圓的知識點總結及典型例題

1、圓章節(jié)知識點復習、圓的概念集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合;3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念:1、圓：至U定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；（補充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）3 、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；4 、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；、點與圓的位置關系5 、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平

2、行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。1、點在圓內(nèi)2、點在圓上3、點在圓外d r點C在圓內(nèi);dr點B在圓上;dr點A在圓外;三、直線與圓的位置關系-1 -1、直線與圓相離3、直線與圓相交d r無交點；2、直線與圓相切d r有一個交點;d r有兩個交點；外離（圖郢1）無交點dRr ;相交（圖郢3）有兩個交點Rrd R r ；內(nèi)含（圖郢5）無交點dRr ;外切（圖2）有一個交點d R r ；內(nèi)切（圖4）有一個交點d R r ；五、垂徑定理 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論1: (1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；(2) 弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平

3、分弦所對的兩條??；(3) 平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧-3 -即:以上共4個定理,簡稱2推3定理：此定理中共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論,AB是直徑ABCD CE DE弧BC 弧BD弧AC 弧AD中任意2個條件推出其他3個結論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即:在O O中，T AB / CD弧 AC 弧 BD六、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個結論中，只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的 3個結論，即： AOB DOE : AB DE ;OC

4、OF ；弧BA 弧BD七、圓周角定理1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即： AOB和 ACB是弧AB所對的圓心角和圓周角 AOB 2 ACB2、圓周角定理的推論：EOAD推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧;即：在O O中， C、D都是所對的圓周角 C D推論2 :半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。即：在O O中， AB是直徑或T C 90C 90- AB是直徑-7 -CAB推論3:若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。即：在 ABC 中， OC OA OB AB

5、C是直角三角形或 C 90注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜 邊的一半的逆定理。在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.八、圓內(nèi)接四邊形 圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，外角等于它的內(nèi)對角。即:在O O中，四邊形 ABCD是內(nèi)接四邊形 C BAD 180 B D 180 DAE C九、切線的性質(zhì)與判定定理(1) 切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線； 兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即： MN OA且MN過半徑0A外端 MN是O 0的切線(2 )性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑(如上圖)推論1：過圓

6、心垂直于切線的直線必過切點。推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理: 即：過圓心；過切點；垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。十、切線長定理切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即： PA、PB是的兩條切線DBP0平分 BPAI一、圓幕定理(1) 相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。即：在O 0中，弦AB、CD相交于點P ,PA PB PC PD(2 )推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。即：在O O 中，直徑 AB CD , C

7、E2 AE BE(3)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線， 切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。即：在O O中，T PA是切線，PB是割線EBPA2 PC PB(4) 割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等(如上圖) 即：在O O中， PB、PE是割線PC PB PD PE十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦。如圖：O1O2垂直平分 AB 。即：TO Oi、O O2相交于A、B兩點- O1O2垂直平分AB十三、圓的公切線兩圓公切線長的計算公式：(1)公切線長:Rt O1O2C 中，AB2 C

8、O； . OQ22 CO22 ;(2 )外公切線長： CO2是半徑之差；內(nèi)公切線長：CO2是半徑之和十四、圓內(nèi)正多邊形的計算(1 )正三角形C0102COD在O O中 ABC是正三角形，有關計算在 Rt BOD中進行OD : BD :OB 1: .3:2 ；(2 )正四邊形同理，四邊形的有關計算在 Rt OAE中進行，OE:AE:OA 1:1:2 :(3 )正六邊形同理，六邊形的有關計算在 Rt OAB中進行，AB :OB :OA 1: 3:2 .卜五、扇形、圓柱和圓錐的相關計算公式1、扇形：（1）弧長公式：I180（2）扇形面積公式:n R2-IR360n :圓心角 R :扇形多對應的圓的半

9、徑I :扇形弧長 S ：扇形面積AB-10 -(2)圓柱的體積：Vr 2h(2)圓錐側面展開圖(1)S表Sfts底 =Rrr2(2)圓錐的體積：V1 r 2. r h32、圓柱:（1 ）圓柱側面展開圖S表s側2S底=2 rh 2 r2典型例題例1 兩個同樣大小的肥皂 泡黏在一起，其剖面如圖 1所示（點O, 0是圓心），分隔兩個肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直線，TP、NP分別為兩圓的切線，求 / TPN的大小.例2如圖，AB為O O直徑，E是Be中點，OE交BC于點D, BD=3 , AB=10，則AC=例3.如圖，O O的直徑為10,圓心O到弦AB的距離OM的長為3,則弦AB的長是（）例4.如圖，

10、在O O中，AB、CD是兩條弦，0E丄AB , OF丄CD，垂足分別為 EF.(1)如果/ AOB= / COD，那么0E與OF的大小有什么關系？為什么？(2)如果oe=of，那么Ab與Cd的大小有什么關系？ ab與cd的大小有什么關系？ /為什么？/ aob與/ COD呢？例5.如圖3和圖4, MN是O O的直徑，弦 AB、CD/相交于 MNE上的一點 P, ZZ APM= / CPM .(1) 由以上條件，你認為 AB和CD大小關系是什么，請說明理由.(2) 若交點P在O 0的外部，上述結論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由.例6如圖，點 0是Z ABC的內(nèi)切圓的圓心，若 /

