12 畫法幾何總復(fù)習(xí)

1、 一、點(diǎn)的投影一、點(diǎn)的投影 （習(xí)題集（習(xí)題集P8P8） 1. 1. 點(diǎn)的三面投影點(diǎn)的三面投影 2. 2. 特殊位置的點(diǎn)特殊位置的點(diǎn) （投影面上的點(diǎn)、投影軸上的點(diǎn)）（投影面上的點(diǎn)、投影軸上的點(diǎn)） 3. 3. 點(diǎn)的位置點(diǎn)的位置 （上、下、左、右、前、后）（上、下、左、右、前、后） 4. 4. 點(diǎn)的距離點(diǎn)的距離 5. 5. 重影點(diǎn)重影點(diǎn) （兩點(diǎn)在某投影面上的投影重合）（兩點(diǎn)在某投影面上的投影重合） （不可見點(diǎn)加括號表示）（不可見點(diǎn)加括號表示） H V X Z Y W O a a a A 空間點(diǎn)用空間點(diǎn)用大寫字母大寫字母( (如如A A、B B、) )表示。表示。 在水平投影面上的投影稱在水平投影面上

2、的投影稱水平投影水平投影, ,用相應(yīng)用相應(yīng)小寫字母小寫字母( (如如a a、b b、) )表示。表示。 在正立投影面上的投影稱在正立投影面上的投影稱正面投影正面投影, ,用相應(yīng)用相應(yīng)小寫字母加一撇小寫字母加一撇( (如如a a、b b、) )表示。表示。 在側(cè)立投影面上的投影稱在側(cè)立投影面上的投影稱側(cè)面投影側(cè)面投影, ,用相應(yīng)用相應(yīng)小寫字母加兩撇小寫字母加兩撇( (如如a a、b b、) )表示。表示。 規(guī)定：規(guī)定： 投射方向 投射方向 投射方向 ax az ay a a a XO Z YW YH 注：注：因?yàn)槠矫媸菬o限大的因?yàn)槠矫媸菬o限大的， 所以一般不畫出平面邊框。所以一般不畫出平面邊框。

3、 點(diǎn)的投影遵循：點(diǎn)的投影遵循：“長對正、高平齊、寬相等長對正、高平齊、寬相等” 1 1、點(diǎn)的三面投影、點(diǎn)的三面投影 點(diǎn)的點(diǎn)的X X、Y Y、Z Z 三個(gè)坐標(biāo)均不為零，其三個(gè)三個(gè)坐標(biāo)均不為零，其三個(gè) 投影都不在投影軸上。投影都不在投影軸上。 點(diǎn)的某一個(gè)坐標(biāo)為零，其一個(gè)投影與該點(diǎn)的某一個(gè)坐標(biāo)為零，其一個(gè)投影與該 點(diǎn)本身重合，另外兩個(gè)投影分別在投影軸上。點(diǎn)本身重合，另外兩個(gè)投影分別在投影軸上。 點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)為零，其兩個(gè)投影屬于所點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)為零，其兩個(gè)投影屬于所 在投影軸，與該點(diǎn)本身重合，另一個(gè)投影在原點(diǎn)上。在投影軸，與該點(diǎn)本身重合，另一個(gè)投影在原點(diǎn)上。 點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)為零，三個(gè)投影都與原點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)

4、為零，三個(gè)投影都與原 點(diǎn)重合。點(diǎn)重合。 2 2、 特殊位置點(diǎn)的投影特殊位置點(diǎn)的投影 兩點(diǎn)的相對位置是根據(jù)兩點(diǎn)相對于投影面的距兩點(diǎn)的相對位置是根據(jù)兩點(diǎn)相對于投影面的距 離遠(yuǎn)近（或坐標(biāo)大?。﹣泶_定的。離遠(yuǎn)近（或坐標(biāo)大?。﹣泶_定的。 X X 坐標(biāo)值大的點(diǎn)在左；坐標(biāo)值大的點(diǎn)在左； Y Y 坐標(biāo)值大的點(diǎn)在前；坐標(biāo)值大的點(diǎn)在前； Z Z 坐標(biāo)值大的點(diǎn)在上。坐標(biāo)值大的點(diǎn)在上。 兩點(diǎn)的相對位置一定要以其中一點(diǎn)作為參照物。兩點(diǎn)的相對位置一定要以其中一點(diǎn)作為參照物。 根據(jù)一個(gè)點(diǎn)相對于另一點(diǎn)上下、左右、前后坐標(biāo)根據(jù)一個(gè)點(diǎn)相對于另一點(diǎn)上下、左右、前后坐標(biāo) 差，可以確定該點(diǎn)的空間位置并作出其三面投影。差，可以確定該點(diǎn)的

5、空間位置并作出其三面投影。 3 3、兩點(diǎn)的相對位置、兩點(diǎn)的相對位置 Aa Aa = = a a ax ax = = a a ay ay = = azO azO = x= x Aa Aa = = aax = = a az = = ay O ay O = = y y Aa Aa = = a a az az = =a a a y a y = = axO axO =z=z a a a a oxox a a a a ozoz H V X Z Y W O ay ax az x y z a a a H a a a VW XO Z YW YH ax ay az ay A zzz x x x y y y y 三

