導數(shù)應用八個專題匯總.

1、1. 導數(shù)應用之函數(shù)單調(diào)性題組1:1. 求函數(shù)f (x) =X3 _3x2 _9x 12的單調(diào)區(qū)間2. 求函數(shù)f(x)=x2_3xlnx的單調(diào)區(qū)間3. 求函數(shù)f (xx23x -lnx的單調(diào)區(qū)間4.求函數(shù)f (x)1 的單調(diào)區(qū)間xln x第11頁共20頁ln x5.求函數(shù)f(x) -In x ln(x，1)的單調(diào)區(qū)間1 +x題組2 :1.討論函數(shù)f(x)ax33224-a x a (a 0)的單調(diào)區(qū)間2.討論函數(shù)f (x)二x3 3ax2 - 9x -12的單調(diào)區(qū)間3.求函數(shù)f(x)=34x 1 (m 0)的單調(diào)遞增區(qū)間4.討論函數(shù)f(x) = (a 1)lnx ax21的單調(diào)性.1 _a5.

2、討論函數(shù)f(x)=lnx-ax，-1的單調(diào)性.x題組3:1.設函數(shù) f (x) = x3 - ax2 x 1.(1) 討論函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；-一 2 1(2) 設函數(shù)f(x)在區(qū)間(-一,)內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍.332.(1)已知函數(shù)f (xax2 x lnx在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍2(2)已知函數(shù)f(x)二ax - x lnx在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍32y3. 已知函數(shù) f (x) =(x 3x ax b)e .(1) 若a二b 3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若f (x)在(：),(2, J單調(diào)遞增，在G ,2),( -)單調(diào)遞減

3、，證明：6.解：(1 )當 a=b=-3 時，f (x) =(x ? +3x ? -3x-3)e 町，故f擱二應+ 3x;-3x -班迪+陸-療9花)=-x(x -地 + 牝當 x-3 或 0x3當-3x3時，0,從而f(x)在(-工,-3 ), (0 , 3)上單調(diào)遞增，在(-3 , 0) , (3 , +工)上單調(diào)遞減 6分f (勸二十3”預也丁*+ (3戈&+Q尸二7=丫:+16)誥+4國.7分一一： : - 分8從耐儀)如-晞+4-遜因為f冏二八聞赳忻如+0- 6)芒一 4-2d二衣-2總-)仗- 4=(工-2)2 -魚+國:e+妙 將右邊展開，與左邊比較糸數(shù)得，10二-2,哪=2 分

4、0.11|;.-,./ J 亠 分恥空a -酉 代即曲 貳畢血.由此可得a6 。 12分4. 設函數(shù) f (x)二 x3 ax2 - a2x 1, g(x)二 ax2 - 2x 1,(1) 若a 0,求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若f (x)與g(x)在區(qū)間(a,a 2)內(nèi)均為增函數(shù)，求a的取值范圍.2. 導數(shù)應用之極值與最值1.設函數(shù)f (x)二x2exJ ax3 bx2,且x = -2和x = 1均為f (x)的極值點.(1) 求a, b的值,并討論f (x)的單調(diào)性；2 3 2(2) 設g(x) = x -x ,試比較f (x)與g(x)的大小.解答*解：1) CxJ 2xeK+x

5、2eJ(j1+3ax2+2bx=xeJt 1 Cx+2)如(3ax+2b)由滬-2和戸1為f ( h )的極1B點,-6a2b=Q 即乍口-2E = 0 解得3I b 1 由(1)得f (x) d占-護-也故f (x) -g (x) d護護d-討 J) =x2嚴F + 令h 5)之3-耳，則h (s)二尹-令X Cx) =0* 得qL.hTG、h (x)隨盟的變化情況如表乂5C i)1(1 1 )hJ ( x )一0+h ( k )X0由上表可知，當“1時，h (x)取得極小值，也是最小值蘭即當孟E+D時，h Cx) li Cl)也就是恒有h (x) 0.又疋彥m 所以空(k)-呂(Q 彥山故

