離散系統(tǒng)的Z域分析

1、v1.0 可編輯可修改實(shí)驗(yàn)名：離散系統(tǒng)的 Z 域分析一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、掌握離散序列 z 變換的計(jì)算方法。2、掌握離散系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)的計(jì)算方法和零極點(diǎn)圖的繪制方法，并能根據(jù)零極點(diǎn)圖分 析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。3、掌握利用 MATLAB進(jìn)行 z 反變換的計(jì)算方法。二、實(shí)驗(yàn)原理與計(jì)算方法1、z 變換離散序列 x( n)的z變換定義為： X(Z) x(n)z n 。 n在 MATLAB中可以利用符號(hào)表達(dá)式計(jì)算一個(gè)因果序列的z 變換。其命令格式為： syms n;f=(1/2)n+(1/3)n;ztrans(f)2、離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及因果穩(wěn)定的系統(tǒng)應(yīng)滿足的條件 一個(gè)線性移不變離散系統(tǒng)可以用它的單位抽

2、樣響應(yīng)h(n) 來表示其輸入與輸出關(guān)系，即y(n)= x( n)* h(n) 對(duì)該式兩邊取 z變換，得：Y(z)= X(z) H(z)則： H (z) Y(z)X(z)將 H(z) 定義為系統(tǒng)函數(shù)，它是單位抽樣響應(yīng)h(n) 的 z 變換，即H (z) Zh(n) h(n)z nn對(duì)于線性移不變系統(tǒng)，若 n0時(shí)， h( n)=0 ，則系統(tǒng)為因果系統(tǒng)；若|h(n) | ，則n系統(tǒng)穩(wěn)定。由于 h( n)為因果序列，所以 H(z) 的收斂域?yàn)槭諗繄A外部區(qū)域，因此H( z)的收斂域?yàn)槭諗繄A外部區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。因?yàn)?H (z)h(n)z n ，若 z=1時(shí) H( z)收斂，n即 H(z) |z 1

3、 |h(n) | ，則系統(tǒng)穩(wěn)定，即 H(z)的收斂域包括單位圓時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。n因此因果穩(wěn)定系統(tǒng)應(yīng)滿足的條件為： | z| ,1 ，即系統(tǒng)函數(shù) H( z)的所有極點(diǎn)全部落在 z 平面的單位圓之內(nèi)。3、MATLAB中系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)的求法及零極點(diǎn)圖的繪制方法MATLAB中系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)可以用多項(xiàng)式求根函數(shù)roots () 來實(shí)現(xiàn)，調(diào)用該函數(shù)的命令格式為： p=roots(A) 。其中 A為待求根多項(xiàng)式的系數(shù)構(gòu)成的行向量， 返回向量 p 是包v1.0 可編輯可修改含該多項(xiàng)式所有根位置的列向量。如：求多項(xiàng)式 A(z) z2 3 z 1 的根的 MATLAB命令為： 48A=1 3/4 1/8;p=

4、roots(A)運(yùn)行結(jié)果為：p=也可以用 z,p,k=tf2zp(B,A) 函數(shù)求得。其中 z 為由系統(tǒng)的零點(diǎn)構(gòu)成的向量， p 為由系 統(tǒng)的極點(diǎn)構(gòu)成的向量， k 表示系統(tǒng)的增益； B、A 分別為系統(tǒng)函數(shù)中分子分母多項(xiàng)式的系數(shù)向 量。離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)可能有兩種形式，列，如 H 1(z)z3 2zz4 3z3 2z2 2z 1一種是分子和分母多項(xiàng)式均按另一種是分子分母多項(xiàng)式均按z 的正次冪降冪排z 的負(fù)次冪升冪排列，如H 2(z)在構(gòu)造多項(xiàng)式系數(shù)向量時(shí)，分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量的維數(shù)一定要相同，12z4缺項(xiàng)用 0 補(bǔ)齊。對(duì)于 H1( z)其分子多項(xiàng)式的系數(shù)向量應(yīng)為：B=0 1 0 2 0 ；分母

5、多項(xiàng)式的系數(shù)向量應(yīng)為： A=1 3 2 2 1。對(duì)于 H2( z)其分子多項(xiàng)式的系數(shù)向量應(yīng)為： B=1 1 0 ；分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量應(yīng)為： A=1 1/2 1/4 。繪制系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)圖可由 MATLAB中的 zplane 函數(shù)實(shí)現(xiàn)。該函數(shù)的調(diào)用方法為： zplane(B,A) 或者 zplane(z,p,k) ，其中 B，A，z， p，k 的含義與 tf2zp 函數(shù)相同。若調(diào)用 zplane(B,A) 繪圖，則首先將系統(tǒng)函數(shù)中分子分母多項(xiàng)式變換成按 z 的正次冪降冪排列的系 數(shù)向量，再求零極點(diǎn)。z 反變換可由部分分式展開法求得。由于指數(shù)序列4、z 反變換的計(jì)算方法anu( n) 的 z

