第四章 數(shù)據(jù)的概括性度量

1、第四章 數(shù)據(jù)的概括性度量 （統(tǒng)計指標） 本章內容 第一節(jié) 總量指標 第二節(jié) 相對指標 第三節(jié) 平均指標（集中趨勢度量） 第四節(jié) 離散指標（離散程度度量） 2 補充 第一節(jié) 總量指標 一、總量指標的概念和作用 二、總量指標的種類 三、國民經(jīng)濟的主要總量指標 3 一、總量指標的概念和作用 1、定義 反映客觀現(xiàn)象在一定時間、地點、條件下的總規(guī)?；蚩偹降慕y(tǒng)計指標。用 絕對數(shù)表示。 2、特點 總量指標的大小和總體范圍的大小成正比； 總量指標通過相加得到； 只有有限總體才能計算總量指標。 3、總量指標的作用 是認識總體的起點； 是進行經(jīng)營管理的依據(jù)； 是計算相對指標和平均指標的基礎。 4 5 6 二、總

2、量指標的種類 7 按反映總體的內容分 按反映的時間狀態(tài)分 按計量單位分 總體單位總量 總體標志總量 時期總量指標 時點總量指標 實物指標 價值指標 按反映總體的內容 總體單位總量 總體單位數(shù)的匯總 總體標志總量 總體各單位數(shù)量標志值的匯總 8 一個總量指標是總體標志總量還是總體單位總量不是固定不變的，而是 隨著研究目的的不同而變化。 以職工人數(shù)為例說明： A、研究全國工業(yè)企業(yè)的基本情況 B、研究全國工業(yè)職工的基本情況 9 A、全國工業(yè)企業(yè)的基本情況 總體： 全國所有的工業(yè)企業(yè) 總體單位： 每一個工業(yè)企業(yè) 這時總體單位總數(shù)即為總體單位總量 說明總體單位的標志有許多，工業(yè)企業(yè)的 職工人數(shù)就是一個，

3、將各個企業(yè)的職工人 數(shù)相加，所得的職工人數(shù)之和即為標志總 量。 B、全國工業(yè)企業(yè)職工基本情況 總體： 所有的職工 總體單位：每一個職工 這時總體單位總量為所有的職工總數(shù) 說明總體單位的標志由許多，職工的工資 即為一個，將各個職工的工資額相加，所 得的工資總額即為總體標志總量 舉例： 某地區(qū)40個工業(yè)企業(yè)，職工人數(shù)為8萬人，工業(yè)總產(chǎn)值為4.5億元，在研究工 業(yè)企業(yè)職工分布和勞動生產(chǎn)率時（ ） A.40個企業(yè)既是標志總量又是單位總量 B.8萬人既是標志總量又是單位總量 C.4.5億元既是標志總量又是單位總量 D.每個企業(yè)的產(chǎn)值既是標志總量又是單位總量 10 目的1：研究工業(yè)企業(yè)職工分布（平均每個企

4、業(yè)有多少人） 總體：所有的工業(yè)企業(yè) 總體單位：每一個工業(yè)企業(yè) 單位總量：工業(yè)企業(yè)總數(shù)（40個企業(yè)） 標志總量：每一個企業(yè)人數(shù)的匯總（ 8萬人） 目的2：研究工業(yè)企業(yè)的勞動生產(chǎn)率（每一個工人提供的勞動價值為多少 ） 總體：所有的工人 總體單位：每一個工人。 單位總量：工人數(shù)的匯總（ 8萬人） 標志總量：每一個工人創(chuàng)造的產(chǎn)值總和（ 4.5億元） 11 按反映時間狀況不同分： 時期指標：反映總體在某一段時期內活動過程的總量指標。 時點指標：反映總體在某一瞬間上狀況的總量指標。 12 時期指標和時點指標的區(qū)別： 時期指標連續(xù)調查得到，時點指標一次性調查得到 時期指標相加有意義，時點指標相加無意義 時期

5、指標的大小受時期長短影響，時點指標的大小則和時間 的長短無關 3、按計量單位不同分 （1）實物指標 表明事物使用價值的指標，采用實物計量單位直接反映事物的自然屬性和 特點。 自然單位：人、輛； 度量衡單位：千克、噸 雙重單位：千瓦/臺； 復合單位：噸公里 （2）價值指標 表明事物價值的總量指標，一般以貨幣為計量單位進行計量。 現(xiàn)行價； 不變價 13 三、我國國民經(jīng)濟的主要總量指標 總產(chǎn)值：生產(chǎn)資料轉移價值加勞動者新創(chuàng)造的價值。 增加值：企業(yè)或部門在一定時期內從事生產(chǎn)經(jīng)營活動所增加的價值。 增加值=總產(chǎn)值-中間投入 國內生產(chǎn)總值(GDP)：即各個單位的增加值合計 國民生產(chǎn)總值(國民總收入，GNP

6、或GNI) ： 國民總收入=國內生產(chǎn)總值+國外要素收入凈額 14 第二節(jié) 相對指標 一、相對指標的概念和作用 二、相對指標的種類和計算方法 三、正確運用相對指標的原則 15 一、相對指標的概念和作用 概念 ：相對指標是兩個有聯(lián)系的統(tǒng)計指標值對比的比率。 作用： 反映現(xiàn)象的相對水平，表明現(xiàn)象發(fā)展的過程和程度； 綜合反映現(xiàn)象之間的比例關系或聯(lián)系程度； 使不能直接對比的事物過渡到可以比較。 16 無名數(shù)無名數(shù) 有名數(shù)有名數(shù) 用倍數(shù)、系數(shù)、成數(shù)、等表示 用雙重計量單位表示的復名數(shù) 相對指標的表現(xiàn)形式 成數(shù)應當用整數(shù)的形式來表述 3成、近7成 8.6成 分母分母 為為1 分母為分母為 1.00 分母分母