11、 BAC=80，貝U / BOC=()A . 130 B . 100 C. 50 D . 65 例7.如圖，AB為ZO的直徑，C是ZO上一點，D在AB的延長線上，且 Z DCB/A(1) CD與ZO相切嗎？如果相切，請你加以證明，如果不相切，請說明理由.(2) 若CD與ZO相切，且 Z D=30 , BD=10，求ZO的半徑.A例8.如圖所示，點 A坐標為(0, 3) , OA半徑為1,點B在x軸上.(1) 若點B坐標為(4, 0), ZB半徑為3,試判斷/A與/B位置關系;(2) 若/ B過M (- 2, 0)且與ZA相切，求B點坐標.例9.如圖，已知正六邊形 ABCDEF，其外接圓的半徑是

12、 a, /求正六邊形的周長和面積.例10.在直徑為AB的半圓內(nèi)，劃出一塊三角形區(qū)域，如圖所示，使三角形的一邊為 AB ,頂點C在半圓圓周上， 其它兩邊分別為 6和8,現(xiàn)要建造一個內(nèi)接于 / ABQ的矩形水池 DEFN，其中D、E在AB上，如圖24-94的 設計方案是使AC=8 , BC=6 .(1)求/ ABC的邊AB上的高h. (2 )設DN=x，且h DN 出，當x取何值時，水池 DEFN的面積最大？h AB(3) 實際施工時，發(fā)現(xiàn)在AB上距B點1 .85的M處有一棵大樹，問：這棵大樹是否位于最大矩形水池的邊上？ 如果在，為了保護大樹，請設計出另外的方案，使內(nèi)接于滿足條件的三角形中欲建的最

13、大矩形水池能避開大樹.-17 -例11.操作與證明：如圖所示，0是邊長為a的正方形ABCD的中心，將一塊半徑足夠長，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在 0處，并將紙板繞 0點旋轉，求證：正方形 ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a.例12.已知扇形的圓心角為120,面積為300 cm2.(1 )求扇形的弧長；(2)若將此扇形卷成一個圓錐，則這個圓錐的軸截面面積為多少?AP ,例13、如圖，AB是/O的直徑，BC是弦，OD ZBC于E,交BC于D .(1)請寫出五個不同類型的正確結論；(2)若BC=8 , ED = 2,求/O的半徑.例14已知：如圖等邊 ABC內(nèi)接于/O,點P是劣弧PC上的

14、一點(端點除外)，延長BP至D，使BD連結CD .(1)若AP過圓心O，如圖厶請你判斷 PDC是什么三角形？并說明理由.圖D圖(2)若AP不過圓心O，如圖Z, PDC又是什么三角形？為什么?例15.如圖，四邊形 ABCD內(nèi)接于/O, BD是/0的直徑，AE CD，垂足為E , DA平分 BDE .(1)求證：AE是/0的切線；(2 )若 DBC 30, DE 1cm，求 BD 的長.EO例16、如圖，已知在 /0中，AB= 4.3 , AC是/0的直徑，AC/ BD 于F, / A=30(1) 求圖中陰影部分的面積；(2) 若用陰影扇形 OBD圍成一個圓錐側面，請求出這個圓錐的底面圓的半徑例1

15、7.如圖，從一個直徑是 2的圓形鐵皮中剪下一個圓心角為90的扇形.(1) 求這個扇形的面積(結果保留 ).(2) 在剩下的三塊余料中，能否從第/塊余料中剪出一個圓作為底面與 此扇形圍成一個圓錐？請說明理由.(3) 當/ 0的半徑R(R 0)為任意值時，(2)中的結論是否仍然成立？請說明理由.例18.(1)如圖OA、OB是/O的兩條半徑，且OA OB，點C是OB延長線上任意一點： 過點C作CD切/O 于點D，連結AD交DC于點E.求證：CD=CE若將圖中的半徑 OB所在直線向上平行移動交 OA于F,交/O于B,其他條件不變，那么上述結論CD=CE 還成立嗎？為什么？CF的交點，其他條件若將圖中的

16、半徑 OB所在直線向上平行移動到 ZO外的CF,點E是DA的延長線與CD=CE還成立嗎？為什么例19、( 2010山東德州)如圖，在 / ABC中，AB=AC , D是BC中點，AE平分/BAD交BC于點E,點O是AB上一點，ZO過A、E兩點，交AD于點G,交AB于點F.DEAFO(1) 求證：BC與/O相切；(2) 當/ BAC=120時，求/ EFG的度數(shù).例20、(2010廣東廣州)如圖，O O的半徑為1，點P是O O上一點，弦AB垂直平分線段 OP，點D是ApB上任一點(與端點 A、B不重合)，DE丄AB于點E,以點D為圓心、DE長為半徑作O D，分別過點A、B作CPDEOO D的切線

17、，兩條切線相交于點 C.(1) 求弦AB的長；(2) 判斷/ ACB是否為定值，若是，求出/ ACB的大?。环駝t，請說明理由;(3) 記厶ABC的面積為S,若洼 =4 3，求 ABC的周長.DE例21.(2010江西)“6”形圖中，F(xiàn)M是大圓的直徑，BC與大圓相切于 B, 0B與小圓相交于 A, BC/ AD , CD ZBH/FM,BC ZDG , DH ZBH 于 H，設 FOB , OB 4, BC(1) 求證：AD是小圓的切線；(2) 在圖中找出一個可用表示的角，并說明你這樣表示的理由;(3) 當 30，求DH的長例22. (2010江蘇泰州，28, 12分)在平面直角坐標系中，直線y kx b (k為常數(shù)且0)分別交x軸、y軸于點A、B,O O半徑為5個單位長度.如圖甲，若