12-2容易積分的一階微分方程

1、第二節(jié)第二節(jié) 容易積分的一階微分方程容易積分的一階微分方程 一一 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程 二二 一階線性微分方程一階線性微分方程 三三 可用變量代換求解的微分方程可用變量代換求解的微分方程 yx dx dy 2 2 例如例如dxxdy y 2 2 1 解法解法 分離變量法分離變量法 dxxfdyyg)()( 一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程 的形式，的形式，原方程稱為可分離變量的微分方程原方程稱為可分離變量的微分方程 dxxfdyyg)()( 定義定義 一階方程若能寫成一階方程若能寫成 1. 1. 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程 CxFyG )()(

2、為微分方程的通解形式為微分方程的通解形式 例例1 1 求微分方程求微分方程的通解的通解yx dx dy 2 3 解：解：分離變量分離變量dxx y dy 2 3 兩端積分兩端積分 dxx y dy 2 3 1 3 lnCxy 3 。為為所所求求通通解解 x cey 解：解： 的的特特解解初初始始條條件件 滿滿足足方方程程微微分分求求）（ 0 1 0 x xx y eyye 例例2 2 dx e e ydy x x 1 分離變量分離變量 兩端積分兩端積分Cey x )1ln( 2 1 2 2ln 0 0 Cy x 代入上式得代入上式得將將 為所求的特解為所求的特解 2 1 ln2 2 x e y

3、 思考題 求方程求方程 的通解。的通解。 2 cos 2 cos yxyx dx dy 思考題解答：思考題解答： 0 2 cos 2 cos yxyx dx dy 0 2 sin 2 sin2 yx dx dy dx x y dy 2 sin 2 sin2 2 cot 2 cscln yy , 2 cos2C x 為所求解。為所求解。 解法解法, x y u 作變量代換作變量代換xuy 即即 dx du xu dx dy 則則 代入原式代入原式)(uf dx du xu x uuf dx du )( 即即 可分離變量的方程可分離變量的方程 )( x y f dx dy 形如形如的微分方程稱為齊

4、次方程的微分方程稱為齊次方程定義定義 2. 2. 齊次方程齊次方程 時時, ,當當0 uf(u)xC uuf du 1 ln )( 得得 , )(u Cex 即即 ) )( )( uuf du u , 代入代入將將 x y u )( x y Cex 得通解得通解 , 0 u 當當, 0)( 00 uuf使使 0是 是新新方方程程的的解解則則uu ,代代回回原原方方程程xuy 0 得得齊齊次次方方程程的的解解 例例3 3 求解微分方程求解微分方程 02 22 xydydxyx）（ x y x y dx dy1 2 方方程程化化成成解：解： u x y 令令 dx du xu dx dy 則則 u

5、 u dx du xu 1 2 dx x du u u1 1 2 分離變量分離變量 Cxuln 2 1 ln)1ln( 2 1 2 兩邊積分兩邊積分 22 1Cxu 即即 422 Cxyx 方程的通解為方程的通解為： 0)(1 dyxyydxe y x ）（例例4 4 求解微分方程求解微分方程 解解:11 y x dy dx e y x ）（ dy du yu dy dx u y x 則則令令 , 1)(1 u dy du yue u） ）（ dy y du eu e u u 11 分離變量分離變量 Cyeu u lnln)ln( 積分積分 Cyeu u ）（即即 Cyex y x 方程的通解

6、為：方程的通解為： 例例5 5 拋物線的光學性質拋物線的光學性質 實例實例: : 車燈的反射鏡面車燈的反射鏡面-旋轉拋物面旋轉拋物面 解：解：軸軸設旋轉軸設旋轉軸 ox如圖如圖 ),0 , 0(光光源源在在 )(:xyyL x y o M T N R L 為為上上任任一一點點，設設),(yxM yMT 斜斜率率為為為為切切線線, , y MN 1 斜率為斜率為為法線,為法線, NMROMN , 02 2 yyxyy 得微分方程得微分方程 1)( 2 y x y x y即即 NMROMN tantan y NMR yx y x y y OMN 1 tan 1 1 tan 由夾由夾 角正角正 切公