6、對任意從E(-8，+8，恒有f Ck) 3電(x),2.設函數(shù) f (x) = x2(x-a).(1)若f =3,求曲線y二f (x)在點(1,f(1)處的切線方程;求函數(shù)y = f (x)在區(qū)間0,2 1上的最大值.3.設函數(shù) f (x)二 ax3 - 3x2.(1)若x = 2是函數(shù)y二f(x)的極值點，求a的值； 若函數(shù)g(x)二f (x) f (x), x 0,2,在x二0處取得最大值，求a的取值范圍.14.已知函數(shù) f(X) X3 X2 -2.32(1)設Sn是正項數(shù)列的前n項和，6=3,且點(an,an2an d)在函數(shù)y = f(x)的圖象上，求證：點(n,Sn)也在y =f(x

7、)的圖象上;求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a_1,a)內(nèi)的極值.3225. 設函數(shù) f (x) =ax +bx -3a x +1 在 x =羽，x = x2 處取得極值,且 x -xz =2 .(1)若a =：1,求b的值,及函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；若a 0,求實數(shù)b的取值范圍.解：fr (梵)-3asi+2bx-3a.2分(I )當 1 時，f1 ( k ) =3si+2bx-3；由題意知乩，K.為方程3s:+2bK-3-0的兩根，所以|斗=乂3由 Izf-x | =2r 得b=CL 克分)從而f ( x ) =x2-3k + 1 t fn (e ) 3e:-3=3 ( k+1 )( x- 1)當

8、xE (-1 1)時；ff (x) 0,故t (x)在(-1, 1)單調(diào)遞減，在 J*. -1),(1, +)單調(diào)遞増.(6分)(II)由武庚題意知七為方程3y/+2bx-3a; = 0的蘭根，23所Ul|r-r J = l4 t36d .從而 |S1-x.| = 2b2=9a: ( 1-a),123az由上式及題設知OCaWl.呂分)考慮 g (a) =0az-9a()= 1 加-盯亦=-2? 口 -扌)i 0分)2 224故g (a)在(0,才弾調(diào)遞増，在扌，1單調(diào)遞減，從而苣(G在0, 1的極大值24又g (a)在(山1上冥有一個極值，斷以呂(2=)為呂(廠在(血1上的最大值，且最小值為

9、g( 1)二0.所以 -半,爭.4分)1326. 設函數(shù)f(x) ax -bx (2-b)x，1在為處取得極大值，在x?處取得極小值，且0 ： x, ： 1 ：冷：2.3證明：a 0 ,并求a - 2b的取值范圍.1 33 27.已知x =1是函數(shù)f (x) ax x (a 1)x 5的一個極值點3 2(1)求函數(shù)f (x)的解析式； 若y = f (x)的圖像與直線y = 2x m有三個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍8.已知x =3是函數(shù)f (x)二aln(1 x) x2 -10x的一個極值點求f (x)的解析式及其單調(diào)區(qū)間;(2)若直線y =b與曲線y = f (x)有三個交點，求b的取值

10、范圍9.設函數(shù) f(x)=x4 ax3 2x2 b(x R).(1)若函數(shù)f (x)僅在x = 0處有極值，求a的取值范圍； 若對于任意的I -2,2 1,不等式f (x) _1在丨-1,11上恒成立，求b的取值范圍.解；(1)求導函數(shù)可得嚴浪(4K2+3ax+4) ,1分)顯然0不是方程牡+了 ax+4=0的根.為使f (x)僅在囂二0處有極值，必須4x2+3aK+40成立，(3分)所以鼻的取值范圍是-備|.(6分)C 2)由務件aE -2, 2,可知4 = 9小從而4x2+3aK4-40恒成立*(&分)當試0時，f5 (x) 0.1 L1 分園此函數(shù)f (k)在-1，1上的最大值是f( 1

