2021年全國高考乙卷文科數(shù)學試題（及答案）

1、河南省2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學一、選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1. 已知全集，集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先進行并集運算，然后進行補集運算即可.【詳解】由題意可得：，則.故選：A.2. 設，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由題意結合復數(shù)的運算法則即可求得z的值.【詳解】由題意可得：.故選：C.3. 已知命題命題，則下列命題中為真命題的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由正弦函數(shù)的有界性確定命題的真假性，由指數(shù)函數(shù)的知識確

2、定命題的真假性，由此確定正確選項.【詳解】由于，所以命題真命題；由于在上為增函數(shù)，所以，所以命題為真命題；所以為真命題，、為假命題.故選：A4. 函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（ ）A 和B. 和2C. 和D. 和2【答案】C【解析】【分析】利用輔助角公式化簡，結合三角函數(shù)周期性和值域求得函數(shù)的最小正周期和最大值.【詳解】由題，所以的最小正周期為，最大值為.故選：C5. 若滿足約束條件則的最小值為（ ）A. 18B. 10C. 6D. 4【答案】C【解析】【分析】由題意作出可行域，變換目標函數(shù)為，數(shù)形結合即可得解.【詳解】由題意，作出可行域，如圖陰影部分所示，由可得點,轉換目標函數(shù)為，上下平移

3、直線，數(shù)形結合可得當直線過點時,取最小值，此時.故選：C.6. （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由題意結合誘導公式可得，再由二倍角公式即可得解.【詳解】由題意，.故選：D.7. 在區(qū)間隨機取1個數(shù)，則取到的數(shù)小于的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)幾何概型的概率公式即可求出.【詳解】設“區(qū)間隨機取1個數(shù)”，對應集合為： ，區(qū)間長度為，“取到的數(shù)小于”， 對應集合為：，區(qū)間長度為，所以故選：B【點睛】本題解題關鍵是明確事件“取到的數(shù)小于”對應的范圍，再根據(jù)幾何概型的概率公式即可準確求出8. 下列函數(shù)中最小值為4的是（ ）A. B. C. D

4、. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質可判斷選項不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意【詳解】對于A，當且僅當時取等號，所以其最小值為，A不符合題意；對于B，因為，當且僅當時取等號，等號取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對于C，因為函數(shù)定義域為，而，當且僅當，即時取等號，所以其最小值為，C符合題意；對于D，函數(shù)定義域為，而且，如當，D不符合題意故選：C【點睛】本題解題關鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結合有關函數(shù)的性質即可解出9. 設函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】

5、【分析】分別求出選項的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.【詳解】由題意可得，對于A，不是奇函數(shù)；對于B，是奇函數(shù)；對于C，定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù)；對于D，定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù).故選：B【點睛】本題主要考查奇函數(shù)定義，考查學生對概念的理解，是一道容易題.10. 在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因為，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，所以，又，所以平面，所以，設正方體棱長為2，則，所以.故選：D11. 設B是橢圓的上頂點，點

6、P在C上，則的最大值為（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】設點，由依題意可知，再根據(jù)兩點間的距離公式得到，然后消元，即可利用二次函數(shù)的性質求出最大值【詳解】設點，因為，所以，而，所以當時，的最大值為故選：A【點睛】本題解題關鍵是熟悉橢圓的簡單幾何性質，由兩點間的距離公式，并利用消元思想以及二次函數(shù)的性質即可解出易錯點是容易誤認為短軸的相對端點是橢圓上到上定點B最遠的點，或者認為是橢圓的長軸的端點到短軸的端點距離最大，這些認識是錯誤的，要注意將距離的平方表示為二次函數(shù)后，自變量的取值范圍是一個閉區(qū)間，而不是全體實數(shù)上求最值.12. 設，若為函數(shù)的極大值點，則（ ）A. B.

7、 C. D. 【答案】D【解析】【分析】先考慮函數(shù)的零點情況，注意零點左右附近函數(shù)值是否編號，結合極大值點的性質，對進行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關系，由此確定正確選項.【詳解】若，則為單調函數(shù)，無極值點，不符合題意，故.有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，為函數(shù)的極大值點，在左右附近都是小于零的.當時，由，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，故.當時，由時，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，故.綜上所述，成立.故選：D【點睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質，利用數(shù)形結合的數(shù)學思想方法可以快速解答.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13. 已

8、知向量，若，則_【答案】【解析】【分析】利用向量平行的充分必要條件得到關于的方程，解方程即可求得實數(shù)的值.【詳解】由題意結合向量平行的充分必要條件可得：，解方程可得：.故答案：.14. 雙曲線的右焦點到直線的距離為_【答案】【解析】【分析】先求出右焦點坐標，再利用點到直線的距離公式求解.【詳解】由已知，所以雙曲線的右焦點為，所以右焦點到直線的距離為.故答案為：15. 記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，則_【答案】【解析】【分析】由三角形面積公式可得，再結合余弦定理即可得解.【詳解】由題意，所以，所以，解得（負值舍去）.故答案為：.16. 以圖為正視圖，在圖中選兩個分別作為側視圖