7、 為為10 分母分母 為為100 分母為分母為 1000 人/平方公里元/人 二、相對指標的種類和計算方法 計劃完成程度相對指標 結構相對指標 比例相對指標 比較相對指標 強度相對指標 動態(tài)相對指標 18 計劃完成程度相對指標 1.定義: 指在某一時期某一個指標實際的完成數(shù)與計 劃完成數(shù)的對比關系。 2.計劃完成相對數(shù)的一般公式 19 %100 計劃數(shù) 實際完成數(shù) 計劃完成相對數(shù) 3.計劃完成相對數(shù)的計算 計劃數(shù)是計劃完成相對數(shù)的基數(shù) 基數(shù)可以是絕對數(shù)（總量指標）、相對數(shù)、也可以是平均數(shù)。 具體計算時，在形式上有一定的差異。 20 根據(jù)總量指標和平均指標計算 總量指標： 某廠計劃完成工業(yè)增加值

8、200萬元，實際完成220萬元，則： 即：超額完成計劃的10% ）計劃規(guī)定總量（平均數(shù) ）實際完成總量（平均數(shù) 21 %110%100 200 220 計劃完成相對數(shù) 計劃完成相對數(shù) 平均指標： 某廠產(chǎn)品，計劃單位成本為200元，實際耗用180元， 則： 即：超額完成計劃的10% %09%100 200 018 數(shù)單位成本計劃完成相對 根據(jù)相對指標計算 例：某廠計劃2010年勞動生產(chǎn)率要比上年提高4%，實際提高5%，則 計劃規(guī)定的百分數(shù) 實際達到的百分數(shù) 22 %96.100%100 %4%100 %5%100 計劃完成相對數(shù) 即：超額0.96%完成計劃。 計劃完成相對數(shù) 例：某企業(yè)計劃產(chǎn)品單

9、位成本比上年降低5%，實際降低6%，則 23 %95.98%100 %5%100 %6%100 計劃完成相對數(shù) 即：成本降低率比計劃多完成1.05%。 4、計劃完成程度相對數(shù)應注意的問題 分子、分母屬于一個總體 分子、分母表現(xiàn)形式不同 分子：實際數(shù)時期結束時確定的 分母：計劃數(shù)事先確定的 分子、分母不能顛倒 以百分數(shù)%表現(xiàn)形式 24 結構相對指標 定義 總體內某一部分數(shù)值與總體全部數(shù)值對比的比值，反映總體內部的構 成和類型特征。 25 %100 總體全部數(shù)值 總體部分數(shù)值 結構相對數(shù) 26 計算： 3、結構相對數(shù)應注意的問題 結構相對指標之和等于1或100%； 分子、分母同屬于一個總體，但關系

10、不同。表現(xiàn)為總體的一部分同 總體的關系； 分子、分母是不能顛倒的； 用表示。 27 比例相對指標 定義 也稱協(xié)調相對數(shù)，是將總體內某一部分數(shù)值與另一部分數(shù)值對比得 到的相對數(shù)，說明某一現(xiàn)象在同一時期內不同條件下的數(shù)量對比關系 。 計算： 在上例中某班男女生比例為3：1。 28 %100 總體中另一部分數(shù)值 總體中某部分數(shù)值 比例相對數(shù) 例：某地區(qū)三次產(chǎn)業(yè)的GDP（億元）資料如下： 某地區(qū)三次產(chǎn)業(yè)的某地區(qū)三次產(chǎn)業(yè)的GDPGDP（億元）資料如下：（億元）資料如下： 三次產(chǎn)業(yè)三次產(chǎn)業(yè) 第一產(chǎn)業(yè)第一產(chǎn)業(yè) 第二產(chǎn)業(yè)第二產(chǎn)業(yè) 第三產(chǎn)業(yè)第三產(chǎn)業(yè) 合計合計 GDPGDP（億元）（億元） 300300 5005

11、00 200200 10001000 29 三次產(chǎn)業(yè)的比例關系：第一產(chǎn)業(yè)：第二產(chǎn)業(yè)：第三產(chǎn)業(yè) 300：500：2003：5：21.5:2.5:1 3、比例相對數(shù)應注意的問題 分子、分母同屬于一個總體； 關系：部分與部分的關系； 分子、分母可以顛倒； 計量單位為百分數(shù)、小數(shù)或連比的形式如：m：n 或 m：n：l 30 比較相對指標 定義： 不同總體的同一指標值的對比關系；用于反映事物之間的差別程度。 31 %100 另一總體同類指標數(shù)值 某一總體某類指標數(shù)值 比較相對數(shù) 中國國土面積為960萬平方公里，美國為937萬平方公里，兩者之比 為 %45.102%100 937 960 32 3、比較相

