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1、類比探究類問題解析版1、如圖,在矩形 abcd 中,ad=4,m 是 ad 的中點,點 e 是線段 ab 上一動 點,連結(jié) em 并延長交線段 cd 的延長線于點 f(1) 如圖 1,求證:ae=df;(2) 如圖 2,若 ab=2,過點 m 作 mg 理由;ef 交線段 bc 于點 g,判 gef 的形狀,并說明(3) 如圖 3,若 ab= 2 3 ,過點 m 作 mg ef 交線段 bc 的延長線于點 g 直接寫出線段 ae 長度的取值范圍; 判 gef 的形狀,并說明理由【答案】解:(1)在矩形 abcd 中,eam=fdm900,ame=fmd。am=dm,aemdfm asa)。ae
2、=df。(2 gef 是等腰直角三角形。理由如下:過點 g 作 ghad 于 h,a=b=ahg=90,四邊形 abgh 是矩形。 gh=ab=2。mgef, gme=90。amegmh=90。ameaem=90,aem=gmh。又ad=4,m 是 ad 的中點,am=2。an=hg。aemhmg aas)。me=mg。egm=45。 由(1) aemdfm me=mf。又mgef,ge=gf。egf=2egm =90。gef 是等腰直角三角形。(3)2 33ae 2 3 。gef 是等邊三角形。理由如下:過點 g 作 ghad 交 ad 延長線于點 h,a=b=ahg=90,四邊形 abgh
3、 是矩形。 gh=ab=2 3 。mgef, gme=90。amegmh=90。 ameaem=90,aem=gmh。又a=ghm=90,aemhmg mg gh= 。em am在 gme 中,tanmeg=mg gh 2 3= = = 3 。meg=600。 em am 2由(1) aemdfm me=mf。又mgef,ge=gf。gef 是等邊三角形。2、(1)如圖 1,在正方形 abcd 中,e 是 ab 上一點,f 是 ad 延長線上一點,且 dfbe求 證:cecf;(2) 如圖 2,在正方形 abcd 中,e 是 ab 上一點,g 是 ad 上一點,如果gce45,請你 利用(1)
4、的結(jié)論證明:gebegd(3) 運用(1)(2)解答中所積累的經(jīng)驗和知識,完成下題:如圖 3,在直角梯形 abcd 中,adbc(bcad),b90,abbc,e 是 ab 上一點, 且dce45,be4,de=10, 求直角梯形 abcd 的面積【答案】解:(1)證明:在正方形 abcd 中,bccd,bcdf,bedf,cbe cdf sas)。cecf。(2)證明: 如圖,延長 ad 至 f,使 df=be連接 cf。由(1) cbecdfbcedcf。bceecddcfecd,即ecfbcd90。又gce45,gcfgce45。 cecf,gcegcf,gcgc,ecg fcg sas
5、)。gegf,gedfgdbegd。(3)如圖,過 c 作 cgad,交 ad 延長線于 g在直角梯形 abcd 中,adbc,ab90。 又cga90,abbc,四邊形 abcd 為正方形。 agbc。已知dce45,根據(jù)(1)(2)可知,edbedg。10=4+dg,即 dg=6。設(shè) abx,則 aex4,adx6,在 aed 中,de2=ad2ae2,即 102=(x6)2(x4)2。解這個方程,得:x=12 或 x=2(舍去)。ab=12。1 1= (ad +bc)ab = (6+12)12=108 。 s梯形abcd2 2梯形 abcd 的面積為 108。3、在正方形 abcd 中,
6、對角線 ac,bd 交于點 o,點p 在線段 bc 上(不含點 b),bpe pe 交 bo 于點 e,過點 b 作 bfpe,垂足為 f,交 ac 于點 g(1) 當點 p 與點 c 重合時(如圖)求證 bogpoe (4 分)12acb,(2)通過觀察、測量、猜想:bfpe= ,并結(jié)合圖證明你的猜想;(5 分)(3)把正方形 abcd 改為菱形,其他條件不變(如圖),若acb=,求bfpe的值(用含 的式子表示)(5 分)0 0【答案】解:(1)證明:四邊形 abcd 是正方形,p 與 c 重合,ob=op , boc=bog=90。pfbg ,pfb=90,gbo=90bgo,epo=9
