離散系統(tǒng)的Z域分析

1、v1.0 可編輯可修改實驗名：離散系統(tǒng)的 Z 域分析一、實驗目的1、掌握離散序列 z 變換的計算方法。2、掌握離散系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)零極點的計算方法和零極點圖的繪制方法，并能根據(jù)零極點圖分 析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。3、掌握利用 MATLAB進行 z 反變換的計算方法。二、實驗原理與計算方法1、z 變換離散序列 x( n)的z變換定義為： X(Z) x(n)z n 。 n在 MATLAB中可以利用符號表達式計算一個因果序列的z 變換。其命令格式為： syms n;f=(1/2)n+(1/3)n;ztrans(f)2、離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及因果穩(wěn)定的系統(tǒng)應滿足的條件 一個線性移不變離散系統(tǒng)可以用它的單位抽

2、樣響應h(n) 來表示其輸入與輸出關系，即y(n)= x( n)* h(n) 對該式兩邊取 z變換，得：Y(z)= X(z) H(z)則： H (z) Y(z)X(z)將 H(z) 定義為系統(tǒng)函數(shù)，它是單位抽樣響應h(n) 的 z 變換，即H (z) Zh(n) h(n)z nn對于線性移不變系統(tǒng)，若 n0時， h( n)=0 ，則系統(tǒng)為因果系統(tǒng)；若|h(n) | ，則n系統(tǒng)穩(wěn)定。由于 h( n)為因果序列，所以 H(z) 的收斂域為收斂圓外部區(qū)域，因此H( z)的收斂域為收斂圓外部區(qū)域時，系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。因為 H (z)h(n)z n ，若 z=1時 H( z)收斂，n即 H(z) |z 1

3、 |h(n) | ，則系統(tǒng)穩(wěn)定，即 H(z)的收斂域包括單位圓時，系統(tǒng)穩(wěn)定。n因此因果穩(wěn)定系統(tǒng)應滿足的條件為： | z| ,1 ，即系統(tǒng)函數(shù) H( z)的所有極點全部落在 z 平面的單位圓之內(nèi)。3、MATLAB中系統(tǒng)函數(shù)零極點的求法及零極點圖的繪制方法MATLAB中系統(tǒng)函數(shù)的零點和極點可以用多項式求根函數(shù)roots () 來實現(xiàn)，調用該函數(shù)的命令格式為： p=roots(A) 。其中 A為待求根多項式的系數(shù)構成的行向量， 返回向量 p 是包v1.0 可編輯可修改含該多項式所有根位置的列向量。如：求多項式 A(z) z2 3 z 1 的根的 MATLAB命令為： 48A=1 3/4 1/8;p=

4、roots(A)運行結果為：p=也可以用 z,p,k=tf2zp(B,A) 函數(shù)求得。其中 z 為由系統(tǒng)的零點構成的向量， p 為由系 統(tǒng)的極點構成的向量， k 表示系統(tǒng)的增益； B、A 分別為系統(tǒng)函數(shù)中分子分母多項式的系數(shù)向 量。離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)可能有兩種形式，列，如 H 1(z)z3 2zz4 3z3 2z2 2z 1一種是分子和分母多項式均按另一種是分子分母多項式均按z 的正次冪降冪排z 的負次冪升冪排列，如H 2(z)在構造多項式系數(shù)向量時，分子和分母多項式系數(shù)向量的維數(shù)一定要相同，12z4缺項用 0 補齊。對于 H1( z)其分子多項式的系數(shù)向量應為：B=0 1 0 2 0 ；分母

5、多項式的系數(shù)向量應為： A=1 3 2 2 1。對于 H2( z)其分子多項式的系數(shù)向量應為： B=1 1 0 ；分母多項式的系數(shù)向量應為： A=1 1/2 1/4 。繪制系統(tǒng)函數(shù)的零極點圖可由 MATLAB中的 zplane 函數(shù)實現(xiàn)。該函數(shù)的調用方法為： zplane(B,A) 或者 zplane(z,p,k) ，其中 B，A，z， p，k 的含義與 tf2zp 函數(shù)相同。若調用 zplane(B,A) 繪圖，則首先將系統(tǒng)函數(shù)中分子分母多項式變換成按 z 的正次冪降冪排列的系 數(shù)向量，再求零極點。z 反變換可由部分分式展開法求得。由于指數(shù)序列4、z 反變換的計算方法anu( n) 的 z

