數(shù)值計(jì)算方法答案[稻谷書(shū)苑]

1、數(shù)值計(jì)算方法習(xí)題一（2）習(xí)題二（6）習(xí)題三（15）習(xí)題四（29）習(xí)題五（37）習(xí)題六（62）習(xí)題七（70）20099，9習(xí)題一1設(shè)0相對(duì)誤差為2%，求，的相對(duì)誤差。解：由自變量的誤差對(duì)函數(shù)值引起誤差的公式：得（1）時(shí)；（2）時(shí)2設(shè)下面各數(shù)都是經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似數(shù)，即誤差不超過(guò)最后一位的半個(gè)單位，試指出他們各有幾位有效數(shù)字。（1）；（2）；（3）。解：由教材關(guān)于型數(shù)的有效數(shù)字的結(jié)論，易得上面三個(gè)數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)分別為：3，4，53用十進(jìn)制四位浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）哪個(gè)較精確？解：（1）31.97+2.456+0.1

2、352=0.3457（2）31.97+（2.456+0.1352） = =0.3456易見(jiàn)31.97+2.456+0.1352=0.345612，故（2）的計(jì)算結(jié)果較精確。4計(jì)算正方形面積時(shí)，若要求面積的允許相對(duì)誤差為1%，測(cè)量邊長(zhǎng)所允許的相對(duì)誤差限為多少？解：設(shè)該正方形的邊長(zhǎng)為，面積為，由解得=0.5%5下面計(jì)算的公式哪個(gè)算得準(zhǔn)確些？為什么？（1）已知，（A），（B）；（2）已知，（A），（B）；（3）已知，（A），（B）；（4）（A），（B）解：當(dāng)兩個(gè)同（異）號(hào)相近數(shù)相減（加）時(shí)，相對(duì)誤差可能很大，會(huì)嚴(yán)重喪失有效數(shù)字；當(dāng)兩個(gè)數(shù)相乘（除）時(shí)，大因子（小除數(shù)）可能使積（商）的絕對(duì)值誤差增大許多

3、。故在設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)盡量避免上述情況發(fā)生。（1）（A）中兩個(gè)相近數(shù)相減，而（B）中避免了這種情況。故（B）算得準(zhǔn)確些。（2）（B）中兩個(gè)相近數(shù)相減，而（A）中避免了這種情況。故（A）算得準(zhǔn)確些。（3）（A）中使得誤差增大，而（B）中避免了這種情況發(fā)生。故（B）算得準(zhǔn)確些。（4）（A）中兩個(gè)相近數(shù)相減，而（B）中避免了這種情況。故（B）算得準(zhǔn)確些。6用消元法求解線性代數(shù)方程組假定使用十進(jìn)制三位浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算，問(wèn)結(jié)果是否可靠？ 解：使用十進(jìn)制三位浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算該方程則方程組變?yōu)椋?）-（2）得，即，把的值代入（1）得；把的值代入（2）得解不滿足（2）式，解不滿足（1）式，故在十進(jìn)制三位浮點(diǎn)數(shù)解該方程用消元法

4、計(jì)算結(jié)果不可靠。7計(jì)算函數(shù)和處的函數(shù)值（采用十進(jìn)制三位浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算）。哪個(gè)結(jié)果較正確？解： = =即，而當(dāng)時(shí)的精確值為1.6852，故的算法較正確。8按照公式計(jì)算下面的和值（取十進(jìn)制三位浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算）：（1）；(2)。解：（1）= （2）= 9已知三角形面積，其中。證明：。證明：由自變量的誤差對(duì)函數(shù)值的影響公式：。 得=（當(dāng)時(shí)，），命題得證。習(xí)題二1找出下列方程在附近的含根區(qū)間。（1）；（2）；（3）；（4）；解：（1）設(shè)，則，由的連續(xù)性知在內(nèi)，=0有根。同題（1）的方法可得：（2），（3），（4）的零點(diǎn)附近的含根區(qū)間分別為；2用二分法求方程在內(nèi)的根的近似值并分析誤差。解：令，則有，所以函數(shù)在上嚴(yán)

