概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末考試復(fù)習(xí)資料剖析

1、第1章隨機(jī)事件及其概率(1)排 列組合 公式P* 從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。 (m _n)!cm - !( m! )!從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。 n !(m n)!(2)加 法和乘 法原理加法原理(兩種方法均能完成此事)：m+n某件事由兩種方法來(lái)完成，第 種方法可由m種方法完成，第一種方 法可由n種方法來(lái)完成，則這件事可由m+n種方法來(lái)完成。乘法原理(兩個(gè)步驟分別不能完成這件事)：mx n 某件事由兩個(gè)步驟來(lái)完成，第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步 驟可由n種方法來(lái)完成，則這件事可由mx n種方法來(lái)完成。一 些常見 排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列(有序) 對(duì)立事件(至少有一

2、個(gè))順序問題隨 機(jī)試驗(yàn) 和隨機(jī) 事件如果一個(gè)試驗(yàn)在相冋條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不 止 個(gè)，但在進(jìn)行 次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這 種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件?；臼?件、樣 本空間 和事件在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件, 它具有如下性質(zhì)： 每進(jìn)行 次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這 組中的 個(gè)事件； 任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用來(lái)表示。 基本事件的全體，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用 表示。一個(gè)事件就是由0中的部分點(diǎn)(基本事件組成的集合。通常用大 寫字母A, B, C,表示事

3、件，它們是。的子集。為必然事件，？為不可能事件。不可能事件(?)的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件; 同理，必然事件(Q)的概率為1,而概率為1的事件也不一定是必然 事件。事 件的關(guān) 系與運(yùn) 算 關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，(A發(fā)生必有事件B 發(fā)生)：AUB如果同時(shí)有AUB , BnA，則稱事件A與事件B等價(jià)，或稱A等于B: A=BA B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：AUB,或者A+B屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B, 也可表示為A-AB或者AB，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A B同時(shí)發(fā)生：A1B,或者AB AB=?，則表示A與B不可能

4、同時(shí)發(fā) 生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸?。 Q-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對(duì)立事件，記為八 它表示A不 發(fā)生的事件?；コ馕幢貙?duì)立。 運(yùn)算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)C AJ(BUC)=(AU B)UC分配率：(AB)UC=(AJ C)Q(BUC) (A U B) Q C=(AC)J (BC) 德摩根率：冷Ai =U Ai 律TB-ADb，RB = AUBi ai 4(7)概 率的公 理化定 義設(shè)(若滿足下12300 、P U Ai2丿則稱】為樣本空間，a為事件，對(duì)每一個(gè)事件a都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A), 列三個(gè)條件：0 P(A) 0,則稱P(A、)為事件A發(fā)生條件P(

5、A丿下，事件B發(fā)生的條件概率，記為P(B/A)-P(A)條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如 P(Q/B)=1 二 P(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公 式乘法公式：P(AB) =P(A)P(B/A)更一般地，對(duì)事件A, A,A，若P(AAA1)0,則有P(A1A2 An) P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2)P(An | A1A2 An 1)。(14)獨(dú)立性兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件A、B滿足P(AB) =P(A)P(B)，則稱事件A、B是相互獨(dú)立 的。若事件A、B相互獨(dú)立，且P(A)a0，則有P(B冊(cè)鸞冊(cè)P(B)P(AP4A若事件A、B相互獨(dú)立，則可

6、得到A與B、A與B、A與B也都相 互獨(dú)立。必然事件。和不可能事件？與任何事件都相互獨(dú)立。?與任何事件都互斥。多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)AB(是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)二P(A)P(B) P(BC)二P(B)P(C) P(CA)二P(C)P(A) 并且同時(shí)滿足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨(dú)立。對(duì)于n個(gè)事件類似。(15)全概公 式設(shè)事件Bl, B2,Bn滿足1 Bl, B2,，Bn 兩兩互不相容,P(Bi) 0(i =1,2，,n)，nc 2 Au U Bi，i4則有P(A) =P(B1)P(A| B1)+ P(B2)P(A| B2) + +P(Bn)P(