6、變換為 z ，因此求反 zazX (z)A1A2z z z1 z z2其中 Ai(z zi) Xz(z)zz z (i 1,2, k) 稱為有理函數(shù)變換時，通常對 X(z) 進行展開：z zkX (z) 的留數(shù)。 z分兩種情況進行討論：1)X( z)的所有極點均為單實極點此時 X (z) A1zA2 zz z1 z z2Ak z ，則 X( z) 的 z 反變換為： z zkv1.0 可編輯可修改kx(n) A0Ai (zi )i1(2)X( z)有共軛極點 設 X(z) 有一對共軛極點 p1,2e j ，則X(z)r1zr2zA1 zz p1 z p2 z z1Ak z ，zzk其中留數(shù)的計

7、算方法與單極點相同，即(z p1)X(zz) z p1 |r1|ej ，r2=r1因此，只要求出 X (z)部分分式展開的系數(shù)(留數(shù)) ，就可以直接求出 X(z)的 z反變換 zx( n) 。在 MATLAB中可利用函數(shù) residue() 求解。令 B和 A分別是 X(z) 的分子和分母多項 z式構成的系數(shù)向量，則函數(shù) r,p,k=residue (B,A)將產(chǎn)生三個向量 r 、p、 k，其中 r 為包含 X (z) 部分分式展開系數(shù) r i( i =1,2, , N) 的列向量， p 為包含 X (z) 所有極點的行向量， k zz為包含 X(z) 部分分式展開的多項式項的系數(shù)cj(j =

8、1,2, , M- N)的列向量，若 MN，則 kz為空陣。用 residue() 函數(shù)求出 X (z) 部分分式展開的系數(shù)后，便可根據(jù)其極點位置分布情況直 z相應接求出 X( z)的反變換 x(n) 。2如：已知 X (z)2 z ，求其z的部分分式展開的系數(shù)和極點， z2 3z 2 3z 2首先利用 residue() 函數(shù)求出 X (z) z的 MATLAB命令為：z 反變換 x( n) 。B=0 1 0;A=1 3 2; r,p,k=residue (B,A) 運行結果為：-1-2-1 由以上結果可得：X (z)2z21 ；即 X(z) 只有兩個單極點，其 z1z 反變換為：x(n)

9、2( 2)n ( 1)n u(n)。v1.0 可編輯可修改已知 X (z)2 zz2z2 2z，求其 z 反變換 x( n) 。1利用 residue() 函數(shù)求出 X (z)zz1z3 2z2 2z 1的部分分式展開的系數(shù)和極點，得：B=0 0 1 1;A=1 -2 2 -1; r,p,k=residue (B,A) k = 可見， X (z) 包含一對共軛極點，用 abs() 和 angle() 函數(shù)即可求出共軛極點的模和相位， z相應命令為：p1=abs(p)p1 = a1=angle(p)/pia1 =0e 3 ，則 X (z)即共軛極點為：p1,2x(n) 2cosn32 u(n)三

10、、實驗內(nèi)容(1)求下列序列的z 變換：- nn2-nu(n) ；-(1/2) n2-nu(n)的 Z變換程序如下：zz2z ，其 z 反變換為z1j3z e 3j3 z e 3u(n) ； (1/2)nnn+(1/3) nu(n)v1.0 可編輯可修改syms n;f=(1./2)(n)ztrans(f)結果為：f =(1/2)nans =2*z/(2*z-1)-(1/2) n u(n) 的 Z變換程序為： syms n;f=-(1./2)(n)ztrans(f)結果為：-(1/2)nans =-2*z/(2*z-1)(1/2) n+(1/3) n u ( n)因為是非因果系統(tǒng)，所以Z(1/2

11、) n+(1/3) n u (n)=2 n 3 nu nn3z3z(2)已知兩個離散因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別為：2zzH1(z)3 2； H2(z)z 2z 4z 12z 1 z 2 z 31 z 1 12z 2分別求出各系統(tǒng)的零極點，繪制零極點圖，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性；求出各系統(tǒng)單位抽樣響應。 程序為：A=1 2 -4 1B=0 1 1 0z,p,k=tf2zp(B,A)r,p,k=residue (B,A)%求零極點%部分分式展開的系數(shù)和極點zplane(B,A)零極點為 ：v1.0 可編輯可修改z =0-1 p =零極圖為：穩(wěn)定性：由上圖看出收斂域不包括單位圓，即不是穩(wěn)定系統(tǒng) 系統(tǒng)抽樣響應：由下得r =H1(z)0.49020.66670.1569z 3.3028z1z 0.3028系統(tǒng)抽樣響應為：h(n)=h(n) 0.4902 ( 3.3028)n 0.6667 0.1569 0.3028 nu(n)v1.0 可編輯可修改 程序為：A=1 1 1/2 0B=0 2 -1 1z,p,k=tf2zp(B,A)%求零極點r,p,k=residue (B,A)%部分分式展開的系數(shù)和極點p1=abs(p)a1=angle(p)/pizplane(B,A)零極點為 ：z =+k