11、)與f(-1)兩者中的較大者.為使對任意的鼻-2, 2,不等式 (x) W1在-1,叮上恒成立,當且僅當fADi lA-D$=鷲一，則在區(qū)間(-T 3)上，tf Cx) 0, f CxJ為増函數(shù)*在區(qū)間t-a-l?十8)上，F(xiàn) (x) -4時，k. 3=x . j 則在區(qū)間(-, -a-1)上.“ 5) 0, f厲)為増函數(shù)； 在區(qū)間(3, +)上，ff 芷0時，f Hz)在區(qū)間0, 3)上的單調(diào)遞増，在區(qū)間(乳4)上單調(diào)遞減, 那么f (s)在區(qū)間th 4上的值域是【皿小(f (0) , f (4) ? f3)，而f ( 0) =- C 2a+3) &20, f3=a+6,那么f (x)在區(qū)

12、間g 4上的值域是-(2a+3)趙 a+6.XgW=(2+y)Z在區(qū)間【(b d上是増函熱且它在EiaD* 4上的值域是a2+y,/+亍)J,由干(盯+千)-(a+6) =a-a+7=( a-：)0442所以只須僅須(F+斗)-(a+6)G且QD,斗_3解得DV a C )T 匚HO, r.kO* 由 f ( k )二 0得-ks-Ex+ckO 由韋達定理知另一個極佰點為1 (或X=c-).2 25)由(*)式得即c=l十赤當cl時，k0；當0clBt k0時， (x)在-c)和(1, +)內(nèi)是減函數(shù)，在(-c* 1)內(nèi)是埴函數(shù)*=只1)=智=與0, m=f(-c)= +1=0,解得2 2(4

13、2)(ii) 當kV-2時，fG在(-F -c)和1, +)內(nèi)是増函數(shù)，在(-匚，1)內(nèi)是減函數(shù).A f=f(-c)=0. 1A1)03/-w=_12t_= HL12J_LZ11 恒成立*2住+2)22(22) 2畑綜上可知，所求k的取值范圍為( -2)U J：, f3212.設函數(shù)f (x) = ax bx cx d的圖像1上有兩個極值點 P,Q ,其中P為坐標原點(1)當點Q的坐標為(1,2)時,求f (x)的解析式；當點Q在線段x y-5=0(1遼x3)上時，求曲線二的切線斜率的最大值.3. 導數(shù)應用之函數(shù)的零點題組1:1. 函數(shù)f(x) =3x-x2在區(qū)間-1,0內(nèi)有沒有零點？為什么？

14、2. 函數(shù)f (x) =2x - 3x的零點所在的一個區(qū)間是【】.A. (-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)3. 函數(shù)f (x)的零點與g(x) =4x 2x - 2的零點之差的絕對值不超過0.25,則f (x)可以是【】A. f (x)二 ex -1B.f(x) =4x-12 1C.f(x)=(xT)D.f(x)=l n(x )4. 若 2 : a : 3 ： b : 4,且函數(shù) f (x) = loga x x - b 的零點 Xo ：= (n,n 1)(n ：= Z),則 n =【】.A. 1B.2C.3D.4題組2:5. 設函數(shù)y = f(x)的圖像在a,b上連續(xù)

15、，若滿足,則方程f(x) = 0在a,b上有實根.16. 已知x0是函數(shù)f(X)=2x +的一個零點.若 “ (1,x0), x(x0c),則【】.1 -xa. f(x1): 0 , f (x2： 0B.f (xj： 0 , f (x?)0C. f(x1)0, f(x,：0D.f(x,)0, f(x,)017. 函數(shù)f (X) = X + 的零點個數(shù)為 .x2 38. 求證：函數(shù)f(x) =x2 -2在區(qū)間(0,2)內(nèi)沒有零點.x1題組3:9. 函數(shù)f (x x log2 x在區(qū)間(0,1)內(nèi)是否有零點？為什么？10. 求證:函數(shù)f (x)二x4 -2x -1在區(qū)間-1,2內(nèi)至少有兩個零點.1

