余弦定理教學(xué)設(shè)計

1、1.1 . 2余弦定理教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)目標認知目標：在創(chuàng)設(shè)的問題情境中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)余弦定理的內(nèi)容，推證余弦定理，并簡單運 用余弦定理解三角形；能力目標：弓I導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出余弦定理，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng) 新意識和觀察與邏輯思維能力，能體會用向量作為數(shù)形結(jié)合的工具，將幾何問題 轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；情感目標：面向全體學(xué)生，創(chuàng)造平等的教學(xué)氛圍，通過學(xué)生之間、師生之間的交流、合作和 評價，調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性，給學(xué)生成功的體驗，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣 和熱愛科學(xué)、勇于創(chuàng)新的精神。二、教學(xué)重難點重點：探究和證明余弦定理的過程；理解掌握余弦定理的內(nèi)容；初步對余弦定理進行應(yīng)用。 難點：

2、利用向量法證明余弦定理的思路；對余弦定理的熟練應(yīng)用。三、學(xué)情分析和教學(xué)內(nèi)容分析在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦定理的內(nèi)容，初步掌握了正弦定理的證明及應(yīng) 用，并明確了用正弦定理可以來解哪些類型的三角形。在此基礎(chǔ)上，教師可以創(chuàng)設(shè)一個“已 知三角形兩邊及夾角”來解三角形的實際例子，學(xué)生發(fā)現(xiàn)不能用上一節(jié)所學(xué)的知識來解決這 一問題，從而引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，弓I出這一節(jié)的內(nèi)容。在對余弦定理教學(xué)中時，考慮到它 比正弦定理形式上更加復(fù)雜，教師可以有目的的提供一些供研究的素材，并作必要的啟發(fā)和 引導(dǎo)，讓學(xué)生進行思考，通過類比、聯(lián)想、質(zhì)疑、探究等步驟，輔以小組合作學(xué)習(xí)，建立猜 想，獲得命題，再想方設(shè)法去證明。

3、在用兩種不同的方法證明余弦定理時，學(xué)生可能會遇到 證明思路上的困難，教師可以適當?shù)狞c撥。四、教學(xué)過程 環(huán)節(jié)一【創(chuàng)設(shè)情境】1、復(fù)習(xí)引入讓學(xué)生回答正弦定理的內(nèi)容和能用這個定理解決哪些類型的問題。2、情景引入如圖1,某隧道施工隊為了開鑿一條山地隧 道，需要測算隧道通過這座山的長度。工程技術(shù)人員先在地面上選一適當?shù)奈恢?A,量出A到山 腳B、C的距離，再利用經(jīng)緯儀測出 A對山腳BC （即線段BC的張角，最后通過計算求出山腳 的長度BCo學(xué)生不難將這個實際問題轉(zhuǎn)化到數(shù)學(xué)問題： 已知三角形的兩邊和一個夾角，去求三角形的 另外一邊。這個問題是不能使用正弦定理來求 解的。學(xué)生急切的希望應(yīng)用新知識來解決這個 問

4、題。環(huán)節(jié)二【導(dǎo)入新課】問題：在厶ABC中，當/ C=90時，有c2=a2+b2.若a, b邊的長短不變，變換/ C的大小時, c2與a2+b2有什么大小關(guān)系呢？請同學(xué)們思考。教師鼓勵學(xué)生積極思考，大膽發(fā)言，啟發(fā)學(xué)生解決問題，學(xué)生回答，借助于多媒體動畫演示結(jié)果。如圖2，若/ Cv90時，由于 AC與 BC的長度不變，所以 AB的長度變短，即 c,a2+bl圖2C圖3C如圖3,若/ C90時，由于 AC與BC的長度不變，所以 AB的長度變長，即c2a2+b2. 經(jīng)過議論學(xué)生已得到當/ Cm 90時， c2Ma2+b2。環(huán)節(jié)三【新課探究】探究1、在上一個問題中，我們已經(jīng)知道，當/ C 90時，c2