6、面投影面體系中點(diǎn)的投影規(guī)律三面投影面體系中點(diǎn)的投影規(guī)律 4 4、點(diǎn)的距離、點(diǎn)的距離 5 5、重影點(diǎn)、重影點(diǎn) 若兩點(diǎn)位于某投影面的同一條垂直投射線上，若兩點(diǎn)位于某投影面的同一條垂直投射線上， 則這兩點(diǎn)在該投影面上的投影重合，此兩點(diǎn)稱為該則這兩點(diǎn)在該投影面上的投影重合，此兩點(diǎn)稱為該 投影面的投影面的。 重影點(diǎn)在三對坐標(biāo)值中，必定有兩對相等。重影點(diǎn)在三對坐標(biāo)值中，必定有兩對相等。從從 投影方向觀看，重影點(diǎn)必有一個(gè)點(diǎn)的投影被另一個(gè)投影方向觀看，重影點(diǎn)必有一個(gè)點(diǎn)的投影被另一個(gè) 點(diǎn)的投影遮住而不可見。點(diǎn)的投影遮住而不可見。判斷重影點(diǎn)的可見性時(shí)，判斷重影點(diǎn)的可見性時(shí)， 需要看重影點(diǎn)在另一投影面上的投影，需要

7、看重影點(diǎn)在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的坐標(biāo)值大的 點(diǎn)投影可見，反之不可見點(diǎn)投影可見，反之不可見（在上、在前、在左的點(diǎn)（在上、在前、在左的點(diǎn) 可見）可見），不可見點(diǎn)的投影加括號表示。，不可見點(diǎn)的投影加括號表示。 二、直線的投影二、直線的投影 （習(xí)題集（習(xí)題集P9-13P9-13） 1 1、各種位置直線、各種位置直線（特殊位置直線、一般位置直線）（特殊位置直線、一般位置直線） 2 2、屬于直線的點(diǎn)、屬于直線的點(diǎn)（從屬性、定比性）（從屬性、定比性） 3 3、直線的跡點(diǎn)、直線的跡點(diǎn) 4 4、一般位置直線的實(shí)長和傾角、一般位置直線的實(shí)長和傾角（直角三角形法）（直角三角形法） 5 5、兩直線的相對位置、

8、兩直線的相對位置（平行、相交、相叉）（平行、相交、相叉） 6 6、直角投影定理、直角投影定理 重點(diǎn)：重點(diǎn)： 一般線的實(shí)長和傾角（直角三角形法）一般線的實(shí)長和傾角（直角三角形法） 直角投影定理直角投影定理 兩直線的相對位置兩直線的相對位置 直線的位置直線的位置 一般位置直線一般位置直線 與三個(gè)投影面都傾斜的直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線 特殊位置直線特殊位置直線 投影面平行線投影面平行線 只平行于一個(gè)投影面的直線只平行于一個(gè)投影面的直線 投影面垂直線投影面垂直線 只垂直于一個(gè)投影面的直線只垂直于一個(gè)投影面的直線 鉛垂線鉛垂線 H H 正垂線正垂線 V V 側(cè)垂線側(cè)垂線 W W 水平線水平線 H H

9、 正平線正平線 V V 側(cè)平線側(cè)平線 W W 1 1、各種位置的直線、各種位置的直線 投影特性：投影特性： a.a.在直線平行的投影面上是反映實(shí)長的斜線，并反映與另在直線平行的投影面上是反映實(shí)長的斜線，并反映與另 二投影面的傾角。二投影面的傾角。 b.b.另二投影面是縮短的直線，分別平行于兩個(gè)軸另二投影面是縮短的直線，分別平行于兩個(gè)軸 判斷平行線：判斷平行線： 在直線的三面投影中：在直線的三面投影中： 一個(gè)投影是斜線一個(gè)投影是斜線 兩個(gè)投影平二軸兩個(gè)投影平二軸 此線定為平行線此線定為平行線 平行斜線所在面平行斜線所在面 投影面平行線投影面平行線 空間位置：空間位置：平行于一個(gè)投影面，傾斜于另兩

10、個(gè)投影面平行于一個(gè)投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面 投影特性：投影特性： a.a.在直線垂直的投影面上積聚為一個(gè)點(diǎn)在直線垂直的投影面上積聚為一個(gè)點(diǎn) b.b.另二投影面都是反映實(shí)長的直線，并同時(shí)平行于一軸另二投影面都是反映實(shí)長的直線，并同時(shí)平行于一軸 判斷垂直線：判斷垂直線： 在直線的三面投影中：在直線的三面投影中： 一個(gè)投影是一點(diǎn)一個(gè)投影是一點(diǎn) 兩個(gè)投影平一軸兩個(gè)投影平一軸 此線定為垂直線此線定為垂直線 垂直一點(diǎn)所在面垂直一點(diǎn)所在面 投影面垂直線投影面垂直線 空間位置：空間位置：垂直于一個(gè)投影面，平行于另兩個(gè)投影面垂直于一個(gè)投影面，平行于另兩個(gè)投影面 空間位置：空間位置： 與三投影面都傾斜與三投影面

11、都傾斜 投影特性：投影特性： a a、三個(gè)投影都是小于、三個(gè)投影都是小于SCSC的斜線的斜線 b b、三個(gè)投影都是傾斜于投影軸、三個(gè)投影都是傾斜于投影軸 c c、不反映與三個(gè)投影面夾角（、不反映與三個(gè)投影面夾角（、）的真實(shí)大?。┑恼鎸?shí)大小 判斷：判斷： 根據(jù)三投影中斜線的數(shù)量來判斷直線：根據(jù)三投影中斜線的數(shù)量來判斷直線： “無垂、一平、三一般無垂、一平、三一般” （3 3）一般位置直線）一般位置直線 直線上的點(diǎn)具有兩個(gè)特性：直線上的點(diǎn)具有兩個(gè)特性：（點(diǎn)在直線上必須滿足兩點(diǎn)）（點(diǎn)在直線上必須滿足兩點(diǎn)） 從屬性從屬性 若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必在直線的各同面投影上。若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影

