概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)資料要點(diǎn)總結(jié)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)提要第一章 隨機(jī)事件與概率1事件的關(guān)系 A B A B AB A B A AB2運(yùn)算規(guī)則 (1) A B B A AB BA(2) (A B) C A (B C) (AB)C A(BC)(3) (A B)C (AC) (BC) (AB) C (A C)(B C)( 4) A B AB AB A B3概率 P( A)滿足的三條公理及性質(zhì)：(1) 0 P(A) 1 (2) P( ) 1 nn(3)對(duì)互不相容的事件 A1,A2, , An ，有 P( Ak)P(Ak) ( n 可以取 )k 1 k 1(4) P( ) 0(5) P( A) 1 P(A)(6) P(A B) P(A

2、) P(AB) ，若 A B，則 P(B A) P(B) P(A) ，P(A) P(B)(7) P( A B) P(A) P(B) P(AB)(8) P( A B C) P( A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P( ABC) 4古典概型：基本事件有限且等可能5幾何概率6條件概率(1) 定義：若 P(B) 0 ，則 P(A | B) P(AB) P(B)(2) 乘法公式： P(AB) P(B)P(A | B)若 B1,B2, Bn 為完備事件組， P(Bi ) 0，則有n(3) 全概率公式： P(A)P(Bi)P(A|Bi )i1(4) Bayes公式： P(Bk |

3、 A) nP(Bk )P(A|Bk ) P(Bi )P(A| Bi) i17事件的獨(dú)立性： A, B 獨(dú)立 P(AB) P(A)P(B) (注意獨(dú)立性的應(yīng)用) 第二章 隨機(jī)變量與概率分布1 離散隨機(jī)變量：取有限或可列個(gè)值， P(X xi ) pi 滿足( 1) pi 0 ，(2) pi =1 i(3)對(duì)任意 D R， P(X D)pii: xi D2 連續(xù)隨機(jī)變量：具有概率密度函數(shù) f (x) ，滿足( 1) f (x) 0, f (x)dx 1；-b(2) P(a X b) a f ( x) dx ；( 3)對(duì)任意 a R， P(X a) 03 幾個(gè)常用隨機(jī)變量名稱與記號(hào)分布列或密度數(shù)學(xué)期望

4、方差兩點(diǎn)分布 B(1, p)P(X 1) p ， P(X 0) q 1 pppq二項(xiàng)式分布 B(n, p)P(X k) Cnk pkqn k ,k 0,1,2, n ，npnpqPoisson 分布 P( )kP(X k) e ,k 0,1,2, k!幾何分布 G(p)P(X k) qk 1 p,k 1,2,1 pq2 p均勻分布 U (a,b)1f (x) , a x b ， baab2(b a)212指數(shù)分布 E( )f (x) e x , x 01122正態(tài)分布 N( , 2)1 (x )2f(x) 1 e 2 224 分布函數(shù) F(x) P(X x) ，具有以下性質(zhì)1) F( ) 0,

5、 F( ) 1；(2)單調(diào)非降；(3)右連續(xù)；4) P(a X b) F(b) F(a) ，特別 P(X a) 1 F(a)； 5)對(duì)離散隨機(jī)變量， F(x)pi ；i: xi x x6)對(duì)連續(xù)隨機(jī)變量， F(x)f (t)dt 為連續(xù)函數(shù)， 且在 f(x) 連續(xù)點(diǎn)上， F (x) f (x)5 正態(tài)分布的概率計(jì)算以 (x) 記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0,1) 的分布函數(shù)，則有2x(1) (0) 0.5；(2) ( x) 1( x) ；(3)若 X N( , 2)，則F(x)()；(4)以 u 記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0,1) 的上側(cè) 分位數(shù)，則 P(X u ) 1 (u )6 隨機(jī)變量的函數(shù) Y g(

6、X)(1)離散時(shí)，求 Y 的值，將相同的概率相加；( 2) X 連 續(xù)， g(x) 在 X 的取值 范圍 內(nèi)嚴(yán)格 單調(diào) ，且有 一階 連續(xù) 導(dǎo) 數(shù)， 則1 1 fY(y) fX(g 1(y)|(g 1(y) |，若不單調(diào)，先求分布函數(shù)，再求導(dǎo)。第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1期望(1) 離散時(shí) E(X)xipi ， E(g(X)g(xi)pi ；(2) 連續(xù)時(shí) E(X)xf ( x)dx ， E(g(X)g(x)f(x)dx；(3) 二維時(shí) E(g(X,Y)g(xi , yj ) pij ，E(g(X,Y)g(x,y)f ( x, y) dxdyi,j(4)E(C) C；(5) E(CX) CE(

7、X)；(6)E(X Y) E(X) E(Y) ；(7) X,Y 獨(dú)立時(shí)， E(XY) E(X)E(Y)2方差(1) 方差 D(X) E(X E(X)2 E(X2) (EX ) 2 ，標(biāo)準(zhǔn)差 (X) D(X) ；(2) D(C) 0, D(X C) D(X)；2(3) D(CX) C2D(X) ；(4) X,Y 獨(dú)立時(shí)， D(X Y) D(X) D(Y)3協(xié)方差(1)Cov(X,Y) E( X E(X)(Y E(Y) E(XY) E(X)E(Y)；(2)Cov(X,Y) Cov(Y , X ), Cov(aX,bY) abCov ( X ,Y ) ；(3) Cov(X1 X2,Y) Cov(X1