5、Ma2+b2。那么c2與a2+b2到底有什么等量關(guān)系呢？請同學(xué)們繼續(xù)探究。教師引導(dǎo)學(xué)生分組合作學(xué)習(xí)，可讓幾個小組的學(xué)生研究當/C為銳角時的結(jié)論，另外的小組研究當/ C為鈍角時的結(jié)論。最后交流探索，展示成果。如圖4,當/ C為銳角時，作 BDLAC于D, BD把 ABC分成兩個直角三角形：在 Rt ABD中，aBaD+bD;在 Rt BDC中, BD=BC sinC=asinC , DC=BC cosC=acosC所以，aBaD+bD化為c2=(b acosC) 2+(asinC) 2,2 2 2 2 2 2c =b 2abcosC+a cos C+asin C,2 2 2c =a +b 2ab

6、cosC.可以看出/ C為銳角時， ABC的三邊a, b, c具有c2=a2+b2 2abcosC的關(guān)系。 如圖5，當/ C為鈍角時，作 BD丄AC交AC的延長線于 DoC圖5 ACB是兩個直角三角形之差。 在 Rt ABD中，ABAD+BD.在 Rt BCD中，/ BCDn C.BD=BC sin( n C), CD=BC cos( n C). 所以aBaD+bd2化為c2=(AC+CD)2+BD222=b+acos( n C) +asin( n C)222 2 2=b +2abcos( n C)+a cos ( n C)+a sin ( n C)22=b +2abcos( n C)+a .

7、2 2 2因為 cos( n C)= cosC,所以也可以得到 c =b +a 2abcosC。教師點撥：以上兩種情況，我們可以考察向量AC在向量BC方向上的正射影的數(shù)量：當/C分別是銳角和鈍角的時候，得到兩個數(shù)量符號相反；當/C是直角的時候，其向量 AC在直角邊上的正射影的數(shù)量為零。因此，無論是/C是銳角、直角還是鈍角，都有AD 二bsinC,DC =bcosC,BD 二 a-bcosC,在Rt ADB中，運用勾股定理，得 c2=a2+b2 2abcosC，我們輪換/ A,Z B,Z C的位置可以得 到2 2 2a =b +c 2bccosA.2 2 2b =c +a 2accosB .于是

8、，我們得到三角形中邊角關(guān)系的又一重要定理：（多媒體投影余弦定理的內(nèi)容 ）余弦定理三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即c2=a2+b2 2abcosCa2=b2+c2 2bccosAb2=c2+a2 2accosB從以上的公式中解出 cosA,cosB,cosC ,則可以得到余弦定理的另外一種形式:.2 2 2cosb-c a2bc2 2 2r c +a bcosB 二2ca2 ,2 2 小 a +b c cosC 2ab從以上分析過程，我們對/C不是直角的情況有了清楚認識。我們不僅要認識到，/C為銳角和鈍角時都有c2=a2+b2 2abcosC，還要

9、體會出怎樣把一個斜三角形轉(zhuǎn)化成兩個直角三角形的。這種由未知向已知轉(zhuǎn)化的思想在數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到。1左上方的思路提示。探究2、你還能用向量的方法證明余弦定理嗎？參看教材例教師點撥學(xué)生的思路，可以讓學(xué)生分組討論、探究，最后教師用多媒體展示證明的思路及過 程。如圖 6，在 ABC中，設(shè) AB =c,CA =b,BC =a，BC = AC-AB,.2 2BC 二 AC - AB - 2 2 122-2一 2 一BC =AC +AB-2AB*ACcosABC 二 AC AB - 2ABAC即：a2 二 b2 c2 -2bccosA教師點評：對于探究 1，我們分/ c是銳角和鈍角的情況對余弦定理的形式給出了證

10、明，過程 比較復(fù)雜；對于探究 2,我們應(yīng)用向量的數(shù)量積可以很簡單的證明余弦定理，這就可以看出向 量作為一種工具在證明一些數(shù)學(xué)問題中的作用，在今后的學(xué)習(xí)中，我們應(yīng)該加強對所學(xué)知識 的應(yīng)用。探究3、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用教師啟發(fā)學(xué)生：根據(jù)余弦定理的兩種形式，可以看出它能夠解決解三角形的哪些類型？（學(xué)生并不難發(fā)現(xiàn)，余弦定理可以用來解決兩種解三角形的類型：已知三角形的兩邊及其 夾角，求第三邊；已知三角形的三邊，求三個內(nèi)角。）下面，請同學(xué)們根據(jù)余弦定理的這兩種應(yīng)用，來解決以下三個例題。（用多媒體展示例題）例 1、在厶 ABC中，已知 a=5,b=4, / C=120,求 c.例2、在厶ABC中，已知