12、必在直線的各同面投影上。 定比性定比性 屬于線段上的點(diǎn)分割線段之比等于其投影之比。即屬于線段上的點(diǎn)分割線段之比等于其投影之比。即 AC AC : CB = ac : cb= a: CB = ac : cb= a c c : c: c b b = a = a c c : c: c b b 根據(jù)這兩個(gè)特性根據(jù)這兩個(gè)特性, ,我們可以判斷一個(gè)點(diǎn)是否屬于一條直線，也可我們可以判斷一個(gè)點(diǎn)是否屬于一條直線，也可 以求屬于線上點(diǎn)的投影。以求屬于線上點(diǎn)的投影。 2 2、屬于直線的點(diǎn)、屬于直線的點(diǎn) A B b b a a XO c c C c A B b b a a X O M，m N，n m n H V W

13、m n a b Y Z O 1 1、定義、定義 跡點(diǎn)是直線與投跡點(diǎn)是直線與投 影面的交點(diǎn)。影面的交點(diǎn)。 2 2、空間位置特點(diǎn)、空間位置特點(diǎn) 直線跡點(diǎn)既屬于直直線跡點(diǎn)既屬于直 線，又屬于投影面。線，又屬于投影面。 3 3、直線的跡點(diǎn)、直線的跡點(diǎn) 3 3、投影特點(diǎn)、投影特點(diǎn) 直線跡點(diǎn)的一個(gè)投影屬于直線的同面投影，另二投影必直線跡點(diǎn)的一個(gè)投影屬于直線的同面投影，另二投影必 定屬于相應(yīng)的投影軸。定屬于相應(yīng)的投影軸。 直角三角形的四要素：直角三角形的四要素：實(shí)長、傾角、投影長、坐標(biāo)差。實(shí)長、傾角、投影長、坐標(biāo)差。 四個(gè)要素中只要知道任意兩個(gè)要素，均可求得另外兩個(gè)要四個(gè)要素中只要知道任意兩個(gè)要素，均可求得

14、另外兩個(gè)要 素，但須清楚諸要素之間的關(guān)系。素，但須清楚諸要素之間的關(guān)系。 注意投影長、坐標(biāo)差、傾角均對同一投影面注意投影長、坐標(biāo)差、傾角均對同一投影面 坐標(biāo)差坐標(biāo)差 X 實(shí)長實(shí)長 投影投影 W面投影面投影 ab 傾角傾角 坐標(biāo)差坐標(biāo)差 Y 投影投影 V面投影面投影 ab 傾角傾角 坐標(biāo)差坐標(biāo)差 Z 投影投影 H面投影面投影 a b 傾角傾角 用細(xì)實(shí)線用細(xì)實(shí)線 畫直角三畫直角三 角形（不角形（不 是畫直角是畫直角 三角形的三角形的 投影，而投影，而 是一個(gè)幾是一個(gè)幾 何作圖的何作圖的 方法）方法） 4 4、直角三角形法、直角三角形法（一般位置直線求實(shí)長和傾角）（一般位置直線求實(shí)長和傾角） b b

15、 X a a BC(L) 【例題例題】已知線段已知線段ABAB的投影，試定出屬于線段的投影，試定出屬于線段ABAB的點(diǎn)的點(diǎn) C C的投影，使的投影，使BCBC的實(shí)長等于已知長度的實(shí)長等于已知長度L L。 c L AB c zA-zB ab 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) SCAB Y Y Z b X b a a X 習(xí)題習(xí)題3-33-3(1(1) )求線段的實(shí)長和求線段的實(shí)長和角角 (2)(2)求線段與求線段與V V、H H面的傾角面的傾角和和 Z ab b a a b X X SCAB 也可以用補(bǔ)側(cè)投影的方式求也可以用補(bǔ)側(cè)投影的方式求角角 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)作業(yè)講評作業(yè)講評 （1 1）平行的兩直線）平行的兩直線 兩直線在空

16、間相互平行，則它們同一投影面上的投影仍平行。兩直線在空間相互平行，則它們同一投影面上的投影仍平行。 反之，若兩直線同一投影面上的投影均平行，則此二直線平行。反之，若兩直線同一投影面上的投影均平行，則此二直線平行。 平行兩線段之比等于其同面投影之比。平行兩線段之比等于其同面投影之比。 X A B C D b a a d b d c c a b X b a d c d c 5 5、兩直線的相對位置、兩直線的相對位置 兩直線在空間相交，則它們的同面投影均相交，且交點(diǎn)屬于兩直線。兩直線在空間相交，則它們的同面投影均相交，且交點(diǎn)屬于兩直線。 反之，若兩直線同面投影均相交，且交點(diǎn)屬于兩直線，則兩直線相交。

17、反之，若兩直線同面投影均相交，且交點(diǎn)屬于兩直線，則兩直線相交。 相交兩直線的同面投影的交點(diǎn)連線垂直于相應(yīng)投影軸。相交兩直線的同面投影的交點(diǎn)連線垂直于相應(yīng)投影軸。 b X a a b k c d d c k X B D A C K b b a a c c d d k k （2 2）相交的兩直線）相交的兩直線 凡不滿足平行和相交條件的直線為相叉（交叉凡不滿足平行和相交條件的直線為相叉（交叉) )兩直線。（異面直線）兩直線。（異面直線） 相叉（交叉相叉（交叉) )兩直線的同面投影的交點(diǎn)連線不垂直于相應(yīng)的投影軸。兩直線的同面投影的交點(diǎn)連線不垂直于相應(yīng)的投影軸。 判別可見性：判別可見性：投影圖中通?？蓮?/p>