5、格單調(diào)增且有唯一實(shí)根。本題中求根使得誤差不超過(guò)，則由誤差估計(jì)式，所需迭代次數(shù)滿足，即取便可，因此取。用二分法計(jì)算結(jié)果列表如下：0021-0.15851121.50.4962211.51.250.1862311.251.1250.015051411.1251.0625-0.071851.06251.1251.09375-0.0283561.093751.1251.109375-0.0066471.1093751.1251.11718750.00420881.1093751.11718751.11328125-0.00121691.113281251.11718751.1152343750.001

6、496101.113281251.1152343751.11425781250.001398111.113281251.11425781251.11376953125-0.000538121.113769531251.11425781251.114013671875-0.000199131.1140136718751.11425781251.1141357421875-0.0000297141.11413574218751.11425781251.114196777343750.000055由上表可知原方程的根該問(wèn)題得精確解為，故實(shí)際誤差為3判斷用等價(jià)方程建立的求解的非線性方程在1.5附近的根

7、的簡(jiǎn)單迭代法的收斂性，其中（A）；（B）；（C）解：取1.5附近區(qū)間來(lái)考察。（A），顯然當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而，因此，當(dāng)時(shí)， 。又當(dāng)時(shí)，由迭代法收斂定理，對(duì)任意初值，迭代格式， 收斂。（B），則，所以當(dāng)時(shí)，。又當(dāng)時(shí)，由迭代法收斂定理，對(duì)任意初值，迭代格式，收斂。（C），由于當(dāng)時(shí)，有，所以對(duì)任意初值（原方程的根除外），迭代格式 發(fā)散。4確定的簡(jiǎn)單迭代法的收斂區(qū)間。如果收斂，試估計(jì)使精度達(dá)到時(shí)所需的迭代次數(shù)并進(jìn)行計(jì)算。（A）；（B）；（C）解：（A）方程為，設(shè)，則，故有根區(qū)間為，題中，故迭代公式在含根區(qū)間內(nèi)收斂。（B）方程為，設(shè)，則，故有根區(qū)間為，題中，故迭代公式在含根區(qū)間內(nèi)收斂。（C）方程為，設(shè)，則

8、，故有含根區(qū)間，題中，5對(duì)下點(diǎn)列用埃特金方法加速。解：由埃特金加速公式計(jì)算，結(jié)果列下表：00.5403000.9617812834383110.8775810.9821175178448120.9449620.9898077326036030.9689140.9800750.9861460.989816令初值，分別用牛頓迭代法，雙點(diǎn)弦割法和單點(diǎn)弦割法求解方程的解。解：牛頓迭代法，滿足，由牛頓迭代法的收斂條件知當(dāng)取初值為時(shí)迭代法收斂。牛頓迭代格式為：0113.522.6071428571428632.4542563600782842.4494943716069752.44948974278755

9、62.4494897427831872.44948974278318在第6部迭代后，迭代點(diǎn)得小數(shù)點(diǎn)后14位已無(wú)變化，故可取雙點(diǎn)弦割法雙點(diǎn)弦割法迭代格式為：0113.522.1111111111111132.3861386138613942.4542563600782852.4494273572571262.4494896821414472.4494897427839582.4494897427831892.44948974278318在第8部迭代后，迭代點(diǎn)得小數(shù)點(diǎn)后14位已無(wú)變化。雙點(diǎn)弦割法雙點(diǎn)弦割法迭代格式為：0113.522.1111111111111132.607142857142864

10、2.3861386138613952.4766081871345062.4381833473507272.4542563600782882.4474895545641292.45033071771908102.44913644779691112.44963821399228122.44942735725712132.44951595791130142.44947872716250152.44949437160696162.44948779773504172.44949056010085182.44948939934302192.44948988709816202.449489682141432

