高中數(shù)學(xué)排列組合知識點(diǎn)與典型例題總結(jié)二十一類21題型(生)匯編

1、m n學(xué)習(xí)-好資料排列組合復(fù)習(xí)鞏固1.分類計(jì)數(shù)原理 (加法原理)完成一件事，有 n 類辦法，在第 1 類辦法中有 m 種不同的方法，在第 2 類辦法中有 m 種不同的方法，在第 n 類辦法中1 2有 m 種不同的方法，那么完成這件事共有： n2.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）n =m +m + +m 1 2 n種不同的方法完成一件事，需要分成 n 個(gè)步驟，做第 1 步有 m 種不同的方法，做第 2 步有 m 種不同的方法，做第 n 步有 m 種不同1 2 n的方法，那么完成這件事共有： 3.分類計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理區(qū)別n =m m m 1 2 n種不同的方法分類計(jì)數(shù)原理方法相互獨(dú)立，任何一種方法都可

2、以獨(dú)立地完成這件事。分步計(jì)數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個(gè)階段，不能完成整個(gè)事件一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù) .二.相鄰元素捆綁策略例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰 , 共有多少種不同的排法 .要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題 ,可以用捆綁法來解決問題 .即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素 , 再與其它元素 一起作排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.三.不相鄰問題插空策略例 3.一個(gè)晚會的節(jié)目有 4 個(gè)舞蹈,2 個(gè)相聲,3 個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場 ,則節(jié)目的出場順序有多少種？元素相離

3、問題可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端四.定序問題倍縮空位插入策略例 4. 7 人排隊(duì),其中甲乙丙 3 人順序一定共有多少不同的排法定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理五.重排問題求冪策略例 5.把 6 名實(shí)習(xí)生分配到 7 個(gè)車間實(shí)習(xí) ,共有多少種不同的分法允許重復(fù)的排列問題的特點(diǎn)是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個(gè)元素的位置，一般地 n 不 同的元素沒有限制地安排在 m 個(gè)位置上的排列數(shù)為 種六.環(huán)排問題線排策略例 6. 8 人圍桌而坐,共有多少種坐法 ?一般地,n 個(gè)不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從 n 個(gè)不同元素

4、中取出 m 個(gè)元素作圓形排列共有1namn七.多排問題直排策略例 7.8 人排成前后兩排 ,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究.八.排列組合混合問題先選后排策略例 8.有 5 個(gè)不同的小球,裝入 4 個(gè)不同的盒內(nèi) ,每盒至少裝一個(gè)球,共有多少不同的裝法.解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?九.小集團(tuán)問題先整體后局部策略例 9.用 1,2,3,4,5 組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾 1,在兩個(gè)奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？ 更多精品文檔a n n學(xué)習(xí)-好資料十.

5、元素相同問題隔板策略例 10.有 10 個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給 7 個(gè)班，每班至少一個(gè) ,有多少種分配方案？將 n 個(gè)相同的元素分成 m 份（n，m 為正整數(shù)）,每份至少一個(gè)元素 ,可以用 m-1 塊隔板，插入 n 個(gè)元素排成一排的 n-1 個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為cm -1n -1十一.正難則反總體淘汰策略例 11.從 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù)，使其和為不小于 10 的偶數(shù),不同的取法有多少種？有些排列組合問題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰.十二.平均分組問題除法策略例 12. 6 本不同的書平均分成 3 堆

6、,每堆 2 本共有多少分法？平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以 ( 為均分的組數(shù))避免重復(fù)計(jì)數(shù)。n練習(xí)題：1 將 13 個(gè)球隊(duì)分成 3 組,一組 5 個(gè)隊(duì) ,其它兩組 4 個(gè)隊(duì), 有多少分法？3.某校高二年級共有六個(gè)班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn) 入 4 名學(xué)生，要安排到該年級的兩個(gè)班級且每班安排 2 名，則不同的安排方案種數(shù) 為_十三. 合理分類與分步策略例 13.在一次演唱會上共 10 名演員 ,其中 8 人能能唱歌,5 人會跳舞,現(xiàn)要演出一個(gè) 2 人唱歌 2 人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法 解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步

7、，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過程的始終。練習(xí)題：十四.構(gòu)造模型策略例 14. 馬路上有編號為 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的 3 盞,但不能關(guān)掉相鄰的 2 盞或 3 盞,也不能關(guān)掉兩端的 2 盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決十五.實(shí)際操作窮舉策略例 15.設(shè)有編號 1,2,3,4,5 的五個(gè)球和編號 1,2,3,4,5 的五個(gè)盒子 ,現(xiàn)將 5 個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且 恰好有兩個(gè)球的編號與盒子

8、的編號相同 ,有多少投法對于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結(jié)果十六. 分解與合成策略例 16. 30030 能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略 ,把一個(gè)復(fù)雜問題分解成幾個(gè)小問題逐一解決 ,然后依據(jù)問題分解后 的結(jié)構(gòu),用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理將問題合成,從而得到問題的答案 ,每個(gè)比較復(fù)雜的問題都要用到這種解題策略十七.化歸策略例 17. 25 人排成 55 方陣,現(xiàn)從中選 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列 ,不同的選法有多少種？處理復(fù)雜的排列組合問題時(shí)可以把一個(gè)問題退化成一個(gè)簡要的問