18、重合投影處開始，向上（向下、向左）投影圖中通?？蓮闹睾贤队疤庨_始，向上（向下、向左） 作投影連線，作投影連線，應(yīng)加括號。應(yīng)加括號。 b X a a b c d d c 1 1 (2 ) 2 X O B D A C b b a a c c d d 2 1 1 (2 ) 2 1 （3 3）相叉的兩直線）相叉的兩直線 6 6、直角投影定理、直角投影定理 如果空間二直線相互垂直（如果空間二直線相互垂直（相交或相叉相交或相叉），且一直線是），且一直線是 某投影面的平行線，則此二直線在該投影面上的投影反某投影面的平行線，則此二直線在該投影面上的投影反 映垂直。映垂直。 如果二直線在某一投影面上的投影反映垂

19、直，且其中一如果二直線在某一投影面上的投影反映垂直，且其中一 直線是該投影面的平行線，則此二直線在空間必然垂直。直線是該投影面的平行線，則此二直線在空間必然垂直。 解題方法：解題方法： 垂直問題，先看有無平行線，垂直問題，先看有無平行線， 有：做垂直線；有：做垂直線；無：做平行線無：做平行線 公垂線：公垂線：和兩條直線都和兩條直線都垂直相交垂直相交的直線。的直線。 d b 1 c a b a1 c d 【習(xí)題習(xí)題3-173-17】已知菱形已知菱形ABCDABCD的對角線的對角線ACAC和和B B點(diǎn)的點(diǎn)的V V面投影面投影, ,試完試完 成該菱形的成該菱形的V V面投影。面投影。 X 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)作

20、業(yè)講評作業(yè)講評 解題的關(guān)鍵點(diǎn)解題的關(guān)鍵點(diǎn): : 求另一對角線求另一對角線BD BD 的正投影長的正投影長( (用直用直 角三角形法角三角形法);); ac=AC=BD bd已知已知 3. 求出求出 ZD-ZE = ZE-ZB 或或求求db(ed或或eb) 【習(xí)題習(xí)題3-183-18】矩形矩形ABCDABCD的對角線的對角線ACAC為水平線，試完成該矩形的為水平線，試完成該矩形的 V V面投影。面投影。 b d b c a a d c DEDE或或BEBE的的Z Z差差 e e SCAE DEDE或或BEBE的水平投影長的水平投影長 【習(xí)題習(xí)題3-193-19】三角形三角形ABCABC為一直角線

21、三角形，其中為一直角線三角形，其中B=90B=90, , 邊邊BC=25mm,BC=25mm,且且BCBC的的=30=30，完成其兩面投影。，完成其兩面投影。 c a b b a c c 有四解有四解 30 BC=25 BCBC的的Y Y差差 BCBC的正投影長的正投影長 d a AD e f c b X cd a b f e d c 【習(xí)題習(xí)題3-223-22】已知等邊三角形已知等邊三角形ABCABC的一邊的一邊BCBC屬于屬于EFEF，完成此，完成此 三角形的兩面投影。三角形的兩面投影。 CDorDB 30 高高ADAD的的Z Z差差 三、平面的投影三、平面的投影 （習(xí)題集（習(xí)題集P14-

22、16P14-16） 1 1、平面的表示法、平面的表示法（幾何元素表示、跡線表示）（幾何元素表示、跡線表示） 2 2、各種位置平面、各種位置平面（投影特性、判斷）（投影特性、判斷） （垂直面：垂直一個(gè)投影面，傾斜兩個(gè)投影面）（垂直面：垂直一個(gè)投影面，傾斜兩個(gè)投影面） （平行面：平行一個(gè)投影面，垂直兩個(gè)投影面）（平行面：平行一個(gè)投影面，垂直兩個(gè)投影面） （一般面：與三個(gè)投影面都傾斜）（一般面：與三個(gè)投影面都傾斜） 3 3、平面上的直線和點(diǎn)、平面上的直線和點(diǎn) 4 4、平面的最大斜度線（角度線）、平面的最大斜度線（角度線） 重點(diǎn)：重點(diǎn)： 平面的最大斜度線（平面的最大斜度線（反映平面與投影面的傾角反映平

23、面與投影面的傾角） 1 1、平面的表示方法、平面的表示方法 a a b c b c b a a c b c b a a c b c a bc a b c d d （1 1）用幾何）用幾何 元素表示平面元素表示平面 有五種形式：有五種形式： 不在一直線上不在一直線上 的三個(gè)點(diǎn)；的三個(gè)點(diǎn)；一一 直線和直線外直線和直線外 一點(diǎn)；一點(diǎn)；相交二相交二 直線；直線；平行二平行二 直線；直線；任意平任意平 面圖形。面圖形。 a a b c b c （2 2）用平面的跡線表示平面）用平面的跡線表示平面 V H P PV PH PV PH V H QV QH QH QV Q 平面的位置平面的位置 一般位置平面一

24、般位置平面 傾斜于三個(gè)投影面傾斜于三個(gè)投影面 特殊位置平面特殊位置平面 投影面平行面投影面平行面 平行于某一投影面的平面平行于某一投影面的平面 投影面垂直面投影面垂直面 垂直于一個(gè)投影面的直線垂直于一個(gè)投影面的直線 鉛垂面鉛垂面 H H 正垂面正垂面 V V 側(cè)垂面?zhèn)却姑?W W 水平面水平面 H H 正平面正平面 V V 側(cè)平面?zhèn)绕矫?W W 3 3、各種位置的平面、各種位置的平面 投影特性：投影特性： a.a.在垂直的投影面上積聚為一斜線，并反映與另二投影面在垂直的投影面上積聚為一斜線，并反映與另二投影面 的傾角的真實(shí)大小。的傾角的真實(shí)大小。 b.b.另二投影是空間形體的類似形另二投影是空