11、12.44948976826509222.44948973207557232.44948974728256242.44948974089252252.44948974357764262.44948974244934272.44948974292346282.44948974272423292.44948974280795302.44948974277277312.44948974278755322.44948974278134以后，迭代點(diǎn)得小數(shù)點(diǎn)后11位已無(wú)變化，因收斂速度較慢，故只精確到小數(shù)點(diǎn)后11位7建立利用方程求的Newton迭代格式，并討論算法的收斂性。解：牛頓迭代格式為：令，因?yàn)楫?dāng)時(shí)

12、，故對(duì)于任何滿足，即的初值，上述Newton迭代產(chǎn)生的迭代序列收斂于。8建立利用方程求的Newton迭代格式，并討論算法的收斂性。解：牛頓迭代格式為：令，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，故對(duì)于任何滿足，即的初值，上述Newton迭代產(chǎn)生的迭代序列收斂于。9判斷用Newton迭代求解方程的收斂性。解：由 ，當(dāng)時(shí)，要使Newton迭代法收斂對(duì)于初值，需滿足，顯然這樣得初值是不存在的，故當(dāng)時(shí)，Newton迭代法不收斂。當(dāng)時(shí)，同上的分析方法可得，初值也不存在的，故當(dāng)時(shí)，Newton迭代法也不收斂。所以用Newton迭代求解方程不收斂。10寫(xiě)出求解方程的Newton迭代格式并判斷以下情形的收斂性。（1）；（2）；（3）。解：

13、牛頓迭代格式為：解之得：（1）當(dāng)時(shí)，故迭代序列不收斂；（2）當(dāng)時(shí)，迭代序列收斂，但不收斂于方程的解；（3）當(dāng)時(shí)，從而，迭代序列收斂，且收斂于方程的解。11求分別用下列迭代格式求解方程時(shí)的收斂階。（1）Newton迭代格式；（2）迭代格式。解：顯然，否則沒(méi)意義。易知Newton迭代格式收斂于，又（1）Newton迭代格式的收斂階為（2）迭代格式迭代格式的收斂階為12當(dāng)初值取為下列各值時(shí)，用下山Newton迭代求解方程組是否收斂？若收斂，收斂于哪一個(gè)根？（1）（2）解：由下山Newton迭代格式習(xí)題三11分別用高斯消元法和列選主元法解方程組（精確到小數(shù)點(diǎn)后四位）：解：高斯消元法：=高斯列選主元消元

14、法 2分別用高斯消元法和列選主元法解方程組解：高斯消元法=列選主元法3.方程組 Ax=b 經(jīng)過(guò)一次Gauss消元后,系數(shù)矩陣A=, 變?yōu)?其中=為(n-1)(n-1)矩陣.其元素為=-/, 2,3,n.證明下面結(jié)論:（1）當(dāng)A對(duì)稱正定時(shí), 也對(duì)稱正定;（2）當(dāng)A對(duì)角占優(yōu)時(shí), 也對(duì)角占優(yōu).證明:（1）因?yàn)锳對(duì)稱,所以 ;=-/=故對(duì)稱; A正定, ，又 = 其中: 顯然, 非奇異;對(duì)任何x , 有: A正定, ， 正定;又: = 而 故正定;(1) 當(dāng)A對(duì)角占優(yōu)時(shí), 故 對(duì)角占優(yōu)4.證明 (1)兩個(gè)單位上(下)三角形矩陣的乘積仍為單位上(下) 三角形矩陣;(2)兩個(gè)上(下)三角形矩陣的乘積仍為上

15、(下) 三角形矩陣.證明: (1) 不妨考慮證單位下三角矩陣,單位上三角矩陣證明方法相同設(shè) AB=C 其中:當(dāng)i 112 0 1 -223 -2 -12 3所以 13給出數(shù)表12324123試求Hermite 多項(xiàng)式插值解：12 224 1 3 424 5 831214.利用差分性質(zhì)證明： 15設(shè)對(duì)每一個(gè)整數(shù)j, 有計(jì)算,并對(duì)該函數(shù)做一個(gè)差分表解：12-34-56-7所以 16 設(shè)函數(shù)取等距樣條節(jié)點(diǎn)。（1）計(jì)算函數(shù)在這些節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，并作解：取 ， + - - 17給定插值條件數(shù)據(jù)01230000和端點(diǎn)條件(1)，（2）試分別求滿足上述條件的三次樣條插值的分段表達(dá)式解：(1)易知：hi=1

