小學(xué)思維數(shù)學(xué)講義:組合的基本應(yīng)用(一)-帶答案解析_第1頁(yè)
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小學(xué)思維數(shù)學(xué)講義:組合的基本應(yīng)用(一)-帶答案解析_第3頁(yè)
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1、mnmn組合的基本應(yīng)用(一)教學(xué)目標(biāo)1. 使學(xué)生正確理解組合的意義;正確區(qū)分排列、組合問題;2. 了解組合數(shù)的意義,能根據(jù)具體的問題,寫出符合要求的組合;3. 掌握組合的計(jì)算公式以及組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系;4. 會(huì)分析與數(shù)字有關(guān)的計(jì)數(shù)問題,以及與其他專題的綜合運(yùn)用,培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力; 通過(guò)本講的學(xué)習(xí),對(duì)組合的一些計(jì)數(shù)問題進(jìn)行歸納總結(jié),重點(diǎn)掌握組合的聯(lián)系和區(qū)別,并掌握一些組合技巧,如排除法、插板法等知識(shí)要點(diǎn)一、組合問題日常生活中有很多 “分組”問題如在體育比賽中,把參賽隊(duì)分為幾個(gè)組,從全班同學(xué)中選出幾人參加某 項(xiàng)活動(dòng)等等這種 “分組”問題,就是我們將要討論的組合問題,這里,我們

2、將著重研究有多少種分組方法的 問題一般地,從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)( m n )元素組成一組不計(jì)較組內(nèi)各元素的次序,叫做從 n 個(gè)不同元 素中取出 m 個(gè)元素的一個(gè)組合從排列和組合的定義可以知道,排列與元素的順序有關(guān),而組合與順序無(wú)關(guān)如果兩個(gè)組合中的元素完 全相同,那么不管元素的順序如何,都是相同的組合,只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí),才是不同的 組合從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素( m n )的所有組合的個(gè)數(shù),叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)不同元素的 組合數(shù)記作 c n一般地,求從 n 個(gè)不同元素中取出的 m 個(gè)元素的排列數(shù) p 可分成以下兩步:m第一步:從 n 個(gè)不

3、同元素中取出 m 個(gè)元素組成一組,共有 c 種方法;n第二步:將每一個(gè)組合中的 m 個(gè)元素進(jìn)行全排列,共有 p m 種排法m根據(jù)乘法原理,得到 p mn=c mnpmmp m n (n-1)(n-2)(n-m+1)因此,組合數(shù) c m = n = p m m (m-1)(m-2)321 m這個(gè)公式就是組合數(shù)公式二、組合數(shù)的重要性質(zhì)一般地,組合數(shù)有下面的重要性質(zhì): cmn=cn -mn( m n )這個(gè)公式的直觀意義是:c m 表示從 n 個(gè)元素中取出 m 個(gè)元素組成一組的所有分組方法c n -m 表示從 n 個(gè)n n元素中取出( n -m )個(gè)元素組成一組的所有分組方法顯然,從 n 個(gè)元素中選

4、出 m 個(gè)元素的分組方法恰是從 n 個(gè) 元素中選 m 個(gè)元素剩下的( n -m )個(gè)元素的分組方法例如,從 5 人中選 3 人開會(huì)的方法和從 5 人中選出 2 人不去開會(huì)的方法是一樣多的,即 c 35規(guī)定 c n =1 , c 0 =1 n n例題精講1=c 25246627522 1模塊一、組合之計(jì)算問題【例 1】 計(jì)算: c 2 , c 4 ; c 2 , c 5 6 6 7 7【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用 【難度】1 星 【題型】解答p 6 5 p 6 5 4 3【解析】 c 2 = 6 = =15 , c 4 = 6 = =15p 2 2 1 p 4 4 3 2 12 4p 7 6 c 2

5、= 7 =p 2 2 1 2=21 , c 57p 7 6 5 4 3 = 7 =p 5 5 4 3 2 1 5=21【小結(jié)】注意到上面的結(jié)果中,有 c26=c46, c27=c 57【答案】 c 2 =15 , c 4 =156 6 c27=21 , c57=21【例 2】 計(jì)算: c 198 ; c 55 ; c 98 -2c 100 200 56 100 100【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用 【難度】1 星 【題型】解答【解析】 c198 =c 200 -198 200 200=c2200p 200 199= 200 = =19900 ; p 2 2 12 c 5556=c 56 -55 56=