25、間形體的類似形 判斷垂直面：判斷垂直面： 在平面的三面投影中：在平面的三面投影中： 一個(gè)投影是斜線一個(gè)投影是斜線 兩個(gè)投影是圖形兩個(gè)投影是圖形 此面定為垂直面此面定為垂直面 垂直斜線所在面垂直斜線所在面 投影面垂直面投影面垂直面 空間位置：空間位置：垂直于一個(gè)投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面垂直于一個(gè)投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面 投影特性：投影特性： a.a.在平行的投影面上反映實(shí)形（在平行的投影面上反映實(shí)形（SXSX） b.b.另二投影成二直線（垂直于一軸）另二投影成二直線（垂直于一軸） 判斷平行面：判斷平行面： 在平面的三面投影中：在平面的三面投影中： 投影面平行面投影面平行面 空間位置：空間位置

26、：平行于一個(gè)投影面，垂直于另兩個(gè)投影面平行于一個(gè)投影面，垂直于另兩個(gè)投影面 一個(gè)投影是圖形一個(gè)投影是圖形 兩個(gè)投影是直線兩個(gè)投影是直線 此面定為平行面此面定為平行面 平行圖形所在面平行圖形所在面 a b c b ac a b a bb a c c b a c C A B 空間位置：空間位置：與三投影面都傾斜與三投影面都傾斜 投影特性：投影特性：三個(gè)投影都是類似形，都不反映空間形體的實(shí)形三個(gè)投影都是類似形，都不反映空間形體的實(shí)形(SX)(SX) 判斷：判斷：根據(jù)三投影中圖形數(shù)量判斷平面：根據(jù)三投影中圖形數(shù)量判斷平面： “一平，二垂，三一般一平，二垂，三一般” （3 3）一般位置平面）一般位置平面

27、 平面上的直線和點(diǎn)平面上的直線和點(diǎn) 平面上的直線平面上的直線（屬于平面的直線）（屬于平面的直線） 直線在平面上的幾何條件是：直線在平面上的幾何條件是： 通過平面上的兩點(diǎn)；通過平面上的兩點(diǎn)； 通過平面上的一點(diǎn)且平行于平面上的一條直線。通過平面上的一點(diǎn)且平行于平面上的一條直線。 平面上的點(diǎn)平面上的點(diǎn)（屬于平面的點(diǎn)）（屬于平面的點(diǎn)） 點(diǎn)在平面上的幾何條件是：點(diǎn)在平面上的幾何條件是：點(diǎn)在平面內(nèi)的某一直線上。點(diǎn)在平面內(nèi)的某一直線上。 ( (如果點(diǎn)在直線上，直線又在平面上，則點(diǎn)在平面上如果點(diǎn)在直線上，直線又在平面上，則點(diǎn)在平面上） 在平面上取點(diǎn)、直線的作圖，實(shí)質(zhì)上就是在平面內(nèi)作輔助線在平面上取點(diǎn)、直線的作

28、圖，實(shí)質(zhì)上就是在平面內(nèi)作輔助線 的問題。利用在平面上取點(diǎn)、直線的作圖，可以解決三類問題：的問題。利用在平面上取點(diǎn)、直線的作圖，可以解決三類問題： a.a.判別已知點(diǎn)、線是否屬于已知平面；判別已知點(diǎn)、線是否屬于已知平面； b.b.完成已知平面上的點(diǎn)和直線的投影；完成已知平面上的點(diǎn)和直線的投影； c.c.完成多邊形的投影。完成多邊形的投影。 （1 1）一般面上的一般線和點(diǎn)）一般面上的一般線和點(diǎn) （2 2）屬于垂直面（幾何元素表示法）的點(diǎn)和直線）屬于垂直面（幾何元素表示法）的點(diǎn)和直線 a b c a bc k k 1 2 3 1 23 g g f e e f n m m n EFEF屬于屬于ABCA

29、BCK K屬于屬于ABCABCG G不屬于不屬于MNMN不屬于不屬于 (1) (1) 最大斜度線最大斜度線: :平面上對某個(gè)投影面傾角最大的直線。平面上對某個(gè)投影面傾角最大的直線。 (2)(2) 它與投影面的傾角反映該平面與投影面的傾角它與投影面的傾角反映該平面與投影面的傾角。 最大斜度線幾何意義：最大斜度線幾何意義：用來測定平面對投影面角度。用來測定平面對投影面角度。 (3)(3) 平面內(nèi)對某投影面的最大斜度線與該平面內(nèi)某投平面內(nèi)對某投影面的最大斜度線與該平面內(nèi)某投 影面的平行線相互垂直。影面的平行線相互垂直。 (4) (4) 作圖步驟：作圖步驟： 在平面內(nèi)作一平行線在平面內(nèi)作一平行線 用直

30、角定理作一直線垂直于平行線用直角定理作一直線垂直于平行線 用所作的最大斜度線求傾角（直角三角形法）用所作的最大斜度線求傾角（直角三角形法） 4 4、平面的最大斜度線、平面的最大斜度線 ( (本講重點(diǎn)本講重點(diǎn)) ) （習(xí)題集（習(xí)題集P17P17） 直線與特殊位置平面平行直線與特殊位置平面平行（平面積聚投影與直線同面投影平行）（平面積聚投影與直線同面投影平行） 一般線與一般面平行一般線與一般面平行（一般位置直線與平面內(nèi)一條直線平行）（一般位置直線與平面內(nèi)一條直線平行） 兩特殊位置平面平行兩特殊位置平面平行（平面的同面積聚投影平行）（平面的同面積聚投影平行） 兩一般位置平面平行兩一般位置平面平行（兩