12、對數(shù)應注意的問題 分子、分母屬于兩個總體，時間上一致，指標相同； 分子、分母可以顛倒； 數(shù)值較小時用表示，數(shù)值較大時用倍數(shù)表示。 33 強度相對指標 1、定義：它是兩個性質不同，但有聯(lián)系的總量指標的對比，用以表明現(xiàn)象的強 度、密度和普遍程度。 人口密度密集程度 每千人擁有的汽車數(shù)發(fā)展普及程度 人均GDP發(fā)展的強度 用公式表示為： 34 %100 的總量指標數(shù)值另一有聯(lián)系而性質不同 某一總量指標數(shù)值 強度相對數(shù) 舉例 1998年末我國人口密度 2010年末我國人口密度 35 平方公里人 萬平方公里 萬人 /130 960 124810 133972 140/ 960 萬人 人 平方公里 萬平方公

13、里 2、注意的問題 分子、分母屬于兩個總體、且指標不相同； 有些強度相對數(shù)的分子、分母可以顛倒； 有具體的計量單位 有的用有名數(shù)表示，且為復合名數(shù)。 如：人口密度為：人平方公里，人均GDP為：元人 有的用無名稱數(shù)表示 如：流通費率用表示 有平均的涵義，但不是平均數(shù)。（具體區(qū)別平均數(shù)中介紹。） 強度相對指標的正指標和逆指標 有些強度相對指標的分子、分母可以互換，由此產(chǎn)生正指標和逆指標。 36 流通費用率指標： 流通費用率費用額銷售額13.5（或元百元） 表明：每百元銷售額所負擔的費用額為13.5元。該指標越小越 好，為逆指標。 流通費用率銷售額 / 費用額1000（或元百元） 表明：每百元費用額

14、所創(chuàng)造的銷售額是1000元。該指標越大 越好，為正指標。 商業(yè)網(wǎng)點密度指標： （正）商業(yè)網(wǎng)點數(shù)（個）人口數(shù)（千人） （負）人口數(shù)（千人）商業(yè)網(wǎng)點數(shù)（個） 37 動態(tài)相對指標 定義:將總體不同時期的同一類指標對比而 計算的比值。 38 %100 基期水平 報告期水平 動態(tài)相對數(shù) 報告期：是指所要研究的那個時期； 基期：是指用以對比基礎的那個時期。 %117%100 基期水平 報告期水平 動態(tài)相對數(shù) 39 某市2010年1-3季度工業(yè)總產(chǎn)值同比增幅17% 例：某企業(yè)2002年工業(yè)總產(chǎn)值1000萬元，2003年工業(yè)總產(chǎn)值1100萬元，2004年工 業(yè)總產(chǎn)值1200萬元。 2004年比2003年工業(yè)總

15、產(chǎn)值變動情況如何？ 2004年比2002年工業(yè)總產(chǎn)值變動情況如何？ 2003年比2002年工業(yè)總產(chǎn)值變動情況如何？ 解： ， 40 %110%100 1000 1100 )3( %120%100 1000 1200 )2( %09.109%100 1100 1200 ) 1 ( 即分別增長了9.09%、20和10。 2、注意問題 分子分母不能交換； 分子分母屬不同時期（動態(tài)）； 分子分母屬于同一個總體； 計量單位為百分數(shù)或小數(shù)。 41 三、正確運用相對指標的原則 注意可比性 總量指標和相對指標結合起來使用（例子） 多種相對指標結合使用 42 43 不同時期 比 較 動 態(tài) 相對數(shù) 強 度 相

16、對數(shù) 不同現(xiàn)象 比較 不同總體 比較 比 較 相對數(shù) 同一總體中 部分與部分 比 較 部分與總體 比 較 實際與計劃 比 較 比 例 相對數(shù) 結 構 相對數(shù) 計劃完成 相對數(shù) 同一時期比較 同類現(xiàn)象比較 六種相對指標的對比 甲地區(qū)2010年計劃GDP為120億元，年平均人口為600萬人，2010年 GDP第一、第二、第三產(chǎn)業(yè)情況如下表,又知甲地區(qū)2009年GDP為122億 元，乙地區(qū)2010年的GDP為150億元，試計算所有的相對指標。 項目 計劃數(shù) 實際數(shù) GDP 120 132 第一 10 12 第二 65 73 第三 45 47 44 經(jīng)過第三章的整理和顯示后，對數(shù)據(jù)分布的形狀和特征有了

17、大致的了解。 為了更加準確的了解數(shù)據(jù)分布的特征和規(guī)律，需要找到反映數(shù)據(jù)分布特征的 各個代表值。 反映數(shù)據(jù)分布的特征值有三類： 一類是分布的集中趨勢，反映各數(shù)據(jù)向平均值靠攏的程度。分為：數(shù)值平 均數(shù)和位置平均數(shù)。 一類是分布的離中趨勢（離散狀況），反映各數(shù)據(jù)遠離平均值的程度。 一類是分布的偏態(tài)和峰態(tài)，反映數(shù)據(jù)分布形狀。 45 數(shù)據(jù)分布的特征 第三節(jié) 集中趨勢的度量 （平均指標） 一、分類數(shù)據(jù)：眾數(shù) 二、順序數(shù)據(jù)：中位數(shù) 三、數(shù)值型數(shù)據(jù)：平均數(shù) 四、 眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較 （位置平均數(shù)） （數(shù)值平均數(shù)） 集中趨勢 (CENTRAL TENDENCY) 一組數(shù)據(jù)向其中心值靠攏的傾向和程度 測度