7、A| Bn)。(16)貝葉斯 公式設(shè)事件B1 , B2，Bn及A滿足1 B1, B2，,Bn兩兩互不相容，P(Bi)0, i = 1, 2,n ,nc 2 Au U Bi , P(A) 0 ,i 土則P(B/A)_卩舊)咻/即P(Bi/A) n, i=1 , 2,n。遲 P(Bj)P(A/Bj)j壬此公式即為貝葉斯公式。P(B), (i =1 ,2 ,，n),通常叫先驗(yàn)概率。P(BA) , (i =1 , 2 ,， n),通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了 “因果”的概率規(guī)律，并 作出了“由果朔因”的推斷。(17)伯努利概型我們作了 n次試驗(yàn)，且滿足每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；

8、 n次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即a發(fā)生的概率每次均一樣； 每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)A發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)a發(fā) 生與否是互不影響的。這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為n重伯努利試驗(yàn)。用P表示每次試驗(yàn)A發(fā)生的概率，則A發(fā)生的概率為1- p=q ,用Pn(k) 表示n重伯努利試驗(yàn)中A出現(xiàn)k(0蘭k蘭n)次的概率， Pn(k)=c：pkqn，k =0,1,2，n。第二章隨機(jī)變量及其分布(1)離 散型隨 機(jī)變量 的分布 律設(shè)離散型隨機(jī)變量x的可能取值為X(k=1,2,)且取各個(gè)值 的概率，即事件(X=X)的概率為P(X=xk)=pk, k=1,2,，則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律。有時(shí)也 用分布

9、列的形式給出：X, XX2，xk,|。P(X =xk) p1, p2,pk, 顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：0(1) pk 啟0 , k =1,2,(2)送 pk =1。(2)連 續(xù)型隨 機(jī)變量 的分布 密度設(shè)F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)f(x),對(duì)任意 實(shí)數(shù)X，有XF (x) = Jf (x)dx ,則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。f(x)稱為X的概率密度函數(shù)或密度函 數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。密度函數(shù)具有下面4個(gè)性質(zhì)：x O1 f(x)啟0。c -be2 f(x)dx = 1。(3)離 散與連 續(xù)型隨 機(jī)變量 的關(guān)系P(X =x)吧 P(xvX Ex + dx) f (x)dx積分兀f(x)

10、dx在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與P(X =xk) = pk在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。(4)分 布函數(shù)設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)F(x) =P(X 0 , k = 0,1,2八,則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為&的泊松分布，記為X 兀(丸)或者P(X)。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布(np二入，n宀乂)。超幾何分P(X k) CM 心3 k = 0,1,2，1布CNl = min(M , n)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n ,N,M)。幾何分布P(X = k) = qkp,k =1,2,3，其中 p0, q=1-p。 隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，

11、記為G(p)。均勻分布設(shè)隨機(jī)變量x的值只落在a , b內(nèi)，其密度函數(shù)f (x)在a , b上為常數(shù)b 1 a，即1a x bf(x)b-a10,其他，則稱隨機(jī)變量x在a , b上服從均勻分布，記為xU(a b)。分布函數(shù)為0,xa,x a*b - aa x b。當(dāng) ax1x20，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為化的指數(shù) 分布。X的分布函數(shù)為1-e朋，XZO,F(x)J 01 O,x0為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為卩、坊的正態(tài)分布或咼斯(GausS分布，記為2X N(嚇)。f(x)具有如下性質(zhì)：1f(x)的圖形是關(guān)于X =卩對(duì)稱的；12當(dāng)x - 4時(shí)，f；為最大值；寸2兀若XN(P2)，則X的分布函數(shù)