9、題，通過解決這個(gè)簡要的問題的解決找到解題方法，從而進(jìn)下一步解決原來的問題十八.數(shù)字排序問題查字典策略例 18由 0，1，2，3，4，5 六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)的比 324105 大的數(shù)？數(shù)字排序問題可用查字典法 ,查字典的法應(yīng)從高位向低位查 ,依次求出其符合要求的個(gè)數(shù),根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理求出其總數(shù)。十九.樹圖策略更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料例 19 3 人相互傳球,由甲開始發(fā)球 ,并作為第一次傳球,經(jīng)過 5 次傳求后 ,球仍回到甲的手中,則不同的傳球方式有 _ 對于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用二十.復(fù)雜分類問題表格策略例 20 有紅、黃、蘭色的球各 5 只,分別標(biāo)有 a、b、c、d、e

10、 五個(gè)字母,現(xiàn)從中取 5 只,要求各字母均有且三色齊備,則共有多少種 不同的取法一些復(fù)雜的分類選取題 , 要滿足的條件比較多 , 無從入手 , 經(jīng)常出現(xiàn)重復(fù)遺漏的情況 ,用表格法 , 則分類明確 , 能保證題中須 滿足的條件,能達(dá)到好的效果.二十一：住店法策略解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù) 的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解 .例 21.七名學(xué)生爭奪五項(xiàng)冠軍，每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有 .排列組合易錯(cuò)題正誤解析1 沒有理解兩個(gè)基本原理出錯(cuò)排列組合問題基于兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，即加法原理和乘法

11、原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問題的前提.例 1 從 6 臺原裝計(jì)算機(jī)和 5 臺組裝計(jì)算機(jī)中任意選取 5 臺,其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺,則不同的取法有種.例 2在一次運(yùn)動(dòng)會上有四項(xiàng)比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有（ ）種.（a）a34（b） 43（c） 34（d） c342 判斷不出是排列還是組合出錯(cuò)在判斷一個(gè)問題是排列還是組合問題時(shí)，主要看元素的組成有沒有順序性，有順序的是排列，無順序的是組合. 例 3 有大小形狀相同的 3 個(gè)紅色小球和 5 個(gè)白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？3 重復(fù)計(jì)算出錯(cuò)在排列組合中常會遇到元素分配問題、平

12、均分組問題等，這些問題要注意避免重復(fù)計(jì)數(shù)，產(chǎn)生錯(cuò)誤。例 4 5 本不同的書全部分給 4 個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（ ）（a）480 種 （b）240 種 （c）120 種 （d）96 種例 5某交通崗共有 3 人，從周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值 2 天，其不同的排法共有（ ）種.（a）5040（b）1260（c）210（d）6304 遺漏計(jì)算出錯(cuò)在排列組合問題中還可能由于考慮問題不夠全面，因?yàn)檫z漏某些情況，而出錯(cuò)。0 1，3例 6 用數(shù)字 0，1，2，3，4 組成沒有重復(fù)數(shù)字的比 1000 大的奇數(shù)共有（ ） （a）36 個(gè) （b）48 個(gè) （c）66 個(gè)

13、 （d）72 個(gè)312455 忽視題設(shè)條件出錯(cuò)在解決排列組合問題時(shí)一定要注意題目中的每一句話甚至每一個(gè)字和符號，不然就可能多解或者漏解.例 7如圖，一個(gè)地區(qū)分為 5 個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有 4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種.（以數(shù)字作答）例 8 已知ax2-b =0 是關(guān)于 x 的一元二次方程，其中 a 、 b 1,2,3,4，求解集不同的一元二次方程的個(gè)數(shù).6 未考慮特殊情況出錯(cuò)在排列組合中要特別注意一些特殊情況，一有疏漏就會出錯(cuò).例9 現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10 元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可

14、組成不同的幣值 種數(shù)是（ ）(a)1024 種 (b)1023 種 (c)1536 種 (d)1535種7 題意的理解偏差出錯(cuò)例 10現(xiàn)有 8 個(gè)人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（ ）種.更多精品文檔358633384學(xué)習(xí)-好資料（a）a a6 5（b）a -a a 8 6 3（c）a a5 3（d）a -a8 68 解題策略的選擇不當(dāng)出錯(cuò)例 10高三年級的三個(gè)班到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會實(shí)踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（ ）.（a）16 種 （b）18 種 （c）37 種 （d）48 種排列與組合習(xí)題1 6 個(gè)人分乘兩輛不同的