8、,Y) Cov(X2,Y) ；4)Cov(X,Y) 0時(shí)，稱 X,Y 不相關(guān)，獨(dú)立 不相關(guān)，反之不成立，但正態(tài)時(shí)等價(jià)；5) D(X Y) D(X ) D(Y) 2Cov ( X ,Y)4相關(guān)系數(shù)XY C(oXv()X,(YY) ；有| XY | 1，| XY | 1 a,b, P(Y aX b) 15k 階原點(diǎn)矩 k E(X k)，k 階中心矩 k E(X E(X)k第五章 大數(shù)定律與中心極限定理 1Chebyshev不等式 P| X E(X)| D(2X) 或 P| X E(X)| 1 D(2X)22 2大數(shù)定律 3中心極限定理( 1 ) 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X1 ,X2, ,Xn 獨(dú) 立

9、同 分 布 E(Xi), D(Xi)2 ， 則ni12 1 n 2Xi 近似N(n ,n 2)， 或1n i 1 Xi 近似N( , n ) n i 1 nnX i ni 1 N (0,1)， n 近似 ，P(A) p ， 則對(duì)任意 x ， 有l(wèi)im Pnm np x (x) 或理解為若 X npq B(n, p) ，則 X N(np,npq)第六章 樣本及抽樣分布1總體、樣本( 1) 簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：即獨(dú)立同分布于總體的分布(注意樣本分布的求法) ( 2) 樣本數(shù)字特征：樣本均值2E(X) ， D(X) )； n1n樣 本 方 差 S2(Xi X)2 ( E(S2)2 ) 樣 本 標(biāo) 準(zhǔn) 差n

10、 1 i 1n11n(Xi X) 2i11k樣本 k 階原點(diǎn)矩 k 1 Xik ，樣本 k 階中心矩ni1nk 1 (Xi X)kni12統(tǒng)計(jì)量：樣本的函數(shù)且不包含任何未知數(shù)3三個(gè)常用分布(注意它們的密度函數(shù)形狀及分位點(diǎn)定義)1) 2分布 2 X12 X22Xn2 2(n)，其中 X1,X2, ,Xn 獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N (0,1) ，若 X 2(n1),Y 2(n2) 且獨(dú)立，則 X Y 2(n1 n2)；2) 設(shè) m 是 n 次 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中 A 發(fā)生的 次數(shù)，2)t分布 tX t(n)，其中 X N ( 0,1), Y 2 (n)且獨(dú)立；Y/nX /n3)F分布 F X /n

11、1 F(n1,n2)，其中 X 2(n1),Y 2 (n2 )且獨(dú)立，有下面的 Y/n2性質(zhì)1F F(n2,n1),F1 (n1,n2 )F (n2,n1)4正態(tài)總體的抽樣分布1）X N( , 2 /n) ；122) 2 (X i )2 i1 2(n) ；3）(n 1)S 2(n1） 且與 X 獨(dú)立；4) tX t(n 1) ；S/ n5）t (X Y) ( 12)n1n2 t(n1 n2 2)， S2(n1 1)S12 (n2 1)S226）22S1 / 122S22 / 22n1 n2n1 n2 2 F(n1 1,n2 1)第七章 參數(shù)估計(jì)1矩估計(jì)：（ 1）根據(jù)參數(shù)個(gè)數(shù)求總體的矩； （2）

12、令總體的矩等于樣本的矩； （ 3）解方程求出矩估計(jì) 2極大似然估計(jì)：（ 1）寫出極大似然函數(shù)； （ 2）求對(duì)數(shù)極大似然函數(shù)（ 3）求導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)； （4）令導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)為 0，解出極大似然估計(jì) （如無解回到 （1）直接求最大值， 一般為 minxi或 maxxi） 3估計(jì)量的評(píng)選原則（1）無偏性：若 E（ ?），則為無偏； （2） 有效性：兩個(gè)無偏估計(jì)中方差小的有效；4參數(shù)的區(qū)間估計(jì)（正態(tài)）參數(shù)條件估計(jì)函數(shù)置信區(qū)間22 已知x u / nx u 2n2 未知x t s/ nsx t (n 1) 2n2未知2 (n 1)s22(n 1)s2 , (n 1)s2 2 (n 1), 12 (n 1)

13、 2 1 2復(fù)習(xí)資料一、填空題（ 15 分） 題型一：概率分布的考察 【相關(guān)公式】 （P379）分布參數(shù)分布律或概率密度數(shù)學(xué)期望（ E）方差（ D ）（01）分 布0 p 1P X k pk(1 p)1 k,k 0,1pp(1 p)二項(xiàng)分布n10 p 1P X k k 0,1,n k ,nk n k pk (1 p)n k,npnp(1 p)負(fù)二項(xiàng)分布r10 p 1P X k k r, r 1,k 1 r k rrk 11 pr(1 p)k rr pr (1 p)2 p幾何分布0 p 1P X k (1 p)k 1p k 1,2, 1 p1p2 p2超幾何分布N,M ,a (M N ) (n