7、切公 式得式得 x y o M T N R L ， x y u 令令 u u dx du xu 2 11 得得 分離變量分離變量 x dx uu udu 22 1)1( ， 22 1tu 令令 x dx tt tdt )1( 積分得積分得,ln1ln x C t 11 2 x C u即即 平方化簡得平方化簡得 x C x C u 2 2 2 2 得得代代回回 , x y u ) 2 (2 2 C xCy 拋物線拋物線 軸軸的的旋旋轉轉拋拋物物面面方方程程為為所所求求旋旋轉轉軸軸為為 ox ) 2 (2 22 C xCzy 1. 一階線性微分方程一階線性微分方程 , 0)( xQ當當方程稱為齊次

8、方程。方程稱為齊次方程。 方程稱為非齊次方程。方程稱為非齊次方程。, 0)( xQ當當 二、一階線性微分方程二、一階線性微分方程 例如例如, 2 xy dx dy ,sin 2 ttx dt dx 線性的線性的 , 32 xyyy, 1cos yy 非線性的非線性的 )()(xQyxP dx dy 標準形式：標準形式： ,)(dxxP y dy dxxP y dy )( CdxxPyln)(ln 齊次方程的通解為齊次方程的通解為 dxxP Cey )( 一階線性微分方程的解法一階線性微分方程的解法 0)( yxP dx dy 線性齊次方程線性齊次方程 ( (使用分離變量法使用分離變量法) )

9、把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法 實質實質: : 未知函數(shù)的變量代換。未知函數(shù)的變量代換。 dxxPdxxP exPxuexuy )()( )()()( 常數(shù)變易法常數(shù)變易法 線性非齊次方程線性非齊次方程)()(xQyxP dx dy 設設 )( )(是是方方程程的的解解 dxxP exuy 代代入入原原方方程程得得和和將將yy )()( )( xQexu dxxP CdxexQxu dxxP )( )()(積分得積分得 一階線性非齊次微分方程的通解為一階線性非齊次微分方程的通解為 dxxPdxxP eCdxexQy )()( )( dxex

10、QeCe dxxPdxxPdxxP )()()( )( 對應齊次對應齊次 方程通解方程通解 非齊次方程特解非齊次方程特解 , 1 2 )( x xP 3 1)(）（ xxQ解：解： 的通解的通解）（ 求方程求方程 3 1 1 2 xy x y例例6 6 Cdxexey dx x dx x1 2 3 1 2 )1( Cdxexe xx)1ln(23)1ln(2 )1( )1( 2 1 ()1( )1()1( 22 2 Cxx Cdxxx 的的通通解解求求方方程程）（ 2 yyyx 例例7 7 解：解：yx ydy dx 1 方程化成方程化成 yyQ y yP )( , 1 )( )( 11 Cd

11、yyeex dy y dy y )( )( lnln Cyy Cdyyee yy 例例8 8 如圖所示，平行于如圖所示，平行于 軸的動直線被曲軸的動直線被曲 線線 與與 截下的線段截下的線段PQ 之長數(shù)值上等于陰影部分的面積之長數(shù)值上等于陰影部分的面積, 求曲線求曲線 y )(xfy )0( 3 xxy )(xf 23 0 )()(yxdxxf x x yxydx 0 3 兩邊求導得兩邊求導得 2 3xyy 解解: 解此微分方程解此微分方程 x y ox P Q 3 xy )(xfy dxexCey dxdx2 3 663 2 xxCe x , 0| 0 x y由由6 C得得 所求曲線為所求曲

12、線為)22(3 2 xxey x y yxyy dy dx cos sin2sincos yxytan2sin yxy dy dx 2sintan 例例9 9 求微分方程求微分方程 的通解的通解 yxyy y y sin2sincos cos 解：解： yxy dy dx 2sintan Cdyeyex yycoslncosln 2sin Cdy y yy y cos cossin2 cos yCycos2cos 貝努利方程的標準形式貝努利方程的標準形式 方程為非線性微分方程方程為非線性微分方程,，時時當當1 , 0 n 方程為線性微分方程方程為線性微分方程,時，時，當當1 , 0 n 解法：

