勾股定理9種證明

1、勾股定理的 9 種證明（有圖）【證法 1】（鄒元治證明）以 a、b 為直角邊， 以 c 為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形， 則每個(gè)直角三角形的面積等于.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A E、B三點(diǎn)在一條直線上，B、F、C三點(diǎn)在一條直線上，C G D三點(diǎn)在一條直線上.v Rt HAE 坐 Rt EBF, / AHE = / BEF.v / AEH + / AHE = 90o , / AEH + / BEF = 90o . / HEF = 1800 90o = 90o .四邊形EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形 . 它的面積等于 c2.v Rt GDH坐 Rt HAE, / HGD = / EHA

2、./ HGD + / GHD = 90o , / EHA + / GHD = 90o ./ GHE = 90o ,/ DHA = 90o + 90o = 180o . ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為a + b的正方形，它的面積等于【證法 2】（梅文鼎證明）做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為 a、b ，斜邊長(zhǎng)為 c. 把它 們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使 D E、F在一條直線上.過C作AC的延長(zhǎng)線交DF于 點(diǎn) P.v D、E、F在一條直線上,且Rt GEF坐Rt EBD, / EGF = / BEDv / EGF + / GEF = 90, / BED + / GEF = 90 , / B

3、EG =18Gb 90o = 90o .又 v AB = BE = EG = GA = c , ABEG是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形. / ABC + / CBE = 90o .v Rt ABC 幻 Rt EBD, / ABC = / EBD. / EBD + / CBE = 90o .即/ CBD= 9Gb.又 v / BDE = 90o，/ BCP = 90o ,BC = BD = a. BDPC是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形. 同理，HPFG是一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形. 設(shè)多邊形GHCB的面積為S,則【證法 3】（項(xiàng)明達(dá)證明） 做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（ba） ，斜邊長(zhǎng)為c

4、. 再做一個(gè)邊長(zhǎng)為 c 的正方形 . 把它們拼成如圖所示的多邊形，使 E、A、C 三點(diǎn)在一條 直線上.過點(diǎn)Q作QP/ BC交AC于點(diǎn)P. 過點(diǎn)B作BMiL PQ 垂足為M；再過點(diǎn) F作FNL PQ垂足為N.v / BCA = 90o , QP/ BC / MPC = 90o ,v BM 丄 PQ / BMP = 90o , BCPM是一個(gè)矩形，即/ MBC = 90o .v / QBM + / MBA = / QBA = 90o ,/ ABC + / MBA = / MBC = 90o , / QBM = / ABC又 v / BMP = 90o，/ BCA = 90o , BQ = BA =

5、 c , Rt BMQ坐 Rt BCA.同理可證Rt QNF幻Rt AEF.從而將問題轉(zhuǎn)化為【證法 4】（梅文鼎證明） .【證法 4】（歐幾里得證明）做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使 H、C B三點(diǎn) 在一條直線上，連結(jié)BF CD.過 C作 CL DE交AB于點(diǎn)M交DE于點(diǎn)L.v AF = AC ， AB = AD，/ FAB = / GAD FAB 坐 GADv FAB的面積等于， GAD的面積等于矩形ADLM 的面積的一半，矩形ADLM的面積=. 同理可證，矩形 MLEE的面積二.v正方形ADEB勺面積=矩形ADLM勺面積+矩形MLEB勺面積 ，即 .【證法 5

6、】（楊作玫證明）做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b (ba),斜邊長(zhǎng)為c.再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.過A作AF丄AC AF交GT 于F, AF交DT于R.過B作BP丄AF,垂足為P.過D作DE與CB的延長(zhǎng)線垂直，垂足為 E, DE交 AF于 H.v / BAD = 90o，/ PAC = 90o , / DAH = / BAC.又 v / DHA = 90o，/ BCA = 90o ,AD = AB = c ， Rt DHA坐 Rt BCA. DH = BC = a ，AH = AC = b. 由作法可知， PBCA 是一個(gè)矩形，所以 Rt A

7、PB 坐 Rt BCA.即 PB = CA = b , AP= a,從而 PH = b a.v Rt DGT 坐 Rt BCA ,Rt DHA坐 Rt BCA. Rt DGT坐 Rt DHA . DH = DG = a，/ GDT = / HDA . 又 v / DGT = 90o , / DHF = 90o ,/ GDH = / GDT + / TDH = / HDA+Z TDH = 90o , DGFH是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形. GF = FH = a . TF 丄 AF, TF = GT GF = b a . TFPB是一個(gè)直角梯形，上底 TF=b-a,下底BP= b,高FP=a + (b

8、a). 用數(shù)字表示面積的編號(hào)(如圖) 則以 c 為邊長(zhǎng)的正方形的面積為v = = . 把代入 得【證法 6】（李銳證明）設(shè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為 a、 b（ba） 斜邊的長(zhǎng)為 c. 做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為 a、 b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使 A、E、G三點(diǎn)在一條直線上.用數(shù)字表示 面積的編號(hào)（如圖） .v / TBE = / ABH = 90o , / TBH = / ABE.又 v / BTH = / BEA = 90o ,BT = BE = b Rt HBT 坐 Rt ABE. HT = AE = a. GH = GT HT = b a.又T / GHF + / BHT =

9、90o ,/ DBC + / BHT = / TBH + / BHT = 90o , / GHF = / DBC.T DB = EB ED = ba，/ HGF = / BDC = 90o , Rt HGF坐 Rt BDC.即.過 Q作 QML AG 垂足是 M.由/ BAQ = / BEA = 90o，可知 / ABE =/ QAM 而 AB = AQ = c，所以 Rt ABE 幻 Rt QAM .又 Rt HBT 幻 Rt ABE.所以 Rt HBT 幻 Rt QAM .即.由 Rt ABE 坐 Rt QAM 又得 QM = AE = a，/ AQM = / BAE.t / AQM +

10、/ FQM = 90o，/ BAE + / CAR = 90o，/ AQM = / BAE / FQM = / CAR.又 t / QMF = / ARC = 90o , QM = AR = a, Rt QMF坐 Rt ARC.即.T ，【證法 7】（利用多列米定理證明）在Rt ABC中，設(shè)直角邊 BC= a, AC= b,斜邊AB = c （如圖）.過點(diǎn)A作AD/ CB, 過點(diǎn)B作BD/CA則ACBD為矩形，矩形ACBD接于一個(gè)圓.根據(jù)多列米定理，圓內(nèi)接 四邊形對(duì)角線的乘積等于兩對(duì)邊乘積之和，有T AB = DC = c , AD = BC = a , AC = BD = b ,即,【證法 8】（利用反證法證明）如圖，在Rt ABC中，設(shè)直角邊AC BC的長(zhǎng)度分別為a、b,斜邊AB的長(zhǎng)為c,過 點(diǎn)C作CDL AB垂足是D.假設(shè)，即假設(shè) ，則由可知，或者.即AD: AO AC AB或者BD: BO BC AB.在厶 ADCF ACB中,v / A = / A,若 AD: AO AC AB/ AD字/ ACB.在厶 CDBHA ACB中,v / B = / B,若 BD BO BC AB,貝S/ CDBZ ACB.又 v / ACB = 90o , /