天津大學(xué)最優(yōu)化歷年試題

1、精選20032008工程與科學(xué)計(jì)算歷屆試題類型1.直解法例1.用列主元素Gauss消去解下列線性方程組(結(jié)果保留5位小數(shù))0.7290X,0.8100X20.9000x30.68670.83381.00001.0000%1.0000x21.0000x31.3310%1.2100x21.1000x3例2.設(shè)線性方程組Ax b,其中A求Cond (A),并分析線性方程組是否病態(tài)2.迭代法例1.設(shè)線性方程組Axb為22x1111 x22， 022X32寫出求解線性方程組的Jacobi迭代格式，并確定當(dāng)取何值時Jacobi迭代格式收斂.例2.寫出求解線性方程組 Axb的Seidel迭代格式，并判斷所寫

2、格式的收斂性，其中Axb為3為2X362x2X382x1X22X353.插值例 1.已知.10010, 12111, . 14412,(1) 試用二次插值多項(xiàng)式計(jì)算.115的近似值(數(shù)據(jù)保留至小數(shù)點(diǎn)后第5 位)(2) 估計(jì)所得結(jié)果的截?cái)嗾`差(數(shù)據(jù)保留至小數(shù)點(diǎn)后第5位)例2.由下列插值條件X12467f (X)41011求4次Newton插值多項(xiàng)式，并寫出插值余項(xiàng).4. RungeKutta 格式例寫出標(biāo)準(zhǔn)Runge Kutta方法解初值問題y xy 2y2 sinxy(0) 1,y(0) 1的計(jì)算格式5代數(shù)精度 例1.數(shù)值求積公式形如1xf(x)dx S(x)Aof(O) Ai f (1) A

3、2 f (0) Asf (1)試確定其中參數(shù) A1,A2,A3,A4,使其代數(shù)精度盡量高，并確定代數(shù)精度例2.驗(yàn)證數(shù)值求積公式f(x)dxA)f(1 ；) Af(1) Af(1 ,：)是Gauss型求積公式.6. Romberg 方法1 j例 對積分 . 1 x2dx ,用Romberg方法計(jì)算積分的近似值，誤差不超過10 并將結(jié)果填(1 )設(shè)(x)為a,b上關(guān)于權(quán)函數(shù)(x)的n次正交多項(xiàng)式，以(x)的零點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)建立Lagrange 插值基函數(shù)li(x),b證明：(x)h(x)dxa2(x)li(x) dx, i1,2, ,n證明：設(shè)n次正交多項(xiàng)式(x)的零點(diǎn)為X1,X2,L Xn，則以這n個

4、零點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)建立的2li(x)是2n-2次多項(xiàng)式.故Lagrange插值基函數(shù)li(x), i 1,2L ,n是n-1次多項(xiàng)式,2當(dāng)f (x)取h(x)和li(x)時Gauss型求積公式(x)f (x)dxAk f(Xk)k 1等號成立，即b(x)li(x)dxnAkli (xk) A(x)l：(x)dxAJi2(xQ Ak 1則有b(x)li(x)dxa2(x)li(x) dx, i1,2, ,nb的精確解，x是(2)對線性方程組 Ax b，若A是n階非奇異陣，b 0, x*是AxAx b的近似解。記r b Ax|x xjllrll證明：打 Cond需Ax A( x x)證明：由于x*是Ax

5、b的精確解，貝U Ax b， r b Ax Ax又A是n階非奇異陣，貝U x x A 1r故卜1|陽WhA1 Ab|r|COndA b(3)初值問題 y ax b, y(0)0有解 y(x) ax2 bx ,若 xn格式解得的y(x)在x Xn處的近似值，證明：y(Xn) yn卡ahXn . 證明：記 f (x, y) ax b, f (xn, yn)fn ,且 y(0) 0 , x. nhyn 1yn hf (xn, yn)則有ynyn 1 hfn 1( yn 2hfn 2) hfn 1nh , yn 是用 EulerEuler格式為h(axo b)h(ax1 b)h(axn 1 b)hb

6、ah2hb 2ah2 hb(n 1)ah2hb豊 1ah212 1nhb 2 axn ahx bxny(Xn) yn iax2 bxn Gax： bxn 號 ahXn)今 ahxnyo hfo hf1hfn 1(4)設(shè)A Cn n為非奇異陣，試證：線性方程組Ax b的數(shù)值解可用Seidel迭代方法求證明：因?yàn)锳為非奇異矩陣，故 Ax b與ATAx ATb是同解方程組，而 A A正定，則Seidel格式收斂，即用 Seidel方法一定能求得 Ax b的解.(5)試導(dǎo)出求解初值問題y f(x, y), a x b y(a) y。的梯形格式，并證明用梯形格式解初值問題y y 0所得數(shù)值解為yy(0)

7、 1證明將y f (x, y)在Xn，Xni上積分，得y(Xni) y(Xn)xn 1xf (x,y(x)dx.將右端的積分用梯形公式計(jì)算其近似值，并用yn, yn 1分別代替y(Xn), y(Xn 1),yn 1yn 2f(Xn,yn) f(Xn1,yn1)f(x, y)y代入梯形公式y(tǒng)n 1yn月(ynYn 1),則有ynyn 1Yn)得ynyn 1yn因?yàn)?Y01,yn(6)設(shè) fC4Xo,X2 ,hX22X。X1Xoh，證明f (X1)!f(Xo)2f(xJ 匕)hj12(4)(),(Xo,X2)證明：f (x)的一次Lagrange插值多項(xiàng)式及余項(xiàng)形式為(XX1)( Xx2)(xxo

8、)(xx1)(xXo)( Xxjf(x) f(Xo)12f(X1) o f(X2)o 1 (XoX1)(Xo X2)(X1Xo)(X1X2)(X2Xo)(X2 X1)f ；)(X Xo )(x X1)(X X2),(Xo,X2)其二階導(dǎo)數(shù)為f (x)f (Xo)f (Xi)f (X2)(XoXi)(XoX2)(XiXo)(XiX2)(X2Xo )(X2Xi)f( 2)- 、-、2f(4)( i)I! 屮(X3!(X xo)(x Xi )(x X2)Xo)(XXi)(XX2),4!注意到hX2Xo2xoh，有f (Xi)f (Xo-fy2hf(I)()-oI!22f(4)( i)f (Xi)f (X2)4!(h2) f ()3!f (Xi )f(xo) 2f(Xi)f%)i2(4)(),(7)證明求積公式20 f(x)dx5f(13)89f(1)If(13)是穩(wěn)定的.(8)設(shè)初值問題y f (x, y) y(a) y。b中的證明：格式h甘yn i yn -(Ki4Ki f (Xn,yn)2Kn f (Xn -h, yn33&)餌)(x xo)(x xi)( x