13、需經過變量代換化為線性微分方程。解法：需經過變量代換化為線性微分方程。 n yxQyxP dx dy )()( )1 , 0( n 2. 2. 貝努利方程貝努利方程 求出通解后，將求出通解后，將 代入即得代入即得 n yz 1 )()( 1 xQyxP dx dy y nn ，得，得兩端除以兩端除以 n y )()1()()1(xQnzxPn dx dz 代入上式代入上式 )1)( )()1()()1( 1 CdxenxQe zy dxxPndxxPn n dx dy yn dx dz n )1(則則, 1 n yz 令令 , yz 令令 2 4 2xz xdx dz C x xz 2 2 解

14、得解得 2 4 2 C x xy即即 解：解： 2 41 xy xdx dy y ，得得兩兩端端除除以以y 2 4 的通解的通解求方程求方程yxy xdx dy 例例1010 解：解： 2 2 x xexz dx dz 22 2 Cdxexeez xdx x xdx 所求通解為所求通解為) 2 ( 2 2 2 C x ey x dx dy y dx dz 2 則則, 2 yz 令令 例例1111 求求微分方程微分方程 的通解的通解 2 2 22 x xexyyy )( 11111 ckbhaYbXa cbkahbYaX f dX dY kYy hXx 令令（其中（其中h和和k是待定的常數(shù)）是待

15、定的常數(shù)） dYdydXdx , 解法解法 為為齊次方程齊次方程, ,否則為否則為非齊次方程。非齊次方程。 ,0 1 時時當當 cc )( 111 的的微微分分方方程程形形如如 cybxa cbyax f dx dy 定義定義 三、三、可用變量代換求解的微分方程可用變量代換求解的微分方程 0 0 111 ckbha cbkah , 0)1( 11 ba ba 有唯一一組解有唯一一組解 )( 11 YbXa bYaX f dX dY 得通解代回得通解代回 kyY hxX , 0)2( 通過變量代換通過變量代換byaxu 方程化成可分離變量的方程方程化成可分離變量的方程 例例1212的的通通解解求

16、求 22 12 yx yx dx dy 解解:03 12 21 , , 1代入原方程得代入原方程得令令YyXx X Y u YX YX dX dY , 2 2 令令 0, 1 022 012 yx yx yx 得得 解方程組解方程組 方程變?yōu)榉匠套優(yōu)?u u dX du Xu 2 21 分離變量分離變量dX X du uu u1 14 2 2 積分積分CXuuln 2 1 ln)14ln( 2 1 2 Cxyxy 22 )1()1(4方程的通解為方程的通解為 2 2 14 X C uu 即即 的通解的通解求求 122 2 13 yx yx dx dy 例例 解解:0 22 11 dx dy d

17、x du yxu 1 ,則則令令 12 2 1 u u dx du dxdu u u 3 1 12 分離變量分離變量 積分積分Cxuu 3)1ln(2 Cyxxy )1ln(2 方程通解為方程通解為 dxdu u u 3 1 12 利用變量代換求微分方程的解利用變量代換求微分方程的解 2 )(的的通通解解求求yx dx dy 例例1 14 4 解：解：,uyx 令令1 dx du dx dy 代入原方程代入原方程 2 1u dx du Cxu arctan解得解得 得得代回代回, yxu Cxyx )arctan( 原方程的通解為原方程的通解為xCxy )tan( 例例1515 )ln(ln的

18、的通通解解求求yxyyxy 解解: dx dy xy dx du xyu ,則則令令 x dx uu du u x u dx du ln ln ， Cx exy 方程的通解為方程的通解為 Cx euCxu , ln 解：解：,xyz 令令 dx dy xy dx dz 則則 zx y xyx xy dx dz 22 sin 1 ) )(sin 1 ( Cxzz 42sin2 分離變量法得分離變量法得 ,代回代回將將xyz 所求通解為所求通解為Cxxyxy 4)2sin(2 x y xyxdx dy )(sin 1 2 例例16 16 求求 的通解的通解 解解:,uyx 令令1 dx du dx dy