一種混沌非線性系統(tǒng)地魯棒控制

1、一種混沌非線性系統(tǒng)的魯棒控制通過應用反饋精確線性化方法給出了受控一類混沌系統(tǒng)的標準型，然后利用標準形將線性部分和非線性部分的分離特點進行了魯棒控制器的設計，由此設計出原混沌系統(tǒng)的非線性魯棒控制器。1、受控混沌系統(tǒng)的標準型 考慮一下一類混沌系統(tǒng)：Xi = 10（x? Xi） + 25a（ X2 X-|）（1）* X2 = 28xi x? Xi X3 （35Xi 29x2） aXXiX3X3aX3首先引入輸出信號y = %，構造如下受控混沌系統(tǒng):X =10（x2 -xj +25a（x2 -為）x2 =28咅x2 x,% （35x, 29x2）a + u8 1X3 =X1X2-孑3-尹冷y訂其中u是

2、控制參變量，其它參數(shù)同系統(tǒng)（1 ）。本文中所采用方法的目的是根據(jù)系統(tǒng)（2）本身的特點來設計魯棒控制器，使得統(tǒng)一混 . ” * * * * * *沌系統(tǒng)（2）收斂到指定的平衡點 （為公2,乂3）處，顯然（X1,X2,X3）應滿足下列方程:0 =10（x2 -論）+25a（x2 -論）0 =28為-x2 -乂3 -（35x1 -29x2）a（3）* * 8 * 1 *0 = % x2 一 x, 一 ax32333式（2）減式（3）得% =10山 一 yj +25aS yjy2 =（28x；）y3 y2xdy（35% 29y2）a+u*丄 *81（ 4）y3 = y2 +X2% +x2 3丫3 ：a

3、y33300* * * *其中 y1 =X1 X1 ,y2 =X2 X2, y3=X3X3,y = yX1。通過上述分析，要設計魯棒控制器使得混沌系統(tǒng)（2）收斂到指定的平衡點（X*, X； , X；）處,就是使受控統(tǒng)一混沌系統(tǒng)（4）收斂到平衡點（0,0,0 ）處。為了敘述方便，將式（4）簡記為下列的式（5）:X =10(冷xj+25a(x2 xjx2 =(28 -爲)! x2 4X3 (35xj 29x2)a +u8 1x3 =x-!x2 +a2x 召 - i0x? - 10a z - 10Z1ZLz = _ _- z + 佝 + a2) N + 才 + 色 z2 +互31010則有：z -

4、z2 25az22z3 = Lfh(x) + LgLf h(x)u 10258(X2 x,) +10 匯 35x29x2)a= (270 -10a3)z1 -11z2 -10a1 -10a1z (4z2-60zja 10u取狀態(tài)反饋1 2 1u =(LgLfh(x) (v -L：h(x)(v -(270 -10a3)y1 11y2 10a1z 10y1z)10v為引入的新控制變量。則系統(tǒng)(8)可化為如下標準型：z = 一a z +佝 十a2)乙+才 十旦1 z2十上131010* 4 =勺 +25az2z2 =v +(4z2 60zja又因dfg(x)=000f

5、(x)-28 - a3 - x3-1a 一 x 1i000 一-X2 + a2X1 +30一1 ?_-_x1_，故矩陣01 g(x),adfg(x)= 0 一0-100A=(g(x) adfg(x) g(x), ad f g(x) = 110 的秩 r(A) = 20Xi ai 0因此由上述討論可知系統(tǒng)(6)與系統(tǒng)(9)是反饋等價系統(tǒng)。如果能構造出系統(tǒng)(9)的魯棒控制器V ,那么也就可以得到系統(tǒng)(6)的魯棒控制器了。3、非線性魯棒控制器的設計混沌系統(tǒng)的標準型(9)已將系統(tǒng)(6)的線性部分與非線性部分分離出來。這樣可以通 過構造線性魯棒控制器 V使得線性部分的漸近性來控制非線性部分的漸近性。對線

