二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別與練習(xí)

1、k k n-k專題: 超幾何分布與二項(xiàng)分布一基本概念1.超幾何分布一般地，在含有 m 件次品的 n 件產(chǎn)品中，任取 n 件，其中恰有 x 件次品，則事件x=k發(fā)生的概率為：p(x=k)=ck cn -k m n -mc nn,k= 0,1,2,3,m；其中，m = minm,n,且 n n , m n . n,m,n n*為超幾何分布；如果一個(gè)變量 x 的分布列為超幾何分布列，則稱隨幾變量 x 服從超幾何分布.其中，ex= n 2.二項(xiàng)分布mn在 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件 a 發(fā)生的次數(shù)為 x,在每次試驗(yàn)中，事件 a 發(fā)生的概率為 p,那么在 n 次獨(dú)立重復(fù)試中，事件 a 恰好發(fā)生 k 次

2、的概率為：p(x=k)= cnp (1-p) (k=0,1,2,3,n),此時(shí)稱隨機(jī)變量 x 服從二項(xiàng)分布.記作：x b(n,p),ex= np3.“二項(xiàng)分布”與“超幾何分布”的聯(lián)系與區(qū)別(1)“二項(xiàng)分布”所滿足的條件j每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的；是一種放回抽樣 .k各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；l每 次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；m隨機(jī)變量是這 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù).(2)“超幾何分布”的本質(zhì)：在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率不相同，是 不放回抽樣，“當(dāng)樣本容量 很大時(shí)，超幾何分布近似于二項(xiàng)分布;典型例題1、某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在出廠前都要做質(zhì)量檢測，每一件一等

3、品都能通過檢測，每一件二等品通過檢測的概率為23.現(xiàn)有 10 件產(chǎn)品，其中 6 件是一等品，4 件是二等品.() 隨機(jī)選取 1 件產(chǎn)品，求能夠通過檢測的概率；() 隨機(jī)選取 3 件產(chǎn)品，其中一等品的件數(shù)記為x，求x的分布列；() 隨機(jī)選取 3 件產(chǎn)品，求這三件產(chǎn)品都不能通過檢測的概率.第 1 頁 共 6 頁2、第 26 屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于 2011 年 8 月 12 日到 23 日在深圳舉行,為了搞好接待工作，組委會(huì) 在某學(xué)院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者。將這 30 名志愿者的身高編成如右所示的莖葉圖（單 位:cm）：若身高在 175cm 以上（包括 175cm）定義為

4、“高個(gè)子”，身高在 175cm 以下（不包括 175cm）定義為“非高個(gè)子”,且只有“女高個(gè)子”才擔(dān)任“禮儀小姐”.（）如果用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中中提取 5 人,再從這 5 人中選 2 人，那么至少有一人是“高個(gè)子”的概率是多少？（）若從所有“高個(gè)子”中選 3 名志愿者，用x表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù)，試寫出x的分布列，并求x的數(shù)學(xué)期望.第 2 頁 共 6 頁3、在某校教師趣味投籃比賽中,比賽規(guī)則是: 每場投 6 個(gè)球，至少投進(jìn) 4 個(gè)球且最后 2 個(gè)球都投進(jìn)者獲獎(jiǎng)；否則不獲獎(jiǎng). 已知教師甲投進(jìn)每個(gè)球的概率都是23（）記教師甲在每場的 6 次投球中投進(jìn)球的個(gè)

5、數(shù)為 x，求 x 的分布列及數(shù)學(xué)期望；（）求教師甲在一場比賽中獲獎(jiǎng)的概率；（）已知教師乙在某場比賽中，6 個(gè)球中恰好投進(jìn)了 4 個(gè)球，求教師乙在這場比賽中獲獎(jiǎng)的概率；教師 乙在這場比賽中獲獎(jiǎng)的概率與教師甲在一場比賽中獲獎(jiǎng)的概率相等嗎？第 3 頁 共 6 頁4、為了防止受到核污染的產(chǎn)品影響我國民眾的身體健康，要求產(chǎn)品在進(jìn)入市場前必須進(jìn)行兩輪核輻射檢1測，只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷售，否則不能銷售.已知某產(chǎn)品第一輪檢測不合格的概率為 ，第二輪6檢測不合格的概率為110，兩輪檢測是否合格相互沒有影響.（）求該產(chǎn)品不能銷售的概率；（）如果產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品可獲利 40 元；如果產(chǎn)品不能銷售，則每件

