15 數(shù)值積分與微分 數(shù)值分析(研究生)

1、1 數(shù)值積分基本概念數(shù)值積分基本概念 插值型求積公式插值型求積公式 求積公式的代數(shù)精度求積公式的代數(shù)精度 復(fù)合梯形公式復(fù)合梯形公式 格林公式中曲線積分處理格林公式中曲線積分處理 數(shù)值積分 2 hxfS n j jn 1 )( 定積分與積分和式定積分與積分和式 n j j h b a hxfdxxf 1 0 )(lim)( 右矩形和右矩形和 h 1 0.5 0.2 S n 5 . 2 9 0 8 5 . 1 0 4 4 4.9835 4.8999 012345678910 0 0.5 1 1.5 1 )( 3 x e x xf 3 數(shù)值求積公式的一般形式數(shù)值求積公式的一般形式 )()( 0 fR

2、xfAdxxf n k kk b a Rf 數(shù)值求積公式余項(xiàng)數(shù)值求積公式余項(xiàng) x0, x1, , xn 求積結(jié)點(diǎn)求積結(jié)點(diǎn) A0, A1, , An 求積系數(shù)求積系數(shù) 4 插值型求積公式插值型求積公式 對對 a，b做分劃做分劃: a x0 x1 x2 0,當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)，結(jié)束計(jì)算并以結(jié)束計(jì)算并以T2n作為定積分的近似值作為定積分的近似值. ),(, )( 12 )( 2 3 baf n ab fR n k kn b a f h TdxxffR 1 3 )( 12 )( T1 T2 T4 Tn T2n ) 2 ( 2 1 1 2 n j nn h jhafhTT 14 格林公式的離散化格林公式的離散化

3、多邊形面積計(jì)算多邊形面積計(jì)算 dyyxQdxyxPdxdy y P x Q D ),(),()( 令令 Q=x, P= y 得區(qū)域得區(qū)域 D 的面積計(jì)算公式的面積計(jì)算公式 將將 分劃分劃, , j : : ( (xj，yj) )( (xj+1，yj+1) ) ( j = 1,2,n) xdyydxS 2 1 )( )( 1 1 jjj jjj yytyy xxtxx t( 0，1 ) 參數(shù)方程參數(shù)方程: 1 0 11 )()(dttyyyxxydx jjjjj j )( 2 1 )( 11jjjjj yyyxx D 格林公式中曲線積分處理格林公式中曲線積分處理 15 1 0 11 )()(dt

4、txxxyyxdy jjjjj j )( 2 1 )( 11jjjjj xxxyy jjjjjj xyyyxxxdyydx j )()( 11 11 11 jj jj jjjj yx yx xyyx 面積公式面積公式 n jjj jj yx yx S 111 2 1 頂點(diǎn)按逆時(shí)針排列頂點(diǎn)按逆時(shí)針排列, ,且且 (xn+1，yn+1)=(x1，y1) 16 蒙特卡羅法求積分蒙特卡羅法求積分 8999. 4 1 5 0 3 dx e x F x N =2000: q= 4.8975, 4.9256, 4.7550, 4.9800 012345678910 0 0.5 1 1.5 5 . 10 ,

5、50| ),( yxyxD 5 . 755 . 1 S 在在D中投入中投入N個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn), ,落入曲邊梯形內(nèi)的點(diǎn)數(shù)為落入曲邊梯形內(nèi)的點(diǎn)數(shù)為n N n S F 17 )()()( 1 1 2 2 n j n jhafbfaf h T 復(fù)合梯形公式復(fù)合梯形公式 ) 2/(2)()( 4 12 1 2 n j n jhafbfaf h T )( 12 )( 1 2 3 f n ab TI n )( 124 )( 2 2 3 2 f n ab TI n )()( 21 ff )( nn TITI 2 4 )( nnn TITT 22 3誤差估計(jì)誤差估計(jì) 3 4 2nn TT I 外推計(jì)算外推計(jì)算 龍貝格外

