特殊的線性變換畢業(yè)論文

1、 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì)（ 論 文 ）題目特殊的線性變換作者xx學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)號(hào)xxx指導(dǎo)教師xxxx 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）任務(wù)書(shū) xxxxxx 院 xxxxxx 系（教研室）系（教研室）主任: （簽名） 年 月 日學(xué)生姓名: xx 學(xué)號(hào): xxxxx 專(zhuān)業(yè): 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 1 設(shè)計(jì)（論文）題目及專(zhuān)題： 特殊的線性變換 2 學(xué)生設(shè)計(jì)（論文）時(shí)間：自 2012年 2 月 20 日開(kāi)始至 2012 年 5 月 27 日止3 設(shè)計(jì)（論文）所用資源和參考資料：1 錢(qián)吉林.高等代數(shù)題解精粹m.武漢:中央名族大學(xué)出版社,2005.2 楊子胥.高等代數(shù)習(xí)題解m.濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2

2、003.3 方保镕.矩陣論m.北京:清華大學(xué)出版社,2004.4 程云鵬.矩陣論m.西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2000.5 王萼芳.高等代數(shù)（第三版）m.北京:高等教育出版社,2005.6 鐘太勇.冪等矩陣與冪等變換性質(zhì)的探討j.鄖陽(yáng)師范高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào),2005,25(3).7 郭素霞.關(guān)于冪等變換性質(zhì)的討論j.衡水學(xué)院學(xué)報(bào),2008,10(4).4 設(shè)計(jì)（論文）應(yīng)完成的主要內(nèi)容：（1）主要討論對(duì)稱(chēng)變換、反對(duì)稱(chēng)變換、冪等變換、對(duì)合變換、冪零變換五類(lèi)特殊的線性變換；（2）討論以上這些特殊線性變換的定義及性質(zhì)；（3）對(duì)上面每一種線性變換給出它們與對(duì)應(yīng)矩陣之間的關(guān)系；（4）討論以上這些特殊的線性變

3、換對(duì)應(yīng)的特殊矩陣的性質(zhì)；5 提交設(shè)計(jì)（論文）形式（設(shè)計(jì)說(shuō)明與圖紙或論文等）及要求：提交一份8000字以上的紙質(zhì)文檔和電子文檔，要求打印格式按湖南科技大學(xué)關(guān)于本科生畢業(yè)論文的要求，論文內(nèi)容要求結(jié)論正確，論證充分，而且有一定的創(chuàng)新6 發(fā)題時(shí)間： 2012 年 1 月 05 日指導(dǎo)教師： （簽名）學(xué) 生： （簽名） 線性變換無(wú)論在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論還是在應(yīng)用中都有重要的地位，尤其是一些特殊的線性變換如對(duì)稱(chēng)、反對(duì)稱(chēng)變換，冪等變換、對(duì)合變換及冪零變換，也是線性變換中的重要內(nèi)容。隨著特殊的線性變換的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，越來(lái)越多的人關(guān)注特殊的線性變換的研究，并且已經(jīng)取得了豐富的成果。本文在前人的基礎(chǔ)上比較系統(tǒng)、深入和

4、細(xì)致地研究了五類(lèi)特殊的線性變換的若干性質(zhì)，更全面的探討特殊的矩陣，還討論了這些特殊的線性變換及其矩陣之間的關(guān)系。關(guān)鍵詞：對(duì)稱(chēng)變換；反對(duì)稱(chēng)變換；冪等變換；對(duì)合變換；冪零變換abstractlinear transformation in terms of the theory of mathematical foundations and applications have an important role, especially in some special linear transformation, such as symmetric, asymmetric transformatio

5、n idempotent transformation involutory transformation and nilpotent transformation, is also a linear transformationthe important content. with the special linear transformation more widely, more and more people are concerned about the special linear transformation, and has achieved fruitful results.