12、為1X(t-2F(x)= J e 亦 dtoo參數(shù)卩- 0、貯=1時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為X N(0,1)，其密度函數(shù)記為彳x2半(x)_e7，亠 5+辺，分布函數(shù)為1 X上.(x) = fe 2 dt o*2 _co(x)是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。(-X)=1-(x)且(0) =1 ox -卜2 如果X N(嚇2)，則N(0,1) oP(X1 0 (i,j=1,2,);, p二二 Pij = 1 .,pn,，Y=g(x)的分布列(yi=g(x丿)互不相等)如下：Yg(X1), g(x2),g(Xn),P(Y = yi) p1, p2,pn,，若有某些g(Xi)相

13、等，則應(yīng)將對(duì)應(yīng)的Pi相加作為g(Xi) 的概率。連續(xù)型先利用X的概率密度f(wàn)X(X)寫出丫的分布函數(shù)F(y) = P(g(X)y)，再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出 f 乂y)。第三章二維隨機(jī)變量及其分布(1)聯(lián)合離散型 分布如果二維隨機(jī)向量(X, Y)的所有可能取值為 至多可列個(gè)有序?qū)?x,y )，則稱匕為離散型隨機(jī)量。設(shè).=(X, Y)的所有可能取值為(Xi,yj)(i,j =1,2,)，且事件=(為$)的概率為 p,稱P(X,Y)=(Xi,yj) = Pj(i,j =1,2,)為.=(X, Y)的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。 聯(lián)合分布有時(shí)也用下面的概率分布表來(lái)表示：y1y2yjX1pn

14、P12P1jX2P21P22pj3aaaXiP1Pij99a9這里pij具有下面兩個(gè)性質(zhì):連續(xù)型1)對(duì)于二維隨機(jī)向量匕=(X,Y)，如果存在非負(fù)函數(shù)f (x, y)(皿x 母,亠 y 垃),使對(duì)任意一個(gè)其鄰 邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D,即D=(X, Y)|a0; 心匚 f(x,y)dxdy = 1.(2)二維 隨機(jī)變量 的本質(zhì)(X =x,Y =y) = C(X =x“Y = y)(3)聯(lián)合 分布函數(shù)設(shè)(X, Y)為二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)F(x,y)=PX 蘭x,YEy稱為二維隨機(jī)向量(X, Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和丫 的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其

15、定義域，以事件1,國(guó)2)1蟲vX(d)蘭X,皿vY佝2)蘭y的概率為函數(shù)值的一個(gè) 實(shí)值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：(1) o 蘭 F(x, y)蘭 1;(2) F(x,y )分別對(duì)x和y是非減的，即當(dāng) X2X1 時(shí)，有 F (x2,y) F(x1,y);當(dāng)討沙時(shí)，有 F(x,y 2) F(x,y 1)；(3) F (x,y )分別對(duì)x和y是右連續(xù)的，即F(x,y)=F(x+O, y),F(x, y)=F(x,y+0);(4) F ( -,-o) = F (-00, y) = F (x,-) = 0, F (性址)=1.(5) 對(duì)于X1 ex?, y1 y2,F(X2, y2)

16、-F(X2, yj-F(X1, y2)+F(X1, yJO.(4)離散 型與連續(xù) 型的關(guān)系P(X=x, Y = y)叱 P(x X 蘭x + dx, y cY 蘭 y + dy)畑 f (x, y)dxdy(5)邊緣 分布離散型X的邊緣分布為Pi. = P(X =人)=遲 Pj(i, j =1,2,).j，Y的邊緣分布為P=P(Y=yj)=2： Pj(i,j=1,2，)。i連續(xù)型X的邊緣分布密度為 fx(x) = Lof(x, y)dy； 丫的邊緣分布密度為 fY (y)=匚 f (x, y)dx.(6)條件 分布離散型在已知X=x的條件下，Y取值的條件分布為PjP(Y=yj|X=xJ= J

