導(dǎo)數(shù)_切線方程與單調(diào)性

1、導(dǎo)數(shù)切線與單調(diào)性：學(xué)號(hào)： 得分： 1. 若直線 y kx b 是曲線 y ln x 2 的切線 , 也是曲線 y ln(x 1) 的切線 , 則 b = ()A. 1 ln2 B. 1 ln2 C. 1 ln2 D. 1 ln22. 已知直線 y 2x 1與曲線 y ln x a 相切, 則a的值為3. 已知曲線 y x2 ,( 1)求曲線在點(diǎn) P 1,1 處的切線方程 ; (2)求曲線過點(diǎn) P 3,5 的切線方程 .4. 已知函數(shù) f (x) x3 mx, g(x) x2 n.若曲線 y f(x) 與曲線 y g(x) 在它們 的交點(diǎn)處的公共切線為 y 2x c, 求m,n, c的值x5.

2、已知函數(shù) f x e 1x ax a R .2 ex3(1)當(dāng)a 3時(shí),求函數(shù) f x 的單調(diào)區(qū)間 ;2(2)若函數(shù) f x 在 1,1上為單調(diào)函數(shù) ,數(shù)a的取值圍.6. 已知函數(shù) f (x)=e x sin(1) 當(dāng)a 0時(shí), 求曲線 y(2) 當(dāng)a 0時(shí),判斷 f(x)x axf (x) 在 0, f (0) 處的切線方程 ; 在0, 3 上的單調(diào)性 ,并說明理由 ;47. 已知函數(shù) f(x) ln xax, a R. 討論函數(shù) f (x) 的單調(diào)性 ;8. 已知函數(shù) f(x) ln x 圍;ax2 2x.若函數(shù) f(x)在 x 1,2 單調(diào)遞減 ,數(shù)a的取值49. 已知函數(shù) f x xe

3、x . 討論函數(shù) g x af x ex 的單調(diào)性參考答案1.D2.12ln2解析： 答案： 1.當(dāng)時(shí), . 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為即2. 解:. 令, 解得或. 以下分兩種情況討論 : 若則,當(dāng)變化時(shí), 的變化情況如下表 :+ - 極大值 當(dāng)時(shí), 等價(jià)于,即. 解不等式組得 . 因此.若, 則. 當(dāng)變化時(shí) ,的變化情況如下表 極大 極小 值值 當(dāng)時(shí), 等價(jià)于即 解不等式組得或 . 因此. 綜合和 , 可知的取值圍為 .上單調(diào)遞減 h(x)max h( 1)4. 答案： 1.設(shè)它們的公共交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x0, 則n, 則g(x)2x, 22x0.由得x01,由得 m 1. 將1代入 (*)

4、得 n 12c0,n1,c2g(x) ,得x32 mx x1,即mx2 x1對(duì)xx ( ,0) 恒成立 , 令21x2(x (,0) ,x12x3 x21(2 x3 x)(x31)2(x 1)( 2x2 x 1),1 2x 2 x2 x2 x2,x3x0 mx0 g(x) x2 x0 1, m2. 由 f (x) h(x) x則 h(x) 其中 2x2x02 n 2x0 c (*) , f (x) x3 mx 則 f (x)3x2 m, 2 3x02 m ;x 1 0對(duì)x ( ,0) 恒成立,h(x)在( , 1)上單調(diào)遞增 ,在( 1,0)1,m1. h(x)故 m 的取值圍是 ( 1, )

5、解析：5. 答案： 1.設(shè)切點(diǎn)為 x0,y0y |x x0lixm0x0x x02lixm02x02x0 x22x x02x0y |x 1 2 . 曲線在點(diǎn) P 1,1 處的切線方程為 y 1 2 x 1 ,即y 2x 1. 2.點(diǎn)P 3,5 不在曲線 y x2上, 設(shè)切點(diǎn)為 x0,y0由1知, y |x x0 2x0, 切線方程為 y y0 2x0 x x0 由 P 3,5 在所求直線上得 5 y0 2x0 3 x0 22再由 A x0,y0 在曲線 y x 上得 y0 x0 聯(lián)立 , 得 , x0 1 或 x0 5.從而切點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 1,1 或(5,25)當(dāng)切點(diǎn)為 1,1 時(shí),切線的

