小學(xué)五年級奧數(shù)：數(shù)的整除知識點匯總+例題解析

1、小學(xué)五年級奧數(shù)：數(shù)的整除知識點匯總+ 例題解析數(shù)的整除數(shù)的整除問題，內(nèi)容豐富，思維技巧性強。它是小學(xué)數(shù)學(xué)中的重 要課題，也是小學(xué)數(shù)學(xué)競賽命題的內(nèi)容之一。一、基本概念和知識1.整除 約數(shù)和倍數(shù)例如： 153=5 ， 637=9一般地，如 a 、 b 、 c 為整數(shù)， b0，且 ab=c ，即整數(shù) a 除以整除 b（ b 不等于 0 ），除得的商 c 正好是整數(shù)而沒有余數(shù)（或者說余數(shù)是 0 ），我們就說， a 能被 b 整除（或者說 b 能整除 a ）。記作 b a. 否則，稱為 a 不能被 b 整除，（或 b 不能整除 a ），記 作 ba 。如果整數(shù) a 能被整數(shù) b 整除， a 就叫做 b

2、的倍數(shù)， b 就叫做 a 的約數(shù)。例如：在上面算式中， 15 是 3 的倍數(shù)， 3 是 15 的約數(shù)； 63 是 7 的倍數(shù)， 7 是 63 的約數(shù)。2.數(shù)的整除性質(zhì)性質(zhì) 1 ：如果 a 、b 都能被 c 整除，那么它們的和與差也能被 c 整除。即：如果 c a ， c b ，那么 c （ ab ）。例如：如果 2 10 ， 2 6 ，那么 2 （ 10 6 ），并且 2 （ 10 6 ）。性質(zhì) 2 ：如果 b 與 c 的積能整除 a ，那么 b 與 c 都能整除 a. 即：如果 bc a ，那么 b a ， c a 。性質(zhì) 3 ：如果 b 、 c 都能整除 a ，且 b 和 c 互質(zhì)，那么

3、b 與 c 的積能整除 a 。即：如果 b a ， c a ，且（ b ， c ） =1 ，那么 bc a 。 例如：如果 2 28 ， 7 28 ，且（ 2 ， 7 ） =1,那么（ 27 ） 28 。性質(zhì) 4 ：如果 c 能整除 b ， b 能整除 a ，那么 c 能整除 a 。 即：如果 c b ， b a ，那么 c a 。例如：如果 3 9 ， 9 27 ，那么 3 27 。3.數(shù)的整除特征 能被 2 整除的數(shù)的特征：個位數(shù)字是 0 、2 、4 、6 、8 的整數(shù) .“ 特征 ” 包含兩方面的意義：一方面，個位數(shù)字是偶數(shù)（包括0 ）的整數(shù)，必能被 2 整除；另一方面，能被 2 整除的

4、數(shù)，其個位數(shù) 字只能是偶數(shù)（包括 0 ） . 下面 “ 特征 ” 含義相似。2 能被 5 整除的數(shù)的特征：個位是 0 或 5 。3 能被 3（或 9 ）整除的數(shù)的特征：各個數(shù)位數(shù)字之和能被 3 （或 9 ）整除。4 能被 4（或 25 ）整除的數(shù)的特征： 末兩位數(shù)能被 4（或 25 ） 整除。例如：1864=1800 64 ，因為 100 是 4 與 25 的倍數(shù)，所以 1800 是 4 與 25 的倍數(shù) . 又因為 4 64 ，所以 1864 能被 4 整除 . 但因為 2564 ，所以 1864 不能被 25 整除 . 能被 8 （或 125 ）整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被 125 ）整除

5、。8 （或例如： 29375 29000 375 ，因為 1000 是 8 與 125 的倍數(shù)，所以 29000 是 8 與 125 的倍數(shù) . 又因為 125 375 ，所以 29375 能 被 125 整除 . 但因為 8375 ，所以 829375 。 能被 11 整除的數(shù)的特征：這個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大減小）是11 的倍數(shù)。例如： 判斷 123456789 這九位數(shù)能否被 11 整除？解：這個數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字之和是 9 7 5 3 1=25 ，偶數(shù) 位上的數(shù)字之和是 8 6 4 2 20. 因為 25 20 5 ，又因為 115 ， 所以 1112345

6、6789 。再例如：判斷 13574 是否是 11 的倍數(shù)？解：這個數(shù)的奇數(shù)位上數(shù)字之和與偶數(shù)位上數(shù)字和的差是：（ 4 5 1 ） - （ 7 3 ） 0. 因為 0 是任何整數(shù)的倍數(shù)，所以 11 0. 因此 13574 是 11 的倍數(shù)。 能被 7 （ 11 或 13 ）整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（以大減?。┠鼙?或 13 ）整除。7 （ 11例如：判斷 1059282 是否是 7 的倍數(shù)？解：把 1059282 分為 1059 和 282 兩個數(shù) . 因為 1059-282 777 ， 又 7 777 ，所以 7 1059282. 因此 105928

7、2 是 7 的倍數(shù)。再例如：判斷 3546725 能否被 13 整除？解：把 3546725 分為 3546 和 725 兩個數(shù) . 因為 3546-725=2821.再把 2821 分為 2 和 821 兩個數(shù)，因為 821 2 819 ，又 13 819 ， 所以 13 2821 ，進而 13 3546725.能被 30 以下質(zhì)數(shù)整除的數(shù)的特征大家知道，一個整數(shù)能被 2 整除，那么它的個位數(shù)能被 2 整除；反過來也對，也就是一個數(shù)的個位數(shù)能被 2 整除，那么這個數(shù)本身能被 2 整除。因此，我們說“一個數(shù)的個位數(shù)能被 2 整除”是“這個數(shù)能被 2 整除”的特征。在這一講中，我們通過尋求對于

8、某些質(zhì)數(shù)成立的等式來導(dǎo)出能被這些質(zhì)數(shù)整除的特征。為了敘述起見，我們把討論的數(shù) n 記為：我們已學(xué)過同余，用 mod 2 表示除以 2 取余數(shù)，有公式： n a0 （ mod 2 ）2 n a1a0(mod 4)3 n a2a1a0(mod 8)4 n a3a2a1a0(mod 16)這幾個公式表明一個數(shù)被 2 （ 4 ， 8 ， 16 ）整除的特性，而且表明 了不能整除時，如何求余數(shù)。此外，被 3（ 9 ）整除的數(shù)的特征為：它的各位數(shù)字之和可以被 3（ 9 ）整除。我們借用同余記號及一些運算性質(zhì)來重新推證一下。 如（ mod 9 ），如果：n= a3a2a1a0 = a3 1000 a2 100 a1 10 a0= a3 (999 1) a2 (99 1) a1 (9 1) a0= (a3 a2 a1 a0) (a3 99