6、 on the basis of previous systems, in-depth and detailed study of the five special linear transformation of a number of nature, a more comprehensive discussion of the special matrix, was also discussed between special linear transformation and its matrix relationship.keywords: symmetric transformati

7、on；anti-symmetric transformation；idempotent transformation； involution transformation；nilpotent transformation目 錄第一章 前 言1第二章 對(duì)稱(chēng)變換22.1 對(duì)稱(chēng)變換的定義及性質(zhì)22.2 對(duì)稱(chēng)變換和對(duì)稱(chēng)矩陣3第三章 反對(duì)稱(chēng)變換7第四章 冪等變換104.1 冪等變換定義及性質(zhì)104.2 冪等矩陣及其性質(zhì)11第五章 對(duì)合變換155.1 對(duì)合變換定義及性質(zhì)155.2 對(duì)合矩陣及性質(zhì)15第六章 冪零變換18第七章 結(jié) 論21參考文獻(xiàn)22致 謝23第一章 前 言線性變換是研究線性代數(shù)問(wèn)題的重要工

8、具，線性變換在給定的一組基下對(duì)應(yīng)唯一矩陣，并且這種對(duì)應(yīng)保持很多性質(zhì)，比如線性性、可逆性等等這給我們提供了研究線性變換的一種思想方法線性變換的思想不僅在日程數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中有著重要的重要，在物理、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)等諸多領(lǐng)域也起著非常重要的作用。在學(xué)習(xí)線性變換的內(nèi)容是我們會(huì)經(jīng)常提到一些特殊的線性變換，通常都會(huì)出現(xiàn)在解決特定的問(wèn)題上面，通過(guò)使用特殊的線性變換定義，發(fā)現(xiàn)起到了很好的效果，不僅僅在解決問(wèn)題方面簡(jiǎn)明快捷而且比較容易理解。但是對(duì)于特殊的線性變換我們了解甚少，比如對(duì)稱(chēng)變換、反對(duì)稱(chēng)變換、冪等變換、對(duì)合變換和冪零變換作為特殊的線性變換無(wú)論在理論方面，還是在實(shí)際應(yīng)用方面都有重要的意義我們?cè)谘芯烤€性變換及

9、學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，經(jīng)常要討論這些特殊的線性變換這些特殊的線性變換并沒(méi)有引起我們足夠的關(guān)注，也很少有同學(xué)更加深入的去學(xué)習(xí)和研究特殊的線性變換，包括其定義和推理證明。因?yàn)樵谌粘５膶W(xué)習(xí)中我對(duì)于特殊的線性變換的內(nèi)容應(yīng)用的比較多，覺(jué)得特殊的線性變換需要引起我們的足夠重視，所以特在此總結(jié)我的學(xué)習(xí)成果。本文先給出這些特殊線性變換及對(duì)應(yīng)矩陣的定義，這些特殊矩陣的性質(zhì)在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)中沒(méi)有系統(tǒng)的研究過(guò)然后系統(tǒng)地研究了這五類(lèi)特殊的線性變換及其矩陣的性質(zhì)，并給出了相應(yīng)的證明算是粗略的對(duì)特殊的線性變換進(jìn)行額一次總結(jié)。第二章 對(duì)稱(chēng)變換2.1 對(duì)稱(chēng)變換的定義及性質(zhì)定義2.1 設(shè)為歐氏空間的一個(gè)線性變換，若對(duì)任意兩個(gè)向量

10、都有成立，則稱(chēng)為的對(duì)稱(chēng)變換對(duì)稱(chēng)變換是線性變換中經(jīng)常用到的特殊的變換，教材中在討論對(duì)稱(chēng)變換時(shí)只給出了定義，但對(duì)其性質(zhì)的研究很少，下面討論對(duì)稱(chēng)變換的幾個(gè)性質(zhì)性質(zhì)2.1 設(shè)是維歐氏空間的對(duì)稱(chēng)變換，則對(duì)中任意，都有的充要條件是的特征根都是非負(fù)實(shí)數(shù)證明 設(shè)是的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，且由于是對(duì)稱(chēng)變換，所以，令，則于是是半正定陣 的特征根都是非負(fù)實(shí)數(shù) 的特征根都是非負(fù)實(shí)數(shù)性質(zhì)2.2 若為維歐氏空間的對(duì)稱(chēng)變換，則是的正交補(bǔ)證明 ,，則，于是所以，此即，從而又因?yàn)楣? 性質(zhì)2.3 設(shè)為維歐氏空間的一個(gè)線性變換，則為對(duì)稱(chēng)變換的充分必要條件是有個(gè)兩兩正交的特征向量證明 必要性：設(shè)為對(duì)稱(chēng)變換，且在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的方陣為，則為