16、1. 求證:函數(shù)f (x) =(x-3)(x-8)-1有且只有兩個零點.212. 求證:函數(shù)f (x) = In x - x x 1有且只有兩個零點.13. 設函數(shù)f(x) =ax2bx c,若f(1)0, f(2) 0,則f (x)在區(qū)間(1,2)上的零點個數(shù)為【】A.至多有一個B.有且只有一個C.有一個或兩個D.一個也沒有14. 設m (1, ：),求證:函數(shù)f (x) = x -In( x - m)有且只有兩個零點.15.判斷函數(shù)f(x)=x2-lgx在區(qū)間(0,10)內(nèi)的零點個數(shù)，并說明理由題組4:16. 設函數(shù) fn(x)=xn x-1(n N ,n_2).1(1) 證明：fn(X)

17、在區(qū)間(一,1)內(nèi)存在唯一的零點；21(2) 設Xn是fn(x)在(一,1)內(nèi)的零點,判斷數(shù)列X2,X3,|,Xj|的增減性.17. 設函數(shù) f (x) = x2(a2)xalnx .(2)若函數(shù)有兩個零點，求滿足條件的最小正整數(shù)a的值；f(Xlx22)：o. 若方程f (x) = c有兩個不等實根 洛必，求證：Q x2) 0 .218.設函數(shù)f(x) =21 nx，mxx有兩個零點Xi,X2,求證19.設函數(shù)f(x)=lnx_ax有兩個零點20.記函數(shù)x 心11!2X+2!n!(n N ),求證:當n為偶數(shù)時，方程fn(x) =0沒有實數(shù)根;當n為奇數(shù)時，方程fn (x)二0有唯一實數(shù)根xn

18、,且xn 2 xn.、，XX2 X求與直線3x-y *2=0夾角為45 ,且與拋物線y =2x2相切的直線方程 設函數(shù)f(x)=sinx圖像上動點P處切線的傾斜角為 r,求二的取值范圍xn21.設函數(shù) fn(x) - -1 冉歹 32 川 P (x R, n N ),123n2(1)證明：對每個n，N.,存在唯一的 ,1,滿足fn(Xn)=0 ；31證明：對任意P N .,由中Xn構成的數(shù)列Xn滿足0 ： Xn - Xn .p .n4. 導數(shù)應用之圖像的切線題組1:1. 求平行于直線9x - y 7=0,且與曲線旳仝 3x2 -1相切的直線方程322. 求垂直于直線x-3y，2 = 0,且與曲

19、線y =x 3x -1相切的直線方程題組2 :5.求函數(shù)f(x) =2x3的圖像C在點P(1,2)處的切線丨方程，以及曲線C與切線丨的所有交點坐標6.求函數(shù)f (x)二2x3的圖像經(jīng)過點P(1,2)的切線方程7.求函數(shù)f(x)=2x3的圖像經(jīng)過點P(1,10)的切線方程x + 98. 求經(jīng)過坐標原點，且與函數(shù)f(x) = x 9的圖像相切的直線方程x + 5b9. 設函數(shù) f (x) =ax -一，曲線 C : y = f (x)在點(2，f(2)處的切線為 7x-4y-12 =0 .x(1) 求函數(shù)f (x)的解析式；(2) 求證：曲線C上任意一點處的切線與直線y = x,以及y軸所圍成三角

20、形的面積為定值.10. 已知直線2x 3 ln 2 =0是函數(shù)f (x) =1 n x 口的圖像C的一條切線.x(1) 求f (x)的解析式；(2) 若P(s,t)是曲線C上的動點，求曲線C在點P處的切線縱截距的最小值.題組3:11. 已知直線y=x是函數(shù)f (x) =x3-3x2 ax-1圖像的一條切線，求實數(shù)a的值.12. 已知a 0,且過點P(a,b)可作函數(shù)f(x)=x3-x圖像的三條切線,證明：-a ： b ： f (a).1 3 1 213. 設函數(shù)f(x)x3ax2 bx c (a 0)的圖像C在點P(0, f(0)處的切線為y=1.3 2(1) 確定b,c的值；(2) 設曲線

