雙曲線講義教師版

1、一、雙曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：1.雙曲線的泄義（1）第一泄義：當(dāng)IIWJ IP竹11=21片坊I時(shí),P的軌跡不存在;當(dāng)1刊-|“2|1=2心尸2|時(shí)，P的軌跡為亙斤、&為端點(diǎn)的兩條射線（2）雙曲線的第二義平而內(nèi)到立點(diǎn)F與泄直線/（泄點(diǎn)F不在泄直線/上）的距離之比是常數(shù)e（1）的點(diǎn)的 軌跡為雙曲線2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程匚一=1(以0) cr b-2 2二-件=1(恥0) cr b性質(zhì)焦點(diǎn)(c,0), (-u0),(0,c),(0r)焦距2(范碉1 x l a. y e 7?1 y l a.x e R頂點(diǎn)(d,0), (-a.O)(0r),(0Q對稱性關(guān)于X軸.y軸和原點(diǎn)對稱離心率= G(

2、l.-KC) a準(zhǔn)線丄cy = c漸近線bX =+ xay = + x b與雙曲線二-二=1共漸近線的雙曲線系方程為：4-4=） tr lr與雙曲線*-*“共純的雙曲線為存滬】 等軸雙曲線，-嚴(yán)=啟的漸近線方程為y = x ,離心率為e = Ji；1 注意左義中“陷阱 問題1：已知刁（一5,0）迅（5,0）, 一曲線上的動(dòng)點(diǎn)P到斥，場距離之差為6,則雙曲線的方程為2.注意焦點(diǎn)的位置3問題2：雙曲線的漸近線為y = -x,則離心率為2二、雙曲線經(jīng)典j型:1. 定義題：1.某中心接到英正東、正西、正北方向三個(gè)觀測點(diǎn)的報(bào)告：正四、正北兩個(gè)觀測點(diǎn)同時(shí)聽到 了一聲巨響，正東觀測點(diǎn)聽到的時(shí)間比苴他兩觀測點(diǎn)

3、晚4s.已知觀測點(diǎn)到該中心的距離 都是1020m.試確左該巨響發(fā)生的位豊.(假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/ s :相關(guān)各點(diǎn)均 在同一平而上)【解題思路】時(shí)間差即為距離差，到兩立點(diǎn)距藹之差為左值的點(diǎn)的軌跡是雙曲線型的.解析如圖，以接報(bào)中心為原點(diǎn)0,正東.正北方向?yàn)閤軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系.設(shè) A、B. C 分別是西、東、北觀測點(diǎn)，則 A (-1020, 0), B (1020, 0), C (0, 1020)設(shè)P(x,y)為巨響為生點(diǎn)，由A、C同時(shí)聽到巨響聲，得|PA = PC ,故P在AC的垂直平分 線P0上，P0的方程為y二一X,因B點(diǎn)比A點(diǎn)晚4s聽到爆炸聲，故PB 一 PA =3

4、40X4=1360 由雙曲線泄義知P點(diǎn)在以A. B為焦點(diǎn)的雙曲線依題意得圧680, c二1020,:.b2=c2-a2=0202 -6802 =5x3402 故雙曲線方程為厶-上一=1 68025 x 3402用 y=-x 代入上式，得x = 6805 , T PB|PA ,. x = -680 V5, y = 680EPP(-680 F|+|7 F|F|-P4F-P5F-P6F 的值是() A9 B16 C18D27解析|AF|&F| = |F|EF|=EF|RF|=6,選c4. P是雙曲線二一= 10上0)左支上的一點(diǎn)，U氏分別是左.右焦點(diǎn).且焦距a b為2c,則APF.F,的內(nèi)切圓的圓心

5、的橫坐標(biāo)為()(A) -(B) -b (C) -c (D) a + b-c解析設(shè)APF.F,的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為由圓的切線性質(zhì)知，- P斥=1C 一 I -1 - (c) 1= 2a =X()= -a22 2 25. 若橢圓+ = (in n A 0)與雙曲線二一 2_ = 1a b A 0)有相同的焦點(diǎn)F“ F“mnabP是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則PFJPFJ的值是()A. m -aB. -(m-a)C. m2 - a2D. yfm -y/a【解析】橢圓的長半軸為皿.丹;| +坊| = 2麗(1)雙曲線的實(shí)半軸為 用-|昭| = 2需(2)(1)2_(2門4|/7訃|昭| = 4(加_町=

