極限的求法及技巧.

1、本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目極限的求法及技巧The Method and Techniques of the Limit山東財(cái)經(jīng)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明 所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行研究工作 所取得的成果.除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個(gè)人或集體 已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體， 均已 在論文中作了明確的說明并表示了謝意本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān).學(xué)位論文作者簽名 年月日山東財(cái)經(jīng)大學(xué)關(guān)于論文使用授權(quán)的說明本人完全了解山東財(cái)經(jīng)大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)士學(xué)位論文的規(guī)定，即學(xué)校有權(quán)保留、送交論文的復(fù)印件，允許論文被查閱，學(xué)校可以公布

2、論文的全部或部分內(nèi)容，可以采用影印或其他復(fù)制手段保存論文 .指導(dǎo)教師簽名 論文作者簽名 年月日年月日極限的求法摘要求數(shù)列和函數(shù)的極限是數(shù)學(xué)分析的基本運(yùn)算，而對(duì)極限的求法也是多種多樣.本文首先闡述了數(shù)列極限以及函數(shù)極限的定義，然后著重歸納分析了求解極限的各種方法，包括四則運(yùn)算求極限法則、利用函數(shù)連續(xù)性求極限、利用兩個(gè)重要極限求極限是求極限的基本 方法，夾逼定理和單調(diào)有界定理是重要的定理，而洛必達(dá)法則求極限、利用泰勒公式求極限方法等是針對(duì)某些特殊函數(shù)或數(shù)列的求極限方法，以及一些常用的求極限方法，總共歸納了十三種求極限的主要方法，并針對(duì)每種方法作了詳盡闡述，配以例題，對(duì)各種求極限 方法及技巧進(jìn)行了歸

3、納總結(jié)，從而幫助我們掌握極限的求法關(guān)鍵詞 極限；泰勒公式；函數(shù)連續(xù)性；夾逼定理；洛必達(dá)法則；The Method and Techniques of the LimitABSTRACTFor the sequence and the limit of a function is a mathematical analysis of basic operation ， Ultimate solution to a wide range. First described has series limit and function limit of defines, then focuses on

4、antibody analysis has solution limit of several method, arithmetic begged limit rule, and uses function continuity begged limit, and uses two important defines begged limit is begged limit of basic method, clip forced theorem and monotone has defined acting is important of theorem, and L hospital ru

5、le begged limit, and uses Taylor formula begged limit method, is for some special function or series of begged limit method, and some com mon of begged limit method, An tibody in a total of 12 primary approaches to the limit.Keywords : Limit ； Taylor formula ； function continuity ； both sides clip l

6、aw ； L hospital rule目錄一、弓I言 1二、極限的定義 1（一）數(shù)列極限的定義 1（二）函數(shù)極限的定義 21. 當(dāng)X，時(shí)f（x）的極限定義 22. 當(dāng)X廠：時(shí)f （X）的極限定義 23. 當(dāng)X X。時(shí)f（x）的極限定義 24當(dāng)X-； X。時(shí)f （X）的極限定義 2三、 極限的求法 3（一）四則運(yùn)算求極限法則 3（二）利用函數(shù)連續(xù)性求極限 4（三）復(fù)合函數(shù)求極限法則 5（四）利用兩個(gè)極限準(zhǔn)則求極限 51利用夾逼定理求極限 52 利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限 6（五）利用兩個(gè)重要極限求極限 71當(dāng)極限含有三角函數(shù)時(shí) 72 極限中含有幕指函數(shù)時(shí) 7（六）利用洛必達(dá)法則求極限 71 .型未

7、定式 702.型未定式 83 其他未定式形式極限 9（七）利用等價(jià)無窮小因子替換求極限 9（八）利用無窮小量的性質(zhì)求極限 10（九）利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 10（十）利用定積分的定義求極限 11（十一）利用泰勒公式求極限 12（十二）利用函數(shù)極限求數(shù)列極限 14（十三）利用拉格朗日中值定理求極限 14參考文獻(xiàn)16、引言極限是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的過程中最基本的概念之一，極限是指變量在一定的變化過程中，從總的來說逐漸穩(wěn)定的這樣一種變化趨勢(shì)以及所趨向的極限值極限的概念最終是由柯西和維爾斯特拉斯等人嚴(yán)格闡述的而在現(xiàn)代的數(shù)學(xué)分析中，幾乎所有的基本概念都是建立在極限概念的基礎(chǔ)之上的， 例如連續(xù)、微分、積分.極限的