6、產(chǎn)品虧損 80 元（即獲 利-80 元）.已知一箱中有產(chǎn)品 4 件，記一箱產(chǎn)品獲利 x 元，求 x 的分布列，并求出均值 e(x).第 4 頁 共 6 頁33【解析】（）設(shè)隨機(jī)選取一件產(chǎn)品，能夠通過檢測的事件為a1 分事件 a 等于事件 “選取一等品都通過檢測或者是選取二等品通過檢測” 2 分p( a) =6 4 2 13+ =10 10 3 154 分() 由題可知x可能取值為 0,1,2,3.p ( x =0) =c 3c 04 6c 310=1 c 2 c 1 3 , p( x =1) = 4 6 =30 c 3 1010,故c1c 2 1 c 0 c 3 1 p( x =2) = 4

7、6 = , p ( x =3) = 4 6 =c 3 2 c 3 6 10 10x 的分布列為. 8 分xp0 1 2 31 3 1 130 10 2 69 分()設(shè)隨機(jī)選取 3 件產(chǎn)品都不能通過檢測的事件為b10 分事件b等于事件“隨機(jī)選取 3 件產(chǎn)品都是二等品且都不能通過檢測”所以，p ( b ) =1 1 1 ( )3 =30 3 810. 13 分2【解析】（）根據(jù)莖葉圖，有“高個(gè)子”12 人，“非高個(gè)子”18 人，1 分用分層抽樣的方法，每個(gè)人被抽中的概率是5 1=30 6， 2 分所以選中的“高個(gè)子”有12 1 1 =2 人，“非高個(gè)子”有18 =36 6人3 分用事件 a表示“至

8、少有一名“高個(gè)子”被選中”，則它的對(duì)立事件 a表示“沒有一名“高個(gè)子”被選中”，c 2 3 7 7則 p ( a) =1 - 3 =1 - = 5 分 因此，至少有一人是“高個(gè)子”的概率是 6 分 c 2 10 10 105（）依題意， x的取值為 0,1, 2, 3 7 分p(x=0) =c3 14 c1 c 2 288 = ， p (x=1) = 4 8 =c3 55 c 3 55 12 12，c 2 c1 12 c 3 1 p(x =2) = 4 8 = ， p(x =3) = 4 =c3 55 c 3 55 12 12因此， x的分布列如下： 9 分x01 23p14 28 12 15

9、5 55 55 5510 分 e x=0 14 28 12 1 +1 +2 +3 =155 55 55 55 12 分3【解析】（）x 的所有可能取值為 0，1，2，3，4，5，6. 依條件可知 xb(6，23).p ( x =k ) =c k 62 k1 6 -k(k =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)所以 x 的分布列為：x01 2 3 4 5 6 第 5 頁 共 6 頁44444p1 12 60 160 240 729 729 729 729 729192 64729 729所以ex =17292916(0 1+112+2 60 +3 160 +4 240 +5 192 +6 6

10、4) = =4729.2 2或因?yàn)?xb(6， )，所以 ex =6 =43 3. 即 x 的數(shù)學(xué)期望為 4（）設(shè)教師甲在一場比賽中獲獎(jiǎng)為事件 a，則1 2 1 2 2 32p ( a) =c 2 ( ) 2 ( ) 4 +c 1 ( )5 +( ) 6 =3 3 3 3 3 81.答：教師甲在一場比賽中獲獎(jiǎng)的概率為3281.a2 a4 2 c 2 2（）設(shè)教師乙在這場比賽中獲獎(jiǎng)為事件 b，則 p ( b ) = 4 4 = .(此處為 4 =a6 5 c 4 5 6 62間基于:已知 6 個(gè)球中恰好投進(jìn)了 4 個(gè)球)即教師乙在這場比賽中獲獎(jiǎng)的概率為 .5會(huì)更好!因?yàn)闃颖究诊@然等2 32 32

11、= 5 80 81，所以教師乙在這場比賽中獲獎(jiǎng)的概率與教師甲在一場比賽中獲獎(jiǎng)的概率不相4 【解析】（）記“該產(chǎn)品不能銷售”為事件 a，則1 1 1p ( a) =1 -(1 - ) (1 - ) =6 10 4.1所以，該產(chǎn)品不能銷售的概率為 . 4 分4（）由已知，可知 x 的取值為-320, -200, -80,40,160. 5 分1 1 1 3 3p ( x =-320) =( ) 4 = ， p ( x =-200) =c 1 ( )3 =4 256 4 4 64，1 3 27 1 3 27p ( x =-80) =c 2 ( ) 2 ( ) 2 = ， p ( x =40) =c 3 ( )3 =4 4 128 4 4 64，3 81p