相似三角形模型分析大全精

1、第一部分相似三角形知識要點大全知識點1.相似圖形的含義把形狀相同的圖形叫做相似圖形。（即對應角相等、對應邊的比也相等的圖形）解讀：（1）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看做由另一個圖形放大或縮小得到.（2）全等形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，大小也相同.（3）判斷兩個圖形是否相似，就是看這兩個圖形是不是形狀相同，與其他因素無關.例1 .放大鏡中的正方形與原正方形具有怎樣的關系呢？分析：要注意鏡中的正方形與原正方形的形狀沒有改變.解：是相似圖形。因為它們的形狀相同，大小不一定相同.例2 下列各組圖形：兩個平行四邊形；兩個圓；兩個矩形；有一個內角80的兩個等腰三角形；兩個正五邊形；有一個

2、內角是100。的兩個等腰三角形，其中一定是相似圖形的是 （填序號）.解析：根據(jù)相似圖形的定義知，相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同，而平行四邊形、矩形、等腰三角形都屬于形狀不唯一的圖形，而圓、正多邊形、頂角為100。的等腰三角形的形狀不唯一，它們都相似.答案：.知識點2比例線段對于四條線段a,b,c,d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即-（或b d a:b=c:d ）那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.a c解讀：（1）四條線段a,b,c,d 成比例，記作（或a：b=c:d ）,不能寫成其他形式，即比例線段b d有順序性.a c（2） 在比例式（或a:b=c:

3、d ）中，比例的項為 a,b,c,d ，其中a,d為比例外項，b,c為比例內項，db d是第四比例項.a b（3） 如果比例內項是相同的線段，即或a:b=b:c，那么線段b叫做線段和的比例中項。b c 通常四條線段a,b,c,d的單位應一致，但有時為了計算方便，a和b統(tǒng)一為一個單位，c和d統(tǒng)一為另一個單位也可以，因為整體表示兩個比相等.a例3 .已知線段 a=2cm, b=6mm,求b分析：求即求與長度的比，與的單位不同，先統(tǒng)一單位，再求比.b3、例4 .已知a,b,c,d 成比例，且 a=6cm,b=3dm,d= dm,求c的長度.2分析：由a,b,c,d 成比例，寫出比例式 a:b=c:d

4、，再把所給各線段 a,b,d 統(tǒng)一單位后代入求 c. 知識點3.相似多邊形的性質 相似多邊形的性質：相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等.解讀：（1）正確理解相似多邊形的定義，明確“對應”關系.（2）明確相似多邊形的“對應”來自于書寫，且要明確相似比具有順序性.例5.若四邊形 ABCD勺四邊長分別是 4, 6, 8, 10,與四邊形ABCD相似的四邊形 A1BGD的最大邊長為 30,則四邊形 ABCD的最小邊長是多少？1分析：四邊形 ABCD與四邊形ABQD相似，且它們的相似比為對應的最大邊長的比，即為1，再根據(jù)相似3 多邊形對應邊成比例的性質，利用方程思想求出最小邊的長.知識點4 相似三角

5、形的概念對應角相等，對應邊之比相等的三角形叫做相似三角形. 解讀：(1)相似三角形是相似多邊形中的一種；(2) 應結合相似多邊形的性質來理解相似三角形；(3) 相似三角形應滿足形狀一樣，但大小可以不同;(4) 相似用“s”表示，讀作“相似于” ；(5) 相似三角形的對應邊之比叫做相似比.注意：相似比是有順序的，比如AB3A AiBiCi，相似比為 k,若厶AiBiCis1ABC則相似比為一。若兩個三角形的相似比為i，則這兩個三角形全等，全等三k角形是相似三角形的特殊情況。若兩個三角形全等，則這兩個三角形相似；若兩個三角形相似，則這兩個三角形不一定全等.例6.如圖，已知 ADEA ABC DE=