6、c 156p1 56= 56 = =56 ; p1 11 c 98 -2c 100 100 100【答案】 19900=c 2100p 2 -2 1 = 100p 22 56-2 =100 99-2 =4948 2 1 4948 【鞏固】 計(jì)算: c 3 ; c 998 ; p 2 -c 2 12 1000 8 8【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用 【難度】1 星 【題型】解答【解析】 c 312=12 11 10 3 2 1=220 c 998 =c 2 1000 1000=1000 9992 1=4995008 7 p 2 -c 2 =8 7 - =56 -28 =28 8 8【答案】 c 312=2

7、20 c 9981000=499500 p 2 -c 2 =28 8 8模塊二、組合之體育比賽中的數(shù)學(xué)【例 3】 某校舉行排球單循環(huán)賽,有 12 個(gè)隊(duì)參加問:共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽?【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用 【難度】1 星 【題型】解答【解析】 因?yàn)楸荣愂菃窝h(huán)制的,所以,12 個(gè)隊(duì)中的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)都要進(jìn)行一場(chǎng)比賽,并且比賽的場(chǎng)次只與兩個(gè) 隊(duì)的選取有關(guān)而與兩個(gè)隊(duì)選出的順序無(wú)關(guān)所以,這是一個(gè)在12 個(gè)隊(duì)中取 2 個(gè)隊(duì)的組合問題由組合數(shù)公式知,共需進(jìn)行 c 212【答案】 c 2=6612=12 112 1=66 (場(chǎng))比賽【鞏固】 芳草地小學(xué)舉行足球單循環(huán)賽,有 24 個(gè)隊(duì)參加問:共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽?

8、 【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用 【難度】1 星 【題型】解答【解析】 由組合數(shù)公式知,共需進(jìn)行 c 224=24 232 1=276 (場(chǎng))比賽2【答案】 c224=276【例 4】 六個(gè)人傳球,每?jī)扇酥g至多傳一次,那么最多共進(jìn)行 次傳球【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用 【難度】2 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯,三年級(jí),初賽,7 題【解析】 本題是一道比賽場(chǎng)數(shù)計(jì)數(shù)問題,“每?jī)蓚€(gè)人之間至多傳一次”,讓 6 個(gè)人最多次地傳球,則是 543 2115(次).但要看是否可以傳回去,在傳遞過(guò)程中兩人是否重復(fù).15 條線,代表傳球 15 次, 根據(jù)一筆畫問題,行不通,應(yīng)減少奇數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù),共有 6 個(gè)奇數(shù)點(diǎn),應(yīng)該去掉

9、兩條直線,也就是去 掉 4 個(gè)奇數(shù)點(diǎn),還剩下 2 個(gè)奇數(shù)點(diǎn),就可以傳遞回來(lái)了.所以答案為 54321213(次).f ea db c【答案】 13 次【例 5】 一批象棋棋手進(jìn)行循環(huán)賽,每人都與其他所有的人賽一場(chǎng),根據(jù)積分決出冠軍,循環(huán)賽共要進(jìn)行 78 場(chǎng),那么共有多少人參加循環(huán)賽?【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 從若干人中選出 2 人比賽,與選出的先后順序無(wú)關(guān),這是一個(gè)組合問題依題意,假設(shè)有 n 個(gè)人參加循環(huán)賽,應(yīng)該有 c 2n參加循環(huán)賽=n (n-1)=78 ,所以 n (n-1)=782=13 12 ,所以 n =13 ,即一共有13 人 2 1【答案】 n

10、 =13【例 6】 某校舉行男生乒乓球比賽,比賽分成 3 個(gè)階段進(jìn)行,第一階段:將參加比賽的 48 名選手分成 8 個(gè) 小組,每組 6 人,分別進(jìn)行單循環(huán)賽;第二階段:將 8 個(gè)小組產(chǎn)生的前 2 名共 16 人再分成 4 個(gè)小 組,每組 4 人,分別進(jìn)行單循環(huán)賽;第三階段:由 4 個(gè)小組產(chǎn)生的 4 個(gè)第1 名進(jìn)行 2 場(chǎng)半決賽和 2 場(chǎng) 決賽,確定1 至 4 名的名次問:整個(gè)賽程一共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽?【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 第 一階段中,每個(gè)小組內(nèi)部的 6 個(gè)人每 2 人要賽一場(chǎng),組內(nèi)賽 c 26=6 52 1=15 場(chǎng),共 8 個(gè)小組,有15 8 =1