14、N )P X k k為整數(shù) , maxMkNM nkNk,n N M knMN min n, MnMM N n1NN N 1泊松分布0keP X kk!k 0,1,2,均勻分布ab1, a x b baf(x)0,其他ab2(b a) 212相關(guān)例題】11、設(shè) X U（a,b），E（X） 2，D（Z），則求 a，b的值。31解： X U(a,b),E(X) 2,D(X ) ,根據(jù)性質(zhì)：31, a b3a b (b a)22,2 12 解得： a 1,b 3.2、已知 X b(n,p),E(X ) 0.5, D( X ) 0.45 ,則求 n，p的值。解：由題意得： np 0.5, np(1 p

15、) 0.45 解得： p 0.1.題型二：正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì) 【相關(guān)公式】 (P163)2為已知 ,由樞軸量 X ，得到 的一個(gè)置信水平為 1- 的置信區(qū)間： /nX n z /2 n【相關(guān)例題】1、(樣本容量已知)已知總體 X N( ,0.81), X1,X2,X25為樣本,且X 5,則 的置信度 0.99的置信區(qū)間為： 解：代入公式得：2、(樣本容量未知)0.9z0.0255 0.18 1.96 4.6472,5.35285已知X N( ,1),X1,X2,X3,Xn為樣本容量 ,若關(guān)于 的置信度0.95的置信區(qū)間 10.88,18.92 ， 求樣本容量 .解：由題意知：樣本長(zhǎng)度

16、為 7.84，則有：X3.92代入數(shù)據(jù)，得： n 2 n 4.題型三：方差的性質(zhì)【相關(guān)公式】 (P103)1 D (C) 0,C為常數(shù)。2 D(CX) C2D(X), D( X C) D(X )，C為常數(shù)3 X , Y相互獨(dú)立 ,D(X Y) D(X) D(Y) 【相關(guān)例題】1、已知X1，X 2兩變量，且 X1 U (2, 4), X2 N (0,9), X1, X 2相互獨(dú)立 ,求D(X1 2X2).解：X1U (2,4), X 2 (0,9)2D(X1 2X2 ) D(X1) 4D(X2) (b a) 4 9 361 12 3題型四： t分布、 分布的定義【相關(guān)公式】 (P140、P138

17、)1 設(shè)X (0,1),Y2(n),且X , Y相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量tYX/ nY/n 服從自由度為 n的 t分布，記為 t t n .2 設(shè)X1,X2,X3,Xn是來自總體 N (0,1)的樣本 ,則稱統(tǒng)計(jì)量2 X12 X 22 X n2 服從自由度為 n的 2分布 ,記為 2 2 n .1、【相關(guān)例題】若X (0,1),Y2(4),且X,Y相互獨(dú)立 , YX/n ？答： YX/n t(4)2、若變量 X1,X2,X3,30, X30服從 N 0,1 ,則 Xi2 ?i130答： X i22(30).i1題型五：互不相容問題 【相關(guān)公式】 ( P4)若A B,則稱事件 A與事件 B是互不相

18、容的。【相關(guān)例題】1、若P(A) 0.6, A, B互不相容 ,求P(AB).解：A, B互不相容ABP(AB) P(A(S B) P( A AB) P(A) 0.6 二、選擇題( 15 分) 題型一：方差的性質(zhì)相關(guān)公式】 （見上，略） 相關(guān)例題】 （見上，略）題型二：考察統(tǒng)計(jì)量定義（不能含有未知量） 題型三：考察概率密度函數(shù)的性質(zhì)（見下，略） 題型四：和、乘、除以及條件概率密度（見下，略） 題型五：對(duì)區(qū)間估計(jì)的理解（ P161） 題型六：正態(tài)分布和的分布【相關(guān)公式】 （P105）【相關(guān)例題】若X N（0,2）, Y N（3,9）,則 X Y ?答： N（0 3,2 9） N （3,11）.題

19、型七：概率密度函數(shù)的應(yīng)用【相關(guān)例題】2 x,0 x 1設(shè) X f ( x)0,其他已知 PX a PX a, 則求a。 解：由題意，得：1 P X a PX a1P X a 2a1即有：a2xdx x三、解答題（ 70 分） 題型一：古典概型：全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用?！鞠嚓P(guān)公式】全概率公式： |0a 10 0 2又a0設(shè)實(shí)驗(yàn)E的樣本空間為 S，A為E的事件， B1，B2，Bn 為S的劃分，且 P(Bi )0, 則有：P A =P A|B1 P(B1) P A|B2 P B2 ? P A|Bn P(Bn) 其中有： P(B| A) P( AB) 。P(A)特別地：當(dāng) n=2時(shí)，有：P(A)