17、；嘰在已知Y=y的條件下，X取值的條件分布為PjP(X Xi |Y-yj)-已,Pj連續(xù)型在已知丫二y的條件下，X的條件分布密度為 f(x|y)(X，y) fY(y)；在已知X=x的條件下，丫的條件分布密度為1、 f(x,y)f(y|x)占，、fx(X)(7)獨(dú)立 性一般型F(X, Y)二 F(x)F 乂y)離散型Pj =P4有零不獨(dú)立連續(xù)型f(x,y)=f X(x)f 乂y) 直接判斷，充要條件： 可分離變量 正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài) 分布12Rx44)(y 衛(wèi))石_叮11花1/”! 廠K52丿f(x,y): e，_、2 兀 6 CT 2 十1 一 P 卩=0隨機(jī)變量 的函數(shù)若X,X2,

18、 XXm+,X相互獨(dú)立，h,g為連續(xù)函數(shù)， 則：h (X, X X)和g (Xm+,X)相互獨(dú)立。 特例：若X與丫獨(dú)立，貝卩：h (X)和g (Y)獨(dú)立。 例如：若X與丫獨(dú)立，則:3X+1和 5Y-2獨(dú)立。(8)二維 均勻分布設(shè)隨機(jī)向量(X, Y)的分布密度函數(shù)為1(x, y)DSdf (x,y) i0, 其他其中SD為區(qū)域D的面積，則稱(X, Y)服從D上的均勻分布, 記為(X Y)U (D)。例如圖3.1、圖3.2和圖3.3。yO 1x*圖3.1x圖3.2D3圖3.3(9)二維 正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量(X, Y)的分布密度函數(shù)為f(x,y)_ 1 x_4 2q：(x_1)(y_2). y-2

19、22d；2)一q2G其中1匕二1 d 0,1訃：1是5個(gè)參數(shù)，則稱(X, Y)服從二 維正態(tài)分布，記為(X Y)N( d2,打C由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布 仍為正態(tài)分布，即 XN ( J1/-i),YNel2；-f).但是若XN( %二12),丫 N(b,打)，(X, Y)未必是二維正態(tài)分布。Z=X+Y根據(jù)定義計(jì)算：Fz(z) = P(Zz) = P(X+Y“)bo對(duì)于連續(xù)型，fz(z) = Jf(x,z x)dx兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的禾和仍為正態(tài)分布(出 +卩2,02)。n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài) 分布。2 2 2卩=送 CH12丿(-：:t ：

20、 ：).我們稱隨機(jī)變量T服從自由度為n的t分布，記為Tt(n)。F分布tn) 1：.( n)設(shè)X 2( nJ,Y 2嘰)，且X與Y獨(dú)立，可以證明X / nf =芮十的概率密度函數(shù)為f (y)二:nin2.2nin2n222ni2niy2iiyni n2V2-,y250, y 0第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征我們稱隨機(jī)變量F服從第一個(gè)自由度為ni,第二個(gè)自由度為n2的F分布，記為Ff(ni, n 2).(i) 一維 隨機(jī) 變量 的數(shù) 字特 征離散型連續(xù)型期望期望就是平均值設(shè)X是離散型隨機(jī)變量， 其分布律為P(X =Xk)=Pk, k=1,2,n ,nE(X)=送 Xk Pkk=1(要求絕對(duì)收斂)設(shè)X

21、是連續(xù)型隨機(jī)變量，其 概率密度為f(x),-boE(X)= Jxf(x)dxa(要求絕對(duì)收斂)函數(shù)的期望丫=g(x)nE(Y)=E g(Xk)Pkkm丫=g(x)-boE(Y)= Jg(x)f(x)dx-0方差D(X)=EX-E(X)2,標(biāo)準(zhǔn)差2)n 2(5) 二維 隨機(jī) 變量 的數(shù) 字特 征期望nE(X)=2： Xi Pi.i 二nE(YM yjP掃boE(X)= JxfX(x)dxa-boE(Y)= JyfY(y)dya函數(shù)的期望EG(X,Y)= 送送 G(Xi,yj)Pij i jEG(X,Y)=be -beJ JG(x,y) f(x,y)dxdy-oO-oO方差D(X)=2；以E(X)