11、實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣，從而存在正交方陣，使 （1）其中為的全部特征值令，則也是標(biāo)準(zhǔn)正交基，在此基下的方陣為，從而由（1）知即有個(gè)兩兩相交的特征向量充分性：設(shè)有個(gè)兩兩正交的特征向量，且令則為的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，且在此基下的矩陣為由于是實(shí)對(duì)稱(chēng)的，故為對(duì)稱(chēng)變換性質(zhì)2.4 設(shè)為維歐氏空間的一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換，是的一個(gè)特征值，則的重?cái)?shù)等于特征子空間的維數(shù)（即對(duì)稱(chēng)變換的任一特征值其代數(shù)重?cái)?shù)等于幾何重?cái)?shù)）證明 設(shè)是的特征多項(xiàng)式的重根，則又因是對(duì)稱(chēng)變換，故存在基，使在此基下的方陣為，則有其中為的全部特征值現(xiàn)不妨設(shè)，則從而為中個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，所以故22.2 對(duì)稱(chēng)變換和對(duì)稱(chēng)矩陣下面考慮對(duì)稱(chēng)變換對(duì)應(yīng)的矩陣與對(duì)稱(chēng)變換的關(guān)系設(shè)為歐氏空

12、間中的一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換，是的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，并設(shè)在基下的矩陣為，即 ，由對(duì)稱(chēng)變換的定義，有，即，因?yàn)槭菢?biāo)準(zhǔn)正交基，故有， 這說(shuō)明是一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣反之，任給一個(gè)階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，在維歐氏空間中取定一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，由定義一個(gè)線性變換，使，于是，記在下的坐標(biāo)分別為，則，這說(shuō)明是一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換由此可得下面的定理：定理2.1 維歐氏空間的線性變換是實(shí)對(duì)稱(chēng)變換的充要條件是：在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，即有3這樣，我們就建立了對(duì)稱(chēng)變換和對(duì)稱(chēng)矩陣之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系利用定義，我們還可以得到矩陣在內(nèi)積運(yùn)算中的轉(zhuǎn)移規(guī)則，這個(gè)規(guī)則有時(shí)是很有用的，下面分兩種情況討論（1）若是對(duì)稱(chēng)矩陣，且，則在內(nèi)積中的轉(zhuǎn)移規(guī)則為（2）若不是對(duì)稱(chēng)

13、矩陣，且，則有，事實(shí)上，了解了這些性質(zhì)后，我們接著討論實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值和特征向量實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值和特征向量有下面的重要性質(zhì)，現(xiàn)以定理形式給出3定理2.2 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)證明 假定是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，是它的一個(gè)特征值，是屬于的特征向量，則，兩邊取共軛得 ，再由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，有，取轉(zhuǎn)置，且注意，從而有，用右乘上式子，便得，即 ，但，故有，這就表明是實(shí)數(shù)定理2.3 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量是正交的證明 設(shè),是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的兩個(gè)不相同的特征值，且由于，因而，即 ，但是，因而所以，就表明與正交應(yīng)該注意，就實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣而言，屬于同一特征值的的線性無(wú)關(guān)的特征向量不一定是正交的但是，可以