6、斜率為 k1 2x0 2,此時(shí)切線方程為 y 1 2 x 1 ,即 y 2x 1,當(dāng)切點(diǎn)為 (5,25) 時(shí), 切線的斜率為 k2 2x0 10,綜上所述 , 過點(diǎn) P 3,5 且與曲線 yx2 相切的直線方程為 y2x 1或y 10x 解析：25.6.1.時(shí), f xex 12e3 xx x2f x1 x 2 xe 2ex3ex221exx e1 ex 2令f x 0得ex 1或ex 2即x0或xln2令f x 0則x0或x ln2令f x0則0xln2 f x的增區(qū)間是,0 , ln2,減區(qū)間是 0,ln 22. f xex 12 exa令ex t由于x1,1此時(shí)切線方程為 y 25 10

7、 x 5 ,即 y 10x 25.t1,ee令h t t21 t1 t ,ee,h t121 t2 t22t當(dāng)t1, 2 e時(shí), ht 0 , 函數(shù)h t 為單調(diào)減函數(shù)當(dāng)t 2,e時(shí)h t0 , 函 數(shù)ht為單調(diào)增函數(shù)故ht在1,e e上的極小值點(diǎn)為t2又hee 11h2 ee1e2e2 h t e12e函數(shù)fx在1,1 上為單調(diào)函數(shù)若函數(shù)在1,1 上單調(diào)遞增則at12t對(duì)t 1e,e e恒成立所以a2若函數(shù)fx在 1,1上單調(diào)遞減則at12t對(duì)t 1e,e e恒成立所以1ae2e綜上可得 a 的取值圍是 , 2 e 1 ,2ex7. 答案： 1.當(dāng) a 0時(shí), f(x) exsinx, f

8、(x) ex (sinx cosx)n x R.得f (0) 1.又f(0) e0 sin0=0,所以曲線 y f(x)在 0, f (0) 處的切線方程為 y x.2. 方法 1: 因?yàn)?f(x) exsinx ax, 所以f (x) ex(sinx cosx) a. 2ex sin( x+ ) a4因?yàn)?x 0, 34 ,所以所以 2ex sin(x ) 0.4所以當(dāng) a 0時(shí), f (x) 0, 所以 f (x) 在區(qū)間0, 3 單調(diào)遞增.4方法 2: 因?yàn)?f(x) exsinx ax, 所以3.方法 1:由 2可知,當(dāng) a 0時(shí), f (x) 在區(qū)間 0, 3 單調(diào)遞增,43 所以

9、x 0, 3 時(shí), f (x) f (0) 0.4f (x) ex(sinx cosx) a.x0(0, )2g (x)g(x)1aZ令 g(x) f (x) ,則 g(x) ex(sinx cosx) ex (cosx sinx) 2ex cosx, g(x), g (x)隨 x 的變化情況如下表 :當(dāng)a 0時(shí), g(0) 1 a 0, g(3 ) a 0.4 所以 x 0, 3 時(shí), g(x) 0,即 f (x) 0,4 所以 f (x) 在區(qū)間 0, 3 單調(diào)遞增 .4當(dāng)0 a 1時(shí),設(shè) g(x) f (x) ,則 g(x) ex(sinx cosx) ex (cosx sinx) 2e

10、x cosx, g(x), g (x)隨x的變化情況如下表 :x0(0,2)g (x)g(x)1aZ所以 f ( x)在0, 上單調(diào)遞增 , 在( , 3 上單調(diào)遞減a 0,2 2 4 因?yàn)?f (0) 1 a 0, f (3 )434),所以存在唯一的實(shí)數(shù) x0 (02使得 f (x0) 0,且當(dāng) x (0,x0)時(shí), f (x) 0 , 當(dāng) x (x0,3 時(shí), f (x) 0 ,4所以 f (x) 在 0,x0 上單調(diào)遞增 ,3 3 2又 f (0) 0, f (3 ) e4 2 42所以當(dāng) 0 a 1時(shí), 對(duì)于任意的綜上所述 , 當(dāng) a 1 時(shí), 對(duì)任意的 x方法 2: 由( )可知,