8、求法是研究函數(shù)的一種基本的方法，學(xué)好極限在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的過程中具有重要意義 本文首先闡述了極限的定義，分別敘述了數(shù)列極限的定義以及函數(shù)極限的定義，然后著重分析歸納 了求極限的方法，主要有四則運(yùn)算求極限法則、復(fù)合函數(shù)求極限法則、利用兩個(gè)極限準(zhǔn)則求極限、 利用兩個(gè)重要極限求極限、利用洛必達(dá)法則求極限、利用等價(jià)無窮小因子替換求極限、利用無窮小 量的性質(zhì)求極限、利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限、利用定積分的定義求極限、利用泰勒公式求極限、利用 函數(shù)的連續(xù)性求極限、利用拉格朗日中值定理求極限十二種方法求極限，在做求解極限的題目時(shí)， 必須要透徹清晰的明白以上方法所需的條件，同時(shí)細(xì)心分析，選擇出適當(dāng)?shù)姆椒ǎ岣咦鲱}的準(zhǔn)

9、確 率.在求極限的過程中，會(huì)經(jīng)常發(fā)現(xiàn)一道題可以運(yùn)用多種方法求解，我們從中可以得到的其實(shí)是每 種方法之間都有一定的聯(lián)系，特殊題型也有特殊方法求解，同時(shí)也可以利用變量替換，化簡(jiǎn)等方法 轉(zhuǎn)變成另一種方法求解.我們?cè)诮忸}時(shí)，四則運(yùn)算求極限、函數(shù)連續(xù)性求極限是最基本的方法，洛必 達(dá)法則求極限、等價(jià)無窮小因子替換、兩個(gè)重要極限求極限是常用的方法，但是等價(jià)無窮小因子替換定理只能應(yīng)用在乘除因式中，不能在和差中替換，而洛必達(dá)法則求未定式的極限只能在求-型和0型未定式時(shí)使用，其他形式的未定式求解需要轉(zhuǎn)化成為求0型和一型未定式的形式，這都是我r0:們需要注意的.求極限必須在極限存在的基礎(chǔ)下進(jìn)行，根據(jù)不同的形式選擇不

10、同的方法，合理利用各種計(jì)算方法，或者可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕Y(jié)合，以期能夠準(zhǔn)確、簡(jiǎn)單、快捷地求出答案、極限的定義（一）數(shù)列極限的定義定義1.1 設(shè)：an 為數(shù)列，a為定數(shù).若對(duì)任給的正數(shù)；，總存在正整數(shù) N，使得當(dāng)nN時(shí)有an - a y，則稱數(shù)列 訂收斂于a,定數(shù)a稱為數(shù)列 曲的極限，并記作nim an二a 或 an； a(n；:=)讀作當(dāng)n趨于無窮大時(shí)， a的極限等于a或an趨于a ”(二) 函數(shù)極限的定義1. 當(dāng)Xr : T時(shí)f(X)的極限定義定義1.2 設(shè)f為定義在a, ：)上的函數(shù)，A為定數(shù).若對(duì)任給的；.0,存在正數(shù) M(_a), 使得當(dāng)x . M時(shí)有f(x)A ：；，則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于：時(shí)

11、以A為極限，記作xm f(X)= a 或 f(x)t a(xt +=c).2. 當(dāng)x時(shí)f(x)的極限定義定義1.3 設(shè)f為定義在(-：,-a) 一 a, ：)上的函數(shù)，A為定數(shù).若對(duì)任給的； 0 ,存在正 數(shù)M (_ a)，使得當(dāng)x - M時(shí)有f (x)-A ,則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于：時(shí)以A為極限，記作lim f (x)二 A 或 f (x)r A(x：).3當(dāng)X冷時(shí)f (x)的極限定義定義1.4 設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)x0的某個(gè)空心鄰域 U：(x;J)內(nèi)有定義，A為定數(shù)若對(duì)任給的；0 , 存在正數(shù)(&)，使得當(dāng)0v|x-X0 6時(shí)有f(x)-A，則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于x0時(shí)以A為極限，記作lim f(x)=A

12、 或 f(x) A(xr x0).X)4.當(dāng)X-; X0時(shí)f X的極限定義定義1.5 設(shè)函數(shù)f在UXo；、；)內(nèi)有定義，A為定數(shù).若對(duì)任給的；.0 ,存在正數(shù)、：C：J),使得當(dāng)Xo -、. ：: XX0時(shí)有f (x) A OC=Au lim f (x A且 lim f(x)=AX燈x汽一吧f (x) =心對(duì)任何數(shù)列Xn, xn Xo且3加=1,2)，有22lim f xn 二 A.X L :三、極限的求法(一)四則運(yùn)算求極限法則利用四則運(yùn)算求極限法則是最基本、最直接的方法，但需要注意的是各個(gè)函數(shù)的極限必須存在且分母的極限不能為零.在無法直接使用四則運(yùn)算法則求極限的情況下，需要先化簡(jiǎn)變形，之后