18、集中趨勢就是尋找數(shù)據(jù)水平的代表值或中心值 不同類型的數(shù)據(jù)用不同的集中趨勢測度值 低層次數(shù)據(jù)的測度值適用于高層次的測量數(shù)據(jù)，但高層次數(shù)據(jù)的測 度值并不適用于低層次的測量數(shù)據(jù) 48 一、眾數(shù)(MODE) 一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值 適合于數(shù)據(jù)量較多時使用 不受極端值的影響 一組數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)或有幾個眾數(shù) 主要用于分類數(shù)據(jù)，也可用于順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù) 眾數(shù) (不惟一性) 無眾數(shù) 原始數(shù)據(jù): 10 5 9 12 6 8 一個眾數(shù) 原始數(shù)據(jù): 6 5 9 8 5 5 多于一個眾數(shù) 原始數(shù)據(jù): 25 28 28 36 42 42 （一）分類數(shù)據(jù)的眾數(shù) (例題分析) 飲料品牌飲料品牌頻數(shù)頻數(shù)比例比例

19、 百分比百分比 (%) 可口可樂可口可樂 加多寶涼茶加多寶涼茶 百事可樂百事可樂 匯源果汁匯源果汁 露露露露 15 11 9 6 9 0.30 0.22 0.18 0.12 0.18 30 22 18 12 18 合計合計501100 解：這里的變量為“飲料品 牌”，這是個分類變量，不 同類型的飲料就是變量值 所調查的50人中，購買可 口可樂的人數(shù)最多，為15人 ，占總被調查人數(shù)的30%， 因此眾數(shù)為“可口可樂”這 一品牌，即 Mo可口可樂 （二）順序數(shù)據(jù)的眾數(shù) (例題分析) 解：這里的數(shù)據(jù)為順序數(shù)據(jù) 。變量為“回答類別” 甲城市中對住房表示不 滿意的戶數(shù)最多，為108戶 ，因此眾數(shù)為“不滿意

20、”這 一類別，即 Mo不滿意 回答類別回答類別 甲城市甲城市 戶數(shù)戶數(shù) (戶戶)百分比百分比 (%) 非常不滿意非常不滿意 不滿意不滿意 一般一般 滿意滿意 非常滿意非常滿意 24 108 93 45 30 8 36 31 15 10 合計合計300100.0 價格（元） 銷售量（公斤） 2.00 20 2.40 60 3.00 140 4.00 80 眾數(shù)為：3.00元 53 眾數(shù)是數(shù)列中出現(xiàn)次數(shù)最多的標志值 例如變量數(shù)列中的單項式數(shù)列 （三）單項式數(shù)列中的眾數(shù) （四）組距式數(shù)列中的眾數(shù) 先確定眾數(shù)所在的組，然后用公式計算。 公式分上限公式和下限公式。舉例： 54 下限公式： 上限公式： d

21、 ffff ff L 1mm1mm 1mm 21 1 0 dLM d ffff ff U 1mm1mm 1mm 21 2 0 dUM 其中: L 為眾數(shù)所在組的下限；U 為眾數(shù)所在組的上限 fm 為眾數(shù)所在組的頻數(shù)； fm-1為眾數(shù)所在組的前一組的頻數(shù) fm+1為眾數(shù)所在組的后一組的頻數(shù) 55 眾數(shù)的確定 （組距數(shù)列） 【例B】某車間50名工人月產(chǎn)量的資料如下： 月產(chǎn)量（件）月產(chǎn)量（件） 200以下以下 200400 400600 600以上以上 合計合計 工人人數(shù)（人）工人人數(shù)（人） 3 7 32 8 50 向上累計次數(shù)向上累計次數(shù) （人）（人） 3 10 42 50 計算該車間工人月產(chǎn)量的

22、眾數(shù)。 X f dLM o 21 1 件502200 2425 25 400 o M 眾數(shù)的原理及應用 VAR 00001 174.0 173.0 172.0 171.0 170.0 169.0 168.0 167.0 166.0 165.0 164.0 163.0 162.0 161.0 160.0 159.0 158.0 157.0 156.0 155.0 154.0 153.0 152.0 14 12 10 8 6 4 2 0 Std. Dev = 4.86 Mean = 163.3 N = 83.00 83名女生身高原始數(shù)據(jù)名女生身高原始數(shù)據(jù) VAR 00001 173.0170.01

23、67.0164.0161.0158.0155.0152.0 30 20 10 0 Std. Dev = 4.86 Mean = 163.3 N = 83.00 83名女生身高組距數(shù)列名女生身高組距數(shù)列 o M 當數(shù)據(jù)分布存在明顯的集中趨勢，且有顯著的極端值時，適合使用眾數(shù)； 當數(shù)據(jù)分布的集中趨勢不明顯或存在兩個以上分布中心時，不適合使用眾數(shù)（前者 無眾數(shù)，后者為雙眾數(shù)或多眾數(shù)，也等于沒有眾數(shù)）。 眾數(shù)的原理及應用 二、中位數(shù)(MEDIAN) 排序后處于中間位置上的值 不受極端值的影響 主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于分類數(shù)據(jù) 中位數(shù) (位置和數(shù)值的確定) 位置確定 數(shù)值確定 （一

