解一元二次方程-教學(xué)設(shè)計(jì)

1、解一元二次方程 教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)思想解一元二次方程有四種方法，直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法，這四種方 法各有千秋。為保證學(xué)生掌握基本的運(yùn)算技能，教學(xué)中進(jìn)行了一泄量的訓(xùn)練，但要避免學(xué)生 簡單的模仿。我們在探究一元二次方程解法的過程中，要加強(qiáng)思想方法的滲透，發(fā)展學(xué)生的 思維能力。在解一元二次方程的幾種方法中，均需要用到轉(zhuǎn)化的思想方法。如配方法需要將 方程轉(zhuǎn)化為能直接開平方的形式，公式法能根據(jù)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，所 有這些均體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想。在教學(xué)時(shí)老師引導(dǎo)學(xué)生在主動進(jìn)行觀察、思考核探究的基礎(chǔ)上, 體會數(shù)學(xué)思想方法在其中的作用，充分發(fā)展學(xué)生的思維能力。教學(xué)目標(biāo)知識與技能：

2、1. 會用配方法、公式法、因式分解法解簡單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。2. 能夠根據(jù)一元二次方程的特點(diǎn)，靈活選用解方程的方法，體會解決問題策略的多樣 性。過程與方法：1. 參與對一元二次方程解法的探索，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，對結(jié)果比較、驗(yàn)證、歸納、 理淸幾種解法之間的關(guān)系，并能根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭?. 在探究一元二次方程的過程中體會轉(zhuǎn)化、降次的數(shù)學(xué)思想。情感態(tài)度價(jià)值觀：在解一元二次方程的實(shí)踐中，交流、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)和規(guī)律，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動樂趣。教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步驟，并熟練運(yùn)用上述方法 解題。難點(diǎn)：根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉?/p>

3、次方程。教學(xué)方法探索發(fā)現(xiàn)，講練結(jié)合教學(xué)媒體多媒體課時(shí)安排4課時(shí)教學(xué)過程設(shè)計(jì)第一課時(shí)一、復(fù)習(xí)引入：1. 一元二次方程的一般形式是什么其中a應(yīng)具備什么條件2. x2-4 = 0是一元二次方程嗎其中二次項(xiàng)的系數(shù)，一次項(xiàng)的系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)各是什么(是。二次項(xiàng)系數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)是0,常數(shù)項(xiàng)是一4)3. 解下列方程：(1) x=4(2) (x+3):=9學(xué)生依次回答上述問題。師總結(jié)強(qiáng)調(diào)：(1)象這種通過直接開平方求得X的值的方法，實(shí)際上就是求=a(a20) 這種特殊形式的一元二次方程的解方法。(2) 對于形如“ (x+a) =b (b20)”型的方程，只要把x+a看作一個(gè)整體，就可以轉(zhuǎn)化 為xb (b20)

4、型的方法去解決，這里滲透了 “換元”的方法。(3) 在對方程(x+3) =9兩邊同時(shí)開平方后，原方程就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一次方程。要向?qū)W生 指出，這種變形實(shí)質(zhì)上是將原方程“降次”?！敖荡巍币彩且环N數(shù)學(xué)方法二、試著做做1. 如果(x+2)三9,那么x二2. 如果(x-3) :=7,那么 x二3. 完全平方公式是什么4. 如果 x=+2x+l=4,那么 x二.學(xué)生獨(dú)立求解5. 對于x:+2x-3=0這樣的方程，該怎樣求解呢能否經(jīng)過適當(dāng)變形，將方程轉(zhuǎn)化為(x+m) Jn (m, n是常數(shù)，n20)的形式，然后應(yīng)用直接開平法求解呢你能總結(jié)出你解這個(gè)方程的 步驟嗎學(xué)生活動：小組討論，利用完全平方公式及上述提示尋

