中值定理證明

1、中值定理首先我們來看看幾大定理：1、 介值定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且在該區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f(a)=A 及f(b)=B，那么對(duì)于A與B之間的任意一個(gè)數(shù) C,在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)E使得f( E )=C(aE b).Ps:c是介于A、B之間的，結(jié)論中的E取開區(qū)間。介值定理的推論:設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),則f(x)在a,b上有最大值 M最小值m,若m w CW M,則必存在E a,b, 使得f( E)=C(閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。此條推論運(yùn)用較多)Ps:當(dāng)題目中提到某個(gè)函數(shù)f(x),或者是它的幾階導(dǎo)函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上連

2、續(xù)，那么該函數(shù)或者其幾階導(dǎo)函數(shù)必可以在該閉區(qū)間上取最大值和最小值，那么就對(duì)于在最大值和最小值之間的任何一個(gè)值，必存在一個(gè)變量使得該值等于變量處函數(shù)值。2、 零點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)，即f(a).f(b)0,那么在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)E使得f( E )=0.Ps:注意條件是閉區(qū)間連續(xù)，端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，結(jié)論是開區(qū)間存在點(diǎn)使函數(shù)值為0.3、羅爾定理：如果函數(shù)f(x)滿足：(1) 、在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2) 、在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；(3) 、在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值相等，即f(a)=f(b). 那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)E (a E b),使得f(x)

3、=O;4、 拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f(x)滿足：(1) 、在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2) 、在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)E (a E b),使得f(b)-f(a)=f( E ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函數(shù)f(x)及g(x)滿足(1) 、在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2) 、在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；(3) 、對(duì)任一 x(ax0)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0(1) 、寫出f(x)的帶拉格朗日余項(xiàng)的一階麥克勞林公式(2) 、證明在-a,a上至少存在一點(diǎn) 用使得a3f(q)f(x)dx第一問課本上記住了寫出來就行，考的很基礎(chǔ)(1)、f(xr f(0) 3x f

4、Ux2 = f(0).x Jx21! 2! 2!(2)、第二問先將第一問的式子 f(x)代入看看有什么結(jié)果出來f f(x)dx= f匚4 x2dx，f(3此處不能直接拿到積分號(hào)外面，因?yàn)樗皇桥cx無關(guān)的數(shù)。做-a-a2到這兒，我們想辦法把他弄到積分號(hào)外面似乎就能出來，有了這樣想法就得尋求辦法。題目中說道f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，為何要這樣說呢，我們知道連續(xù)函數(shù)有最大值，最小值，往往會(huì)接著和介值定理一 起運(yùn)用。所以有：因?yàn)閒(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，所以存在最大值和最小值，設(shè)為M,m則對(duì)于區(qū)間-a,a，m 乞 f、(x)空 M , mx2 空 f( ) x Mx2所以由介值定理有結(jié)論成立。Ps：本題是

5、以前的一道真題，具體哪年也記不得了，主要就是考到介值定理的運(yùn)用。題目中說的很明 白的，有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，往往當(dāng)題目中提及到什么連續(xù)啊，特別是對(duì)于導(dǎo)函數(shù)連續(xù)的，我們總得注意 下他有最大值，最小值，進(jìn)而與介值定理聯(lián)合運(yùn)用。5、設(shè)f(x)在訶上連續(xù), 且$ (x) dx = 0, f (x) cosxdx = 0.證明：在(0內(nèi)至少存在兩個(gè)不同點(diǎn)HR使得f 4)= f屈)=0本題看似很簡(jiǎn)潔，但做起來去不容易。結(jié)論是證明等式成立且為 0,很容易讓我們想到羅爾定理，我們?nèi)绻苷业饺齻€(gè)點(diǎn)處函數(shù)值相等，那 么是不是就能有些思路了呢。x令：F(x) = f(t)dt,x 0,二,F(0)=F(二)=0似乎只需在