22、2p,iD(Y)=E Xj -E(Y)2p.j-boD(X)= JxE(X)2fx(x)dx_nO-boD(Y)= Jy-E(Y)2fY(y)dy-0協(xié)方差對(duì)于隨機(jī)變量X與Y,稱它們的二階混合中心矩卩11為X 與丫的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為xy或cov(X,Y)，即卩XY =*1 =E(XE(X)(Y E(Y).與記號(hào)廿xy相對(duì)應(yīng)，X與丫的方差D(X)與D(Y)也可 分別記為口 XX與bYY。相關(guān)系數(shù)對(duì)于隨機(jī)變XYJd(x)JD 為X與丫 的| Pl 0, D(Y)0,則稱Y)J相關(guān)系數(shù)，記作PXY (有時(shí)可簡(jiǎn)記為P)。 1,當(dāng)| P|=1時(shí)，稱X與丫完全相關(guān)：b) =1正相關(guān)，當(dāng)P = 1時(shí)(a

23、 a0), 負(fù)相關(guān)，當(dāng)P = 1時(shí)(a0), 寸，稱X與丫不相關(guān)。 亍題是等價(jià)的：)=0； XX)E(Y);：D(X)+D(Y); D(X)+D( Y).協(xié)方差矩陣務(wù) XX XYgyx gyy丿混合矩對(duì)于隨機(jī)變量X與Y,如果有E(XkY)存在，則稱之為 X與丫的k+l階混合原點(diǎn)矩，記為ki ； k+l階混合中心 矩記為：Uki =E(X E(X)k(Y E(Y)1.(6)cov (X, Y)=cov (Y, X);協(xié)方cov(aX,b Y)二ab cov(X, Y);差的)cov(X1+X, Y)二cov(X 1,Y )+cov(X2, Y);性質(zhì))cov(X, Y)二E(X Y)-E(X)E

24、( Y).(7)若隨機(jī)變量X與丫相互獨(dú)立，貝S Pxy=0 ；反之不真。獨(dú)立若(X, Y)沖(41,巴站厲2, P),和不則X與丫相互獨(dú)立的充要條件是X和丫不相關(guān)。相關(guān)第五章 大數(shù)定律和中心極限定理(1)大數(shù)定律X L切比 雪夫 大數(shù) 定律設(shè)隨機(jī)變量X, X2,相互獨(dú)立，均具有有限方差, 且被同一常數(shù)C所界：D(X) C(i=1,2,)，則對(duì) 于任意的正數(shù)有1 n1 nlim P-Z Xi-S E(Xi) znY Jn i二n i 4丿特殊情形：若Xi, X2, (X)二卩，則上式成為具有相同的數(shù)學(xué)期望E(1 *lim P一送 Xin- In i壬伯努 利大 數(shù)定 律辛欽 大數(shù) 定律lim P

25、 -Z Xi 8=1n Qn y)設(shè)口是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意的正伯努利大數(shù)定律說(shuō)明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)， 事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很 小，即lim p上-=0.Qn丨這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。 設(shè)X, X ，X,是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量 序列，且E (Xn)二卩，則對(duì)于任意的正數(shù)有(2)中心極限定理2Nt N(A, )n列維 林 德伯 格定 理設(shè)隨機(jī)變量x,x,相互獨(dú) 且具有相冋的數(shù)學(xué)期望和方差 E(Xk)=巴 D(Xk)=厲 2 式0(k =1,2nZ Xk - nAYk n 皿的分布函數(shù)Fn( X)對(duì)任

26、意的實(shí)數(shù) k nrZ Xk -nA lim Fn (x) = lim P? x“護(hù)nY gI此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心蟲立，服從同一分布，)，則隨機(jī)變量X,有1x J_厲翳2 dt. J、極限定理。棣莫 弗 拉普 拉斯 定理設(shè)隨機(jī)變量Xn為具有參數(shù)n, p( 布，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)X,有Xn - np1/=lim PJ . = fnY Jnp(1 P) ,U2n(0p0，貝卩kC：pk(1-p)ZT ；(nT .k!其中k=0, 1, 2,，n,。二項(xiàng)分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布(1)數(shù)理 統(tǒng)計(jì)的基 本概念總體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把被考察對(duì)象的某一個(gè)(或多個(gè)) 指標(biāo)的全體稱為總體(

