立體幾何中的向量方法求夾角

1、立體幾何中的向量方法求夾角ZPZ 3.2.4立體幾何中的向量方法 空間空間“角度角度”問題問題 立體幾何中的向量方法求夾角 1.異面直線所成角異面直線所成角 設(shè)直線設(shè)直線, l m的方向向量分別為的方向向量分別為, a b l a m l a m b 若兩直線若兩直線 所成的角為所成的角為 , 則則 , l m (0) 2 cos a b a b 復(fù)習引入復(fù)習引入 立體幾何中的向量方法求夾角 1.兩條異面直線所成的角兩條異面直線所成的角 (1)定義定義:設(shè)設(shè)a,b是兩條異面直線是兩條異面直線,過空間任一點過空間任一點O作直線作直線 a a, b b,則則a , b 所夾的銳角或直角叫所夾的銳角

2、或直角叫a與與b所成所成 的角的角. (2)范圍范圍: (3)向量求法向量求法:設(shè)直線設(shè)直線a、b的方向向量為的方向向量為 ,其夾角其夾角 為為 ,則有則有 (4)注意注意:兩異面直線所成的角可以通過這兩條直線的兩異面直線所成的角可以通過這兩條直線的 方向向量的夾角求得方向向量的夾角求得,當兩方向向量的夾角是鈍角時當兩方向向量的夾角是鈍角時, 應(yīng)取其補角作為兩異面直線所成的角應(yīng)取其補角作為兩異面直線所成的角. (0, 2 , a b | cos| cos| | | a b ab 空間三種角的向量求解方法空間三種角的向量求解方法 立體幾何中的向量方法求夾角 例例2 0 90 ,Rt ABCBCA

3、ABC中，現(xiàn)將沿著 111 ABCABC平面的法向量平移到位置，已知 1 BCCACC， 111111 ABACDF取、的中點、 ， 11 BDAF求與所成的角的余弦值. A 1 A B 1 B C 1 C 1 D 1 F 立體幾何中的向量方法求夾角 x y z 解：以點解：以點C C為坐標原點建立空間直角坐標系為坐標原點建立空間直角坐標系 如圖所示，設(shè)如圖所示，設(shè) 則：則： Cxyz 1 1CC (1,0,0),(0,1,0),AB 11 11 1 ( ,0, ),( ,1) 22 2 Fa D 所以：所以： 1 1 (,0,1), 2 AF 1 11 ( ,1) 22 BD 11 cos,

4、AF BD 11 11 | AF BD AFBD A 1 A B 1 B C 1 C 1 D 1 F 1 1 30 4 . 1053 42 所以 與 所成角的余弦值為 1 BD 1 AF 30 10 立體幾何中的向量方法求夾角 題后感悟如何用坐標法求異面直線所成的 角？ (1)建立適當?shù)目臻g直角坐標系； (2)找到兩條異面直線的方向向量的坐標形式； (3)利用向量的夾角公式計算兩直線的方向向 量的夾角； (4)結(jié)合異面直線所成角的范圍得到異面直線 所成的角 立體幾何中的向量方法求夾角 方向向量法方向向量法 將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的 方向向量（在二面角的面內(nèi)且

5、垂直于二面角的棱）方向向量（在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱） 的夾角。如圖（的夾角。如圖（2），設(shè)二面角），設(shè)二面角 的大小為的大小為 其中其中AB l CDlCDABl, CDAB CDAB CDAB ,coscos D C L B A 2、二面角、二面角 立體幾何中的向量方法求夾角 注意法向量的方向：同進注意法向量的方向：同進 同出，二面角等于法向量同出，二面角等于法向量 夾角的補角；一進一出，夾角的補角；一進一出， 二面角等于法向量夾角二面角等于法向量夾角 L n m 將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的法向量的夾角。將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的法向量的夾角。 如圖，向量如圖，向量 ， 則

6、二面角則二面角 的大小的大小 mn ， l nm , nm, 2、二面角、二面角 若二面角若二面角 的大小為的大小為 , 則則l (0)cos. u v u v 法向量法法向量法 立體幾何中的向量方法求夾角 l B D C A 3.二面角二面角 (1)范圍范圍: (2)二面角的向量求法二面角的向量求法: 若若AB、CD分別是二面角分別是二面角 的兩的兩 個面內(nèi)與棱個面內(nèi)與棱l垂直的異面直線垂直的異面直線,則二面角則二面角 的大小就是向量的大小就是向量 與與 的夾角的夾角(如圖如圖 (1) 設(shè)設(shè) 是二面角是二面角 的兩個面的兩個面 的法向量的法向量,則向量則向量 與與 的夾角的夾角(或其補或其補