6、2, BC=4則和的相似比是多少？點D, E分別是AB AC的中點嗎？解：因ADSA ABC所以DEBC匹二圧，因為匹二？二丄AB ACBC 42注意：解決此類問題應注意兩方面：(i)相似比的順序性，(2)圖形的識別.AD ae i所以，所以D, E分別是AB, AC的中點.AB AC 2知識點5.相似三角的判定方法(1) 定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似；(2) 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或其他兩邊的延長線)所構成的三角形與原三角形相似.(3) 如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似.(4) 如果一個三角的兩條邊與另一個三角形的兩

7、條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形 相似.(5) 如果一個三角形的三條邊分別與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似.(6) 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形都相似.ACD與 ABC相似？試分別加以列舉.例7 .如圖，點D在厶ABC的邊AB上，滿足怎樣的條件時，分析：此題屬于探索性問題，由相似三角形的判別方法可知，ACD與 ABC已有公共角/ A,要使此兩個三角形相似，可根據(jù)相似三角形的判別方法尋找一個條件即可.解：當滿足以下三個條件之一時，AC3A ABC條件一：竺=也 /仁/B;條件二：/ 2=Z ACB條件三：，即ACf=AD AB.AC A

8、B知識點6 .相似三角形的性質(1) 對應角相等，對應邊的比相等；(2) 對應高的比，對應中線的比，對應角平分線的比都等于相似比；(3) 相似三角形周長之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方.例 8.如圖，已知 ADEA ABC AD=8 BD=4, BC=i5 EC=7(1) 求DE AE的長；(2) 你還能發(fā)現(xiàn)哪些線段成比例.ACDEBCADABAEAC2 ab例 9.已知 AB3AAiBiG,二一, ABC的周長為 20cm,面積為 40cmf.3 A Bi求（1 ） ABC的周長； 厶ABC的面積.分析：根據(jù)相似三角形周長之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方求解.易求出 ABC的

9、周長為30cm; ABQ的面積90cm第二部分相似三角形模型分析大全、相似三角形判定的基本模型認識（一）A字型、反A字型（斜 A字型）（二）8字型、反8字型（三）母子型（四）一線三等角型:（六）雙垂型:、相似三角形判定的變化模型旋轉型：由A字型旋轉得到口 +丹亡8字型拓展共享性一線三等角的變形一線三直角的變形第三部分相似三角形典型例題講解母子型相似三角形例1 :如圖，梯形 ABCD中，AD / BC,對角線 AC、BD交于點O, BE/ CD交CA延長線于 E.求證：OC? =0A OE .例2 :已知：如圖， ABC中，點E在中線AD上，.DEB=/ABC .求證：(1) DB2 二 DE

10、DA ; (2) . DCE=/DAC .例3:已知：如圖，等腰 ABC中，AB = AC, AD丄BC于D , CG/ AB, BG分別交 AD、AC于E、F .求證：BEEF EG .相關練習：21如圖，已知 AD為厶ABC的角平分線，EF為AD的垂直平分線求證：FD 二FB FC 2、已知：AD是 Rt ABC中/ A的平分線,交于一點MC=90, EF是AD的垂直平分線交 AD于M EF、BC的延長線NB3、已知：如圖，在 ABC中，/ ACB=90 , CDL AB于D, E是AC上一點，CF丄BE于F。 求證：EB- DF=AE- DBE5. 已知：如圖，在 Rt ABC中，/ C

11、=90, BO2, AC=4, P是斜邊 AB上的一個動點，PDLAB交邊 ACC于點D (點D與點 A C都不重合)，E是射線 DC上一點，且/ EP住/ A 設A P兩點的距離為 x,A BEP的面積為y.(1) 求證：AE=2PE(2) 求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；(3) 當厶BEP-與 ABC相似時，求 BEP的面積.雙垂型1、如圖，在 ABC中，/ A=60, BD CE分別是AC AB上的高 求證：(ABDA ACE (2) ADEA ABC； (3)BC=2ED2、如圖，已知銳角 ABC , AD、CE分別是BC、AB邊上的高， ABC和厶BDE的面積分別是 27和