14、使用schmidt正交化方法將它們正交化4對(duì)角矩陣是形式最簡(jiǎn)單的矩陣，而矩陣對(duì)角化在線性變換和二次型的主軸問(wèn)題中起著關(guān)鍵作用，下面我們來(lái)研究實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化問(wèn)題定理2.4 對(duì)于任意一個(gè)級(jí)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，都存在一個(gè)級(jí)正交矩陣，使成對(duì)角形證明 由于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣和對(duì)稱(chēng)變換的關(guān)系，只要證明對(duì)稱(chēng)變換有個(gè)特征向量做成標(biāo)準(zhǔn)正交基就行了我們對(duì)空間的維數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法，顯然定理的結(jié)論成立設(shè)時(shí)定理的結(jié)論成立對(duì)維歐氏空間，線性變換必有一特征向量，記其對(duì)應(yīng)的特征值為實(shí)數(shù)把單位化，還用代表它作的正交補(bǔ)，設(shè)為,由北大編高等代數(shù)c96中引理3知，是的不變子空間，其維數(shù)為又顯然也滿足，仍是對(duì)稱(chēng)變換據(jù)歸納法假設(shè)，有個(gè)特征向量作成的標(biāo)

15、準(zhǔn)正交基，從而是的標(biāo)準(zhǔn)正交基，它們都是的個(gè)特征向量5從上面的證明可以知道，任意一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣可以對(duì)角化，則任意一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換可以對(duì)角化第三章 反對(duì)稱(chēng)變換定義3.1 設(shè)為歐氏空間的線性變換，如果對(duì)中任意向量均有則稱(chēng)為反對(duì)稱(chēng)變換定義3.2 設(shè)為階實(shí)矩陣，如果，則稱(chēng)為實(shí)反對(duì)稱(chēng)矩陣下面我們來(lái)研究反對(duì)稱(chēng)變換與反對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系，反對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值及對(duì)角化問(wèn)題定理3.1 設(shè)是維歐氏空間，線性變換為反對(duì)稱(chēng)變換的充分必要條件是在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為反對(duì)稱(chēng)方陣證明 證法：設(shè)是的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，且在此基下的矩陣為，令為中任意向量，且，則它們?cè)谠摻M基下的坐標(biāo)分別是，而且與在該基下的坐標(biāo)分別為與，而內(nèi)積，于是有，比較

16、上兩式知：為反對(duì)稱(chēng)變換，即的必要且充分條件是，亦即，即為反對(duì)稱(chēng)矩陣證法：任取的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，且令在此基下的矩陣為，即有，由此得 （1）設(shè)為反對(duì)稱(chēng)的，則有，于是由（1）可得，即為反對(duì)稱(chēng)矩陣反之，設(shè)為反對(duì)稱(chēng)矩陣，即有，則由（1）得 （2）設(shè)，則由（2）可推出，即為反對(duì)稱(chēng)變換2定理3.2 實(shí)反對(duì)稱(chēng)矩陣的特征根是零或純虛數(shù)證明 設(shè)為實(shí)反對(duì)稱(chēng)矩陣，是它的任意一個(gè)特征根，而是屬于特征根的一個(gè)特征向量，即一方面，有；另一方面，又有，故 但是，故，即為零或純虛數(shù)由于是根為0或純虛數(shù)的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，其虛根成對(duì)出現(xiàn)，故可設(shè)的全部特征根為：，其中均為實(shí)數(shù)于是可以得到下面的定理定理3.3 對(duì)任意實(shí)反對(duì)稱(chēng)矩陣，必存在

17、正交矩陣使，其中為非零實(shí)數(shù)，從而的特征根為，即0或純虛數(shù)2第四章 冪等變換4.1 冪等變換定義及性質(zhì)定義4.1 設(shè)是線性空間的一個(gè)線性變換，若，則稱(chēng)是冪等變換性質(zhì)4.1 設(shè)是數(shù)域上的線性空間，是的冪等變換，則證明 已知是的冪等變換，則一方面，有，于是，故，即另一方面，則存在，使得，于是，則，即故有性質(zhì)4.2 設(shè)是數(shù)域上的線性空間，是的冪等變換，則，即：可以分解為的核與值域的直和證明 證法：由有現(xiàn)只需證，則使，且，于是有所以所以再由，得6證法：已知是的冪等變換，則因?yàn)楹投际堑淖涌臻g，由子空間的運(yùn)算性質(zhì)，也是的子空間1、顯然另一方面，,，由性質(zhì)4.1 ，則，而，得，即故有2、，由，則，由，存在，使