7、 角角)就是二面角的平面角的大小就是二面角的平面角的大小(如圖如圖(2) 0, l AB CD l , 12 ,n n 1 n 2 n l 1 n 2 n (1) (2) 立體幾何中的向量方法求夾角 例例2 正三棱柱正三棱柱 中，中，D是是AC的的 中點，當中點，當 時，求二面角時，求二面角 的余弦值。的余弦值。 111 CBAABC 11 BCABCBCD 1 C A D B C1B1 A1 立體幾何中的向量方法求夾角 以以C為原點建立空間直角坐標系為原點建立空間直角坐標系 C-xyz 在坐標平面在坐標平面yoz中中 1 CC B 設(shè)面設(shè)面 的一個法向量為的一個法向量為 BDC1 ),(zy

8、xm 同法一，可求同法一，可求 B(0,1,0) )0 , 4 1 , 4 3 (D) 2 2 , 0 , 0( 1 C) 0 , 4 3 , 4 3 (DB ) 2 2 , 4 1 , 4 3 ( 1 DC 可取可取 (1,0,0)為面為面 的法向量的法向量 BCC1 n y x z C A D B C1B1 A1 由由 得得mDBmDC, 1 1 312 0, 442 CD mxyz 0 4 3 4 3 yxmDB 解得解得 zyx 2 6 3 所以，可取所以，可取 )6, 3, 3(m 二面角二面角 的大小等于的大小等于 CBCD 1 nm , cos = nm , 2 2 23 3 n

9、m nm 即二面角即二面角 的余弦值為的余弦值為 CBCD 1 2 2 方向朝面外，方向朝面外， 方向朝方向朝 面內(nèi)，屬于面內(nèi)，屬于“一進一出一進一出” 的情況，二面角等于法向的情況，二面角等于法向 量夾角量夾角 nm 立體幾何中的向量方法求夾角 設(shè)平面 2 ( , , ),SCDnx y z 的法向量 22 ,nCD nSD 由得： 0 2 0 2 y x y z 2 2 y x y z 2 (1,2,1)n 任取 12 12 12 6 cos, 3| n n n n nn 6 3 即所求二面角得余弦值是 立體幾何中的向量方法求夾角 如圖所示，正三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱長都 為2，

10、D為CC1的中點，求二 面角AA1DB的余弦值 策略點睛 立體幾何中的向量方法求夾角 題后感悟如何利用法向量求二面角的大?。?(1)建立適當?shù)目臻g直角坐標系； (2)分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法 向量； (3)求出兩個法向量的夾角； (4)判斷出所求二面角的平面角是銳角還是鈍角； (5)確定出二面角的平面角的大小 立體幾何中的向量方法求夾角 21 2 )0, 2 0( 21 A B n 2 21 2 1 3. 線面角線面角 設(shè)設(shè)n為平面為平面 的法向量，直線的法向量，直線AB與平面與平面 所所 成的角為成的角為 ，向量，向量 與與n所成的角為所成的角為 ， 則則 1 AB 2 n 而

11、利用而利用 可求可求 ， 從而再求出從而再求出 2 1 nAB nAB 2 cos 立體幾何中的向量方法求夾角 3. 線面角線面角 u a u l a 設(shè)直線設(shè)直線l的方向向量為的方向向量為 ，平面，平面 的法向量為的法向量為 ，且，且 直線直線 與平面與平面 所成的角為所成的角為 ( ),則則 a u l 0 2 sin a u a u 立體幾何中的向量方法求夾角 2.直線與平面所成的角直線與平面所成的角 (1)定義定義:直線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的角直線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的角. (2)范圍范圍: (3)向量求法向量求法:設(shè)直線設(shè)直線l的方向向量為的方向向量為 ,平面的法平面的法

12、 向量為向量為 ,直線與平面所成的角為直線與平面所成的角為 , 與與 的的 夾角為夾角為 ,則有則有 0, 2 u a a u | cos|cos|cossin | | a u au 或或 立體幾何中的向量方法求夾角 立體幾何中的向量方法求夾角 A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M x y z B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M N | | |sin| nAD nAD 解：如圖建立坐標系A(chǔ)-xyz,則 (0,0,0),A)6 , 2 , 6(M 可得由, 5 1 NA)3 , 4 , 0(N ).3 , 4 , 0(),6 , 2 , 6(NAMA 由的法向量設(shè)平面)