5、求解法，將x=+2x-3=0變形為 x3+2x+l=4,即(x+1) :=4 0并總結(jié)出解方程x5+2x-3=0的一種方法：丘+農(nóng)_3=0|=4|-狂西|馮=_3宀=三、做一做把下列方程化為(x+ m) =n (m, n是常數(shù)，n0)的形式，并求岀它們的解。(1) x=+2x=48： (2) x=-4x=12；(3) x=6x+6=0； (4) x2+x = 0o4學(xué)生活動：初步體驗(yàn)用配方法解一元二次方程的步驟。例1解方程x-10x-ll=0該例題師生共同完成，學(xué)生通過此題明白每步變形的依據(jù)和目的。然后師生一起總結(jié)：通過配方，把方程的一邊化為完全平方式，另一邊化為非負(fù)數(shù)，然后利用開平方的方法

6、求岀一元二次方程的根，這種方法叫做解一元二次方程的配方法。四、練習(xí)：1. 配方：填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立：(1) x+12x+(x+6)2(2) x：- 12x+(x-)2(3) x+8x+二(x+)s2. 解方程：課本P34練習(xí)五、小結(jié)這節(jié)課你的收獲是什么六、作業(yè)課本 P34 1, 2, 3七、板書設(shè)計(jì)解一元二次方程一一配方法x二a (a20)試著做做做一做例1練習(xí)直接開平方法x+bx+c 二 0配方法第二課時(shí)一、復(fù)習(xí)引入上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了解一元二次方程的什么方法解下列方程：(1) x:-6x+4= 0(2) x=+4x-16= 0今天我們一起來學(xué)習(xí)方程的二次項(xiàng)系數(shù)不是1的一元二次方程。二

7、、做一做解方程 3x:-32x-48= 0師：引導(dǎo)學(xué)生觀察，此方程和上節(jié)課方程進(jìn)行比較有什么不同，能否轉(zhuǎn)化成二次項(xiàng)系數(shù) 為1的形式。學(xué)生獨(dú)立思考，積極探究，解答題目。解：略。見課本P35師：請同學(xué)們總結(jié)用配方法解一元二次方程的一般步驟是什么學(xué)生小組討論，相互交流自己的想法。利用配方法解一元二次方程，其一般步驟為：A. 先把方程整理為一般形式B. 用二次項(xiàng)系數(shù)去除方程兩邊，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1C. 把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊（移項(xiàng)）D. 方程兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程化為（X + /H）2 =的形式（配方）E. 利用直接開方法求得方程的解（當(dāng)右邊是負(fù)數(shù)時(shí)，方程無解）三、練一練解下列方程（1

8、）x=-4x=12：（2） 3x：+2x-5二0；（3） 2yc+y-6=0；（4） 2x：+5x+l二0四、實(shí)際應(yīng)用例3有一張長方形桌子，它的長為2m,寬為Im。有一塊長方形臺布，它的而積是桌而 而積的2倍，將臺布鋪在桌而上時(shí)，各邊垂下的長相等。求這塊臺布的長和寬（均精確到 0. 01m）o小組討論：（1）題目中有哪些等量關(guān)系（2）如何設(shè)未知數(shù)根據(jù)你所設(shè)的未知數(shù)列出一 元二次方程，并解答。（3）算岀的x值都可取么為什么老師引導(dǎo)學(xué)生注意驗(yàn)證方程的解的合理性，并對學(xué)習(xí)困難的學(xué)生給予及時(shí)的點(diǎn)撥和引 導(dǎo)。通過此題我們發(fā)現(xiàn)在解決實(shí)際問題時(shí)，設(shè)未知數(shù)要靈活選擇，同時(shí)注意檢驗(yàn)方程的解是 否符合題意，從而確

