線線角與線面角

1、線線角和線面角 重點(diǎn):確定點(diǎn)、斜線在平面內(nèi)的射影。 知識要點(diǎn): 一、線線角 1、定義：設(shè)a、b是異面直線，過空間一點(diǎn)O引a a,b 則/域；b所成的銳角（或直角），叫 做異面直線a、b所成的角. 2、范圍 7T一 2 1 / 11 3. 向量知識： 對異面直線AB和CD 向量二_和匚匸 的夾角_，： （或者說其補(bǔ)角）等于異面直線 AB 和CD的夾角; （3）.”廠，二：二二- 二、線面角 1、定義：平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角，斜線和平面所成角的范圍 是(0, _ ). 2、直線在平面內(nèi)或直線與平面平行，它們所成角是零角; 直線垂直平面它們所成角為- 3、范圍:0,二 4、射

2、影定理：斜線長定理：從平面外一點(diǎn)向這個平面所引的垂線段和斜線段中: （1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長； （2）相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長； （3）垂線段比任何一條斜線段都短。 5、最小角定理：平面的一條斜線與平面所成的角，是這條直線和平面內(nèi)過斜足的直線所成 的一切角中最小的角。 6、向量知識 （法向量法） *-f* 與平面的斜線共線的向量顯和這個平面的一個法向量J的夾角V，一1 （或 者說其補(bǔ)角）是這條斜線與該平面夾角的余角 例題分析與解答 例1 如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD-A 1B1C1D1中，求：異面直線 BA 1與AC所成 的角. 分

3、析: 利用廠J_ J - 的夾角 - - -11!,再根據(jù)異面直線BA 1，AC所成角的范圍確定異面直線所成角 解：】，-匸二 ， -!.： 二.： =bT AB+BA BC+BB AB+BB BC / AB 丄 BC，BB1 丄 AB，BB1 BC， .i,T-； I, BB BSC BA AB = -a .二小 cos = =- .-_三13二- 所以異面直線 BAi與AC所成的角為60. 點(diǎn)評：求異面直線所成角的關(guān)鍵是求異面直線上兩向量的數(shù)量積，而要求兩向量的數(shù)量積, 必須會把所求向量用空間的一組基向量來表示 例2.如圖，ABCD是一直角梯形， AD丄AB，AD/BC，AB=BC=a,

4、AD=2a,且PA丄平面 ABCD，PD與平面 ABCD 成30。角. （1） (1) 若AE丄PD, E為垂足，求證：BE丄PD ; (2) 求異面直線 AE與CD所成角的大小(用反三角函數(shù)表示) 解法一： 證明： PA丄平面ABCD , PA 丄 AB , AD 丄 AB , AB丄平面PAD , AB 丄 PD,又 AE 丄 PD, PD丄平面ABE , BE 丄 PD. 解：設(shè)G、H分別為ED、AD的中點(diǎn)，連 BH、HG、GB (圖(1) 易知, BH/CD. G、H分別為ED、AD的中點(diǎn)， HG/AE 則/ BHG或它的補(bǔ)角就是異面直線 AE、CD所成的角， 而：-；刁鳥匸二， BG

5、2 =BE2+EG2=AB2+AE2+EG2=-a2 cosZBHG = 3 / 11 在 BHG中，由余弦定理，得 ZBHG = arccos（ 7t- arccos 4 arccos 異面直線AE、CD所成角的大小為- 解法二：如圖(2)所示建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz , 則_ -一II. ：,：. I, D（0, 2a, 0） (1)證明: BE=(_a,laa) ?DE=(0,-a,a) - _上 _I (2)解: AE = 0,a? 2 ,CD = (-af a 0) cos AE,CD AE.CD |AE| |CD| 9 72 4 arccos 異面直線AE、CD所成角的大小為

6、例3.如圖，在正方體 B際叫竽 ABCD-A iBiCiDi 中， 的余弦值 dXdgdd 為x,y,z軸，建立空間直角坐 則 解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)， 標(biāo)系D-xyz， 設(shè)正方體的棱長為4， D(0,0,0)，B(4,4,0),E i(4,3,4), Fi(0,1,4). 則 -：.， .廣:- -/ - ，求BEi與DFi所成角 cos =竺邑 |DFBE 15 17 7 / 11 15 BEi與DFi所成角的余弦值為 廠 點(diǎn)評：在計算和證明立體幾何問題中，若能在原圖中建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，把圖形中 的點(diǎn)的坐標(biāo)求岀來，那么圖形有關(guān)問題可用向量表示.利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算來求解，這樣可 以避

7、開較為復(fù)雜的空間想象。 例4.在120的二面角P-a-Q的兩個面P和Q內(nèi)，分別有點(diǎn)A和點(diǎn)B.已知點(diǎn)A和點(diǎn)B到棱 的距離分別為2和4，且線段|AB|=10. (1)求直線AB和棱a所成的角； 求直線AB和平面Q所成的角 解：如圖，作 AC丄a，BD丄a,垂足分別為 C，D 分別以:1 -的單位向量為空間的基底 ：4兀 過C，B分別作BD，a的平行線，交于 E點(diǎn)， CE丄a,從而，得：/ ACE就是二面角 P-a-Q的平面角, .5野口此=9( 葉耳 依題設(shè)：二-! :- 設(shè)丄二 .AB 二 AC + CB 二 CD +DE - CA 二 m勺 +4 - 2勺 又|畫二 10, . （m哥+4&_