13、再利用四則運(yùn)算求極限法則.定理2.1 (四則運(yùn)算法則)設(shè)lim f X二A，limg x = B，則lima f(x) g(x) =Xma f (x)迥 g(x)= a blim 3xa g(x)lim f (x)x jalim g(x)X舊 f (x) 士g(x)=匹 f(xptlimag(xB1 求 lim x 1x 1 2x _x_1X2 -1lim= lim (x 心)=limx 1 2x -x-1 x 1 (x _1)(2x1) x 1x 12x 1lim( x 1)1 1 _ 2lim(2 x 1)2 13若 lim f x 二 A， lim g(x)不存在，則 limx_ax )

14、ax af x ) g x( 不存在也不為0 ； A = o ,則lim f X)g X) Xima g(x)均不存在.(二)利用函數(shù)連續(xù)性求極限定義2.1設(shè)函數(shù)f在某U(xo)內(nèi)有定義若xm f(X)二仏)x Jx0則稱f在點(diǎn)xo連續(xù).為引入函數(shù)y = f(x)在點(diǎn)怡連續(xù)的另一種表述，記x= x-x0.稱為自變量x (在點(diǎn)怡)的增量或改變量.設(shè)y0二f (x0)，相應(yīng)的函數(shù)y (在點(diǎn)x0)的增量記為y = f (x) - f (xo fX：x) - f %) = y-y注自變量的增量或函數(shù)的增量可以是正數(shù)，也可以是0或負(fù)數(shù).引進(jìn)了增量的概念后，易見“函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)x0連續(xù)”等價(jià)于

15、lim y = 0結(jié)論 若函數(shù)f在x0點(diǎn)連續(xù)，則函數(shù)f在X。點(diǎn)有極限，且極限值等于函數(shù)值f(X。).推廣定理 設(shè)復(fù)合函數(shù)y = f(x) 1是由函數(shù)y = f(u)， u =(x)復(fù)合形成的，并且lim(x)二a,lim f (u)二 f (a)，X)a則y = f （：:（x）在x=x0點(diǎn)處的極限存在且lim f (x) = flim (x) = f (a) jxox )x)Xa 1 求limX 0 x解 令 ax -1 = y，則 x = loga (V y)，當(dāng) x； 0 , y 0時(shí)，于是有l(wèi)im x_ox= limy 0 loga(1 y)= lim loga(1 y)01 =s1g

16、(1 + y)y1 = 1-；logae logalJm0(1 +y)y（三）復(fù)合函數(shù)求極限法則定義2.2對(duì)于一些結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜、變?cè)^多的數(shù)學(xué)問題，引入一些新的變量進(jìn)行代換，以簡(jiǎn)化其結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到解決問題的目的，這種方法叫做變量代換法常用的變量代換主要有局部代換、整體代換、三角代換、分式代換、對(duì)稱代換、增量代換等”兀X例 3 求 lim(1 - x) tan -解先做變量替換，令t =1 -X，則X =1 -t，且Xr 1時(shí)，有tr 0所以lim(1 -x)ta nx=lim t tan2 t o二一 =limt2t )o. tt 2lim=limt=o恵 t t=o二tan 22（四）利用兩

17、個(gè)極限準(zhǔn)則求極限1 利用夾逼定理求極限定理22 (夾逼定理) 設(shè)有三個(gè)數(shù)列Xn?、 yn?、zj，若存在自然數(shù)N，當(dāng)n N時(shí),恒有yn乞Xn乞Zn且 lim yn = lim zn = a，貝y lim xn = a .n廠n 廠nj:12n例 3 求 lim ( 22)nn n 1 n n 2 n n n解因?yàn)?2nn2 n nn2 n 1 n2 n 2n2 n 1又因?yàn)閘imnjc二 lim 2 2n 廠 n n 11 +2 +3 + nlimn所以用夾逼定理得nim(n2 n 1n2 n 2n2利用夾逼定理求極限時(shí)， 應(yīng)注意做適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小，且放大和縮小后所得兩個(gè)數(shù)列 (或函數(shù))的極限