24、）順序數(shù)據(jù)的中位數(shù) (例題分析) 解：中位數(shù)的位置為 (300+1)/2150.5 從累計頻數(shù)看，中位數(shù)在“ 一般”這一組別中 中位數(shù)為 Me=一般 回答類別回答類別 甲城市甲城市 戶數(shù)戶數(shù) (戶戶)累計頻數(shù)累計頻數(shù) 非常不滿意非常不滿意 不滿意不滿意 一般一般 滿意滿意 非常滿意非常滿意 24 108 93 45 30 24 132 225 270 300 合計合計300 （二）數(shù)值型數(shù)據(jù)的中位數(shù) (9個數(shù)據(jù)的算例) 【例】 9個家庭的人均月收入數(shù)據(jù) 原始數(shù)據(jù): 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 108

25、0 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 中位數(shù) 1080 數(shù)值型數(shù)據(jù)的中位數(shù) (10個數(shù)據(jù)的算例) 【例】：10個家庭的人均月收入數(shù)據(jù) 排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （三）單項式數(shù)列 先將變量值排序，并將次數(shù)進行累計，以確定中 位數(shù)的位置。 中位數(shù)的位置可用近似公式確定： 舉例： 64 2 f 【例8】某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下： 日產(chǎn)量（件）日產(chǎn)量（件） 10 11 12 13 14 合計合計 工人人數(shù)（人）工人人數(shù)（

26、人） 70 100 380 150 100 800 向上累計次數(shù)向上累計次數(shù) （人）（人） 70 170 550 700 800 X f 計算該企業(yè)該日全部工人日產(chǎn)量的中位數(shù)。 中位數(shù)的位次：中位數(shù)的位次： 5.400 2 1800 e M 中位數(shù)的確定 （單值數(shù)列） 下限公式： 上限公式： 66 e e e e M M M Me d f S f LM 1 2 e e e e M M M Me d f S f UM 1 2 （四）組距式數(shù)列 A、先將次數(shù)進行累計 B、確定中位數(shù)所在的組：用 確定 C、計算中位數(shù)的近似值 2 f 中位數(shù)的確定 （組距式數(shù)列） 【例9】某車間50名工人月產(chǎn)量的資料

27、如下： 月產(chǎn)量（件）月產(chǎn)量（件） 200以下以下 200400 400600 600以上以上 合計合計 工人人數(shù)（人）工人人數(shù)（人） 3 7 32 8 50 向上累計次數(shù)向上累計次數(shù) （人）（人） 3 10 42 50 計算該車間工人月產(chǎn)量的中位數(shù)。 X f d f S f LM m m e 1 2 件75.493400600 32 10 2 50 400 e M 四分位數(shù) (QUARTILE) 排序后處于25%和75%位置上的值 不受極端值的影響 計算公式 順序數(shù)據(jù)的四分位數(shù) (例題分析) 解：QL位置= (300)/4 =75 QU位置 =(3300)/4 =225 從累計頻數(shù)看， QL在

28、“不 滿意”這一組別中； QU在 “一般”這一組別中 四分位數(shù)為 QL = 不滿意 QU = 一般 回答類別回答類別 甲城市甲城市 戶數(shù)戶數(shù) (戶戶)累計頻數(shù)累計頻數(shù) 非常不滿意非常不滿意 不滿意不滿意 一般一般 滿意滿意 非常滿意非常滿意 24 108 93 45 30 24 132 225 270 300 合計合計300 數(shù)值型數(shù)據(jù)的四分位數(shù) (9個數(shù)據(jù)的算例) 【例】：9個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)(4種方法計算) 原始數(shù)據(jù): 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 20

29、00 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 三、平均數(shù)(MEAN) 也稱為均值 集中趨勢的最常用測度值 一組數(shù)據(jù)的均衡點所在 體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的必然性特征 易受極端值的影響 有簡單平均數(shù)和加權平均數(shù)之分 根據(jù)總體數(shù)據(jù)計算的，稱為平均數(shù)，記為；根據(jù)樣本數(shù) 據(jù)計算的，稱為樣本平均數(shù)，記為x （一）算術平均數(shù) 1.簡單算術平均數(shù) 2.加權算術平均數(shù) 72 1、簡單算術平均數(shù) (SIMPLE MEAN) 設一組數(shù)據(jù)為：x1 ，x2 ， ，xn (總體數(shù)據(jù)xN) 樣本平均數(shù) 總體平均數(shù) 2、加權算術平均數(shù) (WEIGHTED MEAN) 設各組的組中值為：M1 ，M2 ， ，Mk 相應的頻數(shù)為： f1

30、 ， f2 ， ，fk 樣本加權平均 總體加權平均 加權平均數(shù) (例題分析) 按銷售量分組按銷售量分組組中值組中值(Mi)頻數(shù)頻數(shù)(fi)Mi fi 140150 150160 160170 170180 180190 190200 200210 210220 220230 230240 145 155 165 175 185 195 205 215 225 235 4 9 16 27 20 17 10 8 4 5 580 1395 2640 4725 3700 3315 2050 1720 900 1175 合計合計12022200 算術平均數(shù)和強度相對數(shù)的區(qū)別： 分子分母的關系不同； 算術

31、平均數(shù)是在一個總體內標志總量和單位總量的比例關系。分子、分母有一 一對應的關系。 強度相對數(shù)的分子和分母是兩個不同總體的的總量指標，不存在各個標志值和 各單位之間的一一對應關系。 平均數(shù)分子分母不能交換位置，而有的強度相對數(shù)分子分母可以交換位置。 76 x f xf 20 1 20 22 4 88 24 6 144 26 8 208 28 12 336 30 10 300 32 7 224 34 2 68 合計 50 1388 元）(76.2750/1388 f xf x 77 計算器使用演示： 用統(tǒng)計功能的計算器計算： 2ndF,ON, 20,M+,22,4,M+,24,6,M+, 26,8