16、=1/2 =1/2 i=0,1,2,3.由基本方程組： 和 即有： 解出： 當(dāng)時(shí)： 當(dāng)時(shí)： =當(dāng)時(shí)：（2）因?yàn)?j=0,1,2,3 解出： 由知：18證明函數(shù)，對(duì)任何含0為節(jié)點(diǎn)的分劃都是三次樣條函數(shù)19證明式(4.4.32)線性無(wú)關(guān)習(xí)題五1求最小二乘擬合直線擬合如下數(shù)據(jù)。(a)-2-101212334解：由，。其中，。計(jì)算可得，。，該組數(shù)據(jù)的最小二乘擬合直線為：(b)-4-20241.22.86.27.813.2解：解法同上題。用計(jì)算得，。，該組數(shù)據(jù)的最小二乘擬合直線為：（c）0.00.250.500.751.001.00001.28401.64872.11702.7183解：解法同上題。用計(jì)

17、算得，。，該組數(shù)據(jù)的最小二乘擬合直線為：2求最小二乘擬合一次、二次和三次多項(xiàng)式，擬合如下數(shù)據(jù)并畫(huà)出數(shù)據(jù)點(diǎn)以及擬合函數(shù)的圖形。(a)1.01.11.31.51.92.11.841.962.212.452.943.18解：（1）一次最小二乘擬合多項(xiàng)式，做法如題一，=1.2196，該一次最小二乘擬合多項(xiàng)式為：（2）二次最小二乘擬合多項(xiàng)式，設(shè)二次最小二乘擬合多項(xiàng)式為：，由教材分析知，系數(shù)滿足如下正規(guī)方程組：，把表中的數(shù)值代入得：，解得該二次最小二乘擬合多項(xiàng)式為：（3）三次最小二乘擬合多項(xiàng)式，設(shè)三次最小二乘擬合多項(xiàng)式為：，由教材分析知，系數(shù)滿足如下正規(guī)方程組：，把表中的數(shù)值代入得：，解得：該三次最小二乘

18、擬合多項(xiàng)式為：(b)4.04.24.54.75.15.55.96.36.87.1102.56113.18130.11142.05167.53195.14224.87256.73299.50326.72解：（1）一次最小二乘擬合，做法如題一，該一次最小二乘擬合多項(xiàng)式為：（2）二次最小二乘擬合多項(xiàng)式，設(shè)二次最小二乘擬合多項(xiàng)式為：，由教材分析知，系數(shù)滿足如下正規(guī)方程組：，把表中的數(shù)值代入得：，解得該二次最小二乘擬合多項(xiàng)式為：（3）三次最小二乘擬合多項(xiàng)式，設(shè)三次最小二乘擬合多項(xiàng)式為：，由教材分析知，系數(shù)滿足如下正規(guī)方程組：，把表中的數(shù)值代入得：，解得：該三次最小二乘擬合多項(xiàng)式為：3證明正弦函數(shù)組：在點(diǎn)

19、集上線性無(wú)關(guān)。證明：假設(shè)存在使得，成立。由取值于，當(dāng)時(shí)，上述等式顯然成立。當(dāng)時(shí)，由方程組：要判斷函數(shù)組在點(diǎn)集上線性無(wú)關(guān)或線性，由線性代數(shù)知識(shí)，只需判斷上面導(dǎo)出的線性方程組的系數(shù)矩陣的行列式是否為零即可。系數(shù)行列式為：=（數(shù)學(xué)歸納法）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，假設(shè)當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，分兩種情況：（1）考察行列式的第行和第行元素的關(guān)系易知，.，所以我們可以把第行上元素與第行對(duì)應(yīng)元素相加則行列式轉(zhuǎn)化為再將第行對(duì)應(yīng)元素與第行上元素的一半對(duì)應(yīng)相減則行列式轉(zhuǎn)化為最后把第列與第列交換則可把行列式轉(zhuǎn)化為如下的塊對(duì)角行列式，由歸納假設(shè)，所以（2）當(dāng)時(shí)的處理方法類似，這里從略。所以對(duì)于任意的，成立。由我們知道前面的線性方程組有唯一的