15、汽車，每輛車最多坐 4 人，則不同的乘車方法數(shù)為( ) a40 b50 c60 d702 有 6 個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有 3 人就坐，則恰有兩個(gè)空座位相鄰的不同坐法有( )a36 種b48 種c72 種d96 種3只用 1,2,3 三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須同時(shí)使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有( )a6 個(gè)b9 個(gè)c18 個(gè)d36 個(gè)4男女學(xué)生共有 8 人，從男生中選取 2 人，從女生中選取 1 人，共有 30 種不同的選法，其中女生有( )a2 人或 3 人b3 人或 4 人c3 人d4 人5某幢樓從二樓到三樓的樓梯共 10 級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，

16、若規(guī)定從二樓到三樓用 8 步走完，則方法有( )a45 種b36 種c28 種d25 種6某公司招聘來 8 名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個(gè)部門，其中兩名英語翻譯人員不能分在同一個(gè)部門，另外三名電腦編程 人員也不能全分在同一個(gè)部門，則不同的分配方案共有( )a24 種b36 種c38 種d108 種7已知集合 a5，b1,2，c1,3,4 ，從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的不同點(diǎn)的 個(gè)數(shù)為( )a33 b34 c35 d368由 1、2、3、4、5、6 組成沒有重復(fù)數(shù)字且 1、3 都不與 5 相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是( )a72 b96 c108 d1449如果

17、在一周內(nèi)(周一至周日)安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余學(xué) 校均只參觀一天，那么不同的安排方法有( )a50 種b60 種c120 種d210 種10 安排 7 位工作人員在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在 5 月 1 日和 2 日，不同的安排 方法共有_種(用數(shù)字作答)11 今有 2 個(gè)紅球、3 個(gè)黃球、4 個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這 9 個(gè)球排成一列有_種不同的排法(用數(shù)字作答)12 將 6 位志愿者分成 4 組，其中兩個(gè)組各 2 人，另兩個(gè)組各 1 人，分赴世博會的四個(gè)不同場館服務(wù)，不同

18、的分配方案有_種(用數(shù)字作答)13要在如圖所示的花圃中的 5 個(gè)區(qū)域中種入 4 種顏色不同的花，要求相鄰區(qū)域不同色，有_ 種不同的種法(用數(shù)字作答)14. 將標(biāo)號為 1，2，3，4，5，6 的 6 張卡片放入 3 個(gè)不同的信封中若每個(gè)信封放 2 張，其中標(biāo)號為 1，2 的卡片放入同一信封， 則不同的方法共有（a）12 種 （b）18 種 （c）36 種 （d）54 種15. 某單位安排 7 位員工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，若 7 位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，則不同的安排方案共有a. 504 種

19、b. 960 種 c. 1008 種 d. 1108 種16. 由 1、2、3、4、5、6 組成沒有重復(fù)數(shù)字且 1、3 都不與 5 相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是（a）72 （b）96（c） 108（d）144 w_w_w.k*s 5*u.c o*m17. 在某種信息傳輸過程中，用 4 個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列（數(shù)字允許重復(fù)）表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有 更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料0 和 1，則與信息 0110 至多有兩個(gè)對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為a.10 b.11 c.12 d.1518. 現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同學(xué)參加上海世博會志愿者服務(wù)活動(dòng)，每人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、

20、司機(jī)四項(xiàng)工作之一，每 項(xiàng)工作至少有一人參加。甲、乙不會開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙丁戌都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是a152 b.126 c.90 d.5419. 甲組有 5 名男同學(xué)，3 名女同學(xué)；乙組有 6 名男同學(xué)、2 名女同學(xué)。若從甲、乙兩組中各選出 2 名同學(xué)，則選出的 4 人中恰有 1 名女同學(xué)的不同選法共有( d )（a）150 種 （b）180 種 （c）300 種(d)345 種20. 將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班，則不同分 法的種數(shù)為a.18 b.24 c.30 d.3621. 2 位男生和 3

21、 位女生共 5 位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3 位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是 a. 60 b. 48 c. 42 d. 3622. 從 10 名大學(xué)生畢業(yè)生中選 3 個(gè)人擔(dān)任村長助理，則甲、乙至少有 1 人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)位為（ ） a 85 b 56 c 49 d 2823. 3 位男生和 3 位女生共 6 位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3 位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是 a. 360 b. 188 c. 216 d. 9624. 12 個(gè)籃球隊(duì)中有 3 個(gè)強(qiáng)隊(duì)，將這 12 個(gè)隊(duì)任意分成 3 個(gè)組（每組 4 個(gè)隊(duì)），則 3 個(gè)

22、強(qiáng)隊(duì)恰好被分在同一組的概率為（ ）a155b355c1 1d4 325. 甲、乙、丙 3 人站到共有 7 級的臺階上，若每級臺階最多站 2 人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是 （用數(shù)字作答）26. 鍋中煮有芝麻餡湯圓 6 個(gè)，花生餡湯圓 5 個(gè)，豆沙餡湯圓 4 個(gè)，這三種湯圓的外部特征完全相同。從中任意舀取 4 個(gè)湯圓， 則每種湯圓都至少取到 1 個(gè)的概率為（ ）a891b2591c4891d609127. 將 4 名大學(xué)生分配到 3 個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有種（用數(shù)字作答）28. 將 4 個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號為 1 和 2 的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號，則不 同的放球方法有（