數(shù)圖形的個數(shù)常用方法和規(guī)律

1、數(shù)出某種圖形的個數(shù)是一類有趣的圖形問題。由于圖形千變?nèi)f化，錯綜復(fù)雜，所以要想準(zhǔn)確地數(shù)出其中包含的某種圖形的個數(shù)，還真需要動點腦筋。要想有條理、不重復(fù)、不遺漏地數(shù)出所要圖形的個數(shù)，最 常用的方法就是分類數(shù)。例 1 數(shù)出下圖中共有多少條線段。分析與解：我們可以按照線段的左端點的位置分為 a，b，c 三類。如下圖所示，以 a 為左端點的線段有 3 條，以 b 為左端點的線段有 2 條，以 c 為左端點的線段有 1 條。所以共有 3216(條)。我們也可以按照一條線段是由幾條小線段構(gòu)成的來分類。如下圖所示，ab，bc，cd 是最基本的小線段，由一條線段構(gòu)成的線段有 3 條，由兩條小線段構(gòu)成的線段有 2

2、 條，由三條小線段構(gòu)成的線段有 1 條。所以，共有 3216(條)。由例 1 看出，數(shù)圖形的分類方法可以不同，關(guān)鍵是分類要科學(xué)，所分的類型要包含所有的情況，并 且相互不重疊，這樣才能做到不重復(fù)、不遺漏。例 2 下列各圖形中，三角形的個數(shù)各是多少分析與解：因為底邊上的任何一條線段都對應(yīng)一個三角形(以頂點及這條線段的兩個端點為頂點的三角形)，所以各圖中最大的三角形的底邊所包含的線段的條數(shù)就是三角形的總個數(shù)。由前面數(shù)線段的方法 知，圖(1)中有三角形 123(個)。圖(2)中有三角形 123=6(個)。圖(3)中有三角形 123410(個)。圖(4)中有三角形 1234515(個)。圖(5)中有三角

3、形123456=21(個)。例 3 下列圖形中各有多少個三角形分析與解：(1)只需分別求出以 ab，ed 為底邊的三角形中各有多少個三角形。以 ab 為底邊的三角形 abc 中，有三角形1236(個)。以 ed 為底邊的三角形 cde 中，有三角形1236(個)。所以共有三角形 66=12(個)。這是以底邊為標(biāo)準(zhǔn)來分類計算的方法。它的好處是可以借助“求底邊線段數(shù)”而得出三角形的個數(shù)。 我們也可以以小塊個數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)來計算：圖中共有 6 個小塊。由 1 個小塊組成的三角形有 3 個；由 2 個小塊組成的三角形有 5 個；由 3 個小塊組成的三角形有 1 個；由 4 個小塊組成的三角形有 2

4、個；由 6 個小塊組成的三角形有 1 個。所以，共有三角形3512112(個)。(2)如果以底邊來分類計算，各種情況較復(fù)雜，因此我們采用以“小塊個數(shù)”為分類標(biāo)準(zhǔn)來計算：由 1 個小塊組成的三角形有 4 個；由 2 個小塊組成的三角形有 6 個；由 3 個小塊組成的三角形有 2 個；由 4 個小塊組成的三角形有 2 個；由 6 個小塊組成的三角形有 1 個。所以，共有三角形4622115(個)。例 4 右圖中有多少個三角形解：假設(shè)每一個最小三角形的邊長為 1。按邊的長度來分類計算三角形的個數(shù)。邊長為 1 的三角形，從上到下一層一層地數(shù)，有1357=16(個)；邊長為 2 的三角形(注意，有一個尖

5、朝下的三角形)有 1231=7(個)；邊長為 3 的三角形有 123(個)；邊長為 4 的三角形有 1 個。所以，共有三角形1673127(個)。例 5 數(shù)出下頁左上圖中銳角的個數(shù)。分析與解：在圖中加一條虛線，如下頁右上圖。容易發(fā)現(xiàn)，所要數(shù)的每個角都對應(yīng)一個三角形(這個角與它所截的虛線段構(gòu)成的三角形)，這就回到例 2，從而回到例 1 的問題，即所求銳角的個數(shù)，就等于從 o 點引出的 6 條射線將虛線截得的線段的條數(shù)。虛 線上線段的條數(shù)有1+2+3+4+5=15(條)。所以圖中共有 15 個銳角。例 6 在下圖中，包含“*號”的長方形和正方形共有多少個解：按包含的小塊分類計數(shù)。包含 1 小塊的有 1 個；包含 2 小塊的有 4 個；包含 3 小塊的有 4 個；包含 4 小塊的有 7 個；包含 5 小塊的有 2 個；包含 6 小塊的有 6 個；包含 8 小塊的有 4 個；包含 9 小塊的有 3 個；包含 10 小塊的有 2 個；包含 12 小塊的有 4 個；包含 15 小塊的有 2 個。所以共39(個)。練習(xí) 111.下列圖形中各有多少條線段2.下列圖形中各有多少個三角形3.下列圖形中，各有多少個