6、推計(jì)算公式龍貝格外推計(jì)算公式 18 b a dxxfI)(記記 )( 12 )( )( 2 3 f n ab hTI 則則 )()( 2226 3 4 2 2 1 kk k hOhhhhIhT )()()()()( 2224 2 2 1 2222 kk k hO hhh I h T )(2)()( 2 )( 1 1 n j jhafbfaf h hT 2 )( 12 )( )(hf ab IhT )()( 2 hOIhT 4 2 1 4 1 3)() 2 (4hIhT h T 歐拉歐拉-麥麥克勞林公式克勞林公式 19 )()( 2226 3 4 21 kk k hOhhhIhT 有有:T2(h

7、) = I + O(h6) 14 2 4 2 11 2 2 )()( )( hT h T hT 記記 14 2 4 1 )()( )( hT h T hT 記記 )() 2 () 2 () 2 () 2 ( 2226 3 4 21 kk k hO hhh I h T )(3/)() 2 (4 4 hOIhT h T 所以所以 20 )()( )( bfaf ab T 2 0 0 )/ )()()( )( 12 1 1 0 22 2 k j k k k abjafbfaf ab T T0(0) T0(1) T1(1) T0(2) T1(2) T2(2) T0(3) T1(3) T2(3) T3(

8、3) 14 4 1 11 m k m k m m k m TT T )()( )( 記記 龍貝格外推計(jì)算公式龍貝格外推計(jì)算公式 21 -4-2024 0 10 20 30 40 50 60 70 80 高斯型數(shù)值求積公式高斯型數(shù)值求積公式 插值型求積公式插值型求積公式 )()()( 1100 1 1 xfAxfAdxxf 代數(shù)精度為代數(shù)精度為3,3,取取 f(x)=1, x, x2, x3 0 3 2 0 2 3 11 3 00 2 11 2 00 1100 10 xAxA xAxA xAxA AA(1) (2) (3) (4) (4)-(2)x02 x12= x02 (3)-(1) x02

9、x02=1/3 3 1 , 3 1 , 1 , 1 1010 xxAA 3 3 23 )135(dxxxx 22 代數(shù)精度為代數(shù)精度為 3 的數(shù)值求積公式的數(shù)值求積公式 )()()( 3 1 3 1 1 1 ffdxxf 1 1 222 dt ab t ab f ab dxxf b a )()( )()()( 2322322 abab f abab f ab dxxf b a 對于對于a, b區(qū)間上的定積分區(qū)間上的定積分,構(gòu)造變換構(gòu)造變換 22 ab t ab tx )(t-1, 1 23 定義定義 如果求積結(jié)點(diǎn)如果求積結(jié)點(diǎn)x0, x1,xn,使插值型求積公使插值型求積公 式式 的代數(shù)精度為的

10、代數(shù)精度為2n+1,則稱該求積公式為則稱該求積公式為Gauss型型求積公求積公 式式. 稱這些求積結(jié)點(diǎn)為稱這些求積結(jié)點(diǎn)為Gauss點(diǎn)點(diǎn). 定理定理7.2 如果多項(xiàng)式如果多項(xiàng)式wn+1(x)=(x x0) (x x1)(x xn) 與任意的不超過與任意的不超過n次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式P(x) 正交，即正交，即 0 1 1 1 dxxPxwn)()( 則則, wn+1(x)的所有零點(diǎn)的所有零點(diǎn)x0, x1 , xn 是是Gauss點(diǎn)點(diǎn). n k kk xfAdxxf 0 1 1 )()( 24 例例 驗(yàn)證多項(xiàng)式驗(yàn)證多項(xiàng)式 是是1, 1上正交多項(xiàng)式上正交多項(xiàng)式. 0)()()()( 1 1 21 1

11、1 20 1 1 210 dxxxwadxxwadxxwxaa 3 1 2 2 xxw)( )()()( 3 1 3 1 1 1 ffdxxf 兩點(diǎn)兩點(diǎn)Gauss公式公式 3 1 3 1 10 xx,得得Gauss點(diǎn)點(diǎn) 插值公式插值公式: )()()( 1 01 0 0 01 1 xf xx xx xf xx xx xf 1 2 01 1 1 1 01 1 xx x dx xx xx 1 2 01 0 1 1 01 0 xx x dx xx xx 25 035 2 1 3 3 )()(xxxp 77450670 5 3 20 . , x 0 1 x 三點(diǎn)三點(diǎn)Gauss數(shù)值求積公式數(shù)值求積公式