27、或母體)。我們總是把總體看 成一個(gè)具有分布的隨機(jī)變量(或隨機(jī)向量)個(gè)體:總體中的每一個(gè)單兀稱為樣品(或個(gè)體)t樣本我們把從總體中抽取的部分樣品石見，,xn稱為樣 本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n 表示。在 般情況下，總疋把樣本看成疋n個(gè)相互 獨(dú)立的且與總體有相同分布的隨機(jī)變量，這樣的樣 本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。在泛指任次抽取的結(jié)果時(shí)， X1,X2，Xn表示n個(gè)隨機(jī)變量(樣本)；在具體的一 次抽取之后，X1,X2, ,Xn表示n個(gè)具體的數(shù)值(樣 本值)。我們稱之為樣本的兩重性。樣本函數(shù) 和統(tǒng)計(jì)量設(shè)XX2,，Xn為總體的一個(gè)樣本，稱9 =P(XX2,Xn)為樣本函數(shù)，其中為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。如

28、果中不 包含任何未知參數(shù)，則稱(XX2,，Xn )為一個(gè) 統(tǒng)計(jì)量。常見統(tǒng)計(jì) 量及其性 質(zhì)1 n樣本均值X= Xi.n i_j樣本方差1 nS2 -送(Xi X)2.n-1i=i樣本標(biāo)準(zhǔn)差sj亠無(wú)(Xi X)2.和-1y樣本k階原點(diǎn)矩1)kM k = 送 Xi , k =1,2，.n i 二樣本k階中心矩1 n - kM；E ( -x) ,k=2,3，.n i呂2E(X) = ，D(X) = ，nE(S2)2，E(S* )-a ,n1 n 其中s*2=送(Xi-X)2，為二階中心矩。n y(2)正態(tài) 總體下的 四大分布正態(tài)分布設(shè)X1，X2,Xn為來(lái)自正態(tài)總體N (巴仃彳)的個(gè)樣本， 則樣本函數(shù)d

29、ef X 卩u 一一 N(0,1). / Jnt分布設(shè)X1,X2 Xn為來(lái)自正態(tài)總體N (巴0 2 )的一個(gè)樣本， 則樣本函數(shù)def X 4t廠 t(n 1),s/它n其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。滬分布設(shè)人,X2，&為來(lái)自正態(tài)總體N (聽2)的一個(gè)樣本， 則樣本函數(shù)2def (n 1)S譏w=2 上2(n _ 1),CT 2其中,(門-1)表示自由度為n-1的,分布。F分布設(shè)X1,X2，,Xn為來(lái)自正態(tài)總體N （出巧）的一個(gè)樣 本，而yr,yn為來(lái)自正態(tài)總體n（aq；）的一個(gè) 樣本，則樣本函數(shù)def Sf/W2F/ 2 F（m 1,n2 1）,S2 / 2其中2 1 n1- 2

30、 2 1n2- 2S1 -瓦（xi - x） ,S2 -（yi - y）,n1 - 1 i n2 - 1 i二F（q 1, n2 -1）表示第一自由度為n1 -1 ,第二自由度 為壓-1的F分布。（3）正態(tài) 總體下分 布的性質(zhì)X與S2獨(dú)立。第七章參數(shù)估計(jì)矩估計(jì)（1）點(diǎn)估計(jì)設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)1門2廠Cm，則其分布函 數(shù)可以表成F（x;九如,如.它的k階原點(diǎn)矩Vk二E（Xk）（k=1,2,m）中也包含了未知參數(shù)二1門2,，珀， 即Vk VkU門2,Jm）。又設(shè)Xi,X2, ,Xn為總體X的n個(gè)樣 本值，其樣本的k階原點(diǎn)矩為1 kXi （k =1,2,m）.n i生這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等