12、3,DE=6 2，求：點B到直線AC的距離。共享型相似三角形1 ABC是等邊三角形，D、B C E在一條直線上，/ DAE=20，已知BD=1, CE=3 ,求等邊三角形的邊A2、已知：如圖，在 Rt ABC 中，AB=AC,/ DAE =45求證：(1) ABEsACD ;(2) BC2 =2BE CD .一線三等角型相似三角形例1 :如圖，等邊 ABC中，邊長為6, D 是 BC 上動點，/ EDF =60(1) 求證： BDEs CFD(2) 當 BD=1, FC=3 時，求 BE例2: （1 ）在 ABC中，AB二AC =5 , BC =8，點P、Q分別在射線CB、AC上（點P不與點C

13、、 點B重合），且保持.APQ = . ABC . 若點P在線段CB上（如圖），且BP =6，求線段CQ的長； 若BP = x，CQ = y，求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)的定義域；C備用圖備用圖（2）正方形ABCD的邊長為5 （如下圖），點P、Q分別在直線CB、DC上（點P不與點C、點B重合），且保持NAPQ=90當CQ=1時，求出線段 BP的長.例 3:已知在梯形 ABCD 中，AD / BC, ADv BC,且 AD= 5, AB= DC= 2.(1) 如圖8, P為AD上的一點，滿足/ BPC=Z A.求證； ABPs DPC求AP的長.(2) 如果點P在AD邊上移動(點 P與點

14、A、D不重合)，且滿足/ BPE=Z A, PE交直線BC于 點E,同時交直線DC于點Q,那么 當點Q在線段DC的延長線上時，設 AP=x, CQ= y,求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的 定義域； 當CE= 1時，寫出AP的長.例4:如圖，在梯形 ABCD中，AD / BC , AB二CD二BC=6 , AD = 3 點M為邊BC的中點，以 M為頂點作 EMF = B，射線ME交腰AB于點E，射線MF交腰CD于點F，聯(lián)結EF .(1) 求證： MEF BEM ;(2) 若厶BEM是以BM為腰的等腰三角形，求 EF的長；(3) 若EF CD，求BE的長.相關練習: 1、如圖，在 ABC中，A

15、B=AC=8 , BC=10, D是BC邊上的一個動點，點 E在AC邊上，且ADE C .(1) 求證： ABDDCE ;a(2) 如果BD=x， AE=y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量 x的定義域； 當點D是BC的中點時，試說明厶 ADE是什么三角形，并說明理由.2、如圖，已知在厶 ABC中， AB=AC=6, BC=5 , D是AB上一點，BD=2, E是BC上一動點，聯(lián)結 DE , 并作.DEF = . B，射線EF交線段AC于F.(1)求證： DBEECF ;(2)當F是線段AC中點時，求線段 BE的長；(3) 聯(lián)結DF，如果 DEF與厶DBE相似，求FC的長.B EC3、已知在

16、梯形 ABCD 中，AD / BC, AD V BC,且 BC =6, AB=DC=4，點 E 是 AB 的中點.(1)如圖，P為BC上的一點，且 BP=2 .求證： BEPCPD;2)如果點P在BC邊上移動(點 P與點B、C不重合)，且滿足/ EPF = / C, PF交直線CD于點F , 同時交直線 AD于點M,那么 當點F在線段CD的延長線上時，設 BP=X , DF= y，求y關于X的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的 定義域；9 當SdmfSbep時，求BP的長.4A DA DEE一線三直角型相似三角形備用圖4、如圖，已知邊長為3的等邊ABC，點F在邊BC上，CF =1，點E是射線BA上一動點，以線段EF為邊向右側作等邊EFG，直線EG, FG交直線Ac于點M , N ,（1）寫出圖中與 BEF相似的三角形；（2）證明其中一對三角形相似；（3） 設BE =x,MN二y，求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量 x的取值范圍；（4）若AE =1，試求GMN的面積.例1、已知矩形ABCD中，CD=2 ,AD=3，點P是AD上的一個動點，且和點A,D不重合，過點P作PE _ CP , 交邊AB于點E,設PD二x, AE = y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出 x的取值范圍。例2、在.ABC中，.C =90,AC =4,BC =3,0是AB上的一點，且，點P是AC上的一個