6、性部分：(10)z,二 z, 25az2z2 =v (4z2 -60zJa可以通過線性控制律 v =匕 k2y2使得子系統(tǒng)(10)的魯棒穩(wěn)定。定理1如果線性控制律 v = pz qz2的參數(shù)滿足(p,q) M =( p,q): p ：0,q ： -4，則線性控制律 v = qz2使得子系統(tǒng)(10)的魯棒穩(wěn)定。證明 將線性控制律v = pzi qz2代入式(10)得乙二乙 25az22( 11)z2 = pz1 qz2 (4z2 -60乙歸設系統(tǒng)(11)的特征多項式為 f)，則：fC) = 2 -(4a qr - (r 25a)(p-60a)當(p,q) M =( p, q): p : 0,q

7、： -4，又 0 a 1，則:(1 25a)(p 60a) 0,(4 a q) 0.故特征多項式方程 f () = 0的所有根的虛部為負，故系統(tǒng)(11)魯棒穩(wěn)定。對線性系統(tǒng)(11)來說，漸近穩(wěn)定意味指數(shù)穩(wěn)定。則由指數(shù)穩(wěn)定的定義知：f C ) = 0 c 00有引蘭ce,i =1,2( 12)對于非線性子系統(tǒng)8 +a i / 丄、2 x a11 Z1Z2zz (q a?)Z1 Zz-Z2- -( 13)31010為討論問題的方便，現(xiàn)考慮平衡點 (0,0,0)的鎮(zhèn)定，此時a =a2二a3 =0，( 13)式變?yōu)樯?10(14)其他平衡點的討論類似。為了討論式(14)在一定條件下的穩(wěn)定性，現(xiàn)引入引理

8、1。引理1若非負函數(shù)V(x(t),t)滿足下列不等式V(x,t)-aV(x,t) beja 0,b_0,：0 則 timV(x,t)=0證明 令 w(t)二V(x,t) aV(x,t) -be，則:w(t)空 0,_t _ t0又O W(x,t) 7仇出)嚴0)V(Xo,to)e(tJo)bea e4)sds =先0V(Xo,to)e(tA) +b(t-to)eRa = PV(Xo,to)e(t3 +(護e(t40), p P 、.一a _ P顯然當tr :時式(15)不等式右端均指數(shù)趨于 0。因此：lim V(x,t) =0證畢。t_ :現(xiàn)取Lyapunov函數(shù)V(z(t) =z2，應用式(

9、12)及不等式2ab _ a2 b2,一 a,b可得2(8 a) 222z(Z2Zz +2zjz+102 2 2 4.10 242 z1Z2 z .127 211c 加zz, z ze3103010V l(14)=3(16)將引理1應用于式(16)可知lim V(z(t) =0，從而lim z(t0即式(14)z_子系統(tǒng)是指數(shù)收斂于原點z = 0。說明滿足定理1的控制器v = k1y1亠k2 y2可使系統(tǒng)(9 )魯棒鎮(zhèn)定到原點。通過以上分析可得到下列定理2定理2 如果非線性控制器取為 u = 1 (v-(270 -10a3)z1 11z2 10a1z 10乙z)10X1X3p T0q 10a3 - 38010X1 (q 11)X2 a/3其中（p,q）. M 二（ p,q）: p ：0,q ： 一4,總）為系統(tǒng)（1）的平衡點。則系統(tǒng)（5）指數(shù)收斂于（0,0,0） o4、仿真這里我們將舉例說明定理 2的有效性。若取p - -1,q - -6,（a1,a2,a3（0,0,0）, a = coS（t）（這是未知參數(shù)即擾動項，為了仿真特取此值）。此時，非線性魯棒控制器為 u =乂瘁3 -321為 5x2，利用Simlink仿真,結果 見圖1，系統(tǒng)（