21、C 在 A(x1, f (x1),B(x2, f (x2)處的切線都過 Q(0, 2),證明:若 x x?,則 f (xj = f (x?)； 若過點Q(0, 2)可作曲線C的三條不同切線,求a的取值范圍1 3 1 2-1,1), (1,3內(nèi)各有一個極值點.14.已知函數(shù)f(x) x3 ax2 bx在區(qū)間3 22當a -4b=8時,設曲線C : y = f(x)在點求a2 -4b的最大值;A(1, f(1)處的切線I穿過曲線C (穿過是指：動點在點A附近沿曲線C運動，當經(jīng)過點A時,從I的一側(cè)進入另一側(cè)),求f (x)的表達式.15.由坐標原點0(0,0)向曲線y=x33x2+x引切線，切于不同

22、于點 O的點P1(x1, y1),再由R引切 線切于不同于R的點P2(X22),如此繼續(xù)下去，得到點Pn(xn,yn),求人半與人的關系，及的表達式.鞏固練習：1. 求函數(shù)f(x)=2x3的圖像經(jīng)過點P(1,-8)的切線方程x +312. 求函數(shù)f(x) 2的圖像經(jīng)過點P(3,)的切線方程X2 +323. 如圖，從點R(0, 0)作x軸的垂線交于曲線 y =ex于點Qd0, 1),曲線在Q1點處的切線與x軸交與點P2 ;再從B作x軸的垂線交曲線于點 Q2,依次重復上述過程得到一系列的點：P, Q1, P2, Q2,R, Qn,記點 Pk 的坐標為 Pk(Xk, 0) (k=1,2,3川，n).

23、(1)求 xk 十與 Xk 之間的等量關系；(2)求 RQ1 +|PQ2 + P3Q3|+.+|PnQn .5. 導數(shù)應用之存在與任意a1.已知函數(shù)f(x)=x b(x = 0),其中a,bR .x(1)若曲線f (x)在點P(2, f (2)處的切線方程為y=3x，1,求函數(shù)f(x)的解析式；11 若對于任意的a丄，2,不等式f(x)乞10在x,1恒成立，求b的取值范圍.2 42.已知函數(shù) f(x)二(1 x)2 -21 n(1 x).(1)求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若f(x)：m對e=T,e-1恒成立，求m的取值范圍;3.設函數(shù)f(x)二xl nxi(1)求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2

24、)若2x - x對(0,1)恒成立，求a的取值范圍.2X24.已知函數(shù) f (x) =ln (x 1)-x +1(1)求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2)右(1)- e對N .都成立，求：的最大值n5.設函數(shù) f (x) = x(ex -1) - ax2.1(1)若a,求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當x _0時，f (x) _0,求a的取值范圍.6.設函數(shù) f(x)二 ex _ax2 _x.(1)若a = 0 ,求f (x)的最小值；若當x_0時，f(x)_1恒成立，求a的取值范圍.7. 設函數(shù)f(x)二ex -ax的圖象與y軸交于點A,曲線y = f (x)在點A處的切線斜率為：-1.(1)求f

25、 (x)的極值；證明：當x 0時，x2 ex ； 證明：對任意給定的正數(shù) c,總存在 怡,使得當x三ix0, ：,恒有x2 ： cex.8. 設函數(shù) f (x)二 ax cosx,(1)討論函數(shù)f (x)在區(qū)間0,二內(nèi)的單調(diào)性； 若f (x) 1 sin X對X 0,二恒成立，求實數(shù)a的取值范圍9. 設函數(shù) f(X)二 xcosx -Si nx, x0,.2(1)求證:f (x) _0 ；sin x冗 若ab對x (0, )恒成立，求a的最大值與b的最小值.x210.已知函數(shù) f(x) =(a 1)1 n x ax21,(1) 討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；設a ： -1,且對任意的xj ,x2

26、(0,：),都有| f (捲)- f (x2) _ 4 | Xj - x2 |,求a的取值范圍11.已知x =3是函數(shù)f(x) =(x2 ax b)e3的一個極值點.(1)求a與b的關系式(用a表示b),并求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；25設a 0 , g(x) =(a2 )ex.若存在洛必0,4 1,使得f (xj - g(X2)： 1成立，求a的取值范圍3 1 2 3712. 已知函數(shù)f(x)二ax xcosv-2x，c的圖像過點(1,),且在-2,1上遞減，在1：)上遞增.2 6(1)求f (x)的解析式；45若對任意的捲丸wm,m+3都有f(N)- f (x?)蘭孑成立，求正實數(shù)m的取值

