線性系統(tǒng)結構分析與分解及標準型

1、廣西大學實驗報告紙 序號 學號 姓名 貝獻排名 實驗報告分數(shù) 1(組長): 13 2 2(組員)： 13021202 1 實驗項目 線性系統(tǒng)結構分析與分解及標準型 【實驗時間】2015年12月4日 【實驗地點】課外 【實驗目的】掌握線性系統(tǒng)狀態(tài)空間標準型、解及其模型轉換 【實驗設備與軟件】MATLAB數(shù)值分析軟件 【實驗原理】 1、標準型變換、矩陣Jordan型變換、特征值 (1) 標準型變換命令格式csys=canon(sys, type ) (2) 矩陣Jordan規(guī)型命令格式V J=Jordan(A) (3) 求矩陣特征值和特征向量命令格式 V J=eig(A) cv=eig(A) 2、

2、狀態(tài)模型的相似變換：命令格式sysb=ss2ss(sys,T) 傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型之間的相互轉換： 命令格式A,B,C,D=tf2ss( num,de n) n um,de n=ss2tf(A,B,C,D,iu) zpk模型與空間狀態(tài)模型之間的相互轉換： 命令格式A,B,C,D=zp2ss(z,p,k) z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu) 3、線性定常系統(tǒng)的可控性與可觀性及結構分解 (1) 狀態(tài)可控性 Qc=ctrb(A,B) r=ra nk(Qc) l=le ngth(A) (2) 狀態(tài)可觀性 Qo=obsv(A,C) r=ran k(Qo) l=size(A,1) (3

3、) 輸出可控性 Co=ctrb(A,B) m=size(C,1) Qyc=C*Co,D Tm=ra nk(Qyc) 4、定常線性系統(tǒng)的標準型(轉換限于 SISO系統(tǒng)) II型 若系統(tǒng)能控，則可轉換成能控標準I型和能控標準 轉換成能控標準II型的代碼： function Gs=ss(A,B,C,D) T=ctrb(Gs.a,Gs.b) Abar=i nv(T)*A*T; Bar=i nv(T)*B; Cbar=C*T,Dar=D; Gss=ss(Abar,Bbar,Cbar,Dbar) end 轉換成能控標準I型的代碼： function Gs=ss(A,B,C,D) Tt=ctrb(Gs.a,

4、Gs.b); Ttt=fliplr(Tt); cp=poly(Gs.a); n=len gth(Gs.a); Tea=eye( n) for i=2: n for j=1:( n-1) if ij Tea(i,j)=cp(i-(j-1); end end end T=Ttt*Tea; Abar=i nv(T)*A*T; Bbar=v in( T)*B; Cbar=C*T; Dbar=D; Gss=ss(Abar,Bbar,Cbar,Dbar) end II型 若系統(tǒng)能觀，則可轉換成能觀標準I型和能觀標準 轉換成能觀標準I型的代碼： function Gs=ss(A,B,C,D) %Gs=ss(

5、A,B,C,D); Tin v=obsv(Gs.a,Gs.c); T=in v(T in v); Abar=i nv(T)*A*T; Bar=i nv(T)*B; Cbar=C*T,Dar=D; Gss=ss(Abar,Bbar,Cbar,Dbar) end 轉換成能觀標準II的代碼： function Gs=ss(A,B,C,D) %A=-6 -0.625 0.75;8 0 0;0 2 0 %B=1;0;0 %C=1 -0.25 0.0625 %D=1 Tt=obsv(Gs.a,Gs.c); Ttt=flipud(Tt); cp=poly(Gs.a); n=len gth(Gs.a); Te

6、a=eye( n) for i=2: n for j=1:( n-1) if ij Tea(i,j)=cp(i-(j-1); end end end Tea=Tea; T=Tea*Ttt; Abar=i nv(T)*A*T; Bbar=v in( T)*B; Cbar=C*T; Dbar=D; Gss=ss(Abar,Bbar,Cbar,Dbar) end 【實驗容、方法、過程與分析】 1、已知線性系統(tǒng) 6 0.625 0.75 1 8 0 0;0 2 0 -6.0000 -0.6250 0.7500 8.0000 0 0 0 2.0000 0 B=1;0;0 B = 1 0 0 C=1 -0