18、得，于是，即由的任意性知故有性質(zhì)4.3 設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，是的冪等變換，則存在的一組基，使得在該基下的矩陣為，其中證明 由性質(zhì)4.2，設(shè)，則取的一組基，取的一組基由知，是的一組基，且，則在基下的矩陣為性質(zhì)4.4 設(shè)是數(shù)域上的線性空間，是的冪等變換，則的特征值只能是1或0證明 設(shè)是的任意一個(gè)特征值，是的屬于的特征向量，即，由于，故有，即，又，則，所以或74.2 冪等矩陣及其性質(zhì)定義4.2 設(shè)是階矩陣，若，則稱(chēng)是冪等矩陣性質(zhì)4.5 設(shè)是階矩陣，若，則的特征值只能是1或0性質(zhì)4.6 設(shè)是階矩陣，若，設(shè)為的最小多項(xiàng)式，則或或性質(zhì)4.7 設(shè)是冪等矩陣，則可以對(duì)角化證明 證法：由，易知是的零化多項(xiàng)式

19、，且的特征值只能是1或0，而無(wú)重根，故可以對(duì)角化證法：設(shè)是維向量空間，是的一組基，則存在線性變換，使得關(guān)于這組基的矩陣為，即由，得，由性質(zhì)4.2知，另設(shè)的基是，而的基是，則有 ， ， 由是與的直和得是的一組基所以關(guān)于的基的矩陣是對(duì)角矩陣故與對(duì)角矩陣相似，所以可以對(duì)角化6推論 設(shè)為數(shù)域上的一個(gè)階方陣，且，則與對(duì)角矩陣相似性質(zhì)4.8 設(shè)是冪等矩陣，則的秩等于的跡證明 設(shè)的秩為，由性質(zhì)4.7知：，而相似矩陣有相同的特征值設(shè)為的全部特征值，則為的全部特征值則，而，所以=秩性質(zhì)4.9 設(shè)是階冪等矩陣，則秩()+秩()=證明 證法：設(shè)秩()=由性質(zhì)4.7，存在可逆矩陣使，則，故秩()=，所以秩()+秩()

20、=證法：設(shè)，其中是的列向量因?yàn)椋迷O(shè)的解空間為，則而，即，所以，則得又由于同型矩陣和的秩不大于秩的和得，故有性質(zhì)4.10 設(shè)是秩為的冪等矩陣，則，其中，而為秩為的矩陣證明 由性質(zhì)4.7，存在可逆矩陣使，即，令，則性質(zhì)4.11 設(shè)為階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且證明：存在正交矩陣，使證明 證法i：設(shè)為的任一特征根，且由于，故,從而，故或0，即的特征值只能是1或0由于是實(shí)對(duì)稱(chēng)的，故存在正交方陣使，其中證法：因?yàn)闉閷?shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，故存在正交方陣，使（1）其中為的實(shí)特征根由于，故由上式可知，從而故或0適當(dāng)調(diào)整（1）式中的次序（把1都集中前面），就相當(dāng)于對(duì)（1）式乘上適當(dāng)?shù)恼环疥?，即得，其中，為正交矩陣第五?對(duì)合變換

21、5.1 對(duì)合變換定義及性質(zhì)定義5.1 設(shè)為維線性空間的一個(gè)線性變換，且(上的單位變換)，則稱(chēng)為歐氏空間的對(duì)合變換性質(zhì)5.1 對(duì)合變換的特征根只能是證明 設(shè)是的任意一個(gè)特征根，而是相應(yīng)的一個(gè)特征向量，則由于，故有，從而，故性質(zhì)5.2 設(shè)是對(duì)合變換，則，其中是的屬于特征根1是特征子空間，是的屬于特征根-1的特征子空間證明 任取，令，因?yàn)椋?，故，顯然有，所以再設(shè)，則，于是，即故2 5.2 對(duì)合矩陣及性質(zhì)定義5.2 滿足條件的階矩陣叫做對(duì)合矩陣性質(zhì)5.3 對(duì)合矩陣的特征值只能是1或-1性質(zhì)5.4 對(duì)合矩陣可對(duì)角化性質(zhì)5.5 為階對(duì)合矩陣，則性質(zhì)5.6 設(shè)為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且，則存在正交矩陣使證明 因?yàn)?/p>