20、 P(A|B)P(B) P(A|B)P B .貝葉斯公式：設(shè)實(shí)驗(yàn) E的樣本空間為 S。A為E的事件,B1，B2， , n),則有： P(A|Bi)P(Bi)， Bn為S的一個(gè)劃分，且 P A 0，P Bi 0(i 1,2, P(Bi | A) PP(B(AiA)nnj 1P(A|Bi )P(Bi )特別地： 當(dāng)n=2時(shí)，有： P(B|A) P(AB)P(A|B)P(B)P(A) P(A|B)P(B) P(A|B)P(B) 相關(guān)例題】 1、P19 例 5某電子設(shè)備制造廠設(shè)用的元件是有三家元件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)：元件制造廠次品率提供原件的份額10.020.1520.010.8

21、030.030.05設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉(cāng)庫(kù)中是均勻混合的，且無區(qū)分標(biāo)志。 問：(1)在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)取一只元件，求它的次品率；(2)在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)抽取一只元件，為分析此次品出自何廠，需求出此次品有三家工廠生產(chǎn) 的概率分別是多少，試求這些概率。 (見下)解：1 設(shè)A= 取到一只次品 ，B= 在i廠取到產(chǎn)品 （i 1,2,3）.且 B1、B2、B3是 S的一個(gè)劃分。則由全概率公式有：P(A) P(A|B1)P(B1) P(A| B2)P(B2) P(A| B3)P(B3) 0.02 0.15 0.01 0.80 0.03 0.050.0125（2）由貝葉斯公式有：P(B3 | A)P(A|B1)P(B

22、1)0.02 0.15P(A)0.0125P(A|B2)P(B2)0.01 0.80P(A)0.0125P(A| B3)P(B3)0.03 0.05P(B1| A)0.24P(B2 |A)0.640.12 P（ A）0.0125答：綜上可得，次品出自二廠的可能性較大。，在袋中任意取一枚，2、袋中裝有 m 枚正品硬幣， n 枚次品硬幣（次品硬幣兩面均有國(guó)徽） 將他擲 r 次，已知每次都得到國(guó)徽，問這枚硬幣是正品的概率是多少？PA=mmn解：設(shè) A= 所拋擲的硬幣是正品 ，B= 拋擲r次都得到國(guó)徽 ，本題即求 P A|B ,得：n11m2r m n1 m n2 r m n m n,P(A) mn

23、n,P(B|A) 21r ,P(B|A) 1.即有： P A|B P(AB) P(B |A)P(A)P(B) P(B |A)P(A) P(B |A)P(A)3、設(shè)根據(jù)以往記錄的數(shù)據(jù)分析，某船只運(yùn)輸?shù)哪撤N物品損壞的情況共有三種：損壞2%（這一事件記為 A 1），損壞 10%（這一事件記為 A 2），損壞 90%（這一事件記為 A3），且知 P（A1） =0.8，P（A2） =0.15，P（A3）=0.05.現(xiàn)在從已經(jīng)運(yùn)輸?shù)奈锲分须S機(jī)取3件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的（這一事件記為 B），試求P（ A1 | B）, P（ A2 |B）,P（A3 | B）（這里物品件數(shù)很多，取出一件后不影響 取后一件是否為

24、好品的概率 ）。（見下）解：由題意可知：P(B|A1) 0.983, P(B | A2 ) 0.93 , P( B | A3) 0.13P(A1) 0.8,P( A2 ) 0.15,P(A3) 0.05P(B) P(B| A1)P(A1) P(B|A2)P(A2) P(B|A3)P(A3)0.983 0.8 0.93 0.15 0.13 0.050.8624P(A1|B)P(B|A1)P(A1)P(B)0.983 0.80.86240.8731P(A2 |B) 0.1268P(A3 |B) 0.00014、將 A、 B、C 三個(gè)字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為，而輸出其他字母的概率 都是

25、( 1-)/2.今將字母串 AAAA 、BBBB 、CCCC之一輸入信道， 輸入 AAAA 、BBBB、CCCC 的概率分別為 p1、p2、p3(p1+p2+p3=1 )，已知輸出為 ABCA 。問輸入 AAAA 的概率是多 少？(設(shè)信道傳輸各字母的工作是相互獨(dú)立的。 )解：設(shè)A= 輸入為AAAA ，B= 輸入為BBBB ，C=輸入為CCCC ，D =輸出為ABCA ， 依題意求 P A|D .P(D) P(D| A)P(A) P(D|B)P(B) P(D|C)P(C)2(12 )2 p1 3(12 )3 p2 3(1 2 )3 p32 1 2P(A|D) P(AD) P(D| A)P(A)

26、( 2 ) p1 P(D) P(D) 2 1 2 1 3 1 32(2)2p1( 2)3p2( 2)3p3p111p1 ( 2 ) p2 ( 2 ) p3p1p1p112(1 p1)(3a 1)p1 1題型二： 1、求概率密度、分布函數(shù)； 2、正態(tài)分布1、求概率密度【相關(guān)公式】 已知分布函數(shù)求概率密度在連續(xù)點(diǎn)求導(dǎo)；已知概率密度 f(x) 求分布函數(shù)抓住公 式： f (x)dx 1，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)， 有：P x1 X x2 F(x2) F(x1)x2f (x)dx。x1【相關(guān)例題】( 1)設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為：0, x 1FX(X) = ln x,1 x e1, x e5 求P(X 2)