31、平面內(nèi)有兩條相交直線對應(yīng)平行）（兩平面內(nèi)有兩條相交直線對應(yīng)平行） （習(xí)題集（習(xí)題集P18-19P18-19） 一般線與垂直面相交一般線與垂直面相交（交點(diǎn)投影為平面積聚投影與直線同面投影交點(diǎn)）（交點(diǎn)投影為平面積聚投影與直線同面投影交點(diǎn)） 垂直線與一般面相交垂直線與一般面相交（交點(diǎn)的一個(gè)投影與直線的積聚投影重合）（交點(diǎn)的一個(gè)投影與直線的積聚投影重合） 一般線與一般面相交（本講重點(diǎn)）一般線與一般面相交（本講重點(diǎn)） 垂直面與一般面相交垂直面與一般面相交（交線的一個(gè)投影為垂直面的積聚投影）（交線的一個(gè)投影為垂直面的積聚投影） 一般面與一般面相交（本講重點(diǎn)）一般面與一般面相交（本講重點(diǎn)） （習(xí)題集（習(xí)題集

32、P20P20） 直線與特殊位置平面垂直直線與特殊位置平面垂直（特殊位置平面的法線一定是特殊位置直線）（特殊位置平面的法線一定是特殊位置直線） 一般線與一般面垂直一般線與一般面垂直（若一直線垂直于一平面內(nèi)任意兩條相交直線，（若一直線垂直于一平面內(nèi)任意兩條相交直線， 則此直線必垂直于該平面）則此直線必垂直于該平面）（正平線和水平線）（正平線和水平線） 平面與平面垂直平面與平面垂直（若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有（若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有 平面都垂直于該平面平面都垂直于該平面) )（即包含某平面垂線的任意平（即包含某平面垂線的任意平 面都與該平面垂直）面都與該平面垂

33、直） 四、四、（習(xí)題集（習(xí)題集P21-22P21-22） 平行問題、相交問題、垂直問題的綜合，可能結(jié)合直角三角形法及直平行問題、相交問題、垂直問題的綜合，可能結(jié)合直角三角形法及直 角投影定理等，比如正方形、菱形、直角三角形、等邊三角形等等。角投影定理等，比如正方形、菱形、直角三角形、等邊三角形等等。 一般位置線面相交由于直線和平面的投影都沒有積聚一般位置線面相交由于直線和平面的投影都沒有積聚 性，求交點(diǎn)時(shí)無積聚性投影可以利用，因此通常要采用性，求交點(diǎn)時(shí)無積聚性投影可以利用，因此通常要采用輔輔 助平面法助平面法求一般位置線面的交點(diǎn)。一般位置線、面相交求求一般位置線面的交點(diǎn)。一般位置線、面相交求

34、交點(diǎn)的步驟：交點(diǎn)的步驟： （l l）含已知直線作特殊位置的輔助平面；）含已知直線作特殊位置的輔助平面； （2 2）求輔助平面與已知平面的交線；）求輔助平面與已知平面的交線； （3 3）求交線與已知直線的交點(diǎn)，交點(diǎn)即為所求。）求交線與已知直線的交點(diǎn)，交點(diǎn)即為所求。 （4 4）判別可見性。）判別可見性。 求兩一般位置平面交線的問題可以看作是求兩個(gè)共有求兩一般位置平面交線的問題可以看作是求兩個(gè)共有 點(diǎn)的問題點(diǎn)的問題, , 因而可利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法因而可利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法求出交求出交 線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。 f e e f

35、b a a c b c 1 2 【例題例題1 1】以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn) QV 2 1 k k 步驟：步驟： 1 1、 過過EFEF作正作正 垂平面垂平面Q Q。 2 2、求、求Q Q平面與平面與 ABCABC的交線的交線 。 3 3、求交線、求交線 與與EFEF的交的交 點(diǎn)點(diǎn)K K。 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 1 2 【例題例題2 2】以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn) 。 PH 1 f e e f b c a a c b 步驟：步驟： 1 1、 過過EFEF作鉛作鉛 垂平面垂平面P P。 2 2、求、求P P平面與平面與 ABCABC的交線的交線 。

36、 3 3、求交線、求交線 與與EFEF的交的交 點(diǎn)點(diǎn)K K。 k k 2 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 【例題例題3 3】直線直線EFEF與平面與平面 ABCABC相交，判別可見性。相交，判別可見性。 利用重影點(diǎn)利用重影點(diǎn) 判別可見性判別可見性 ( ) f e e f a c c b a b 1 2 4 3 2 1 3 4 （ ） k k 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 求兩個(gè)一般位置求兩個(gè)一般位置 平面交線的作圖平面交線的作圖 步驟：步驟： (1)(1)用直線與平面用直線與平面 求交點(diǎn)的方法求求交點(diǎn)的方法求 出兩平面的兩個(gè)出兩平面的兩個(gè) 共有點(diǎn)共有點(diǎn)K K、E E。 （盡量不選投影（盡量不選投影 不重疊的邊，盡不重疊的邊，盡 可能選