11、 當(dāng) a 0時(shí),f (x) 在x0, 3 上單調(diào)遞減 .43 a e342 3a e 4 342x 0, 3 , f (x) 0.40, 34 , 均有 f (x)f (x) 在區(qū)間 0, 34e2 32 2 0,0. 單調(diào)遞增 ,3 所以 x 0, 3 時(shí), f (x) f (0) 0.4 當(dāng) 0 a 1時(shí) , 由()可知, f (x) 在0, 上單調(diào)遞增 , 在 ( , 3 上單調(diào)遞減 , 因?yàn)? 2 4 f (0) 1 a 0, f (3 )4 所以存在唯一的實(shí)數(shù) x0a 0,且當(dāng) x (0,x0)時(shí), f (x)所以 f (x) 在 0,x0 上單調(diào)遞增 ,3 3 2又 f (0) 0

12、, f (3 ) e 4242所以當(dāng) 0 a 1時(shí), 對(duì)于任意的( , 3 ), 使得 f (x0) 0,240 , 當(dāng) x (x0,34 時(shí), f (x) 0,f (x) 在x0, 3 上單調(diào)遞減 .43 a e342 3a e 4 342x 0, 3 , f (x) 0.4e2 32 2 0,綜上所述 , 當(dāng) a 1 時(shí), 對(duì)任意的 x 0, 3 , 均有 f (x) 40.解析：xaa1由 f (x)=? +?a0得: 0 x 1 , f x 在 0,-?1 上單調(diào)遞增 ; (t)在e2, )上單調(diào)遞增 , (t)(e2) 1 22 1 226 ,即:原不等e 1 3 1 58. 答案：

13、1. f x 的定義域?yàn)?(0,+ ),f (x)=?1 +?a . x當(dāng)a 0時(shí), f x ?0,f x 在(0, )上單調(diào)遞增 ;式成立 .解析：9.答案： 1. f (x) 1 2ax 2 2ax 2x 1xx由題意 f (x) 0在 x 1,2 時(shí)恒成立 , 即2a 1 22x (1 1)2 1,4x2x在 x 1,2 時(shí)恒成立 , 即 2a (1 1)2 1max , 4x當(dāng)x 1 時(shí), (1 1)2 1取最大值 8,4x實(shí)數(shù) a 的取值圍是 a 4.111 2 32. 當(dāng) a時(shí), f(x) x b 可變形為 x2 x ln x b 0424 21 2 3 (x 2)(x 1)令 g

14、(x) x2 x ln x b(x 0), 則 g(x)4 2 2x列表如下 :x1(1,2)2(2,4)4g (x)0g(x)b54極小值Z2ln 2 b 25 g(x)極小值 g(2) ln2 b 2, g(1) b ,又 g(4) 2ln 2 b 2,4方程 g(x) 0 在 1,4 上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 ,x 0,函數(shù) g x單調(diào)遞減; 若 a 0時(shí),當(dāng) xa1a 1時(shí), g x 0,函數(shù) a單調(diào)遞減 ; 當(dāng) xa 1時(shí), g x 0,函數(shù) g ax 單調(diào)遞增 . 綜上, 若 a 0時(shí),在 R上單調(diào)遞增 ;若a 0時(shí),函數(shù) g x 在a 1 單調(diào)遞減 , 在區(qū)間 ag(1) 0g(2) 0得ln 2 2 b5.4g(4) 0解析：10.答案： 1. 由題意, 知 g xx x xaf x e axe e , g xax a 1 ex 若 a 0 時(shí) , g x 0, g x0在 R上恒成立 , 所以函數(shù) g x在 R 上單調(diào)遞增時(shí),a1 a若a 0時(shí),當(dāng) xg x 0, 函數(shù) g x單調(diào)遞增 , 當(dāng) xa 1 時(shí), aa 1 單調(diào)遞增 , 在區(qū) a1,單調(diào)遞增;當(dāng)a 0時(shí),函數(shù) g x 在區(qū)間aa 1,單調(diào)遞減a2.由題可知 , 原命題等價(jià)于方程 xex x 2在 x m,m 1 上有解, 由于 ex 0,