量子力學(xué)-第二版---散射-習(xí)題答案--周世勛

1、第六章 散射1粒子受到勢(shì)能為U (r)a2r2 的場(chǎng)的散射，求 S分波的微分散射截面。解 為了應(yīng)用分波法，求微分散射截面， 首先必須找出相角位移。注意到第 l 個(gè)分波的相角位移 l 是表示在輳力場(chǎng)中的矢徑波函數(shù)Rl 和在沒(méi)有散射勢(shì)時(shí)的矢徑波函數(shù)jl 在r 時(shí)的位相差。因此要找出相角位移，必須從矢徑的波動(dòng)方程出發(fā)。矢徑的波動(dòng)方程是：1 d 2 dRl2rl r dr dr(k2 V(r) l(l 2 1)Rl 0 r其中 Rl 是波函數(shù)的徑向部分，而2 2 2V(r) 2U(r),k22 E令Rlxl (r )r ，不難把矢徑波動(dòng)方程化為xl2 l (l 1) 22r2 2 xl 0 r再作變換

2、xlr f (r )，得(r)1f (r ) rk2f (r) 0這是一個(gè)貝塞爾方程，它的解是其中注意到Rlf (r )AJp(kr) BNp (kr)Np(kr) 在r0 時(shí)發(fā)散，因而當(dāng) r0時(shí)波函數(shù)Npr，不符合波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。所以必須有 B 0Rl1A 1r Jp (kr)現(xiàn)在考慮波函數(shù) Rl 在r處的漸近行為，以便和 jl 在r時(shí)的漸近行為比較，而求當(dāng) l 很小時(shí)，即得相角位移 l ，由于：R(r )1 sin( kr rp2) 1 sin( kr l4 r 2l)21 2 d 1pl22l2l242 2 2較小時(shí)，把上式展開(kāi)，略去高次項(xiàng)得到又因2i1 2i l12ik l(2l02

3、i l1)( e l1)Pl (cos )2ik l(2l01)2lPl (cos )2Pl (cos )k l 011r12r12 r22 2r1r2 cos注意到如果取單位半徑的球面上的兩點(diǎn)來(lái)看l1r2 Pl (cos ) 當(dāng) r1r1 l 0 r1r2l1r1 Pl (cos ) 當(dāng) r1 r2r2 l 0 r 2則 r1 r2 1 ，即有12(1 cos )Pl (cos )l012sin2k22sin2微分散射截面為222f ( )d22244 sin 222 csc d8 2E2由此可見(jiàn)，粒子能量 E 愈小，則較小的波對(duì)微分散射截面的貢獻(xiàn)愈大；勢(shì)能常數(shù)愈大，微分散射截面也愈大。U(

4、r)2慢速粒子受到勢(shì)能為U 0, 當(dāng)r a0, 當(dāng)r a的場(chǎng)的散射，若 E U0, U 0 0，求散射截面。解在r其中在r其中慢速粒子的德布羅意波長(zhǎng)很長(zhǎng)，所以只需要考慮S 分波。a 處，k2a 處，k2而波函數(shù)是xl方程為2E2則有xll( l 1) xll( l 1)r2xl2 (U 0 E)2a的情況下，x0x0其解分別為當(dāng)ra 時(shí)，當(dāng) r a 時(shí)，由于在 rcos k rRlxlr只故慮S 分波，即l0 的情況，上面兩個(gè)方程變?yōu)閤0x00時(shí)，k2 x0k2x0B sin(kr 0 )Ashkr A chk rR0x0r 有限，但x0 Ashk r( r a )在 r a 處，波函數(shù) R0

5、 及其微商必須連續(xù)，因此得出Ashk a B sin( ka0)AA kchk a2 shkaaa用前式除后式可得Bk cot(kaa0)2 sin( ka 0) ak cothk ak cot(ka0)tg ka 即kk tg(ka0)0 tg 1kk tg kaka因此 S 分波的輻射截面是422 sin k240k22 1 ksin tg k tgkaka當(dāng)速度較小時(shí)， k0 ，可以近似地認(rèn)為k0這時(shí)有tghka tghk 0 ak tghk0a k00kaQ04 k202 4 a2 tgk0ak0a假如 U 0，相當(dāng)于在受到球形無(wú)限深勢(shì)阱散射的情況，這時(shí)由于tgk0ak0a2(tg k