11、a=3,b=2,c= .19,求此三角形三個內(nèi)角的大小及其面積（精確到0.1 ）.例 3、A ABC的定點為 A（6,5）,B（-2,8）, 和 C（4,1）,求/ A（精確到 0.1）.雙邊活動：師生可以共同完成例題，進一步的加深學(xué)生對余弦定理的應(yīng)用。環(huán)節(jié)四【練習(xí)與鞏固】1、在厶 ABC中，a=1,b=1, / C=12C,則 c=。2、 在厶ABC中，若三邊 a,b,c 滿足a2二b2 c2 bc，貝U A=。3、 在 ABC中，已知si nA: si n B : si nC =3:4:5 ,這個三角形是 （填銳角、直 角、鈍角三角形）。4、在 ABC中，BC=3,AC=2,AB上的中線長

12、為 2，求AB雙邊活動：學(xué)生限時訓(xùn)練，讓學(xué)生回答結(jié)果，對于出錯題目加以講解，可以用多媒體展示第4題的解題過程。環(huán)節(jié)五【課堂反思總結(jié)】通過以上的研究過程，同學(xué)們主要學(xué)到了那些知識和方法？你對此有何體會？（先由學(xué)生回 答總結(jié)，教師適時的補充完善）1、余弦定理的發(fā)現(xiàn)從直角入手，分別討論了銳角和鈍角的情況，體現(xiàn)了由特殊到一般的認識 過程，運用了分類討論的數(shù)學(xué)思想；2、用向量證明了余弦定理，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用；3、余弦定理表述了三角形的邊與對角的關(guān)系，勾股定理是它的一種特例。用這個定理可以解 決已知三角形的兩邊及夾角求第三邊和已知三角形的三邊求內(nèi)角的兩類問題。（從實際問題出發(fā)

13、，通過猜想、實驗、歸納等思維方法，最后得到了推導(dǎo)出正弦定理。我們 研究問題的突出特點是從特殊到一般，我們不僅收獲著結(jié)論，而且整個探索過程我們也掌握 了研究問題的一般方法。在強調(diào)研究性學(xué)習(xí)方法，注重學(xué)生的主體地位，調(diào)動學(xué)生積極性， 使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。）環(huán)節(jié)六【布置課后作業(yè)】1、若三角形ABC的三條邊長分別為 a=2， b=3， c = 4，貝U 2bccos A 2ca cos B 2abcosC =。132、 在厶ABC中，若a= 7, b= 8, cosC=，則最大內(nèi)角的余弦值為。143、 已知 ABC中，acosB=bcos A，請判斷三角形的形狀（用兩種不同的方法）。五、教學(xué)

14、反思1、余弦定理是解三角形的重要依據(jù)，要給予足夠重視。本節(jié)內(nèi)容安排兩節(jié)課適宜。第 一節(jié)，余弦定理的引出、證明和簡單應(yīng)用；第二節(jié)復(fù)習(xí)定理內(nèi)容，加強定理的應(yīng)用。2、當已知兩邊及一邊對角需要求第三邊時，可利用方程的思想，引出含第三邊為未知 量的方程，間接利用余弦定理解決問題，此時應(yīng)注意解的不唯一性。但是這個問題在本節(jié)課 講給學(xué)生，學(xué)生不易理解，可以放在第二課時處理。3 、本節(jié)課的重點首先是定理的證明，其次才是定理的應(yīng)用。我們傳統(tǒng)的定理概念教學(xué) 往往采取的是“掐頭去尾燒中斷”的方法，忽視了定理、概念的形成過程，只是一味的教給學(xué)生定理概念的結(jié)論或公式，讓學(xué)生通過大量的題目去套用這些結(jié)論或形式，大搞題海戰(zhàn)