6、找出一點(diǎn)F(c)=0 即可。，如果一切如我們所想，證明也就完成了 兀兀I jr r兀予f(x) cosxdx= cosxdF(x) =cosx F(x)0 + * sinx F(x)dx = 0似乎已經(jīng)找到這個(gè)點(diǎn)了。但是積分中值定理中，是取閉區(qū)間，如果要用的話得先構(gòu)造函數(shù)用拉格朗日x中值定理來證明其在開區(qū)間內(nèi)成立。構(gòu)造函數(shù)G(x) sint F(t)dt,x0,二具體的證明步驟和上面涉及到的一樣，自己去證。證完后就得到所以有：F(0) =F(c) = F(：)=0,c(0,二)接下來的證明就和第一題中第二小問一樣了，具體就不去證明了，自己證，關(guān)鍵掌握方法，思路。Ps:本題是02年左右的數(shù)一一道

7、證明題，看看題目很簡(jiǎn)潔，但具體來做，如果對(duì)定理的運(yùn)用不熟練， 還是不好弄出來。本題中涉及到積分，而且又要證明等式成立且為0，容易想到積分中值定理，以及羅爾定理。但是積分中值定理是對(duì)于閉區(qū)間而言，而我們要用到開區(qū)間，只能自己構(gòu)造函數(shù)來證明其 在開區(qū)間內(nèi)成立，如果在實(shí)際做題的時(shí)候你不證明直接用，估計(jì)一半的分都沒了。本題關(guān)鍵的就是尋 找這個(gè)點(diǎn)C,找出來了其他的都不是問題，既然是關(guān)鍵點(diǎn)，那得分點(diǎn)也肯定最多了，你不證明這個(gè)點(diǎn)， 直接套用課本中定理(如果用的話，得分類討論了)，硬是說C點(diǎn)就成立，那估計(jì)一半的分都沒了。對(duì)于中值定理這章，就先給出上面一些經(jīng)典的題目，大家好好體會(huì)下，多做些題，多思考。下面來講講

8、對(duì)于證明題中的，函數(shù)如何來構(gòu)造：基本上都是從結(jié)論出發(fā)，運(yùn)用求導(dǎo)或是積分，或是求 微分方程，解出來也可。本人自己總結(jié)了一些東西，與大家交流下： 首先我們來看看一些構(gòu)造函數(shù)基本方法：一、要證明的等式是一階導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系：一般都會(huì)構(gòu)造出g(x)=XXX ex或者e或者xn ,n為任意常數(shù)1、 如果只是單純導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)之間關(guān)系，想想構(gòu)造帶有ex或者ef(x) = f(x)可以構(gòu)造 g(x) = f(x) ef(x) f(x) =0可構(gòu)造 g(x) = f (x) exf(x) f (x) = 可構(gòu)造 g(x) = f(x) ex；exxxf (t)dt = f (x)這個(gè)也是原函數(shù)與一階導(dǎo)函

9、數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)g(x)二e f (t)dtaa先將其變形下：f(x) -f(x) =1 - X左邊是導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)關(guān)系可構(gòu)造：f(x)右邊可以看成是X-X也成了導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)之間關(guān)系，如是可以構(gòu)造：X從而要構(gòu)造的函數(shù)就是：g(x) = (f (x)x)e *2、如果還涉及到變量 X,想想構(gòu)造xnxf(x) f(x) =0可構(gòu)造 g(x)二 f(x) xf(x) - -2 f (x)可構(gòu)造 g(x)二 f(x) x2xxf(x) nf (x) =0 可構(gòu)造 g(x)二 f (x) xn3、另外還可以解微分方程來構(gòu)造函數(shù)：如 xf (x) f (x) = 0二、二階導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)之間關(guān)系構(gòu)造帶有e

10、x或者e如何構(gòu)造如下：f (x) f(x f (x) f (x)對(duì)于此式子，你會(huì)不會(huì)有所想法呢，在上面講到一階導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)f(X)之間關(guān)系,之間的構(gòu)造方法，等式前面也可以看成是一階導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)(只不過原函數(shù)是 從而等式左邊可以構(gòu)造f (x) ex等式右邊可以構(gòu)造f (x)ex總的構(gòu)造出來函數(shù)為：g(x) =(f(x) - f(x) ex另：如果這樣變形：構(gòu)造函數(shù)如下：g(x(f(x) f (x) e，可以看上面原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間關(guān)系如何構(gòu)造的。從而對(duì)于此函數(shù)構(gòu)造有兩種方法，具體用哪一種構(gòu)造得看題目給的條件了。如果題目給了 f(x)_ f (x)為什么值可以考慮第一中構(gòu)造函數(shù)，如果題目給了f

