 0 a k k 0 k b1bkbk11dx f x dx f x dxa k a11 f x dx

35、lkim0 k1akf x dx a22 / 31f b f ax9設 f x 為奇函數(shù)，在 , 內(nèi)連續(xù)且單調(diào)增加， F x 0 x 3t f t dt ， 證明： (1)F x 為奇函數(shù)； (2)F x 在 0, 上單調(diào)減少。xx證： (1) F x x 3t f tdt t u x 3u f u du xxf x 為奇函數(shù)x 3u f u du x 3u f u du F x F x 為奇函數(shù)。xx(2)F x x 0 f t dt 3 0tf t dtx0 f t dt xf x 3xf xx0 f t dt 2xf x0 f t f x dt xf x由 于 f x 是 奇 函 數(shù) 且

36、 單 調(diào) 增 加 ， 當 x 0 時 ， f x 0 ， 0x f t f x dt 0 0 t x ，故 F x 0 ， x 0, ，即 F x 在 0, 上 單調(diào)減少。110設 f x 可微且積分 1 f x xf xt dt 的結果與 x 無關，試求 f x 。 解：記 f x xf xt dt C ，則f x xf xt dt f x f u du C由 f x 可微，于是f x f x 0 解之 f x ke x ( k 為任意常數(shù))11若 f x 在 0, 連續(xù)， f 0 2 ， f1 ，證明：f x f x sin xdx 3 。解：因 f x sin xdxsin xdf x0

37、023 / 31sinxf x 0 f x coxsdxf x coxsd x0 coxsdfx f x cosx0 0 f x sinxdxf f 0 f x si nxdx1 2 f x sinxdx 3 f x si nxdx 所以 f x f x sin xdx 3 。x12求曲線 y 0 t 1 t 2 dt 在點(0,0)處的切線方程。解： y x 1 x 2 ，則 y 0 2，故切線方程為： y 0 2 x 0 ， 即 y 2x 。求證a13設 f x 為連續(xù)函數(shù)，對任意實數(shù) a 有 sinxf xdx 0， af 2 x f x 。證：兩邊對 a 求導si n a f a 1s

38、in a f a 0即 f a f a令ax ，即得 f 2 x f x14設方程2x tg xx y 2 y 0 sec2 tdt，求 d 2y2dx解：方程兩邊對 x 求導，得2 se2cx y 1 y se2c x y 1 y22從而 y 1 cos2 x y sin2 x yy 2sinx y cosx y 1 y2si nx y co 3sx y15設 f x 在 a,b 上連續(xù)，求證：24 / 311 lim h0ha f t h f t dt f x f a(a x b)證：設 F x 為 f x 的原函數(shù)，則1左邊 lim F x h F a h F x F a h0hh0F

39、x h F x F a h F ahhf x f a 右邊。x 即 f x dx f x dx 。18設 f x 連續(xù)， F x0xf t f 2a t dt， f 0 0， f a 1，25 / 31 1 x16當 x 0 時， f x 連續(xù)，且滿足 f t dt x，求 f 2 。 解：等式兩邊對 x 求導，得f x2 1 x 2x 3x2 1令x2 1 x 2得x 1將 x 1 代入得： f 2 5 11故 f 2 。517設 f x 在 0,1 連續(xù)且遞減，證明10f xdx 0 f x dx ，其中 0,1 。 11證： f x dx f x dxf x dx001則 0 f xdx

40、 0 f xdx1 f x dx 1 0 f x dx01 f 1 1 f 2 ， 1 ,1 ， 2 0,1 f 1 f 2由于 f x 遞減， f 1 f 21試證：故 f x dx f x dx 0 00F 2a 2F a 1 。2a a證： F 2a 2F a f t f 2a t dt 2 f t f 2a t dt2a a0 f t f 2a t dt 0 f t f 2a t dt2a aa f t f 2a t d 2a t 0 f t f 2a t dt2a 2a af t f 2a t 2aaa f t f 2a t 0 f t f 2a t dt在第一個積分中，令 2a t

41、 u ，則2a af t f 2a t dt f u f 2a u dua02a而 f t f 2a t a2af 2a f 0 f 2 a 1故 F 2a 2F a 119設 g x 是 a,b 上的連續(xù)函數(shù)， f xxg tdt ，試證在 a,b 內(nèi)方程ag x f b 0 至少有一個根。ba證：由積分中值定理，存在 a,b 使f b ag t dt g b a即 g f b 0ba故 是方程 g x f b 0 的一個根。ba20設 f x 在 a,b 連續(xù)，且 f x 0，又 F xaxf t dt bx 1 dt ，證明：(1)F x 2 (2)F x 0 在 a,b 內(nèi)有且僅有一個

42、根1證： (1)F x f x 1 2fxa 1 b(2)F a b f t dt 0，F(xiàn) b a f t dt 0又 F x 在 a,b 連續(xù)，由介值定理知 F x 0 在 a,b 內(nèi)至少有一根 又 F x 0 ，則 F x 單增，從而 F x 0 在 a,b 內(nèi)至多有一根。26 / 31故 F x 0 在 a,b 內(nèi)有且僅有一個根。21設 f x 在 0,2a 上連續(xù)，則 f xdx f x f 2a x dx。2a a 2a證： 0 f x dx 0 f x dx a f x dx令 x 2a u ， dx du ，則2a a aa f x dx 0 f 2a u du 0 f 2a x

43、 dx故 f x dx f x f 2a x dx22設 f x 是以 為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：20 sinx x f xdx 0 2xf x dx 。證：2sinx x f xdxsi nx x f xdx si nx x f x dx 0令xu ，則2 si nx x f x dx0 u si nu f udu（ f x 以 為周期）2故 sinx x f xdx 2xsi n u u f u duf x dx23設 f x 在 a,b 上正值，連續(xù)，則在 a,b 內(nèi)至少存在一點 ，使證：b1f x dx f x dx f x dx 。xb令 F x f t dt f t dtax由于 x a,b 時， f x 0 ，故bF a f t dt 0abF b f t dt 0a故由零點定理知，存在一點 a,b ，使得 F 0b即 f t dt f t dt 0a27 / 31ba f xdx f x dxbb又 a f x dx a f xdx f x dx 2 a f x dxb 1 b故 a f x dx f x dx 2 a f x dx 。1x f u 1124證明 ln f x t dt ln du ln f u du 。00f u0證：設 x t u 1，則1x0ln f x t du x 1ln f u