9、定實(shí)際問題的答案。五、小結(jié)1. 配方法的基本步驟。2. 配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它的重要性，不僅僅表現(xiàn)在一元二次方程的解法中, 在今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)，到高中學(xué)習(xí)二次曲線時(shí)，還將經(jīng)常用到。3. 在解決實(shí)際問題時(shí)，要注意檢驗(yàn)方程的解是否符合題意。六、作業(yè)課本P37 b 2五、板書設(shè)計(jì)配方法（2）配方法的一般步驟例2例3練習(xí)第三課時(shí)一、導(dǎo)入新課：1. 配方法的步驟是什么學(xué)生回答：（1）將方程二次項(xiàng)系數(shù)化成1;（2）移項(xiàng)：（3）配方：（4）化為（x+m） :=n （m, n是常數(shù)，nO）的形式：（5）用直接開平方法求得方程的解。2. 用配方法解方程：2x:+7x=47解：系數(shù)化成1,得：x3+-x

10、= 22.74949配方，得：X H= 221616811679開平方,得：A + - = -1Xy =1 2學(xué)生活動：用配方法解一元二次方程。師：直接開平方法解一元二次方程有一泄的局限性，必須符合直接開平方的條件才能利 用直接開平方法；配方法雖然對任意一個(gè)一元一次方程都適用，但每做一題都要配方一次, 顯得比較麻煩，所以我們就產(chǎn)生了推導(dǎo)一個(gè)公式來求一元二次方程的解的想法。二、一起探究用配方法解方程：ax:+bx+c=O（aO）學(xué)生活動：自主探究.按照配方法的步驟逐步求解。- h c 解：系數(shù)化成1,（兩邊同除以a）得：x2+-x + - = Oa abc移項(xiàng)（把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊），得:x2+

11、-x = -一aab&,2. 2配方（兩邊同時(shí)加上（）2）,得：/+上兀+厶=一丄+ 厶 2aa4r/2a 4（r化為（x+m） 2=n （m, n是常數(shù)，nO）的形式，得：師：接著讓學(xué)生討論：此時(shí)可以用開平方法求解嗎讓學(xué)生充分發(fā)表意見后，教師指出：因?yàn)镼H0,所以4a2 0,當(dāng)b2-4ac0時(shí),可以用開平方法得“茶lr - 4ac4a2再讓學(xué)生討論土b2 - 4ac _ lb2 -4ac4a2 一 2aJ/?亠4gc（學(xué)生討論，教師講解：J= -一，但因?yàn)槭阶忧懊嬉延蟹朧 4（rJh2 -4ac“土”.所以無論a0還是avO,最終結(jié)果總是土 ）嚴(yán) b ,-4acb i jb2_b y/b2

12、 -4t/c所以 x + 一 = , x = - =2a2a2a 2a2a這樣我們就得到了一元二次方程6/x2 +bx + C = O （dHO）的求根公式:仝竺（戸”心0）用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。說明：（1）用公式法解一元二次方程，實(shí)際上就是給出a. b. c的數(shù)值，然后求代數(shù)b + Jb2 4f/c式： 一二 進(jìn)行求值的運(yùn)算。由于這樣的計(jì)算較復(fù)雜，所以要提醒學(xué)生計(jì)算時(shí) 注意、b、c的符號，講究計(jì)算的正確性。(2) 在運(yùn)用求根公式求解時(shí)，應(yīng)先計(jì)算b2-4ac的值；當(dāng)b2-4ac0時(shí)，可以用公式 求岀兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac0,._ -b -Jb2 4ac _ -1

13、 土 /49 _ -1 73即 Xj = , Xf =1.說明：師生共同完成，教師規(guī)范格式并強(qiáng)調(diào)注意事項(xiàng)。注意：(1)如果方程不是一般形式，要化為一般形式后，再確定a, b, c的值(2) 對a, b, c的值，要注意其正負(fù)符號，如此題中c二-3.四、課堂訓(xùn)練：P38 練習(xí)題(1)(4)。找四名同學(xué)上黑板做。五、小結(jié)1. 本節(jié)課我們推導(dǎo)出了一元二次方程af+bx+c二O(aHO)的求根公式，即求根公式的推導(dǎo)，實(shí)際上是“配方”與“開平方”的綜合運(yùn)用，對于dHO, b2 -4ac20,以及由dHO,知4a2 0等條件在推導(dǎo)過程中的應(yīng)用，亦要弄懂貝道理。2. 應(yīng)用求根公式解一元二次方程，通常應(yīng)把方程