20、零解，即僅當(dāng)時(shí)，成立，所以得證。4求解例5.1.1。解：該問(wèn)題得數(shù)據(jù)表格為：5810815022888225365687由數(shù)據(jù)做草圖觀察可設(shè)：令，于是方程轉(zhuǎn)化為一次最小二乘擬合求：，數(shù)據(jù)表格轉(zhuǎn)化為：4.06044.68215.01065.42934.47735.41615.89996.5323， 一次最小二乘擬合多項(xiàng)式為：轉(zhuǎn)化為原方程得未知數(shù)得方程：，此即為所求得擬合曲線。5求形如的函數(shù)擬合如下數(shù)據(jù)：-3.0-1.50.01.53.0-0.1385-2.15870.83302.2774-0.5110解：，問(wèn)題變?yōu)榍螅沟孟鄳?yīng)得正規(guī)方程組為：由于，正規(guī)方程組為：，其解為：，。因此，所求的擬合函數(shù)

21、為：6求擬合函數(shù)，擬合如下數(shù)據(jù)：01234200400650850950解： 令，則數(shù)據(jù)表格轉(zhuǎn)化為：012341.38630.4055-0.6190-1.7346-2.9444問(wèn)題變?yōu)榍笤摻M數(shù)據(jù)的一次最小二乘擬合：計(jì)算，故一次最小二乘擬合多項(xiàng)式為：轉(zhuǎn)化為原未知數(shù)：，所求擬合函數(shù)為：7設(shè)為內(nèi)積空間中的內(nèi)積，證明為中的范數(shù)。證明：要證為范數(shù)即需要證明下列范數(shù)公理：（1）齊次性：；（2）三角不等式：；（3）正定性：；，這里應(yīng)用了不等式。由得定義易見(jiàn)，得證。8證明性質(zhì)5.2.3證明：必要性：設(shè)于線性無(wú)關(guān)，采用反證法。若行列式，于是，齊次方程組有非零解，即存在不全為零解使得記，于是有從而有，故即存在不全

22、為零的數(shù)，使當(dāng)說(shuō)明于線性相關(guān)，與假設(shè)矛盾，故。充分性：設(shè)，求證于線性無(wú)關(guān)。反證法：若于線性相關(guān)，于是，存在不全為零數(shù)，使，對(duì)上式兩邊與做內(nèi)積得到由于不全為零，說(shuō)明齊次方程組有非零解，故系數(shù)矩陣的行列式為零，即，與假設(shè)矛盾。9證明拉蓋爾多項(xiàng)式的正交性。證明：10求函數(shù)在上的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式。解：取通常基函數(shù)求解。由教材對(duì)函數(shù)的最優(yōu)平方逼近的分析得，正規(guī)方程組為：即：解之得：，所以該函數(shù)得一次最佳平方逼近多項(xiàng)式為：11求函數(shù)在區(qū)間上的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式。（1），；解：做法同10題，正規(guī)方程組為即：，解之得：,所以該函數(shù)得一次最佳平方逼近多項(xiàng)式為：（2），。解：正規(guī)方程組為即：解之得：，所