22、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，故存在正交方陣，使 （1）其中為的特征值由于，故得又 ，從而即把（1）式右端對(duì)角線上的中的+1都集中到前面（交換相同的行與列，即乘上適當(dāng)?shù)恼痪仃嚕?，即存在正交方陣，使，?，其中為正交矩陣，而為階單位矩陣2在高等代數(shù)中有這樣一個(gè)性質(zhì)：設(shè)是階對(duì)合矩陣，其中（=秩則（1） 相似于矩陣；（2） 當(dāng)是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí)，正交相似于矩陣；（3） 當(dāng)是hermit矩陣時(shí)，酉相似于矩陣對(duì)這一性質(zhì)的證明，一般都利用線性（歐氏、酉）空間中的線性變換在兩個(gè)不同的（標(biāo)準(zhǔn)正交）基下所得的矩陣，再找這兩個(gè)基之間的過(guò)渡矩陣，從而得到在這里，我們只利用向量組線性相關(guān)性、線性方程組及分塊矩陣運(yùn)算等知識(shí)來(lái)證明上述結(jié)論（

23、1），然后再利用schmidt標(biāo)準(zhǔn)正交化方法來(lái)證明上述結(jié)論（2）與（3）下面給出其證明先證（1）：已知，則設(shè)的秩是，則在中可取個(gè)線性無(wú)關(guān)的列，同時(shí)在齊次線性方程組中，可取一個(gè)基礎(chǔ)解系這樣就可得（2）易知是線性無(wú)關(guān)的作方陣，則是可逆矩陣，使所以再證（2）：因?yàn)槭菍?shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，所以（3）式中所得的列向量都是實(shí)的，利用schmidt標(biāo)準(zhǔn)正交化方法，可把與分別化為兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，再作方陣，注意到則是正交矩陣，它使，即得類(lèi)似于（2）的證明，即得結(jié)論（3）綜上所述性質(zhì)成立10第六章 冪零變換定義6.1 設(shè)是數(shù)域上的向量空間，是的線性變換，如果存在正整數(shù)，使，即對(duì)任意，有，則稱(chēng)為冪零線性變換定義6.2 設(shè)

24、是數(shù)域上的階矩陣，如果存在正整數(shù)，使，則稱(chēng)為冪零矩陣定理6.1 設(shè)是數(shù)域上的維向量空間，是的線性變換，若是冪零變換，則在某一組基下的矩陣是冪零矩陣證明 由于是冪零變換，即存在正整數(shù)，使對(duì)任意，有設(shè)是的一組基，關(guān)于基的矩陣是，即所以有由于是基，所以，因此是冪零矩陣性質(zhì)6.1 設(shè)，若都不等于零，但，則線性無(wú)關(guān)證明 證法：反證法若線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)，使設(shè)是第一個(gè)不等于零的系數(shù)，即，則兩邊施以變換，得由于，故對(duì)任意都有，從而由上式得但，故，這與假設(shè)矛盾所以線性無(wú)關(guān)證法：對(duì)作數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)時(shí)，向量組即，當(dāng)然是線性無(wú)關(guān)的假定時(shí)結(jié)論成立，下證時(shí)成立設(shè)，但是，即于是由歸納法假設(shè) （1）線性無(wú)關(guān)而如果 （2）線性相關(guān)，則必可由（1）線性表示設(shè)，兩邊施以，由于，故得這與矛盾故（2）必線性無(wú)關(guān) 根據(jù)歸納法原理，結(jié)論普遍成立2性質(zhì)6.2 設(shè)是維線性空