31、于其估計(jì)量時(shí)，總體矩等于相 應(yīng)的樣本矩”的原則建立方程，即有A AA 1 nV1 （日1 ,日2 ,，日m）Xi ,n 7A AA 1 n 2V2（d,02，,%）=Xi ,n i =1小八1nmVmf 2,，X；. n i m由上面的m個(gè)方程中,解出的m個(gè)未知參數(shù)虜,4,日爲(wèi)即 為參數(shù)L1宀,，入）的矩估計(jì)量。若二為，的矩估計(jì)，g（X）為連續(xù)函數(shù)，則g（詢?yōu)間L）的矩 估計(jì)。極大似 然估計(jì)當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布密度為 f(X；0冃2,，亦)，其中日1,日2,，為未知參數(shù)。又設(shè) Xi,X2,，Xn為總體的一個(gè)樣本，稱nL(01 月 2,8m) = f (Xi 1 月 2,0m)i

32、4為樣本的似然函數(shù)，簡(jiǎn)記為L(zhǎng)n.當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布律為PX = = p(X；d，日2，,8m)，則稱nL(Xi,X2，Xn,日 2,8m) = P(Xi；也 0，)i=1為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù)L(Xi,X2，,Xn；日1,日2,，日m)在&,&2，,fm處 取到最大值，則稱日1,日2,0m分別為6,02, ,8m的最大似 然估計(jì)值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為最大似然估計(jì)量。剖n Lnc 2y=0,i =1,2,，m若&為日的極大似然估計(jì),g(x)為單調(diào)函數(shù)，則為g(T) 的極大似然估計(jì)。(2) 估計(jì) 量的 評(píng)選 標(biāo)準(zhǔn)無(wú)偏性設(shè)8 = 0(x1,x2 - ,xn)為未知參數(shù)日的估計(jì)量。

33、若E (日)-日， 則稱0為日的無(wú)偏估計(jì)量。E( X)二E(X), E (引=D(X)有效性設(shè)日1 =01(X1,X,2，,Xn)和日2 =02(X1,X,2，,Xn )是未知參數(shù) 日的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量。若D但1) D(日2),則稱。1比日2有效。致性設(shè)fn是日的一串估計(jì)量，如果對(duì)于任意的正數(shù)，都有A鏟-日|以)=0, 則稱金為日的 致估計(jì)量(或相合估計(jì)量)。若&為日的無(wú)偏估計(jì)，且D(閔T 0(nT,則苗為B的 致 估計(jì)。只要總體的E(X)和 D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù) 函數(shù)都是相應(yīng)總體的一致估計(jì)量。(3) 區(qū)間 估計(jì)置信區(qū) 間和置 信度設(shè)總體X含有個(gè)待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本

34、X1, X,2，,xn出發(fā)，找出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)1 =日1 (X1, X,2，,xn )與 ，2(X1,X,2，,Xn)(d0，使得區(qū)間4,日 2以1 -。(0 V1)的概率包含這個(gè)待估參數(shù)，即P何蘭日弐2 =1 -3那么稱區(qū)間日1,巧為日的置信區(qū)間，1 為該區(qū)間的置信 度(或置信水平)。單正態(tài) 總體的 期望和 方差的 區(qū)間估 計(jì)設(shè)Xi,X,2,Xn為總體XN(U2)的一個(gè)樣本，在置信度 為1 下，我們來(lái)確定和匚2的置信區(qū)間如如。具體步 驟如下：(i )選擇樣本函數(shù)；(ii )由置信度1-，查表找分位數(shù)；(iii )導(dǎo)出置信區(qū)間九如。已知方差，估計(jì)均值(i)選擇樣本函數(shù)X - 1 u= N(0,1).- / n(ii)查表找分位數(shù)X- / n未知方差，估計(jì)均值(iii )導(dǎo)出置信區(qū)間 I-汀 o二 Xn