37、各投影均可能選各投影均 重疊較多的邊）重疊較多的邊） 【例題例題4 4】求兩平面的交線求兩平面的交線 b c a a b c l l n m m n PV QV 1 2 2 1 k k e e (2)(2)連接兩個(gè)共連接兩個(gè)共 有點(diǎn)，畫出交線有點(diǎn)，畫出交線 KEKE。 一般不選一般不選ABAB、BCBC、NLNL 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 利用重影點(diǎn)利用重影點(diǎn) 判別可見性判別可見性 只需要判斷只需要判斷 一段的可見一段的可見 性后，交錯(cuò)性后，交錯(cuò) 前進(jìn)，依次前進(jìn)，依次 封口。封口。 【例題例題5 5】兩平面相交，判別可見性兩平面相交，判別可見性 b c a a b c l l n m m n k e e k

38、3 4 ( )3 4 2 1 ( )1 2 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) (1) (1) 有關(guān)實(shí)長或?qū)嵭蔚牧慷扔嘘P(guān)實(shí)長或?qū)嵭蔚牧慷?直線線段的實(shí)長直線線段的實(shí)長 平面圖形的實(shí)形平面圖形的實(shí)形 (2) (2) 有關(guān)距離的量度有關(guān)距離的量度 兩點(diǎn)之間的距離兩點(diǎn)之間的距離 點(diǎn)到直線、兩平行線間的距離點(diǎn)到直線、兩平行線間的距離 點(diǎn)到平面、兩平行平面間的距離點(diǎn)到平面、兩平行平面間的距離 相叉二直線最短距離相叉二直線最短距離 (3) (3) 有關(guān)角度的量度有關(guān)角度的量度 直線對投影面的傾角直線對投影面的傾角 平面對投影面的傾角平面對投影面的傾角 相交二直線的夾角相交二直線的夾角 直線與平面的夾角直線與平面的夾角 兩平面間的夾

39、角兩平面間的夾角 （1 1）直線上取點(diǎn)、平面上取點(diǎn)）直線上取點(diǎn)、平面上取點(diǎn) 直線上取點(diǎn)：直線上取點(diǎn)：從屬性、定比性。從屬性、定比性。 平面上取點(diǎn)：平面上取點(diǎn)：點(diǎn)在直線上，直線在平面上，則點(diǎn)在平面上。點(diǎn)在直線上，直線在平面上，則點(diǎn)在平面上。 （2 2）求直線與平面的交點(diǎn)）求直線與平面的交點(diǎn) 一般位置直線與投影面垂直面相交：一般位置直線與投影面垂直面相交： 交點(diǎn)的一個(gè)投影為平面積聚性投影與直線同面投影的交點(diǎn)。交點(diǎn)的一個(gè)投影為平面積聚性投影與直線同面投影的交點(diǎn)。 投影面垂直線與一般位置平面相交投影面垂直線與一般位置平面相交 ： 交點(diǎn)的一個(gè)投影與直線的積聚性投影重合。交點(diǎn)的一個(gè)投影與直線的積聚性投影重

40、合。 一般位置直線與一般位置平面相交：一般位置直線與一般位置平面相交：輔助面法輔助面法 （3 3）求平面與平面的交線）求平面與平面的交線 一般位置平面與投影面垂直面相交一般位置平面與投影面垂直面相交 兩個(gè)一般位置平面相交兩個(gè)一般位置平面相交 重點(diǎn)：重點(diǎn)： 平面與平面立體相交（求截交線）平面與平面立體相交（求截交線） 平面立體與平面立體相交（求相貫線）平面立體與平面立體相交（求相貫線） 直線與平面立體相交（求貫穿點(diǎn)）直線與平面立體相交（求貫穿點(diǎn)） 同坡屋面同坡屋面 一、一、 棱柱體棱柱體（投影特征、棱柱表面取點(diǎn)）（投影特征、棱柱表面取點(diǎn)）（習(xí)題集（習(xí)題集P26P26） 二、二、 棱錐體棱錐體（投

41、影特征、棱錐表面取點(diǎn)）（投影特征、棱錐表面取點(diǎn)）（習(xí)題集（習(xí)題集P27P27） 三、三、 平面與平面立體相交平面與平面立體相交（求截交線）（求截交線）（習(xí)題集（習(xí)題集P28-29P28-29） 四、四、 直線與平面立體相交直線與平面立體相交（求貫穿點(diǎn)）（求貫穿點(diǎn)）（習(xí)題集（習(xí)題集P29P29） 五、五、 兩平面立體相交兩平面立體相交（求相貫線）（求相貫線）（習(xí)題集（習(xí)題集P30P30） 六、六、 同坡屋面同坡屋面（習(xí)題集（習(xí)題集P31P31） 平面與平面立體相交解題步驟：平面與平面立體相交解題步驟： 先視截交線是積聚元素上的線，立即得到一個(gè)投影，先視截交線是積聚元素上的線，立即得到一個(gè)投影，

42、立即標(biāo)點(diǎn)，標(biāo)點(diǎn)后在多邊形投影上得到交線的另一立即標(biāo)點(diǎn)，標(biāo)點(diǎn)后在多邊形投影上得到交線的另一 投影。投影。 利用點(diǎn)在直線上、點(diǎn)在平面上的方法在第三投影上利用點(diǎn)在直線上、點(diǎn)在平面上的方法在第三投影上 求出截交線上各點(diǎn)的第三投影。求出截交線上各點(diǎn)的第三投影。 連點(diǎn)成封閉的圖形（按其余二投影的順序）連點(diǎn)成封閉的圖形（按其余二投影的順序） 整理圖形：根據(jù)積聚投影所在的投影來保留整理圖形：根據(jù)積聚投影所在的投影來保留剩下部剩下部 分分（沒參加相交的部分）（沒參加相交的部分） 標(biāo)點(diǎn)標(biāo)點(diǎn) - - 求點(diǎn)求點(diǎn) - - 連線連線 - - 整理圖形整理圖形 ( (本講重點(diǎn)本講重點(diǎn)) ) 【習(xí)題習(xí)題6-176-17】完成