27、、P(0 X 3)、P(2 X ) 求概率密度 f x(x).(見下)解：(1) P(X 2) P(X 2) ln 2P(0 X 3) FX (3) FX (0) 1 0 1555P(2 X ) FX( ) FX (2) ln224d1(2) FX(X)dx x1,1xefx(x)0,其他A2) f (x)2 ( x ) ，是確定常數(shù) A 。1 xx 2x ,3 x 4 +A解：由相關(guān)性質(zhì)得： + A 2 dx 1- 1+x解得： A(arctan x0 arctan x0 13）設(shè)隨機(jī)變量 X 具有概率密度解：x2,0 x 312x,0 x 36xf(x)= 2 ,3 x 4 ，求 X 的分

28、布函數(shù)。20,其他0， x0xxdx,0 x 306F(x)3 6 x2 2,3 x 40 x 3 x1,x 42、正態(tài)分布 （高斯分布 ）相關(guān)公式】1（ x ）2（1）公式 f （x）1 e 2 （ x ） 其中：2, 為常數(shù)，則稱 X服從參數(shù)為 , 的正態(tài)分布。（2）若 XN ， 2 ，則Z= x N（0,1）.（3）相關(guān)概率運(yùn)算公式：XxxPXxP Xx（x）;Px1Xx2P x1Xx2（x2）（x1）;（x）1（ x）.【相關(guān)例題】1、（ P58 27）某地區(qū) 18歲女青年的血壓（收縮壓：以 mmHg 計(jì)）服從 N （ 110,122），在該 地任選一名 18 歲女青年，測(cè)量她的血壓

29、X，求：（1）PX 105, P100 X 120;2）確定最小的 x,使 P X x 0.05解：(1) X N(110,122)P X 105 P X 110 105 110( 5 ) 1 (0.42) 1 0.6628 0.3372;12 12 120.5934100 110 X 110 120 110 10 10 10 P100 X 120 P ( ) ( ) 2 ( ) 112 12 12 12 12 12X 110 x 110 x 110(2)P X x 1 PX x 1 P 1 ( ) 0.0512 12 12即有： (x 110) 0.95 (1.65)x 1101.65 x

30、129.812xmin 129.82、由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓的長(zhǎng)度（cm）服從參數(shù)10.05,0.06 的正態(tài)分布，規(guī)定長(zhǎng)度 在范圍 10.05 0.12 內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格的概率。 （見下）解：設(shè)A 一螺栓合格，本題求P A .P(A) P9.93 10.050.06X 10.050.0610.17 10.05 P( 20.06X 10.050.062) 2 (2) 1 0.9544P(A) 1 P(A) 1 0.9544 0.0456題型三：二維隨機(jī)變量的題型相關(guān)公式】1、二維隨機(jī)變量的求法：+f (x, y)dxdy=-12、聯(lián)合概率密度求法 : f(x,y) fX (x) fY(

31、y) 3、隨機(jī)變量的函數(shù)分布：(1)Z X Y: fx fyfX(z y) fY(y)dyfX(x)fY(z x)dx1z(2) Z XY: fXY(z)1x fX ( x) fY ( xz)dxfX(x) fY ( xz)dxY(3)Z Y : fY (z) x XX注意點(diǎn)】討論 x,y 取值范圍 相關(guān)例題】1、( P84 3)設(shè)隨機(jī)變量( X,Y)的概率密度為：k(6 x y),0 x 2,2 y 4f (x,y)0,其他(1)確定常數(shù) k. (2)求PX1,Y3. (3)求PX1.5.(4)求PX Y 4. (見下)0x解：1 24 20k(6 x y)dx1解得 :k= 181 3 1

32、k 42 6x x2 xy |02 dy k 24 10 2y dy 12 由題意即求： 2 0 6 x y dx dy (3)由題意即求：1 4 1.5 6 x y dx dy (4)由題意即求 ( 如圖)：1 4 4 y 6 x y2732232、（ P86 18）設(shè) X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量， X在區(qū)間（ 0,1）上服從均勻分布， Y 的概率密度為：fY(y)1 求X 和Y的聯(lián)合概率密度 .2 求 PX Y.1e 2y,y 020,其他解：由題意的： X 的概率密度如下：1,0x1fX X0,其他1 y2f(x,y) e 2,0 x 1,y 0 2f(x,y) 0, 其他(2)由題

33、意 , 即求：1 1 y10 x 12e 2dy12e 2 1y21 1 y10 x 2 12e 2dye2|x dx3、( P87 25)設(shè)隨機(jī)變量 X，Y 相互獨(dú)立，且具有相同的分布，它們的概率密度均為1xe,x 1f (x)0，其他求 Z=X+Y 的概率密度。1 x ex z 1dx 0解：fX Y(x,y) 0 fX(x)fY(z x)dx 0ez 1 2 z 2z e2 zdx e2 z(z 2).(x 2)14、( P87 26)設(shè)隨機(jī)變量 X,Y 相互獨(dú)立，它們的概率密度為e x,x 0f (x)0，其他 求 Z=Y/X 的概率密度。解：由題意知 : X 0,Z 0.當(dāng) x 0時(shí)