9、和俯視圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為_（寫出符合要求的一組答案即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由題意結合所給的圖形確定一組三視圖的組合即可.【詳解】選擇側視圖為，俯視圖為，如圖所示，長方體中，分別為棱的中點，則正視圖，側視圖，俯視圖對應的幾何體為三棱錐.故答案為：.【點睛】三視圖問題解決的關鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數(shù)量關系.三、解答題共70分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟，第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答（一）必考題：共60分17. 某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品

10、的設備，為檢驗新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設備和新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和（1）求，；（2）判斷新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果，則認為新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）【答案】（1）；（2）新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.【解析】

11、【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計算方法，計算出平均數(shù)和方差.（2）根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結合（1）的結論進行判斷.【詳解】（1），.（2）依題意，所以新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.18. 如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由底面可得，又，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面平面；（2）由（1）可知，由平面知識可知，由相似比可求出，再根據(jù)四棱錐的體積公式即可求出【詳解】（1）因為底面，平面，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面（2

12、）由（1）可知，平面，所以，從而，設，則，即，解得，所以因為底面，故四棱錐的體積為【點睛】本題第一問解題關鍵是找到平面或平面的垂線，結合題目條件，所以垂線可以從中產(chǎn)生，稍加分析即可判斷出平面，從而證出；第二問關鍵是底面矩形面積的計算，利用第一問的結論結合平面幾何知識可得出，從而求出矩形的另一個邊長，從而求得該四棱錐的體積19. 設是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足已知，成等差數(shù)列（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和證明：【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質及得到，解方程即可；利用公式法、錯位相減法分別求出，再作差比較即可.【詳解】因為是首項為1的等比

13、數(shù)列且，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）證明：由（1）可得，得 ，所以，所以，所以.【點晴】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質，錯位相減法求數(shù)列的和，考查學生的數(shù)學運算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結構類型靈活選擇，關鍵是要看如何消項化簡的更為簡潔.20. 已知拋物線的焦點F到準線的距離為2（1）求C的方程;（2）已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足，求直線斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【解析】【分析】（1）由拋物線焦點與準線的距離即可得解；（2）設，由平面向量的知識可得，進而可得，再由斜率公式及基本不等式

14、即可得解.【詳解】（1）拋物線的焦點，準線方程為，由題意，該拋物線焦點到準線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）設，則，所以，由在拋物線上可得，即，所以直線的斜率，當時，；當時，當時，因為，此時，當且僅當，即時，等號成立；當時，；綜上，直線的斜率的最大值為.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用平面向量的知識求得點坐標的關系，在求斜率的最值時要注意對取值范圍的討論.21. 已知函數(shù)（1）討論的單調性；（2）求曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標【答案】(1)答案見解析；(2) 和.【解析】【分析】(1)首先求得導函數(shù)的解析式，然后分類討論導函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調性；(2)首先求

15、得導數(shù)過坐標原點的切線方程，然后將原問題轉化為方程求解的問題，據(jù)此即可求得公共點坐標.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，導函數(shù)的判別式，當時，在R上單調遞增，當時，的解為：，當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增；綜上可得：當時，在R上單調遞增，當時，在，上單調遞增，在上單調遞減. (2)由題意可得：，則切線方程為：，切線過坐標原點，則：整理可得：，即：，解得：，則，切線方程為：,與聯(lián)立得，化簡得,由于切點的橫坐標1必然是該方程的一個根，是的一個因式，該方程可以分解因式為解得,，綜上，曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標為和.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究含有參數(shù)的函數(shù)的單調性問題

16、，和過曲線外一點所做曲線的切線問題，注意單調性研究中對導函數(shù)，要依據(jù)其零點的不同情況進行分類討論；再求切線與函數(shù)曲線的公共點坐標時，要注意除了已經(jīng)求出的切點，還可能有另外的公共點(交點),要通過聯(lián)立方程求解，其中得到三次方程求解時要注意其中有一個實數(shù)根是求出的切點的橫坐標，這樣就容易通過分解因式求另一個根.三次方程時高考壓軸題中的常見問題，不必恐懼，一般都能容易找到其中一個根，然后在通過分解因式的方法求其余的根.（二）選考題:共10分請考生在第22、23題中任選一題作答如果多做則按所做的第一題計分選修4-4:坐標系與參數(shù)方程22. 在直角坐標系中，的圓心為，半徑為1（1）寫出的一個參數(shù)方程;（2）過點作的兩條切線以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條切線的極坐標方程【答案】（1），（為參數(shù)）；（2）或.【解析】【分析】（1）直接利用圓心及半徑可得的圓的參數(shù)方程；（2）先求得過（4，1）的圓的切線方程，再利用極坐標與直角坐標互化公式化簡即可.【詳解】（1）由題意，的普通方程為，所以的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）（2）由題意，切線的斜率一定存在，設切線方程為，即，由圓心到直線的距離等于1可得，解得，所以切線方程為或，將，代入化簡得或【點晴】本題主要考查直角坐標方程與極坐標方程的互化，涉及到直線與圓的位置關系，考查學生的數(shù)學運算能力，