32、,M+,28,12,M+,30,10,M+,3 2,7,M+, 34, 2,M+,xM 結果為27.76 （二）幾何平均數(shù) (GEOMETRIC MEAN) n 個變量值乘積的 n 次方根 適用于對比率數(shù)據(jù)的平均 主要用于計算平均增長率 計算公式為 5. 可看作是平均數(shù)的一種變形 簡單幾何平均數(shù) 對于未分組的原始數(shù)據(jù)，或分組后各變量值出現(xiàn)的次數(shù)均相等 。 例：2006-2010年我國工業(yè)品的產(chǎn)量分別是上 年的107.6%、102.5%、100.6%、102.7%、 102.2%，計算這5年的平均發(fā)展速度。 12 . n nGX XX 79 80 %1 .103031. 1 022. 1027.

33、 1006. 1025. 1076. 1 . 5 21 n n G XXXX 按計算器：1.076,1.025, ,1.006, ,1.027, ,1.022,=,2ndF, x y , 5,= 出現(xiàn)結果：1.0309 即103.1% 【例】一位投資者購持有一種股票，在2007、2008、2009和2010年收益 率分別為4.5%、2.1%、25.5%、1.9%。計算該投資者在這四年內的平均收益 率 。 81 幾何平均： 【例】某流水生產(chǎn)線有前后銜接的五道工序。某日各工序產(chǎn)品的合格率分別為 95、92、90、85、80，求整個流水生產(chǎn)線產(chǎn)品的平均合格率。 分析： 設最初投產(chǎn)100A個單位 ，則

34、 第一道工序的合格品為100A0.95； 第二道工序的合格品為（100A0.95）0.92； 第五道工序的合格品為 （100A0.950.920.900.85）0.80； 因該流水線的最終合格品即為第五道工序的合格品， 故該流水線總的合格 品應為 100A0.950.920.900.850.80； 則該流水線產(chǎn)品總的合格率為： 80. 085. 090. 092. 095. 0 100A 80. 085. 090. 092. 00.95100A 總產(chǎn)品 總合格品 即該流水線總的合格率等于各工序合格率的連乘積，符合幾何平均數(shù)的適用 條件，故需采用幾何平均法計算。 因該流水線的最終合格品即為第五道

35、工序的合格品， 故該流水線總的合格 品應為 100A0.950.920.900.850.80； 則該流水線產(chǎn)品總的合格率為： 80. 085. 090. 092. 095. 0 100A 80. 085. 090. 092. 00.95100A 總產(chǎn)品 總合格品 即該流水線總的合格率等于各工序合格率的連乘積，符合幾何平均數(shù)的適用 條件，故需采用幾何平均法計算。 5 5 0.950.920.900.850.80 0.534988.24 G 解： 思考 若上題中不是由五道連續(xù)作業(yè)的工序組成的流水生產(chǎn)線，而是五個獨立作業(yè) 的車間，且各車間的合格率同前，又假定各車間的產(chǎn)量相等均為100件，求 該企業(yè)的

36、平均合格率。 幾何平均數(shù)的計算方法 因各車間彼此獨立作業(yè)，所以有 第一車間的合格品為：1000.95； 第二車間的合格品為：1000.92； 第五車間的合格品為：1000.80。 則該企業(yè)全部合格品應為各車間合格品的總和，即 總合格品=1000.95+1000.80 幾何平均數(shù)的計算方法 分析： 不再符合幾何平均數(shù)的適用條件，需按照求解比值的平均數(shù)的方法計算。 又因為 4.88 500 442 100100 10080.010095.0 f Xf X f m X 產(chǎn)品 合格品 合格率 應采用加權算術平均數(shù)公式計算，即 加權幾何平均數(shù) 對于分組且各組變量值出現(xiàn)的次數(shù)（權數(shù)）不 相等。 88 12

37、 12 . n f n fff G xxx 例：某地區(qū)25年的年經(jīng)濟增長速度分別是：1年3%，4年5%，8年8%，10年 10%，2年15%， 求該地區(qū)經(jīng)濟的平均年增長速度。 89 1.03,(,1.05,yx,4,),(,1.08,yx,8,), ,(,1.1,yx,10,),(,1.15,yx,2,), =,2ndF, x y , 25,= 出現(xiàn)結果：1.086 即平均增長速度為8.6% %6 .108086. 1 15. 1 2 1 . 1 10 08. 1 8 05. 1 4 03. 1 . 2 2 1 1 25 f x f n n x f x f XG 使用幾何平均法應注意問題 第一

38、、變量值要是相對數(shù)，且不能為負值或零。 第二、這些相對數(shù)的連乘積要等于總速度或總比率。 總結： 幾何平均法是計算平均速度或平均比率最適用的一種 方法，凡變量值的連乘積等于總速度或總比率，求其 平均速度和平均比率時，均可用幾何平均法。 90 （三）調和平均數(shù) 又稱倒數(shù)平均數(shù)，是各單位標志值倒數(shù)的算術 平均數(shù)的倒數(shù)。 分為簡單和加權調和平均數(shù)。 91 1、簡單調和平均數(shù) N i i X N H 1 1 92 2、加權調和平均數(shù) X m m H 例1：某種蔬菜價格早上為0.5元/斤、中午為0.4元/斤、晚上為0.25元/斤。 現(xiàn)早、中、晚各買1斤，求平均價格。 例2：某種蔬菜價格早上為0.5元/斤、