11、20 場(chǎng);第二階段中,每個(gè)小組內(nèi)部4 人中每 2 人賽一場(chǎng),組內(nèi)賽c 2 =4場(chǎng);第三階段賽 2 +2 =4 場(chǎng)根據(jù)加法原理,整個(gè)賽程一共有120 +24 +4 =148 場(chǎng)比賽4 32 1=6 場(chǎng),共4 個(gè)小組,有 6 4 =24【答案】 148【例 7】 有 8 個(gè)隊(duì)參加比賽,采用如下圖所示的淘汰制方式問在比賽前抽簽時(shí),可以得到多少種實(shí)質(zhì)不 同的比賽安排表?【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答32522 1【解析】 (法 1)先選 4 人,再考慮組合的方法8 選 4 有 c 48=70 種組合,其中實(shí)質(zhì)不同的有一半,即 70 2 =35 種;對(duì)每一邊的 4 個(gè)人,共有實(shí)質(zhì)性

12、不同的 c 2 2 =3 種,4所以,可以得到 35 3 3 =315 種實(shí)質(zhì)不同的比賽安排表(法 2)先考慮所有情況,再考慮重復(fù)情況首先是 8! =8 7 6 5 4 3 2 1考慮到實(shí)質(zhì)相同:1、2;3、4;5、6;7、8;一、二;三、四; a 、 b ,以上 7 組均可交換,即每一種實(shí)際上重復(fù)計(jì)算了 2 7 次,答案為: 8!2 7 =315 【答案】 315模塊三、組合之?dāng)?shù)字問題【例 8】 從分別寫有1 、 3 、 5 、 7 、 9 的五張卡片中任取兩張,做成一道兩個(gè)一位數(shù)的乘法題,問: 有多少個(gè)不同的乘積? 有多少個(gè)不同的乘法算式?【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解

13、答【解析】 要考慮有多少個(gè)不同乘積由于只要從5 張卡片中取兩張,就可以得到一個(gè)乘積,所以,有多少 個(gè)乘積只與所取的卡片有關(guān),而與卡片取出的順序無(wú)關(guān),所以這是一個(gè)組合問題p 5 4由組合數(shù)公式,共有 c 2 = 5 = =10 (個(gè))不同的乘積p 2 2 12 要考慮有多少個(gè)不同的乘法算式,它不僅與兩張卡片上的數(shù)字有關(guān),而且與取到兩張卡片的順序 有關(guān),所以這是一個(gè)排列問題由排列數(shù)公式,共有 p 2 =5 4 =20 (種)不同的乘法算式5【答案】 c 25=10 p 25=20【鞏固】 9、8、7、6、5、4、3、2、1、0 這 10 個(gè)數(shù)字中劃去 7 個(gè)數(shù)字,一共有多少種方法?【考點(diǎn)】組合之基

14、本運(yùn)用 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 相當(dāng)于在 10 個(gè)數(shù)字選出 7 個(gè)劃去,一共有 10987654(7654321)=1098(321) =120 種【答案】120【鞏固】 從分別寫有1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 的八張卡片中任取兩張,做成一道兩個(gè)一位數(shù)的加法題, 有多少種不同的和?【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 c 2 8【答案】 c 2 8p 8 7= 8 = =28 (種) p 2 2 12=28【例 9】 有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色的卡片各 5 張,且每種顏色的卡片上分別標(biāo)有 1,2,3,4,5,從這些 卡片中取出

15、5 張,要求 1、2、3、4、5 各一張,但四種顏色都要有,求共有_種取法?【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯,4 年級(jí),第 14 題【解析】 四種顏色都有,則有兩個(gè)數(shù)是同一種顏色即可,其它三個(gè)數(shù)字和三種顏色一一對(duì)應(yīng)。c c 3! =2405 4456種【答案】240 種【例 10】 在 1100 中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)相加,其和是偶數(shù)的共有多少種不同的取法?【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 兩個(gè)數(shù)的和是偶數(shù),通過(guò)前面剛剛學(xué)過(guò)的奇偶分析法,這兩個(gè)數(shù)必然同是奇數(shù)或同是偶數(shù),而取出 的兩個(gè)數(shù)與順序無(wú)關(guān),所以是組合問題從 50 個(gè)偶數(shù)中