6、變換為 z ，因此求反 zazX (z)A1A2z z z1 z z2其中 Ai(z zi) Xz(z)zz z (i 1,2, k) 稱為有理函數(shù)變換時(shí)，通常對(duì) X(z) 進(jìn)行展開：z zkX (z) 的留數(shù)。 z分兩種情況進(jìn)行討論：1)X( z)的所有極點(diǎn)均為單實(shí)極點(diǎn)此時(shí) X (z) A1zA2 zz z1 z z2Ak z ，則 X( z) 的 z 反變換為： z zkv1.0 可編輯可修改kx(n) A0Ai (zi )i1(2)X( z)有共軛極點(diǎn) 設(shè) X(z) 有一對(duì)共軛極點(diǎn) p1,2e j ，則X(z)r1zr2zA1 zz p1 z p2 z z1Ak z ，zzk其中留數(shù)的計(jì)

7、算方法與單極點(diǎn)相同，即(z p1)X(zz) z p1 |r1|ej ，r2=r1因此，只要求出 X (z)部分分式展開的系數(shù)(留數(shù)) ，就可以直接求出 X(z)的 z反變換 zx( n) 。在 MATLAB中可利用函數(shù) residue() 求解。令 B和 A分別是 X(z) 的分子和分母多項(xiàng) z式構(gòu)成的系數(shù)向量，則函數(shù) r,p,k=residue (B,A)將產(chǎn)生三個(gè)向量 r 、p、 k，其中 r 為包含 X (z) 部分分式展開系數(shù) r i( i =1,2, , N) 的列向量， p 為包含 X (z) 所有極點(diǎn)的行向量， k zz為包含 X(z) 部分分式展開的多項(xiàng)式項(xiàng)的系數(shù)cj(j =

8、1,2, , M- N)的列向量，若 MN，則 kz為空陣。用 residue() 函數(shù)求出 X (z) 部分分式展開的系數(shù)后，便可根據(jù)其極點(diǎn)位置分布情況直 z相應(yīng)接求出 X( z)的反變換 x(n) 。2如：已知 X (z)2 z ，求其z的部分分式展開的系數(shù)和極點(diǎn)， z2 3z 2 3z 2首先利用 residue() 函數(shù)求出 X (z) z的 MATLAB命令為：z 反變換 x( n) 。B=0 1 0;A=1 3 2; r,p,k=residue (B,A) 運(yùn)行結(jié)果為：-1-2-1 由以上結(jié)果可得：X (z)2z21 ；即 X(z) 只有兩個(gè)單極點(diǎn)，其 z1z 反變換為：x(n)

9、2( 2)n ( 1)n u(n)。v1.0 可編輯可修改已知 X (z)2 zz2z2 2z，求其 z 反變換 x( n) 。1利用 residue() 函數(shù)求出 X (z)zz1z3 2z2 2z 1的部分分式展開的系數(shù)和極點(diǎn)，得：B=0 0 1 1;A=1 -2 2 -1; r,p,k=residue (B,A) k = 可見， X (z) 包含一對(duì)共軛極點(diǎn)，用 abs() 和 angle() 函數(shù)即可求出共軛極點(diǎn)的模和相位， z相應(yīng)命令為：p1=abs(p)p1 = a1=angle(p)/pia1 =0e 3 ，則 X (z)即共軛極點(diǎn)為：p1,2x(n) 2cosn32 u(n)三

10、、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容(1)求下列序列的z 變換：- nn2-nu(n) ；-(1/2) n2-nu(n)的 Z變換程序如下：zz2z ，其 z 反變換為z1j3z e 3j3 z e 3u(n) ； (1/2)nnn+(1/3) nu(n)v1.0 可編輯可修改syms n;f=(1./2)(n)ztrans(f)結(jié)果為：f =(1/2)nans =2*z/(2*z-1)-(1/2) n u(n) 的 Z變換程序?yàn)椋?syms n;f=-(1./2)(n)ztrans(f)結(jié)果為：-(1/2)nans =-2*z/(2*z-1)(1/2) n+(1/3) n u ( n)因?yàn)槭欠且蚬到y(tǒng)，所以Z(1/2

11、) n+(1/3) n u (n)=2 n 3 nu nn3z3z(2)已知兩個(gè)離散因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別為：2zzH1(z)3 2； H2(z)z 2z 4z 12z 1 z 2 z 31 z 1 12z 2分別求出各系統(tǒng)的零極點(diǎn)，繪制零極點(diǎn)圖，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性；求出各系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)。 程序?yàn)椋篈=1 2 -4 1B=0 1 1 0z,p,k=tf2zp(B,A)r,p,k=residue (B,A)%求零極點(diǎn)%部分分式展開的系數(shù)和極點(diǎn)zplane(B,A)零極點(diǎn)為 ：v1.0 可編輯可修改z =0-1 p =零極圖為：穩(wěn)定性：由上圖看出收斂域不包括單位圓，即不是穩(wěn)定系統(tǒng) 系統(tǒng)抽樣響應(yīng)：由下得r =H1(z)0.49020.66670.1569z 3.3028z1z 0.3028系統(tǒng)抽樣響應(yīng)為：h(n)=h(n) 0.4902 ( 3.3028)n 0.6667 0.1569 0.3028 nu(n)v1.0 可編輯可修改 程序?yàn)椋篈=1 1 1/2 0B=0 2 -1 1z,p,k=tf2zp(B,A)%求零極點(diǎn)r,p,k=residue (B,A)%部分分式展開的系數(shù)和極點(diǎn)p1=abs(p)a1=angle(p)/pizplane(B,A)零極點(diǎn)為 ：z =+k