43、帶缺口三棱柱的完成帶缺口三棱柱的H H、W W投影。投影。 y y 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 【習(xí)題習(xí)題6-156-15】作出六棱錐被作出六棱錐被P P、Q Q平面截割后的投影。平面截割后的投影。 y y PW QW 直線與立體表面的交點(diǎn)稱為直線與立體表面的交點(diǎn)稱為貫穿點(diǎn)貫穿點(diǎn)。 貫穿點(diǎn)是直線與立體表面的公有點(diǎn)貫穿點(diǎn)是直線與立體表面的公有點(diǎn)（既是屬于直（既是屬于直 線的點(diǎn)，又是屬于立體表面的點(diǎn)）。線的點(diǎn)，又是屬于立體表面的點(diǎn)）。 因此，求貫穿點(diǎn)的問題，就是求線與面交點(diǎn)的問因此，求貫穿點(diǎn)的問題，就是求線與面交點(diǎn)的問 題。題。 求貫穿點(diǎn)的方法：求貫穿點(diǎn)的方法：包含已知直線作一個(gè)輔助截平包含已知直線作一個(gè)輔助截平

44、面，求此截平面與立體的截交線，截交線與已知直線面，求此截平面與立體的截交線，截交線與已知直線 的交點(diǎn)即為貫穿點(diǎn)。的交點(diǎn)即為貫穿點(diǎn)。 ( (本講重點(diǎn)本講重點(diǎn)) ) 【例題例題】求直線求直線KLKL與三棱錐的貫穿點(diǎn)。與三棱錐的貫穿點(diǎn)。復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) K L M N 包含直線作包含直線作 輔助平面輔助平面, ,可以可以 求得該輔助平面求得該輔助平面 與立體的截交線，與立體的截交線， 而直線的貫穿點(diǎn)而直線的貫穿點(diǎn) 在截交線上。在截交線上。 作圖過程：作圖過程： 1 1 2 2 3 3 m n n m PV k l k k 注意注意：貫穿點(diǎn)：貫穿點(diǎn) 之間沒有線。之間沒有線。 相交的兩立體常稱為相交的兩立體常稱

45、為相貫體相貫體 相貫體表面的交線稱為相貫體表面的交線稱為相貫線相貫線 相貫線的性質(zhì)相貫線的性質(zhì): : a.a.相貫線為兩立體表面的共有線，相貫線上的每個(gè)點(diǎn)都是相貫線為兩立體表面的共有線，相貫線上的每個(gè)點(diǎn)都是 兩立體的共有點(diǎn)。兩立體的共有點(diǎn)。 b.b.相貫線一般是閉合的平面折線或空間折線，只有當(dāng)兩立相貫線一般是閉合的平面折線或空間折線，只有當(dāng)兩立 體具有重疊表面時(shí)，相貫線才不閉合。體具有重疊表面時(shí)，相貫線才不閉合。 對于兩個(gè)立體都是平面立體來說對于兩個(gè)立體都是平面立體來說, ,其相貫線一般都其相貫線一般都 是閉合的空間折線是閉合的空間折線. .其每一段線段都是兩平面立體相關(guān)其每一段線段都是兩平面

46、立體相關(guān) 棱面的交線棱面的交線, ,每一個(gè)折點(diǎn)都是一平面體的棱線對另一平每一個(gè)折點(diǎn)都是一平面體的棱線對另一平 面體的貫穿點(diǎn)。面體的貫穿點(diǎn)。 ( (本講重點(diǎn)本講重點(diǎn)) ) 分析形體：分析形體：認(rèn)識兩相貫體的形體特征，考察兩立體的相認(rèn)識兩相貫體的形體特征，考察兩立體的相 對位置。判斷是對位置。判斷是“全貫全貫”（兩組相貫線）還是（兩組相貫線）還是“互貫互貫” （一組相貫線）。（一組相貫線）。 求相貫點(diǎn)求相貫點(diǎn)：實(shí)際上就是求每一條棱線（直線）與另一立：實(shí)際上就是求每一條棱線（直線）與另一立 體的相貫點(diǎn)（參與相交的棱線有點(diǎn)）。體的相貫點(diǎn)（參與相交的棱線有點(diǎn)）。 連接相貫點(diǎn)：連接相貫點(diǎn)：屬于同一立體的同

47、一棱面而同時(shí)屬于另一屬于同一立體的同一棱面而同時(shí)屬于另一 立體也是同一棱面的兩點(diǎn)才能相連。立體也是同一棱面的兩點(diǎn)才能相連。 判別可見性：判別可見性：兩立體的棱面均為可見面：可見（實(shí)線）兩立體的棱面均為可見面：可見（實(shí)線） 有一立體的棱面為不可見面：不可見（虛線）。有一立體的棱面為不可見面：不可見（虛線）。 整理圖形：整理圖形：未參與相交部分，從相貫線往四周連線。未參與相交部分，從相貫線往四周連線。 1 2 (3) 4(5) 1 (2) (3) 5 4 分析分析: : 由于六棱柱垂由于六棱柱垂 直于直于H H面面, ,所以所以 相貫線的水平相貫線的水平 投影為已知投影為已知 【習(xí)題習(xí)題6-266-26】 完成六棱柱和三完成六棱柱和三 棱柱相貫后的棱柱相貫后的V V 面投影。面投影。 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 【習(xí)題習(xí)題6-296-29】完成截頭完成截頭三棱柱和四棱錐三棱柱和四棱錐, ,六棱柱相貫后的六棱柱相貫后的V.HV.