6、用月=川_故選A.2. 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程2 21已知雙曲線C與雙曲線二一匚二1有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(3/2 , 2).求雙曲線C的方程.164【解題思路】運(yùn)用方程思想，列關(guān)于ubc的方程組解析解法一：設(shè)雙曲線方程為亠一 7V=1.由題意易求匚2頁.又雙曲線過點(diǎn)(3運(yùn)， a /r(3 血)242), 、一二二 1 曠b1又:詁4 (25 ) 子二12,歹二8.故所求雙曲線的方程為二一匚二112 82r解法二：設(shè)雙曲線方程為一 - =b16 _k 4 + R 2 2將點(diǎn)(3邁，2)代入得Ft所以雙曲線方程為匚一?=11Z o2. 已知雙曲線的漸近線方程是y = |,焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上且焦距是10,則此

7、雙曲線的方程為:解析設(shè)雙曲線方程為F-4/=2,當(dāng)20時(shí)，化為于鄉(xiāng)=1, .2=10.:兄=20,422I c)當(dāng)兄 - 2、一- = 102 = 20 ,-2Y 442 2 2 2綜上，雙曲線方程為=1或=12055203. 以拋物線),2 = 8y/3x的焦點(diǎn)F為右焦點(diǎn)，且兩條漸近線是X Av = 0的雙曲線方程為解析拋物線2 =的焦點(diǎn)F為(2、你,0),設(shè)雙曲線方程為F3b=幾，/I 222/. = (2)2 ;.2 = 9,雙曲線方程為乂一22 = 13934 已知點(diǎn)M(3,0), N(3,0), 3(1,0),動(dòng)圓C與直線MN切于點(diǎn)B ,過M . N與圓C 相切的兩直線相交于點(diǎn)P,則

8、P點(diǎn)的軌跡方程為2 2A. %2- = l(x 1)8 8c.宀” 0)解析PM PN=BM BN = 2, P點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲 線的右支，選B3. 與漸近線有關(guān)的問題2 21若雙曲線二-二=10上0)的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于實(shí)軸長，則雙曲線的離心 6T b，率為（）A. y2B. V3C. 75D. 2【解題思路】通過漸近線、離心率等幾何元素溝通a.bc的關(guān)系1 -解析焦點(diǎn)到漸近線的距離等于實(shí)軸長，故b = 2a、X =. = + . = 5,所以e = aa【需師指引】雙曲線的漸近線與離心率存在對應(yīng)關(guān)系，通過的比例關(guān)系可以求離心率,也可以求漸近線方程2.雙曲線罕-

9、再一1的漸近線方程是（）492 439A y = xB y = xC y = xD y = x3 924解析選C3.焦點(diǎn)為（0, 6）,且與雙曲線4-r =有相同的漸近線的雙曲線方程是（）A一=1B-=1 C-=1D=11224122424122412解析從焦點(diǎn)位置和具有相同的漸近線的雙曲線系兩方而考慮，選B4.過點(diǎn)（1, 3）且漸近線為y = -x的雙曲線方程是2V-2【解析】設(shè)所求雙曲線為一一y2 =k（1）4 ”135點(diǎn)3）代入二亠-亍代入:354y2 x2即為所求.I PFX 1:1 PF21=3:2,則 HPFF：的而積為()【評注】在雙曲線升齊中,令二-二=0 =丄上=0即為其漸近

10、線根據(jù)這 cr lra b-點(diǎn)，可以簡潔地設(shè)待求雙曲線為屮-器而無須考慮其實(shí)、虛軸的位置.4幾何 1設(shè)P為雙曲線x2- = 1上的一點(diǎn)，斥，巧是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若A. 6/3B12C. 123D. 24【解析】雙曲線的實(shí).虛半軸和半焦距分別是：a = 2屈c(diǎn) = E設(shè)：用=3 匚|P列=2 廠.|P| = 2d = 2,. = 2.于是可=6,月=4.玳+巧|2=52 =応巧，故知是直角三角形，ZFxP 290 .=|*| = |x6x4 = 12.選 B.5.求弦1 雙曲線x2-y2 = 1的一弦中點(diǎn)為（2, 1）,則此弦所在的直線方程為（）A. y = 2x 1B. y = 2x 2C

11、. y = 2x 3D. y = 2x +3【解析】設(shè)弦的兩端分別為人（）3也 兒）.則有:y,-y2 _ xt+x2弦中點(diǎn)為（2, 1）,x +x. =41 -故直線的斜率&=11 + =2則所求直線方程為：y-l = 2（x-2）=y = 2x-3,故選C.“設(shè)而不求”具體含義是：在解題中我們希望得到某種結(jié)果而必須經(jīng)過某個(gè)步驟，只要 有可能，可以用虛設(shè)代替而不必真地去求它.但是，設(shè)而不求”的手段應(yīng)當(dāng)慎用.不問條件是否成熟就濫用，也會(huì)出漏子.請看：2.在雙曲線x2- = 上，是否存在被點(diǎn)M （1, 1）平分的弦如果存在，求弦所在的直線 2方程：如不存在，請說明理由.如果不問情由地利用“設(shè)而不求”的手段，會(huì)有如下解法：【正