8、痔= 100 Q* -* 展開：|Y- I1, !- 秫二 2 m +20+8=100，從而得 比（2勺 + 6 勺十 4電）623/2 1111 亍丁 372 -arccos 異面直線一丄 與a所成的角為: 作AF丄EC ,交EC的延長線于 F， a丄平面ACE， ai平面Q， 平面ACE丄平面Q , 從而得： AF丄平面Q，連結(jié)FB， 上的射影為 CA 二 2d 梅=_1 則/ ABF就是AB與平面Q所成的角, 在Rt AFB中，I- 川 直線AB和平面Q所成的角為: arcsin 10 反饋練習(xí)： 1. 過平面外兩點(diǎn)和該平面垂直的平面的個數(shù)是（） D.沒有 A.1個B.無數(shù)個C. 一個或

9、無數(shù)個 2.已知從一點(diǎn) P引三條射線 PA，PB，PC，且兩兩成 60度角，則二面角 A PB C的二面 角的余弦值是（ ) 1 1 j 1 A. B. j C. 2 D.不能確定 3 .正方體ACi中，E、F分別是AAi與CCi的中點(diǎn)，則直線ED與DiF所成角的大小是 （） 1 1 arccos- arccos- A、! B、? 4 在正三棱錐 S-ABC 中，E為SA的中點(diǎn), EF與AB所成的角是（） A、60 B、90 兀兀 C、 _D、 I F為 ABC的中心，SA=BC=2，則異面直線 C、 45D、 30 5 已知正三棱柱 成角的正弦值是（） A、: ABC-A iBiCi 中，A

10、B=AA i,則直線 C、 D、 CBi與平面AA iBiB所 6、如圖所示，M、N分別是單位正方體 ABCD-A iBiCiDi中BB “ B的中點(diǎn).求MN與CDi 所成的角 7、如圖1所示，已知正三棱柱 ABC-A iBiCi，側(cè)棱長為2,底面邊長為1, M是BC的中點(diǎn). (1)求異面直線 ABi與BCi的夾角； 在直線 CCi上求一點(diǎn) N，使MNAB i. 9 / ii 參考答案: 1. C. 2. B. 如圖.: 依題意，可知：I eJ=l e2 I I e3 I 設(shè)丨 _川 由三角形法則, 1 DE 二 DA+AE 二-引+尹 D1F=D1C1 + C1F=ei-e3 cos = D

11、E Dj |DE|-|F| =X- arccos- =1 11 / 11 1 4 . A . 女口圖設(shè)- - - r- arccos- 直線ED與DiF的所成的角為J 依題意可得: B 丨勺I二I勺|二|唧二2 , nr兀 C. e|jCj 二亡卩已？已芋勺 EF = EA + AF = -SA + -ADlr+-(AB + -BC) 2 * ,- =-e1 + -AS+SB+-(BS+SC) 232 1 * 2 1 1 * =ei +三(-勺+勺-e2 +亍巧) 1- 1一 1一 J 二一一 + _ 6 6 1 3 3 3 3 AB = AS +SB = -勺 + e2 EF AB =- e

12、 + - e2 + - e) ( -Ej + 633 2 * 2 -_ =_* 二：血+：血)一 了勺已1 一 ：電電廠：旬勺+ 弋) 633363 2 4 1n = - + - 2x2 cos60 3 3 2 4 # / 11 |蟲匕* 一叨+（疔一 2哥哥二2 cos EF,AB 1 = 60 也就是：異面直線 EF與AB所成的角是60. 5 . B . 如圖取AB中點(diǎn)E，連結(jié)CE, 由正三棱柱可知：CE丄平面AAiBiB. 連結(jié)EBi,/ CBiE就是BiC與平面AAiBiB所成的角 設(shè)棱長aa 1=1，設(shè)直運(yùn)=ep AC=如二e3 依題意可得：丨計=6i=|烏|=i , = 60, -

13、=90c BE - BQ + BE = BjB - A1BI = e3 - e； 京二喬+胚二麗+甌+屁二W+G+& BjE - BC 二(C| +Gj + C + 丄3. 2 2 2 75 又 lc|= J(-1)2+*+F-2co$60 二72 cos BBC頂 直線CBi與平面AA 1B1B所成角的正弦值是： 13 / 11 且I二一工二一 MN CD=1(BC + CC (CC + C 2 1(BC CC+BC CD+(CC2+CC 2 | 両二 f, |CD|=a/2 2 cos = IMNIJCDJ = 60 . MN與CDi所成角為60. 7、分析：利用向量理論求異面直線所成的角 解： (1)求異面直線 ABi與BCi所成的角，就是求向量 Sl_的夾角，如圖 畫二屈+畫呢二畫+農(nóng) 正三棱柱 ABC-A 1B1C1, 玨丄畫,畫丄農(nóng) f = 依題意 |屈冃恥冋兩1=2 圖2 從而得: 二XI亟+岡尸+胚農(nóng)+畫農(nóng)