39、中午為0.4元/斤、晚上為0.25元/斤。 現(xiàn)早、中、晚各買1元，求平均價格。 93 在例1中，用簡單算術平均數(shù) 元38. 0 3 25. 04 . 05 . 0 n x x 94 在例2中先求早、中、晚購買的斤數(shù)。 早 1/0.5=2(斤） 中 1/0.4=2.5(斤）、 晚 1/0.25=4(斤） 95 元35. 0 5 . 8 3 25. 0 1 4 . 0 1 5 . 0 1 111 Hx 將例2用公式表示為： X n H 1 這就是簡單調和平均數(shù)的公式。 例3：某種蔬菜價格早上為0.5元/斤、中午為0.4元/斤、晚上為0.25元/斤 ?，F(xiàn)早、中、晚各買2元、3元、4元，求平均價格。

40、96 元33. 0 5 .27 9 25. 0 4 4 . 0 3 5 . 0 2 432 H X 求解比值的平均數(shù)的方法 由于比值（平均數(shù)或相對數(shù)）不能直接相加，求解比值的平均數(shù)時，需將 其還原為構成比值的分子、分母原值總計進行對比 設比值設比值 i i i f m X 則有：則有：mi X m ffXm i i iiii ,2, 1, m X m f Xf f m X 1 求解比值的平均數(shù)的方法 己知 ，采用基 本平均數(shù)公式 fm、 己知 ，采用加 權算術平均數(shù)公式 fX、 己知 ，采用加 權調和平均數(shù)公式 mX、 i i i f m X 【例】某季度某工業(yè)公司18個工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計劃完成情

41、況如下： 計算該公司該季度的平均計劃完成程度。 求解比值的平均數(shù)的方法 【例】某季度某工業(yè)公司18個工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計劃完成情況如下： 計算該公司該季度的平均計劃完成程度。 求解比值的平均數(shù)的方法 f m X 計劃產(chǎn)值 實際產(chǎn)值 程度 計劃完成 分析：分析： X f 應采用加權算術平均數(shù)公式計算 12.105 24900 26175 4400800 440015. 180085. 0 f Xf X 【例】某季度某工業(yè)公司18個工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計劃完成情況如下（按計劃完成程度分 組）： 計算該公司該季度的平均計劃完成程度。 求解比值的平均數(shù)的方法 【例】某季度某工業(yè)公司18個工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計劃完成情況如下

42、（按計劃完成程度分 組）： 計算該公司該季度的平均計劃完成程度。 求解比值的平均數(shù)的方法 f m X 計劃產(chǎn)值 實際產(chǎn)值 程度 計劃完成 分析：分析： f m 應采用平均數(shù)的基本公式計算 12.105 24900 26175 f m X 眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的關系 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關系特應 眾數(shù) 不受極端值影響 具有不惟一性 數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大且有明顯峰值時應用 中位數(shù) 不受極端值影響 數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時應用 平均數(shù) 易受極端值影響 數(shù)學性質優(yōu)良 數(shù)據(jù)對稱分布或接近對稱分布時應用 第四節(jié) 離散程度的度量 (離散指標) 一、分類數(shù)據(jù)：異眾比率 二、順序數(shù)據(jù)：四分位差 三、數(shù)值型數(shù)據(jù)：

43、方差和標準差 四、相對離散程度：離散系數(shù) 離中趨勢 數(shù)據(jù)分布的另一個重要特征 反映各變量值遠離其中心值的程度(離散程度) 從另一個側面說明了集中趨勢測度值的代表程度 不同類型的數(shù)據(jù)有不同的離散程度測度值 106 一、異眾比率 (VARIATION RATIO) 1.對分類數(shù)據(jù)離散程度的測度 2.非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比例 3.計算公式為 4. 用于衡量眾數(shù)的代表性 異眾比率 (例題分析) 飲料品牌飲料品牌頻數(shù)頻數(shù)比例比例 百分比百分比 (%) 可口可樂可口可樂 加多寶涼茶加多寶涼茶 百事可樂百事可樂 匯源果汁匯源果汁 露露露露 15 11 9 6 9 0.30 0.22 0.18 0.12

44、0.18 30 22 18 12 18 合計合計501100 二、四分位差 (QUARTILE DEVIATION) 對順序數(shù)據(jù)離散程度的測度 也稱為內距或四分間距 上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差 Qd = QU QL 反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度 不受極端值的影響 用于衡量中位數(shù)的代表性 四分位差 (例題分析) 解：設非常不滿意為1,不滿 意為2, 一般為3, 滿意為 4, 非常滿意為5 。 已知 QL = 不滿意 = 2 QU = 一般 = 3 四分位差為 Qd = QU - QL = 3 2 = 1 回答類別回答類別 甲城市甲城市 戶數(shù)戶數(shù) (戶戶)累計頻數(shù)累計頻數(shù) 非常不滿意非常不滿意