34、，f(Z) f(YX ) 0 x fX(x)fY ( zx)dxx fX ( x) fY ( zx)dxx zx xe e dxxe(z 1)xdx 1 2 . z 1 2當(dāng) x 0時(shí), f (Z) 0.綜上所述， Z的概率密度為：,z 0fZ (z)0,z 0題型四：最大似然估計(jì)的求解【相關(guān)公式】(1)當(dāng)只有一個(gè)變量 的時(shí)候，有：d L( ) 0或 d ln L( ) 0； dd2 當(dāng)未知變量有 i的時(shí)候 i 2 ，有：L 0或 lnL 0(i 1,2,3,k) ii【相關(guān)例題 】1、設(shè)概率密度為：求 的最大似然估計(jì) .解：f (x)nL( ) e x n expxii1i1 n l lnL

35、( ) nlnxii1d l( ) nxii1d令 d l( ) 0，即有： = 1dxn2、( P174 8)設(shè)X1, X2,X3,? ,Xnf (x; )e x,0 x 10,其他是來自概率密度為：x 1,0 x 10,其他的總體的樣本，未知，求的最大似然估計(jì)。解：L( ) x 1 nxii 1 i 1n l( ) lnL( ) nln 1 lnxii1lnl( ) n ln令dd lnl( )=0，得：=ln n xlnxii1 題型五：正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)、正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn) 【 相關(guān)公式 】1、正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)1 標(biāo)準(zhǔn)差 已知（ Z檢驗(yàn)法）：Z X 0/n（2） 標(biāo)準(zhǔn)差

36、未知（ t 檢驗(yàn)法） :t X 0 t(n 1) s/ n拒絕域?yàn)椋篨0s/ nt /2 (n 1)2、正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)當(dāng)H 0為真時(shí)，有：2 n 1 S22 (n 1)2拒絕域?yàn)?: n 12 S1 2（n 1）021【 相關(guān)例題 】1、（ P218 3）某批礦砂的 5 個(gè)樣品中的鎳含量，經(jīng)測(cè)定（3.25 3.27 3.24 3.26 3.24%）設(shè)測(cè)定值總體服從正態(tài)分布， 但參數(shù)均未知， 問在=0.01 下能否接受假設(shè)， 量的均值為 3.25.這批礦砂的鎳含解： 在顯著性水平 =0.01下檢驗(yàn)問題：H 0：x 3.25 H 1 : x 3.25 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 x 3.252， S=0.

37、013， 0=3.25,n=5 。代入數(shù)據(jù)，得觀察值： t= X- 0 3.252 3.25 0.3442S/ n 0.013 / 5拒絕域?yàn)?: t t (n 1) t0.005(4) 4.60612即： t , 4.6061 (4.6061, )0.3442 4.6061 接受 H 0在 =0.01的情況下可以接受假設(shè)，這批礦砂的鎳含量均值為3.25.2、(P220 12)某種導(dǎo)線， 要求電阻的標(biāo)準(zhǔn)差不得超過 0.005，盡在一批導(dǎo)線中取樣品 9 根， 測(cè)得 s=0.007，設(shè)總體為正態(tài)分布，參數(shù)值均未知，問在顯著水平=0.05 下能否認(rèn)為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差顯著偏大？解： 在顯著水平 =0.

38、05 下檢驗(yàn)問題：H 0：0.005H 1：0.005檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量： s 0.007, n 9, 0.00522 代入數(shù)據(jù)，得觀察值 : (n 12)S 8 0.0027 15.682 0.0052拒絕域?yàn)?:t21 (n 1) 20.05(8) 15.50715.68 15.507 拒絕 H 0在顯著性水平 =0.05下能認(rèn)為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差顯著性偏大。模擬試題一一、填空題(每空 3 分，共 45 分)1、已知 P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B| A) = 0.85, 則 P(A| B) =P( AB) =12、設(shè)事件 A 與 B 獨(dú)立， A 與 B 都不發(fā)生的概率為

39、 ，A 發(fā)生且 B 不發(fā)生的概率與 B 9發(fā)生且 A 不發(fā)生的概率相等，則 A 發(fā)生的概率為： ；3、一間宿舍內(nèi)住有 6 個(gè)同學(xué)，求他們之中恰好有 4 個(gè)人的生日在同一個(gè)月份的概率：；沒有任何人的生日在同一個(gè)月份的概率 ；4、已知隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為： (x) 1/ 4, 0 x 2, 則常數(shù) A=x2分布函數(shù) F(x)=, 概率 P 0.5 X 1 ；5、設(shè)隨機(jī)變量 X B(2 ，p)、Y B(1 ，p)，若 PX 1 5/9 ，則 p = ，若 X 與 Y 獨(dú)立，則 Z=max(X,Y) 的分布律： ；6、 設(shè) X B(200,0.01), Y P(4), 且 X 與 Y 相互獨(dú)立，