12、)7745. 0(5556. 0)0(8889. 0)7745. 0(5556. 0fff Legendre多項(xiàng)式遞推式多項(xiàng)式遞推式 , 11 12 , 1 11 10 nnn p n n xp n n p xpp )()(13 2 1 2 2 xxp)()(xxxp35 2 1 3 3 1 1 )(dxxf 1 , 1 x 26 例例. .兩點(diǎn)兩點(diǎn)Gauss公式計(jì)算公式計(jì)算 1 0 sin dx x x 解解: :變換變換 x = 0.5( t + 1 ) 1 1 1 0 1 )1(5 . 0sinsin dt t t dx x x 57735. 0 3 1 1 t 取取 57735. 0

13、3 1 0 t )1(5 . 0 )1(5 . 0sin )1(5 . 0 )1(5 . 0sin 2 1sin 1 1 0 0 1 0 t t t t dx x x Simpsion三點(diǎn)公式三點(diǎn)公式 0.94614588227359 MATLAB命令命令 0.94608307036718 Gauss兩點(diǎn)公式兩點(diǎn)公式 0.94604113689782 00.511.522.5 0 0.5 1 27 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分顯式顯式法法 隱式方法隱式方法 LagrangeLagrange插值函數(shù)方法插值函數(shù)方法 外推算法外推算法 數(shù)值微分 28 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分顯式顯式法法 )()( ! 3 )( 2

14、)()()( 4)3( 32 hOaf h af h afhafhaf )( )()( )(hO h afhaf af 一階向前差商一階向前差商 )()( ! 3 )( 2 )()()( 4)3( 32 hOaf h af h afhafhaf )( )()( )(hO h hafaf af 一階向后差商一階向后差商 29 )( )()()( )( 2 2 2 hO h hafafhaf af 二階中心差商二階中心差商 )( ! 3 )( 2 )()()( )3( 32 af h af h afhafhaf )( )()( )( 2 2 hO h hafhaf af 一階中心差商一階中心差商

15、)( ! 3 )( 2 )()()( )3( 32 af h af h afhafhaf )()( 3 )(2)()( 5)3( 3 hOaf h afhhafhaf f(x) x f(x) x f(x) x f(x) x true derivative forward finite divided difference approx. backward finite divided difference approx. centered finite divided difference approx. h xfxf xf ii i 1 h xfxf xf ii i 1 h xfxf xf

16、ii i 2 11 30 31 )()( 62 )()( )( 4)3( 2 11 hOxf h h xfxf xf k kk k )( )()(2)( )( 2 2 11)3( hO h xfxfxf xf kkk k 設(shè)設(shè) xk= a + k h ,( k =0,1,n) 值值 令令 mk = f (xk) ( k=0,1,n) )()( 1111 3 4 kkkkk xfxf h mmm k=1,2,n-1 隱式方法隱式方法 32 LagrangeLagrange插值函數(shù)方法插值函數(shù)方法 2 0 )()()( k kk xfxlxf 2 0 )()()( k kjkj xfxlxf xk

17、 = x0 + kh (k=0，1，2) )()( )()( )()( 10 2 2 20 2 1 21 2 0 2 1 1 2 1 xxxx h xl xxxx h xl xxxx h xl 2 21 0 2 2 h xxx xl )( )( 2 10 2 2 2 h xxx xl )( )( 2 20 1 2 h xxx xl )( )( 33 2 0 1 h xl )( 2 1 2 h xl )( 2 2 1 h xl )( )()()()( )()()( )()()()( 2102 201 2100 34 2 1 2 1 43 2 1 xfxfxf h xf xfxf h xf xfxfxf h xf 2 210 2 h xfxfxf xf )()()( )( 2 21 0 2 2 h xxx xl )( )( 2 10 2 2 2 h xxx xl )( )(