27、范圍.13m 213. 設函數(shù) f (x) mx-(2 )x2 4x 1, g(x) = mx 5 .3 2(1)當m0時，求函數(shù)f (x)的遞增區(qū)間； 是否存在負實數(shù) m,使得對任意的x1,x 1,2,都有g(xj-f(x2)豈1 ?若存在,求m的范圍；若不 存在，請說明理由.6. 導數(shù)應用之極值點偏移21. (1)設不同的兩點 A(X1,y1), B(x2,y2)均在二次函數(shù) f(X)二ax bx c ( ab- 0 )的圖像上，記直線AB 的斜率為k ,求證：k = f律魚)；2(2)設不同的兩點 Ag, %), B(x2,y2)均在偽二次函數(shù)”g (x ax2 bx c l nx(ab

28、c = 0)的圖像上,記直線AB的斜率為k,試問：k = g (2)還成立嗎？2. 設函數(shù) f (x) =ax (1 _2a)x _ln x (a R).(1) 當a 0時，求函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2) 記函數(shù)y二f(x)的圖像為曲線 C ,設A(xi,yi), B(X2,y2)是曲線C上不同的兩點,M為線段AB的中點,過點M作x軸的垂線交曲線 C于點N .試問：曲線C在點N處的切線是否平行于直線AB ?3. 設函數(shù) f (x) = x2-(a-2)x-alnx .(1) 求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若函數(shù)有兩個零點，求滿足條件的最小正整數(shù)a的值；(3) 若方程f(x)=c有

29、兩個不等實根x1, x2,求證:f (xi x2) 0 .24. 設函數(shù) f(x) =21 nx mx-x2.(1)若曲線y = f(x)在點(1, f(1)處的切線方程為y =2x n,求實數(shù)mn的值；若m -4,求證：當a b 0時，有丄縛 驢 -2 ； a b 若函數(shù)f(x)有兩個零點X1,X2(X1 ：X2),且x0是X1,X2的等差中項，求證：fX)：。.5.設函數(shù)f (x) = ln x ax有兩個零點x-i, x?,求證:X|X2 e .6.設函數(shù)f (x)二exax a的兩個零點為x1,x2,求證:x1x2：x1x2.7.設函數(shù) f(x)二 ex_ax,其中 a e, 求證：函

30、數(shù)f (x)有且僅有兩個零點x1, x,且0 ： % ： 1 ： x2 ；(2)對于(1)中的 Xi, x,求證：f (Xi) - f (x,)0.8.設函數(shù)f(xex mx的圖像在點P(0, f (0)處的切線方程為 2x - y 1 = 0 ,求證:對滿足a ： b ： c的實數(shù)a,b,c,都有f(b) -f(a)baf 一 f(b)成立 cb第26頁共20頁7. 導數(shù)應用之不等式證明(1)11)1.證明：對任意的n e N +都有l(wèi)n(-n2.已知 m, n N .,且 1 ： m ： n,求證:(1 m)n(1 n)m.13.設函數(shù) f(x)- aln(x -1),(1 x)n當n=2時,求函數(shù)f(x)的極值；(2)當a =1時，證明：對任意的N .,當x_2時,都有f(x)乞x_1.4.已知函數(shù)f (x)二ex -aln(x 11在點P(0, f (0)處的切線垂直于 y軸,(1) 求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 當 m .n 0 時，求證：em-1 ln(m 1)-1 n(n 1).x5. 設函數(shù) f(x)匚，且 f1(x) =f(x), fn 1(X)二 fn(x) (n N .).e(1) 求 f,X), f2(X), f3(X), fn(X)的解析式；(2) 求證：對任意的實數(shù)a,b,以及任意的正整數(shù)