導(dǎo)數(shù)知識點總結(jié)及例題講解

1、高二數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用x00 時，處00處f (x0 ) 。知識歸納1導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù) y=f（x）, 如果自變量 x 在 x 0 處有增量x ，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量 y =f（x0 + x ） f（x ），比值 y 叫做函數(shù) y=f （x）在 x0 x 0 到 x 0 + x 之間的平均變化率，即y = f （x0x） f （x0 ） 。如果當(dāng) xyxxy 有極限，我們就說函數(shù) y=f（x） 在點 xx可導(dǎo)，并把這個極限叫做 f （x）在點 的導(dǎo)數(shù)，記作 f（x 0 ）或 y| x yx ）= lim= lim f （x0x）04兩個函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則法則 1：兩個函數(shù)的和 （

2、或差） 的導(dǎo)數(shù), 等于這兩個 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和 （或差）， 即： （ u v）u v .法則 2 ：兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù) ,等于第一個函 數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù) , 加上第一個函 數(shù) 乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即： （uv） u v uv .若 C 為常數(shù) , （Cu） C u Cu 0 Cu Cu .即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)： （Cu） Cu .法則 3 ：兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的 導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的x 0 x x 0 x說明： （1）函數(shù) f （x）在點 x 0 處可導(dǎo)，是指yyx 0 時，x有極限。如果x不存在極積再除以分母的平方：（v 0 ）。u

3、 v uv限，就說函數(shù)在點 x 0 處不可導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)。 （2） x 是自變量 x 在 x 0 處的改變量， x 0 形如 y=f （x ） 的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解求導(dǎo)回代。法時，而 y 是函數(shù)值的改變量，可以是零。 由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù) y=f （x）在點 x 0 處的導(dǎo)數(shù)的步驟：（ 1）求函數(shù)的增量 y =f（x 0 + x ）f（x 0 ）；（2）求平均變化率 y=f （x0x） f（x0 ） ；xx（3）取極限，得導(dǎo)數(shù) f（x 0 ）= lim y 。x 0 x2導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù) y=f （x）在點 x 0 處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是 曲線 y=f （x）在點 p

4、 （x 0 ，f （x 0 ）處的 切線的斜率。也就是說，曲線 y=f （x）在點 p （x 0 ，f（x 0 ）處的切線的斜率是 f（x 0 ）。/ 相應(yīng)地，切線方程為 y y 0 =f （x 0 ）（xx 0 ）。 3幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) : C 0; x nnxn 1;（sin x ） cosx ; （cosx ） sinx ; （ex ） ex ; （ ax ） ax lna ; ln x 1 ; l og a x 1 loga e 則：y| X = y | U u| X5. 單調(diào)區(qū)間： 一般地，設(shè)函數(shù) y f (x) 在 某個區(qū)間可導(dǎo)，如果 f (x) 0 ，則 f (x) 為增函數(shù)；

5、如果 f (x) 0 ，則 f (x) 為減函數(shù)；如 果在某區(qū)間內(nèi)恒有 f (x) 0 ，則 f (x) 為常數(shù)；6. 極點與極值： 曲線在極值點處切線的斜率為 0 ，極值 點處的導(dǎo)數(shù)為 0 ；曲線在極大值點左側(cè)切線 的斜率為正，右側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點左 側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正； 7最值 ：一般地，在區(qū)間 a ，b 上連續(xù)的函數(shù) f (x) 在a，b 上必有最大值與最小值。求函數(shù) ? (x) 在(a ， b)內(nèi)的極值； 求函數(shù) ? (x) 在區(qū)間端點的值 ?(a) 、?(b) ； 將函數(shù) ? (x) 的各極值與 ?(a) 、?(b) 比 較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。折線段

6、 ABC ，其中A， B，C 的坐標(biāo)分別為高考題型1.導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用例 1 （ 北京高考）如圖，函數(shù) f （ x） 的圖象是（0，4），（2，0），（6，4） ， 解 ： y / （ x a） （ 3 x 2a ，b） 由 y/ 0 得2a bx a , x，當(dāng) x a 時， y 取極大值32a b0 ，當(dāng) x 時 y 取極小值且極小值為3負(fù)故選 C或當(dāng)x b 時 y 0 ，當(dāng) x b 時，lim f 1 x f 1 x 0 x解：由圖可知 f xy 0 選 C點評:通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像的變化規(guī)律 , 也 是考試的熱點題型 .3. 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題例 5 （ 全 國 高 考 ） 已

7、 知 函 數(shù) f （ x ） x 3 ax 2 x 1， a R 2. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像例 3 （ 安 徽 高 考 ） 設(shè) a b, 函 數(shù)2y （ x a） （ x 的 b） 圖像可能是a2 33遞減遞增。x 2 2 x 3 據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義例（ 重 慶 高 考 ）已知函數(shù)f xx2 bxce x,其中 b, cR ，（）略，（）若 b24c1 , 且 lim fx c4 ，試x0x證：6b2解：2b 2 x bc e x，易知f 0c 故知 lim f 1 x f 112 x 0 xfxcxf 0x0xx0x0b c 4,所以 解得 6 b 2 b2 4 c 1 ,）討論函數(shù) f （ x