16、取出 2 個(gè),有 c 25050 49= =1225 (種)取法; 2 1從 50 個(gè)奇數(shù)中取出 2 個(gè),也有 c 25050 49= =1225 (種)取法 2 1根據(jù)加法原理,一共有1225 +1225 =2450 (種)不同的取法【小結(jié)】在本題中,對(duì)兩個(gè)數(shù)的和限定了條件不妨對(duì)這個(gè)條件進(jìn)行分類,如把和為偶數(shù)分成兩奇數(shù)相加或 兩偶數(shù)相加這樣可以把問題簡(jiǎn)化【答案】 2450【鞏固】 從19 、 20 、 93 、 94 這 76 個(gè)數(shù)中,選取兩個(gè)不同的數(shù),使其和為偶數(shù)的選法總數(shù)是多少? 【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 19 、 20 、 、 93 、 94 中有

17、38 個(gè)奇數(shù), 38 個(gè)偶數(shù),從 38 個(gè)數(shù)中任取 2 個(gè)數(shù)的方法有 :c 238=38 372 1=703 (種),所以選法總數(shù)有: 703 2 =1406 (種)【答案】 1406【例 11】 一個(gè)盒子裝有10 個(gè)編號(hào)依次為1 , 2 ,3 , ,10 的球,從中摸出 6 個(gè)球,使它們的編號(hào)之和為奇 數(shù),則不同的摸法種數(shù)是多少?【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 10 個(gè)編號(hào)中 5 奇 5 偶,要使 6 個(gè)球的編號(hào)之和為奇數(shù),有以下三種情形: 5 奇1 偶,這時(shí)對(duì)奇數(shù)只有1 種選擇,對(duì)偶數(shù)有 5 種選擇由乘法原理,有1 5 =5 (種)選擇; 3 奇 3 偶,這時(shí)

18、對(duì)奇數(shù)有 c 355 4 3 5 4 3= =10 (種)選擇,對(duì)偶數(shù)也有c 3 = =10 (種)選擇由乘 3 2 1 3 2 1法原理,有10 10 =100 (種)選擇; 1 奇 5 偶,這時(shí)對(duì)奇數(shù)有 5 種選擇,對(duì)偶數(shù)只有1 種選擇由乘法原理, 有 5 1 =5 (種)選擇由加法原理,不同的摸法有 5 +100 +5 =110 (種)【答案】 5100110【例 12】 用 2 個(gè) 1,2 個(gè) 2,2 個(gè) 3 可以組成多少個(gè)互不相同的六位數(shù)?用 2 個(gè) 0 , 2 個(gè) 1 , 2 個(gè) 2 可以組成多少個(gè)互不相同的六位數(shù)?【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答6 5【解析】

19、 先考慮在 6 個(gè)數(shù)位上選 2 個(gè)數(shù)位放 1 ,這兩個(gè)1 的順序無(wú)所謂,故是組合問題,有 c 2 = =15 (種)2 1選法;再?gòu)氖O碌?4 個(gè)數(shù)位上選 2 個(gè)放 2 ,有 c 244 3= =6 (種)選法;剩下的 2 個(gè)數(shù)位放 3 ,只有1 種 2 1選法由乘法原理,這樣的六位數(shù)有15 6 1 =90 (個(gè))在前一問的情況下組成的 90 個(gè)六位數(shù)中,首位是 1 、 2 、3 的各 30 個(gè)如果將 3 全部換成 0 ,這 30 個(gè) 首位是 0 的數(shù)將不是六位數(shù),所以可以組成互不相同的六位數(shù) 90 -30 =60 (個(gè))【答案】 60【例 13】 從 1 , 3 , 5 , 7 , 9 中任

20、取三個(gè)數(shù)字,從 2 , 4 , 6 , 8 中任取兩個(gè)數(shù)字,組成沒有重復(fù)數(shù)字的五 位數(shù),一共可以組成多少個(gè)數(shù)?【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 整個(gè)過(guò)程可以分三步完成:第一步,從 1 ,3 ,5 ,7 ,9 中任取三個(gè)數(shù)字,這是一個(gè)組合問題,有 c35種方法;第二步,從 2 , 4 , 6 , 8 中任取兩個(gè)數(shù)字,也是一個(gè)組合問題,有 c 2 種方法;第三步,44用取出的 5 個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),有 p 55(個(gè))種方法所以總的個(gè)數(shù)為:c 3 c 2 p 55 4 5=7200【答案】 7200【例 14】 從 0 、0 、1 、2 、3 、4 、5 這七個(gè)數(shù)字中,任取 3 個(gè)組成三位數(shù),共可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)? (這里每個(gè)數(shù)字只允許用1 次,比如 100、210 就是可以組成的,而 211 就是不可以組成的)【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用 【難度】1 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞

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