23、以該函數(shù)得一次最佳平方逼近多項(xiàng)式為：12利用正交多項(xiàng)式基函數(shù)求解11題中各小題。解：（a）作變量代換 ，則區(qū)間變?yōu)椋?。由于在區(qū)間上的正交多項(xiàng)式式勒讓德多項(xiàng)式，故取基函數(shù)，。由；所以，故擬合函數(shù)為 （b）作變量代換，則區(qū)間變?yōu)?，由于在區(qū)間上的正交多項(xiàng)式式勒讓德多項(xiàng)式，故取基函數(shù)，。由； ； ；所以，故擬合函數(shù)為13利用正交多項(xiàng)式基函數(shù)求解例5.2.2。解：作變量代換，則區(qū)間變?yōu)椋捎谠趨^(qū)間上的正交多項(xiàng)式式勒讓德多項(xiàng)式，故取基函數(shù)，；由；所以，故擬合函數(shù)為：14利用三項(xiàng)遞推公式求在區(qū)間上帶權(quán)正交的一次、二次和三次多項(xiàng)式。解：帶權(quán)正交的一次多項(xiàng)式取，由于，帶權(quán)正交的二次多項(xiàng)式， 帶權(quán)正交的三次多項(xiàng)式

24、， 所以，在區(qū)間上帶權(quán)正交的一次、二次和三次多項(xiàng)式分別為：15求在區(qū)間上帶權(quán)正交的一次和二次多項(xiàng)式，并利用它們求在上的二次最佳平方逼近多項(xiàng)式。解：由正交多項(xiàng)式的定義求解取，由于要求解得，故所求的正交的一次多項(xiàng)式為由三遞推公式：， 故所求的正交的一次多項(xiàng)式為設(shè)在上的二次最佳平方逼近多項(xiàng)式為： ， ，所以16證明，定義了函數(shù)空間中的一種范數(shù)。證明：由范數(shù)的定義直接證明（1）；（2）；（3），；證畢。17求函數(shù)在區(qū)間上的最優(yōu)一致逼近一次多項(xiàng)式。解：設(shè)所求的最優(yōu)一致逼近一次多項(xiàng)式為：由在內(nèi)不變號(hào)，故單調(diào),在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，記為，則根據(jù)最優(yōu)一致逼近的幾何意義，過(guò)的中點(diǎn)，做平行于過(guò)和的直線即為所求。 ，所

25、求直線為：18求函數(shù)在區(qū)間上的最優(yōu)一致逼近一次多項(xiàng)式。解：理論分析同17題。，所求直線為：19求下列函數(shù)在區(qū)間上的二次和三次切比雪夫插值逼近多項(xiàng)式。(a)；(b)；解：（a）（i）切比雪夫插值逼近多項(xiàng)式的二次插值節(jié)點(diǎn)為，其中，為的零點(diǎn)。計(jì)算得 進(jìn)行插值，表如下：0120.866030-0.86632.3780910.42050造插商表：0.866032.37809011.59127-0.866030.420500.669150.53238可得牛頓型插值多項(xiàng)式，即相應(yīng)的切比雪夫多項(xiàng)式為：（ii）切比雪夫插值逼近多項(xiàng)式的三次插值節(jié)點(diǎn)為，其中，為的零點(diǎn)。計(jì)算得 ，進(jìn)行插值，表如下：01230.923

26、880.38268-0.38268-0.923882.519041.466210.682030.39698造插商表：0.923882.519040.382681.466211.94536-0.382680.682031.024590.70477-0.923880.396980.526700.381070.17518可得牛頓型插值多項(xiàng)式，即相應(yīng)的切比雪夫多項(xiàng)式為： （b）（i）切比雪夫插值逼近多項(xiàng)式的二次插值節(jié)點(diǎn)為，其中，為的零點(diǎn)。計(jì)算得 進(jìn)行插值，表如下：0120.866030-0.86630.761760-0.76176造插商表：0.866030.76176000.87960-0.86603

27、-0.761760.879600可得牛頓型插值多項(xiàng)式，即相應(yīng)的切比雪夫多項(xiàng)式為：（ii）切比雪夫插值逼近多項(xiàng)式的三次插值節(jié)點(diǎn)為，其中，為的零點(diǎn)。計(jì)算得 ，進(jìn)行插值，表如下：01230.923880.38268-0.38268-0.923880.797950.37341-0.373410.79795造插商表：0.923880.797950.382680.373410.78444-0.38268-0.373410.97578-0.14644-0.92388-0.797950.784440.14644-0.15851可得牛頓型插值多項(xiàng)式，即相應(yīng)的切比雪夫多項(xiàng)式為： 20求下列函數(shù)在區(qū)間上的二次切比雪