45、不滿意不滿意 一般一般 滿意滿意 非常滿意非常滿意 24 108 93 45 30 24 132 225 270 300 合計合計300 三、數(shù)值型數(shù)據(jù)：方差和標準差 （一）極差(RANGE) 一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差 離散程度的最簡單測度值 易受極端值影響 未考慮數(shù)據(jù)的分布 計算公式為 R = max(xi) - min(xi) （二）平均差 (MEAN DEVIATION) 各變量值與其平均數(shù)離差絕對值的平均數(shù) 能全面反映一組數(shù)據(jù)的離散程度 數(shù)學性質較差，實際中應用較少 計算公式為 未分組數(shù)據(jù) 組距分組數(shù)據(jù) 平均差 (例題分析) 按銷售量分組按銷售量分組組中值組中值(Mi)頻數(shù)頻數(shù)(f

46、i) 140150 150 160 160 170 170 180 180 190 190 200 200 210 210 220 220 230 230 240 145 155 165 175 185 195 205 215 225 235 4 9 16 27 20 17 10 8 4 5 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 160 270 320 270 0 170 200 240 160 250 合計合計1202040 fxxxx 平均差 (例題分析) 含義：每一天的銷售量平均數(shù)相比， 平均相差17臺 （三）方差和標準差 (VARIANCE AND STANDARD

47、 DEVIATION) 數(shù)據(jù)離散程度的最常用測度值 反映了各變量值與均值的平均差異 根據(jù)總體數(shù)據(jù)計算的，稱為總體方差(標準差)，記為 2()；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的，稱為樣本方差(標準差) ，記為s2(s) 樣本方差和標準差 (SAMPLE VARIANCE AND STANDARD DEVIATION) 未分組數(shù)據(jù) 組距分組數(shù)據(jù) 未分組數(shù)據(jù) 組距分組數(shù)據(jù) 方差的計算公式標準差的計算公式 注意：注意： 樣本方差用自樣本方差用自 由度由度n-1去除去除! 自由度 (DEGREE OF FREEDOM) 自由度是指數(shù)據(jù)個數(shù)與附加給獨立的觀測值的約束或限 制的個數(shù)之差 從字面涵義來看，自由度是指一組數(shù)據(jù)

48、中可以自由取值 的個數(shù) 當樣本數(shù)據(jù)的個數(shù)為n時，若樣本平均數(shù)確定后，則附 加給n個觀測值的約束個數(shù)就是1個，因此只有n-1個數(shù) 據(jù)可以自由取值，其中必有一個數(shù)據(jù)不能自由取值 按著這一邏輯，如果對n個觀測值附加的約束個數(shù)為k 個，自由度則為n-k 自由度 (DEGREE OF FREEDOM) 樣本有3個數(shù)值，即x1=2，x2=4，x3=9，則 x = 5。 當 x = 5 確定后，x1，x2和x3有兩個數(shù)據(jù)可以自由取 值，另一個則不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3 則必然取2，而不能取其他值 為什么樣本方差的自由度為什么是n-1呢？因為在計算離 差平方和時，必須先求出樣本均值x ，

49、而x則是附件 給離差平方和的一個約束，因此，計算離差平方和時只 有n-1個獨立的觀測值，而不是n個 樣本方差用自由度去除，其原因可從多方面解釋，從實 際應用角度看，在抽樣估計中，當用樣本方差s2去估計 總體方差2時，它是2的無偏估計量 樣本標準差 (例題分析) 按銷售量分組按銷售量分組組中值組中值(Mi)頻數(shù)頻數(shù)(fi) 140150 150 160 160 170 170 180 180 190 190 200 200 210 210 220 220 230 230 240 145 155 165 175 185 195 205 215 225 235 4 9 16 27 20 17 10

50、8 4 5 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 160 270 320 270 0 170 200 240 160 250 合計合計12055400 2 )(xM i ii fxM 2 )( 樣本標準差 (例題分析) 含義：每一天的銷售量與平均數(shù)相比， 平均相差21.58臺 總體方差和標準差 (POPULATION VARIANCE AND STANDARD DEVIATION) 未分組數(shù)據(jù) 組距分組數(shù)據(jù) 未分組數(shù)據(jù) 組距分組數(shù)據(jù) 方差的計算公式標準差的計算公式 計算器的使用 開機：ON，2ndF，ON 進入到統(tǒng)計功能后，用計算平均數(shù)的方法輸數(shù)據(jù) 所有的數(shù)據(jù)輸完后，按 2

51、ndF 鍵， 再按RM 健，即為標準差 123 注意：所有的數(shù)據(jù)輸完后，如果直接 按xM 健，即為平均數(shù)。 四、相對離散程度：離散系數(shù) 離散系數(shù) (COEFFICIENT OF VARIATION) 標準差與其相應的均值之比 對數(shù)據(jù)相對離散程度的測度 消除了數(shù)據(jù)水平高低和計量單位的影響 用于對不同組別數(shù)據(jù)離散程度的比較 計算公式為 例一：兩組動物體重（單位：kg） 甲： ， ， 乙：， 試比較平均數(shù)的代表性。 平均數(shù)為： 126 3() x x n 甲kg 210 x x n 乙（kg） 127 2 222 ) (23)(33)(34) 0.816 3 xx n 甲 （ kg 2 222 ) (200210)(210210)(220210) 8.16 3 xx n 乙 （ kg .210 xx乙 乙甲甲 因為，所以kg的代表性好于kg的代表性。 數(shù)列性質不同（水平高低不等或者計量單位不同），不能直 接用標準差（或平均差）來比較平均數(shù)的代表。 這種情況下，要比較平均數(shù)的代表性 的大?。磾?shù)列的離散程度），必須用 相對離散程度指標 離散系數(shù)。 128 上述結論不一定正確！ 對于例一 129 %