40、則 D(2X-3Y)=COV(2X-3Y, X)= ；7、設(shè) X1,X2, ,X5是總體 X N (0,1)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則當(dāng) k 時(shí)，k(X1 X2)8、設(shè)總體 X U(0, ) 0為未知參數(shù)， X1,X2, , Xn為其樣本， XXi 為ni1樣本均值，則 的矩估計(jì)量為： 。9、設(shè)樣本 X1,X2, , X 9來自正態(tài)總體 N (a,1.44) ，計(jì)算得樣本觀察值 x 10，求參 數(shù) a 的置信度為 95% 的置信區(qū)間： ；、計(jì)算題( 35 分)0, 其它1、 (12 分 ) 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為：|y| x,0 x 2, 其他求：1) P| 2X 1| 2 ；2)Y X

41、2的密度函數(shù) Y(y)；3)E(2X 1)；2、 (12 分 )設(shè)隨機(jī)變量 (X,Y) 的密度函數(shù)為1) 求邊緣密度函數(shù) X (x), Y(y) ；2) 問 X 與 Y 是否獨(dú)立？是否相關(guān)？3) 計(jì)算 Z = X + Y 的密度函數(shù) Z(z) ；3、( 11 分)設(shè)總體 X 的概率密度函數(shù)為：1xe,x0(x)e,x0 ,00x0X 1,X2,Xn是取自總體 X 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。1 ) 求參數(shù) 的極大似然估計(jì)量 ?；2 ) 驗(yàn)證估計(jì)量 ?是否是參數(shù) 的無偏估計(jì)量。三、應(yīng)用題( 20 分)1 、(10 分)設(shè)某人從外地趕來參加緊急會(huì)議，他乘火車、輪船、汽車或飛機(jī)來的概率分別是 3/10 ， 1/

42、5 ， 1/10 和 2/5 。如果他乘飛機(jī)來，不會(huì)遲到；而乘火車、輪船或汽車來，遲 到的概率分別是 1/4 ，1/3 ，1/2 ?，F(xiàn)此人遲到，試推斷他乘哪一種交通工具的可能性最大？2 (10 分)環(huán)境保護(hù)條例，在排放的工業(yè)廢水中，某有害物質(zhì)不得超過0.5，假定有害物質(zhì)含量 X 服從正態(tài)分布?，F(xiàn)在取 5 份水樣，測(cè)定該有害物質(zhì)含量，得如下數(shù)據(jù)：0.530 ， 0.542 ， 0.510 ， 0.495 ， 0.515 能否據(jù)此抽樣結(jié)果說明有害物質(zhì)含量超過了規(guī)定 (0.05)？附表：模擬試題二一、填空題 (45 分，每空 3 分 )1設(shè) P(A) 0.5, P(B| A) 0.6, P(AB)

43、0.1, 則P(B) P(AB)2設(shè) A,B,C 三事件相互獨(dú)立，且 P(A) P(B) P(C)，若 P(A B C) ，則64 P(A) 。3設(shè)一批產(chǎn)品有 12 件，其中 2 件次品， 10 件正品，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取 3 件，若用 X表示取出的 3 件產(chǎn)品中的次品件數(shù)，則 X 的分布律為 。4 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為F(x) A B arctan(x), x R則 (A,B)， X 的密度函數(shù) (x) 。15 設(shè)隨機(jī)變量 X U 2,2 ，則隨機(jī)變量 Y X 1的密度函數(shù) Y(y)6設(shè) X,Y 的分布律分別為X -1 0 1 Y 0 1P 1/4 1/2 1/4 P 1/2

44、1/2且PX Y 0 0 ，則(X ,Y)的聯(lián)合分布律為。和 PX Y 17 設(shè) (X ,Y ) N ( 0 , 2 5 ; 0 ,， 則 c o vX(Y , ) ， 1D(3X Y 1) 。28設(shè) (X1,X2,X3, X4) 是總體 N (0, 4)的樣本，則當(dāng) a，b時(shí)，統(tǒng)計(jì)量 X a(X1 2X2)2 b(3X3 4X4)2服從自由度為 2 的 2分布。9設(shè) (X1,X2, ,Xn) 是總體 N(a, 2) 的樣 本，則當(dāng)常數(shù) k 時(shí)， n?2 k (Xi X)2 是參數(shù) 2的無偏估計(jì)量。i110 設(shè)由來自總體 X N (a,0.9 2 )容量為 9 的樣本，得樣本均值 x =5 ，

45、則參數(shù) a的置信度為 0.95 的置信區(qū)間為 。二、計(jì)算題 (27 分 ) 1(15 分)設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)為1(x,y)8(x y),0,0 x 2,0 y 2其它1) 求 X與Y 的邊緣密度函數(shù) X (x), Y (y)；2) 判斷 X與 Y 是否獨(dú)立？為什么？3) 求 Z X Y的密度函數(shù) Z (z)。2 (12 分 )設(shè)總體 X 的密度函數(shù)為(x) 0e,(x )0,其中 0是未知參數(shù)， (X1,X2, ,Xn)為總體 X 的樣本，求1 )參數(shù) 的矩估計(jì)量 ?1；2) 的極大似然估計(jì)量 ?2 。三、應(yīng)用題與證明題 (28 分 )1 (12 分)已知甲，乙兩箱中有