6、0a)2k02a22tg k0a k0a當(dāng) k01a23只考慮 S 分波，求慢速粒子受到勢(shì)能U (r) r 4 的場(chǎng)散射時(shí)的散射截面。解 當(dāng)只考慮 lR0 ，即 S 分波時(shí)，令r ，則 x 滿足的方程是：2x24r為了解此方程，作如下代換，令 x(r) r f (r)，由于rf (r)112rf (r )x r f ( r )可將原方程化為f (r )14 f(r) r 2rff 2 2d2d124r14r2為了化簡(jiǎn)方程，再作變換，令注意到134r 2dfdf ddf i 21drd dri d2 rd2fddf2ddr 2dd2drd2f2i223d22df 2id22i d2 f 2i d

7、f di 2 d 2 2i 2 d dr2dfid2方程可以化為f (r )H(11)d 2 f1 df1 4 2d2d0這是 12 階的貝塞爾方程，它的解是(1)式中 H (1)表示第一類漢克爾函數(shù)，按定義為H (p1)( ) i e ip Jp ( ) J p( ) sin pp 當(dāng) 1時(shí)， JP( ) 2p ( p 1)當(dāng)r0時(shí)H 1(1)( )2當(dāng)rr f (r )當(dāng)r 很大時(shí)，常數(shù)x(r)常數(shù)另一方面C1當(dāng) kr其中tgsin2r H 1(1)2sin( kr 0)1時(shí)常數(shù)C1散射截面krC1C2C2kC1上述解的條件是kr 1, 即i122122cos(krC22k2kki2常數(shù)c

8、2C1r0)常數(shù)sin( kr0)亦即要求2r 24用玻恩近似法求粒子在勢(shì)能 U(r) U 0e場(chǎng)中散射時(shí)的散射截面。解 按玻恩近似法計(jì)算微分散射截面的公式q( )其中K2在本題中f(注意到ref( )K2 而22K2 2 0 r sin kre r dr見(jiàn)教材( 55-23)式 224k2 sin 22U(r) U0eK2i U202K2i U02， 為入射粒子方向和散射粒子方向之間的夾角。2r2r sin Kre0 r(e2r2iKr22r dr2r 2iKr)dr0 req( )iK22U02K22reiK22dri U02iK22drK2 e424K 2 sinf( )2dr22iK2

9、3xe24U062 e46K22reiK2driK222x2dxiK22iK43K222iK22driK2iK2driK222122iK3iK22driK22iK22dr2U02 3 eK2425利用玻恩近似法求粒子在勢(shì)能U( r )Zes2 r rb0,rara其中場(chǎng)中散射的微分散射截面，式中解 由勢(shì)能 U(r) 的形狀容易看出，計(jì)算K22 ze K2f ( ) 時(shí)只需計(jì)算由 0a 的積分即可。ar sin Kr02zerrb dra2ze sin Krdr01 cosKr K22 2 (cos ka K 2 22ze(11)cosKa )2q( ) f ( )22K 2b2K 2 2b22

10、2K 2 2ba2r sin Krdr0cosKr r 2a cosKadr 0a2cosKa 2kasin Ka22 2 a2 cos Ka K 2 2b2asinKKaasin Krdr0K22(1cos Ka)4 2 2122a4 4 ze (1 cos Ka )a cos Kasin KaK 4 4bK2K2(1K 2k sin26用玻恩近似法求在勢(shì)能U( r )rU0e a( a論在什么條件下，可以應(yīng)用玻恩近似法。解 ( 1)求微分散射截面f ( ) 2 2 r sin krk 2 0rU 0e adrcos Ka)0) 場(chǎng)中散射時(shí)的微分散射截面，并討2 U 0 r ikr2 ( e

11、 k 2 0 2iikre )eradrU0ikikikredr0 rerdrU 0 1 1222ik 2 11ikikaa2a2 U 0 (1ika)2 (1ika)2ik 2(1a2k2)24a3 U 022 2 22(1 a2k2 )2216 2U 02a6q( ) f ( ) 4 2 2 44(1 a2k 2)42)討論玻恩近似法可以應(yīng)用的條件。2 2 6U0a4 2 2 2 44(1 4a2k2sin 2 )4216顯然，這個(gè)條件是u( )1。由教材（ 55-25）式和（ 55-26）u(0)2k0 V ( r )(e2ikr 1) drk20 V (r )(e2ikr 1)dr2u(0)22 U 0 2a2k k1 4a2 k2k2 4ra 2 ikr U 0 e a ( e1) dr2