15、術(shù)，加重了學(xué)生的負擔，效果很差。學(xué)生根本沒有掌握住這些定理、概念的形成過程，不能明白 知識的來龍去脈，怎么會靈活的應(yīng)用呢？事實上已經(jīng)證明，這種生搬硬套、死記硬背式的教 學(xué)方法和學(xué)習(xí)方法已經(jīng)不能適應(yīng)新課標教育的教學(xué)理念。新課標課程倡導(dǎo)：強調(diào)過程，重視 學(xué)生探索新知識的經(jīng)歷和獲得的新知的體會，不能再讓教學(xué)脫離學(xué)生的內(nèi)心感受，把“發(fā)現(xiàn)、探究知識”的權(quán)利還給學(xué)生。4 、本節(jié)課的教學(xué)過程重視學(xué)生探究知識的過程，突出了以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的 教學(xué)理念。教師通過提供一些可供學(xué)生研究的素材，引導(dǎo)學(xué)生自己去研究問題，探究問題的結(jié)論。在這個過程中，教師應(yīng)該做到“收放有度”，即：不能收的太緊，剝奪了學(xué)生獨立思考

16、、合作學(xué)習(xí)的意識，更不能采取“放羊式”的教學(xué)，對于學(xué)生在探究問題中出現(xiàn)的困惑置之不 理。5 、合理的應(yīng)用多媒體教學(xué)，起到畫龍點睛、提高效率、增強學(xué)生對問題感官認識的效 果，不能讓教師成為多媒體的奴隸。濫用多媒體教學(xué)的后果是將學(xué)生上課時的“眼到、手到、 口到”變?yōu)闄C械的“眼到”，學(xué)生看了一節(jié)課的“電影”，沒有充足的時間去思考、練習(xí)、鞏 固，課后會很快將所學(xué)的知識忘得一干二凈。6 、在實際的教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于所學(xué)的知識（例如向量）不能很好的應(yīng)用，學(xué)生的數(shù) 學(xué)思想（如分類討論、數(shù)形結(jié)合）也不能靈活的應(yīng)用，這在以后的教學(xué)中還應(yīng)該加強。從授 課的實際效果來看，能較好的完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)。后一階段的教

17、學(xué)主要應(yīng)該加強師生的 課堂雙邊活動，處理好教與學(xué)的關(guān)系，充分調(diào)動學(xué)生的課堂參與意識，鼓勵學(xué)生積極大膽的 發(fā)言，學(xué)生主動暴露自己的問題，教師及時的加以糾正，使教學(xué)更具針對1.1.2余弦定理（導(dǎo)學(xué)案）學(xué)習(xí)目標彳二1. 會用向一,22. 熟記并3. 能運用余弦定理及其推論解三角形學(xué)習(xí)重點余弦定理的理解及應(yīng)用學(xué)習(xí)難點由數(shù)量積證明余弦定理及應(yīng)用學(xué)習(xí)過程一、課前準備【知識清單】（預(yù)習(xí)教材 P5 8,找出疑惑之處）1. 余弦定理：2. 余弦定理的推論：cos A =cos B 二cosC =3. 用余弦定理可以解決兩類有關(guān)解三角形的問題已知三邊，求已知 和它們的，求第三邊和其他兩個角?！九５缎≡嚒? .已知

18、 b = 3, c =1,A = 60，求 a ；2 .已知 a=4,b=5,c=6，求 cos A二、新課導(dǎo)學(xué)1. 【復(fù)習(xí)導(dǎo)入】1.三角形的正弦定理內(nèi)容： 2. 已知A=60 ,C=45 , b =16，你能解這個解三角形？【探究】在問題中探究余弦定理若把2的條件C=45 ,改成c = 8，如何解三角形？（即已知三角形的兩邊及其夾角解三角形 ）問題：聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？分析：用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因 A、B均未知，所以較難求邊C;由于涉及邊 長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。Ta-B-C設(shè)TbTCA忌c，那么c.a-b，則C B（小組合作元成）余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即a2二b2 92-2bccosAb2 二a2 c2 -2accosB思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個 量，能否由三邊求出一角？從余弦定理，又可得到以下推論：理解定理余弦定理及其推論的基本作用為: 已知三