8、） 的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)函數(shù)f （ x） 在區(qū)間2，1內(nèi)是減函33數(shù)，求 a 的取值范圍解：( 1 ) f ( x ) x 3ax 2x1求導(dǎo)得2f ( x )3 x 2a x1當(dāng)2時， ，在上a 遞增；3 0f ( x)0 f ( x)R當(dāng)2求得兩根為a3f ( x)0x aa2 3 ，3即 f (x） 在 ，a a23遞增，3a 2 3 a a2 33 ， 32）因為函數(shù)f （ x） 在區(qū)間2 ， 1 內(nèi)是減2 1函數(shù)，所以當(dāng) x ， 時 f x 0 恒成3 32f 3 0 立，結(jié)合二次函數(shù)的圖像可知 解13得 a 2 點評：函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù) f x 0或 f x 0 在區(qū)間上

9、恒成立問題， 是解決這類問題的通法本題也可以由函數(shù) a a 2 3 a a2 3在 ， 上遞減，所以3 3a 32 。從而a1,1a21,a2或a32解得33a1,5a1,1或a122所以 a的取值范圍是5, 11,1 .22f x 0 ，得 x1 a, x21a1a點評：這種逆向設(shè)問方式是今后高考命題的一種趨勢，充分體現(xiàn)高考“能力立意”的思想，高考中應(yīng)高度重視。aa2 3233求解aa2 3133變式 1 】(全國高考)若函數(shù)f x133 x312 ax2 a 1x1 在區(qū)間1,46, 上是增函數(shù)，求 a 1 ，令 f x 0 得4)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究曲線的切線問例 6 (江西高考)若存

10、在過點 (1, 0) 的直線與曲線y x3 和 y ax2 145 x 9 都相切，則 a 等 于上是減函數(shù)，在區(qū)間 實數(shù) a 的取值范圍 解： f x x2 axA 1 或 - 25B 1 或21644C7 或 - 25D7 或74 644解：設(shè)過 ( 1, 0 )的直線與 yx3 相切于點所以切線方程x 1或 x a 1，結(jié)合圖像知 4 a 1 6， 故 a 5,7 3( x0 , x03 ) 為點評：本題也可轉(zhuǎn)化為 f x 0， x 1,4 恒32x03 x0 ( x x0 )成立且 f x 0， x 6, 恒成立來解即y3 x0 2 x 2x03 ，又 (1, 0) 在切線上，則變 式

11、 2 】( 浙 江 高 考 ) 已 知 函 數(shù) f ( x ) x 3 (1 a ) x 2 a ( a 2)x b ( a, b R) 若函數(shù) f ( x) 在區(qū)間 ( 1,1) 上不x0當(dāng) x00 或 x0 32 ，0 時，由 y 0 與單調(diào)，求 a 的取值范圍159 相切可得 ay ax 22564 ，當(dāng) x0解：函數(shù) f (x) 在區(qū)間f x 0(1,1)在區(qū)間根2 1( 1,1) 不單調(diào)，等價于 上有實數(shù)解，且無重 ax a a 215y ax 24 x 9 相切可得 a 1 ，所以選 A .唯一極值因此滿足條件的a 的取值范圍是，則點 P 橫坐6. 利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題點評：函數(shù)的

12、切線問題，切點是關(guān)鍵，因 為它是聯(lián)結(jié)曲線和其切線的“橋梁”， 在做題中往往需要設(shè)出切點【變式】( 遼寧高考)設(shè) P 為曲線 C ： y x 2 2 x 3 上的點，且曲線 C 在點 P 處切線傾斜角的取值范圍為 0，4標(biāo)的取值范圍為( )A 1， 1B 1，02解：由曲線 C 在點 P 處切線傾斜角的取值范圍為 0，可得曲線 C 在點 P 處切線的斜40 1y 2x2 P率范圍為，又，設(shè)點 的橫坐標(biāo) 為 x0， 則 0 2x02 1 ， 解 得1 x012 ，故選 A 5. 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值例 7 ( 天 津 高 考 ) 已 知 函 數(shù)432f ( x ) x 4 ax 3 2x 2

13、 b ( x R )， 其 中a, b R 若函數(shù) f(x)僅在 x 0處有極值， 求 a 的取值范圍解： f ( x ) x (4 x 2 3ax 4) ，顯然 x 0 不是4 x 2 3ax 4 0 成立，即有9a2 64 0 解不等式，得83 a 83 這時， f (0) b 是 83 , 83 例 8 用長為 18 cm 的鋼條圍成一個長方體 形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為 2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少 時，其體積最大？最大體積是多少？ 解：設(shè)長方體的寬為 x(m)，則長為 2x (m) ，高為h1812x4.53x(m)0x 0 對于任何實數(shù)都恒成立4 f (x )ax33x2 2 ,