18、相同.2.利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限定理2.3單調(diào)有界數(shù)列必有極限結(jié)論單調(diào)遞增數(shù)列有上界必有極限；單調(diào)遞減有下界數(shù)列必有極限例4設(shè)數(shù)列xn滿足0 ： % :二，xn厲=sinxn(n =1,2,3)，證明lim Xn存在，并求出lim Xn.解 因?yàn)?0 ：為：二，則 0 ： x2 二 si玄1 ：二.假設(shè) 0 cxn 兀，由 Xn =sinXn，可推得 0 cxn = sinx.蘭 1 s,(n = 1,2,3 )，則此數(shù)列有界xsin x又亠 = x0f(X)- f(X。)X X存在，則稱函數(shù)f在點(diǎn)X0處可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù)f在點(diǎn)X0處的導(dǎo)數(shù)，記作令x二x x0，丁y二f （瓦 ax） -

19、f （x0），則上式可寫成Ay . f (Xo + 心X) f (Xo) J、 limlimf (x)x ：0. lx - x Px所以，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量：y與自變量增量決之比y的極限Z例13設(shè)f x在a可導(dǎo)，求極限xm0f（a x）xf（ax）解f (a x) - f (a -x) =lim f (a x) - f(a) f(a) - f (a -x) =iimxJ0xf (a x) - f (a) f (a) - f (a - x)xllmx 0f (a x) - f (a)xf(a -x) - f 門-xf(a) f(a) =2f(a)（十）利用定積分的定義求極限定義2.4設(shè)f是定義在a,

20、b上的一個(gè)函數(shù)對(duì)于a,b的一個(gè)分割T 乂亠心，任取點(diǎn)i .：i,i =1,2,3,n,并作和式并稱和式為函數(shù) f在上a, b的一個(gè)積分和，也稱黎曼和.定義2.5 設(shè)f是定義在a,b上的一個(gè)函數(shù)，J是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).若對(duì)任給的正數(shù)，總存在某一個(gè)正數(shù)：，使得對(duì)a,b的任何分割T，以及在其上任意選取的點(diǎn)集 i，只要T ，就有則稱函數(shù)f在區(qū)間a,b上可積或黎曼可積； 數(shù)J稱為f在a,b上的定積分或黎曼積分，記作bJ = i f x dx*a其中，下限和上限f稱為被積函數(shù)，X稱為積分變量，a,b稱為積分區(qū)間，a, b分別稱為這個(gè)定積分的注 我們常用極限符號(hào)來表達(dá)定積分，即把它寫成nbJf( i) Xi

21、= a f(x)dx1例 14 求 lim(-4n 2n解4n +1 4n +24n 2n1+4 Zn2 1所以，原式= 0dx二ln(4 x)*32nTc 4n+1 4n+2（十一）利用泰勒公式求極限在處理某些特殊函數(shù)的極限時(shí)，用其他方法會(huì)受到一定的限制或計(jì)算過于繁瑣，這是考慮用泰 勒展開式或邁克勞林公式來求解定理2.7若函數(shù)f在點(diǎn)x0存在n階導(dǎo)數(shù)，則有f(X)工 f(Xo) f (Xo)(X -Xo)f (Xo)2!(x-X0)2 f 字(X-X)no(x -X)n).n!注用的較多的是泰勒公式在 x0 = 0時(shí)的特殊形式f (x)二 f(0) f(0) f-(0)x2 2!f(0)xn

22、o(xn) n!它也稱為（帶有佩業(yè)諾余項(xiàng)）邁克勞林公式常用的邁克勞林公式n僉。（門2(1) ex =1 x Z2!2mX2m、+ o(x )35(2)sinx=x扌;3)mm-1)!(3)24x x cos X = 1 - 一一 2!4!2m -1)mb-o(x2m1)2623n(4)ln (1 x)=x_x x(-1)no(xn)2!3!n!(5)1) 2(1 x)T j hx亠 o(xn) n!1(6)1 X X2 亠 亠 xn o(xn)1 -x例15求極限limcos x ex4解本題可用洛必達(dá)法則求解，但是較繁瑣考慮到極限式的分母為 xx2 _2，我們用邁克勞林公式表示極限式的分子（

23、取n=4）2用-替換公式（1）中的x，便得2x2e2224丄22 2!x2n2nn!-o(x2n)24ww則cosx=1o(x4)224cosx 一 e12o(x4)因而求得42cosx -e 2-X o(x4) =x叫（十二）利用函數(shù)極限求數(shù)列極限若lim f (x) = A，則對(duì)于-Xn ,有l(wèi)im f(Xn) = A .由這一結(jié)論，可以得到求數(shù)列極限 X 廠：n j:Hm yn的如下方法 若數(shù)列1*1可以看成某函數(shù)在數(shù)列：Xn?上的值，即yn二f (Xn)(n = 1,2,3), T :且 xn； ： ；：,若 lim f (x)二 A，則nx r：:lim yn = lim f (xn) = lim f (x) = A.nnx j-：:特別的，若 lim f (x)二 A， yn = f