7、.25 0.0625 1.0000-0.25000.0625 D=1 判斷其狀態(tài)可控性、可觀性和傳遞函數(shù)的關系，并加以說明分析 編寫判斷狀態(tài)可控性子函數(shù): function str=pdctrb(A,B) Qc=ctrb(A,B); r=ra nk(Qc); l=le ngth(A); if r=l str=系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的?。?else str=系統(tǒng)不是狀態(tài)完全可控的?。?end end 調用子函數(shù)： str=pdctrb(A,B) str = 系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的！ 編寫判斷狀態(tài)可觀性子函數(shù): function str=pdobsv(A,C) Qo=obsv(A,C); r=ra nk

8、(Qo); l=size(A,1); if r=l; str=系統(tǒng)是狀態(tài)完全可觀的?。?else str=系統(tǒng)不是狀態(tài)完全可觀的！ end end 調用子函數(shù)： str=pdobsv(A,C) str = 系統(tǒng)不是狀態(tài)完全可觀的! 所以，該系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控、不完全可觀的 (2)對系統(tǒng)分別按能控性分解、能觀性分解以及能控能觀性分解。 按能控性分解： Abar Bbar Cbar T K=ctrbf(A,B,C) Abar = 0 -2.0000 0 0 0 8.0000 -0.7500-0.6250-6.0000 Bbar = 0 0 1 Cbar = -0.0625-0.25001.0000

9、 00-1 010 100 K = 111 按能觀性分解： Abar Bbar Cbar T K=obsvf(A,B,C) Abar = 1.0000 -2.2772 0.0000 0.3407 0.0000 2.6251 %能觀性分解 2.7134 5.5238 7.3407 Bbar = 0.0558 -0.2432 0.9684 Cbar = 0.0000-0.00001.0327 0.0558 0.4465 0.8930 0.2432 -0.8614 0.4459 0.9684 -0.2421 0.0605 頁腳 2、在Matlab中建立并運行如下的.m代碼，回答下面的問題。 num=

10、1 2 3; den=co nv(1 6 25,1 12 35); G=tf( nu m,de n) Gs=ss(G) V J=Jorda n(Gs.a) %求特征向量和Gs.a的Jordan標準型 Gss=ss2ss(Gs, in v(V) %Jordan型 系統(tǒng) Gsm=canon(Gs, model) %莫態(tài)型系統(tǒng) %能控標準U型系統(tǒng) Gsf=canon(Gs, companion ) (1)給出無分號行的運行結果，并比較幾個狀態(tài)方程。 在什么情況下，canon得到的是對角型系統(tǒng)？請舉例說明。 (3)將原理中給出的能控標準與能觀標準型轉換代碼寫成子函數(shù)的形式，并通過調用所編寫的 子函數(shù)將

11、.m文件中給出的模型變換成能控標準I、U型和能觀標準I、 U型，并從結果說 明能控與能觀標準型的關系。 實驗過程及分析： (1 )運行結果如下： clear num=1 2 3; den=con v(1 6 25,1 12 35); G=tf(nu m,de n) sA2 + 2 s + 3 sA4 + 18 sA3 + 132 sA2 + 510 s + 875 Con ti nu ous-time tran sfer fun cti on. Gs=ss(G) Gs = x1 x2 x3 x4 x1 -18 -8.25 -3.984 -3.418 x2 16 0 0 0 x3 0 8 0 0

12、 x4 0 0 2 0 b = u1 x1 0.25 x20 x30 x40 c = x1x2x3x4 y100.250.0625 0.04688 d = u1 y1 0 Con ti nu ous-time state-space model. V J=jorda n(Gs.a) Colu mns 1 through 2 -0.4883 + 0.0000i-1.3398 + 0.0000i 1.5625 + O.OOOOi 3.0625 + O.OOOOi -2.5000 + O.OOOOi -3.5OOO + O.OOOOi 1.0000 + O.OOOOi 1.0000 + O.OOOO

13、i Columns 3 through 4 0.4570 - 0.1719i -0.4375 + 1.5000i -1.5000 - 2.0000i 1.0000 + O.OOOOi 0.4570 + 0.1719i -0.4375 - 1.5000i -1.5000 + 2.0000i 1.0000 + O.OOOOi Columns 1 through 2 -5.0000 + O.OOOOi 0.0000 + O.OOOOi 0.0000 + O.OOOOi 0.0000 + O.OOOOi 0.0000 + O.OOOOi -7.0000 + O.OOOOi 0.0000 + O.OOO