14、寫成一般形式，并寫成c的 數(shù)值以及計(jì)算b2 -4ac的值，當(dāng)熟練掌握求根公式后，可以簡化求解過程。六、作業(yè)：課本習(xí)題P38 1, 2七、板書設(shè)計(jì)解一元二次方程一一公式法練習(xí):推導(dǎo)公式:例練習(xí)第四課時(shí)一、復(fù)習(xí)引入1. 一元二次方程的解法，已經(jīng)學(xué)過了哪幾種（直接開平方法，配方法，求根公式法）2. 對于方程9二0,上述三種解法是不是都可用哪一種解法比較簡便（直接開平方法）從上而的例子可見，同一個(gè)題目可以用多種方法來解，我們應(yīng)該“因題而宜”，選取一 種較好的解法，方法越多，我們選取的可能性就越大.今天我們再學(xué)一種方法，叫做一元二次方程的因式分解法.二、一起探究我們以方程9二0為例，這個(gè)方程的右邊是0,

15、左邊可以分解成兩個(gè)一次因式的乘積即 （x+3） （x-3）=0我們知道ab二OOa二0或b二0。語言表述：如果兩個(gè)因式的積等于零，那么這兩個(gè)因 式至少有一個(gè)等于零.反之，如果兩個(gè)因式有一個(gè)等于零，它們的積也就等于零.提問：1.什么叫方程的根（使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值）2.觀察什么數(shù)是方程的根即什么數(shù)使方程的左邊乘積為零（使x+3等于0或使x-3 等于0）.注意用或字，意思是兩個(gè)因式中有一個(gè)等于0就可使乘積為0,不必要兩個(gè)因式同 時(shí)為0.因此我們可以得到x=-3或x=3,即X1=-3, xf-3像這樣，把一元二次方程的一邊劃為0,另一邊分解成兩個(gè)一次因式的乘積，進(jìn)而轉(zhuǎn)化 為求兩個(gè)一元一次方

16、程的解，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解。三、做一做用因式分解法解下列方程：(1) x2 +7x = 0;(2) x2 = x2(3) 4x2-9 = 0;(4) F2x + 1 = 0學(xué)生獨(dú)立運(yùn)用因式分解法完成求解過程，老師對學(xué)生困難的學(xué)生給與幫助。例 用因式分解法解下列方程：(1) 3(x-l)2=2 (x-1);(2)(x+5)49分析：這兩個(gè)方程有什么特點(diǎn)(可以把X-1和x+5分別看作整體)解：(1)原方程可化為3(x-l)=2(x-l)二 0(x-1) (3x-5) =0得 x-1二0,或 3x-5=0所以 X. = 1, X,=-3(2) 原方程可化為(x+5)=-7：=0(x

17、+12) (x-2)二0.得 x+12=0,或 x-2二0所以 x, =-12,x, =2四、大家談?wù)?. 因式分解適當(dāng)解什么樣的一元二次方程2. 解一元二次方程的方法有哪幾種根據(jù)你學(xué)習(xí)的體會，談?wù)勍ǔＤ闶侨绾芜x擇解法的。學(xué)生小組交流。結(jié)論：(1)對于一元二次方程的一般形式，當(dāng)方程左邊無常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)為0或 是完全平方式時(shí)，方程均可使用因式分解法求解。(2) 在一元二次方程的解法中，公式法是最主要的，最通用的方法.因式分解法對解 某些一元二次方程是最簡單的方法.在解一元二次方程時(shí)，應(yīng)據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng) 的方法去解.(3) 直接開平方法與因式分解法中都蘊(yùn)含著由二次方程向一次方程轉(zhuǎn)化的思想方法.由 高次方程向低次方程的轉(zhuǎn)化是解髙次方程的思想方法.請你用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1) (x+2) =2x+4;(2) (3x+l)=-4=0;（3）3x-2=9x=-4;（4） 4x:-