7、0bgo。 gbo=epo 。bogpoe aas)。(2)bf 1= 。證明如下:pe 2如圖,過 p 作 pm/ac 交 bg 于 m,交 bo 于 n, pne=boc=900, bpn=ocb。obc=ocb =450, nbp=npb。 nb=np。mbn=90 bmn, npe=90 bmn, mbn=npe。 bmnpen asa)。 bm=pe。bpe=12acb,bpn=acb, bpf=mpf。pfbm, bfp=mfp=900。又pf=pf, bpfmpf asa)。 bf=mf ,即 bf= 1 bf 1 bf=pe, 即 = 。2 pe 2(3)如圖,過 p 作 pm
8、/ac 交 bg 于點 m,交 bo 于點 n, bpn=acb=,pne=boc=900。12bm。由(2)同理可得 bf=12bm, mbn=epn。bnm=pne=900, bmnpen bm bn = 。pe pn在 bnp 中,tana=bn bm 2bf, = tan a ,即 = tan a 。 pn pe pebf 1= tanpe 2a。4、如圖 1,梯形 abcd 中,adbc,abc2bcd2,點 e 在 ad 上,點 f 在 dc 上,且 bef=a.(1) bef=_(用含 的代數(shù)式表示);(2) 當 abad 時,猜想線段 ed、ef 的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;(
9、3) 當 abad 時,將“點 e 在 ad 上”改為“點 e 在 ad 的延長線上,且 aeab,abebmde,adnde”,其他條件不變(如圖 2),求 的值(用含 m、n 的代數(shù)式表示)。ef【答案】解:(1)1802。(2)eb=ef。證明如下:連接 bd 交 ef 于點 o,連接 bf。adbc,a=180-abc=1802,adc=180c=180-。ab=ad,adb=12(180a)=。bdc=adcadb=1802。 由(1)得:bef=1802=bdc。又eob=dof,eobdof oe ob oe od = ,即 = 。od of ob ofeod=bof, eodb
10、of efb=edo=。ebf=180befefb=efb。eb=ef。 (3) 延長 ab 至 g,使 ag=ae,連接 be,ge,則g=aeg=180-a 180-(180-2a=2 2)=a。adbc,edf=c=,gbc=a,deb=ebc。edf=g。bef=a,bef=gbc。gbc+ebc=deb+bef,即ebg=fed。defgbe eb bg=ef de。ab=mde,ad=nde,ag=ae=(n+1)de。bg=agab=(n+1)demde=(n+1m)de。eb (n +1 -m)de= =n +1 -m ef de。5、探索發(fā)現(xiàn):已知:在梯形 abcd 中,cd
11、ab,ad、bc 的延長線相交于點 e,ac、bd 相交 于點 o,連接 eo 并延長交 ab 于點 m,交 cd 于點 n。(1) 如圖,如果 ad=bc,求證:直線 em 是線段 ab 的垂直平分線;(2) 如圖,如果 adbc,那么線段 am 與 bm 是否相等?請說明理由。學(xué)以致用:僅用直尺(沒有刻度),試作出圖中的矩形 abcd 的一條對稱軸。(寫出作圖 步驟,保留作圖痕跡)【答案】解:(1)證明:ad=bc,cdab,ac=bd,dab=cba。ae=be。 點 e 在線段 ab 的垂直平分線上。abd bac 中,ab=ba,ad=bc,ac=bd,abdbac sss)。dba=cab。oa=ob。點 o 在線段 ab 的垂直平分線上。直線 em 是線段 ab 的垂直平分線。(2)相等。理由如下:cdab,edneam encemb edceabdn de cn ce de ce dn cn bm cn = , = , = 。 = 。 =am ae bm be ae be am bm am dn。2cdab ondomb oncoma ocdoabdn od cn oc od oc dn cn am cn = , = , = 。 = 。 =bm ob am oa ob oa bm am b
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