14、Oi 0.0000 + O.OOOOi Columns 3 through 4 0.0000 + O.OOOOi 0.0000 + O.OOOOi -3.0000 - 4.0000i 0.0000 + O.OOOOi 0.0000 + O.OOOOi 0.0000 + O.OOOOi 0.0000 + O.OOOOi -3.0000 + 4.0000i Gss=ss2ss(Gs, in v(V) Gss = x1 x2 x1 -5+1.04e-15i -2.13e-14+2.19e-15i x2 -1.78e-15-4.62e-16i -7-1.06e-15i x3 -1.38e-15+1.7

15、8e-15i 4.01e-15+2.22e-15i x4 -1.73e-15+4.44e-16i 7.54e-15+4.44e-16i x3 x4 x1 2.43e-14+2.27e-15i 2.01e-14-4.83e-15i x2 -5.7e-15+2.51e-15i -4.96e-15-2.82e-15i x3 -3-4i 0+1.78e-15i x4 -4.88e-15+1.11e-15i -3+4i u1 x11.6-2.22e-16i x2-1+1.67e-16i x3-0.3-0.1i x4-0.3+0.1i c = x1 x2 x3 y1 0.281-1.77e-16i0.59

16、4-2.78e-16i-0.156+0.25i x4 y1 -0.156-0.25i d = u1 y1 0 Con ti nu ous-time state-space model. Gsm=ca non( Gs,model) Gsm = x1 x2 x3 x4 x1 -3 4 0 0 x2 -4 -3 0 0 x3 0 0 -7 0 x4 0 0 0 -5 b = u1 x1 0.9492 x2 -0.1931 x3 4.942 x4 5. c = x1 x2 x3 a = y1 0.16990.09054 -0.1201 x4 0.08925 u1 y1 0 Con ti nu ous-

17、time state-space model. Gsf=ca non (Gs,compa nion) Gsf = x1 x2 x3 x4 x1 0 0 0 -875 x2 1 0 0 -510 x3 0 1 0 -132 x4 0 0 1 -18 b = u1 x1 1 x2 0 x3 0 x4 0 x1 x2 x3 x4 y1 01-16159 d = u1 y1 0 Con ti nu ous-time state-space model. 狀態(tài)方程比較： 最后的 Jordan標準型是一種并聯(lián)分解的策略；模態(tài)型系統(tǒng)是一組以模態(tài)坐標及模態(tài)參數(shù)描述的獨立方程; 是能控標準II型系統(tǒng)，可以直接轉

18、換為其他能控或能觀標準型。 (2)當系統(tǒng)沒有重根的時候，canon得到的是對角型系統(tǒng)。例子： num=1 2 3; den=co nv(1 1 ,1 12 35 2); G=tf(n um,de n) Gs=ss(G) Gsm=canon(Gs, model) 運行結果： canon sA2 + 2 s + 3 sA4 + 13 sA3 + 47 sA2 + 37 s + 2 Con ti nu ous-time tran sfer fun cti on. Gs = x1 x2 x3 x4 x1 -13 -5.875 -2.313 -0.25 x2 8 0 0 0 x3 0 2 0 0 x4

19、0 0 0.5 0 b = u1 x1 1 x2 0 x3 0 x4 0 x1 x2 x3 x4 y1 00.125 0.125 0.375 d = u1 y1 0 Con ti nu ous-time state-space model. Gsm = x1 x2 x3 x4 x1 -7.132 x2 -4.81 -1 x3 x4 -0.0583 b = u1 x15.531 x25.456 x3 -0.8344 x4 0.1298 c = x1x2x3x4 y1 -0.07110.072030.10890.7028 d = u1 y1 0 Con ti nu ous-time state-s

20、pace model. (3)將原理中給出的能觀標準型和能控標準型轉換代碼寫成子函數(shù)的形式，并通過調用你編 寫的子函數(shù)將.m文件中給出的能控標準I、 II型和能觀標準I、U型，從結果說明能控與能 觀標準型間關系。 能控I型： function Abar,Bbar,Cbar,Dbar=nengkong1(A,B,C,D) Tt=ctrb(A,B); Ttt=fliplr(Tt); cp=poly(A); n=len gth(A); Tea=eye( n) for i=2: n for j=1:( n-1) if ij Tea(i,j)=cp(i-(j-1)； end end end T=Ttt*Tea; Abar=i nv(T)*A*T; Bbar=i nv(T)*B; Cbar=C*T; Dbar=D; End 能空U型： function Abar,Bbar,C