46、同種產(chǎn)品，其中甲箱中有3 件正品和 3 件次品，乙箱中僅有 3 件正品，從甲箱中任取 3 件產(chǎn)品放入乙箱后，1)求從乙箱中任取一件產(chǎn)品為次品的概率；2 )已知從乙箱中取出的一件產(chǎn)品為次品，求從甲箱中取出放入乙箱的 3 件產(chǎn)品中恰有 2 件次品的概率。2 (8 分)設(shè)某一次考試考生的成績(jī)服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)抽取了36 位考生的成績(jī)，算得平均成績(jī) x 66.5 分，標(biāo)準(zhǔn)差 s 15分，問在顯著性水平0.05下，是否可以認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績(jī)?yōu)?70 分，并給出檢驗(yàn)過程。3(8 分)設(shè)0 P(A) 1，證明： A與B相互獨(dú)立P(B|A) P(B| A)。附表： u0.95 1.65, u0

47、.975 1.96, t0.95(35) 1.6896, t0.95(36) 1.6883,t 0.975 (35) 2.0301, t0.975 (36) 2.0281,模擬試題三、填空題(每題 3 分，共 42 分)1設(shè) P(A) 0.3, P(A B) 0.8, 若 A與B互斥，則 P(B)A與B 獨(dú)立，則 P(B)；若 A B ，則 P(AB)2 在電路中電壓超過額定值的概率為p1 ，在電壓超過額定值的情況下，儀器燒壞的概率為 p2 ，則由于電壓超過額定值使儀器燒壞的概率為4x3, 0 x 1 3 設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度為 (x)0,其它 ，則使 PX aP X a 成立的常數(shù) a；

48、P0.5 X1.54如果 (X,Y) 的聯(lián)合分布律為則 , 應(yīng)滿足 的條 件是0 1 , 0 1 , 1 ，若 X與Y 獨(dú)立 ， E(X 3Y 1)5設(shè) X B(n,p) ，且 EX 2.4, DX 1.44, 則 n，p6 設(shè) X N(a, 2)，則 Y X 3 服從的分布為)，7 測(cè)量鋁的比重 16 次，得 x 2.705, s 0.029 ， 設(shè)測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布 N(a, 2參數(shù) a, 2 未知，則鋁的比重 a 的置信度為 95% 的置信區(qū)間為二、( 12 分)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的密度為：(x) 0,xce , x 0x01）求常數(shù) c ；2）求分布函數(shù) F（x） ；3）求 Y

49、2X 1的密度 Y（ y）三、（15 分）設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 （X , Y）的聯(lián)合密度為c, 0 x 1, 0 y x (x,y)(x, y) 0, 其它（ 1 ）求常數(shù) c ；（2）求 X與Y 的邊緣密度 X（x）, Y（y） ；3）問 X 與Y 是否獨(dú)立？為什么？4）求 Z X Y的密度 Z（z） ； （5）求 D（2X 3Y）。0x1其它X 的一個(gè)樣本，求四、（ 11 分）設(shè)總體 X 的密度為（ 1）x , （x）0,其中1是未知參數(shù)， （X1, ,Xn） 是來自總體（1）參數(shù) 的矩估計(jì)量 ?1 ； （ 2） 參數(shù) 的極大似然估計(jì)量 ?2；五、（ 10 分）某工廠的車床、鉆床、磨床和刨

50、床的臺(tái)數(shù)之比為9:3:2:1 ，它們?cè)谝欢〞r(shí)間內(nèi)需要修理的概率之比為 1:2:3:1 ，當(dāng)有一臺(tái)機(jī)床需要修理時(shí)，求這臺(tái)機(jī)床是車床的概率。六、（10 分）測(cè)定某種溶液中的水份，設(shè)水份含量的總體服從正態(tài)分布N（a, 2） ，得到的10 個(gè)測(cè)定值給出 x 0.452, s 0.037 ，試問可否認(rèn)為水份含量的方差 2 0.04 ？0.05)附表：2 2 2 202.05 (10) 3.94, 0.025 (10) 3.247, 0.05 (9) 3.325, 0.05 (9) 2.7,02.975 (10) 20.483, 02.975(9) 19.023, 02.95(10) 18.307,02.95(9) 16.919,模擬試題四、填空題(每題 3 分，共 42 分)1、 設(shè) A 、 B為隨機(jī)事件， P(B) 0.8，P(B A) 0.2，則 A與 B中至少有一 個(gè)不發(fā)生的概率為 ；當(dāng) A與B 獨(dú)立時(shí)，則 P(B (A B)2 、 椐以往資料表明，一個(gè)三口之家患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P 孩子得病 =0.6，P 母親得病 孩子得病 =0.5 ，P 父親得病 母親及 孩子得病 =0.4 ，那么一 個(gè)三口之家患這種傳染病的概率 為。3k3 、 設(shè) 離 散 型