11、(x) f(x)，則可以考慮第二種構(gòu)造方法。先變形：變成一階導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)之間關(guān)系這個(gè)函數(shù)確實(shí)不好構(gòu)造，如果用微分方程來求會(huì)遇到復(fù)數(shù)根。實(shí)際做的時(shí)候還得看題目是否給了f(x)的一些條件，如果在某個(gè)開區(qū)間內(nèi)不為0，而構(gòu)造出來的函數(shù)在閉區(qū)間端點(diǎn)取值相等，便可用羅而定理來證明。具體來看看題目：1、設(shè) f (x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且 f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1 證明：(1) 、存在* 1,1),使得M2(2) 、存在屋(o|，使得=(1) 、對(duì)一問直接構(gòu)造函數(shù)用零點(diǎn)定理：F(x) = f(x) - x具體詳細(xì)步驟就不寫了。(2) 、該問主要問題是如何構(gòu)造函數(shù)：如果熟練的

12、話用上面所講方法來構(gòu)造：f()二 f ( ) - 1 先變形另：用微分方程求解法來求出要構(gòu)造的函數(shù)把常數(shù)退換掉之后就是要構(gòu)造的函數(shù)函數(shù)構(gòu)造出來了，具體步驟自己去做。b2、設(shè) f(x)在a,b上連續(xù)，f(x)在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0,”f(x)dx=0證明：(1)存在QEE(a,b)使得f(SJ) = f(B), f|)= f(E)(2)存在園(a,b)S9,R使得fdC1)(1) 、第一問中的函數(shù)構(gòu)造：(2) 、第二問中函數(shù)構(gòu)造有兩種構(gòu)造方法，上面講解中說道了我們?cè)谶@用第一種原因在于第一問中f(x) - f(x)=0符合此題構(gòu)造。具體詳細(xì)步驟自己去寫寫。3、設(shè)奇函數(shù)f(x

13、)在-1,1上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(1)=1,證明：(1)存在麗(0,1)，使得fR =1存在區(qū)(1,1),使得fO團(tuán)廠=1第一問中證明等式，要么用羅爾定理，要么介值定理，要么零點(diǎn) 本題很容易想到用羅爾定理構(gòu)造函數(shù)來求，因?yàn)樯婕暗搅藢?dǎo)函數(shù)(1) 、F(x) = f(x)x，題目中提到奇函數(shù),f(0)=0有F(0)=F(1)=0從而用羅爾定理就出來了。(2) 、第二問中的結(jié)論出發(fā)來構(gòu)造函數(shù)，從上面講的方法來看，直接就可以寫出要構(gòu)造的函數(shù)f( )f( ) =1先變形下：f(x) ex二exG(x) =(f(x) -1) ex函數(shù)構(gòu)造出來，并且可以用到第一問的結(jié)論，我們只需要在(-1,0 )之間在找一個(gè)點(diǎn)也滿足 1的結(jié)論即可。也即 】三(-1,0), f( ) =1從而可以對(duì) ( , )( -1,1)運(yùn)用羅爾定理即可。Ps:本題為13年數(shù)一真題，第一問基礎(chǔ)題，但要看清題目為奇函數(shù)，在0點(diǎn)處函數(shù)值為0.第二問關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)構(gòu)造出來了就一步步往下做，缺什么條件就去找什么條件或者證明出來， 13年考研前我給我的幾個(gè)考研小伙伴們講過構(gòu)造函數(shù)的一些方法，考場(chǎng)上都很快就搞出來了。對(duì)于這道題的結(jié)論比較有意思，比較對(duì)稱，另外一個(gè)就是結(jié)論的條件，為何要把內(nèi)，不像上一題中直接來個(gè)、：(0,1)，這個(gè)分界點(diǎn)1/2的作用是干嗎的。很可能也是把 1 /2當(dāng)做某一個(gè)點(diǎn)就像