13、,(zyxn 0 0 nNA nMA 034 0626 zy zyx 即 在長方體在長方體 中，中， ADANM求與平面所成的角的正弦值. 例例1： 1111 ABCDABC D 111 2,MBCB M 為上的一點,且 1 NAD點 在線段上， 1 5,AN , 6 1 AA , 8, 6ADAB 立體幾何中的向量方法求夾角 A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M N x y z B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M N ) 3 4 , 1 , 1 (n 得 , 34 343 ) 3 4 (118 |0810| 222 (0,8,0),AD 又又 ADANM與平面所成角

14、的正弦值是 34 343 | | |sin| nDA nDA 在長方體在長方體 中，中， ADANM求與平面所成的角的正弦值. 例例1： 1111 ABCDABC D 111 2,MBCB M 為上的一點,且 1 NAD點 在線段上， 1 5,AN , 6 1 AA , 8, 6ADAB 立體幾何中的向量方法求夾角 例例2、如圖，在四棱錐、如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面中，底面ABCD為平為平 行四邊形，側(cè)面行四邊形，側(cè)面SBC 底面底面ABCD。已知。已知 AB=2，BC= ，SA=SB= . (1)求證求證 (2)求直線求直線SD與平面與平面SAB所成角的正弦值。所成角的正弦值。 0

15、45ABC 2 23 .SABC S A B C D O x y z 【典例剖析典例剖析】 立體幾何中的向量方法求夾角 例例3 如圖如圖,在四棱錐在四棱錐PABCD中，底面中，底面ABCD為矩形，為矩形， 側(cè)棱側(cè)棱PA底面底面ABCD，PA=AB=1,AD= ，在線段，在線段BC 上是否存在一點上是否存在一點E,使使PA與平面與平面PDE所成角的大小為所成角的大小為450? 若存在，確定點若存在，確定點E的位置；若不存在說明理由。的位置；若不存在說明理由。 【典例剖析典例剖析】 3 D B A C E P x z y 立體幾何中的向量方法求夾角 (0,0,1),(3,0,1),(3,1,0)A

16、PDPDEm ( ,), , 30,3 , (3 )0,(3) , PD Enx y z nD P nD E xzzx mxyym x 設(shè) 平 面的 法 向 量 為 則 解 得 1,(1, 3, 3),xnm 令得 2 3 45sin45, 4( 3) PAPDE m 與平面所成角的大小為 3232 3245 mm BEPAPDE 解得或（舍）， 因此，當時，與平面所成角的大小為。 解：以解：以A為原點，為原點，AD、AB、AP所在的直線分所在的直線分 別為別為X軸、軸、Y軸、軸、Z軸，建立空間直角坐標系，軸，建立空間直角坐標系， (0,0,0),(0,0,1),( 3,0,0),( ,1,0

17、),APDE m 設(shè)設(shè)BE=m，則，則 立體幾何中的向量方法求夾角 2 2、如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射、如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射 影的方向向量分別是影的方向向量分別是a=a=（1 1，0 0，1 1），），b=b=（0 0，1 1， 1 1），那么這條斜線與平面所成的角是），那么這條斜線與平面所成的角是_ ._ . 3 3、已知兩平面的法向量分別、已知兩平面的法向量分別m=(0,1,0),n=(0,1,1)m=(0,1,0),n=(0,1,1)， 則兩平面所成的鈍二面角為則兩平面所成的鈍二面角為_ ._ . 基礎(chǔ)訓練基礎(chǔ)訓練: 1 1、已知、已知 =(2,2,1),

18、=(4,5,3),=(2,2,1), =(4,5,3),則平面則平面 ABCABC的一個法向量是的一個法向量是_ ._ . AB AC 600 1350 立體幾何中的向量方法求夾角 【鞏固練習鞏固練習】 1 三棱錐三棱錐P-ABC PAABC,PA=AB=AC, ,E為為PC中點中點 ,則則PA與與BE所成角所成角 的余弦值為的余弦值為_ . 2 直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1中中, A1A=2, AB=AC=1, 則則AC1與截面與截面BB1CC1所成所成 角的余弦值為角的余弦值為_ . 3正方體中正方體中ABCD-A1B1C1D1中中E為為A1D1的的 中點中點, 則二面角則二面角E-BC-A的大小是的大小是_ 0 90BAC 0 90BAC 6 6 3 10 10 0 45 立體幾何中的向量方法求夾角 用空間向量解決立體幾何問題的用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲三步曲”。 （1）建