28、夫插值逼近多項(xiàng)式。（a）;（b）.解：令則當(dāng)時(shí)，。（a），為內(nèi)函數(shù)，故可用切比雪夫插值多項(xiàng)式逼近。切比雪夫插值逼近多項(xiàng)式的二次插值節(jié)點(diǎn)為，其中，為的零點(diǎn)。計(jì)算得 。進(jìn)行插值，表如下：0120.866030-0.86630.348910.50.88186造插商表：0.866030.3489100.5-0.17446-0.866030.88186- 0.440930.15385可得牛頓型插值多項(xiàng)式，即相應(yīng)的切比雪夫多項(xiàng)式為：（b） 為內(nèi)函數(shù)，故可用切比雪夫插值多項(xiàng)式逼近。切比雪夫插值逼近多項(xiàng)式的二次插值節(jié)點(diǎn)為，其中，為的零點(diǎn)。計(jì)算得 。進(jìn)行插值，表如下：0120.866030-0.86633.01

29、7721.386290.14257造插商表：0.866033.0177201.386291.88380-0.866030.142571.436120.25847可得牛頓型插值多項(xiàng)式，即相應(yīng)的切比雪夫多項(xiàng)式為：21利用切比雪夫級(jí)數(shù)截?cái)?，求在區(qū)間上的次逼近多項(xiàng)式。解：按照切比雪夫級(jí)數(shù)系數(shù)的計(jì)算公式得所以在區(qū)間上的 次逼近多項(xiàng)式依次為 22利用縮短冪基數(shù)方法，將函數(shù)的泰勒展開(kāi)逼近多項(xiàng)式降冪，使得其與函數(shù)的誤差不超過(guò)0.005。解：令用作為得近似，誤差為記為縮短冪級(jí)數(shù)所得到得5次多項(xiàng)式，同理有，縮短冪級(jí)數(shù)得到與的誤差為：由于，則得用作為的逼近多項(xiàng)式其誤差為若再用代入可以求得用其作為的逼近多項(xiàng)式的誤差為

30、不合題意。故所求得逼近多項(xiàng)式為23求函數(shù)在區(qū)間上的逼近，其中。并將結(jié)果與四階泰勒多項(xiàng)式相比較。解：設(shè)所求的有理分式為，的麥克勞林級(jí)數(shù)為，令中的系數(shù)分別為零，其中。有：，：，：，：，：，： 。求解得，故得有理分式逼近24求函數(shù)在區(qū)間上的切比雪夫有理分式逼近并和習(xí)題3中的結(jié)果相比較。解：由于是奇函數(shù)，故在切比雪夫級(jí)數(shù)展開(kāi)中有，即其中， 設(shè)可得故得，解之得，因此逼近函數(shù)為所以，函數(shù)在區(qū)間上的逼近比切比雪夫有理分式逼近效果要好.第六章1已知函數(shù)在點(diǎn)x=1.0，1.1，1.2處的函數(shù)值（見(jiàn)下表），試用兩點(diǎn)和三 微分公式求在點(diǎn)x=1.1處的導(dǎo)數(shù)值，并估計(jì)誤差。1.01.11.20.2500000.2267

31、570.206612解：由二點(diǎn)數(shù)值微分公式可得：，其誤差為：0.016，其誤差為：0.015由三點(diǎn)數(shù)值微分公式可得：，其誤差為：0.000982已知定積分的近似值：，其中近似公有截?cái)嗾`差漸近展開(kāi)式試列表外推計(jì)算解：由截?cái)嗾`差漸近展開(kāi)式可構(gòu)造外推公式：1.5707961.8961192.004561.9742321.9221571.916661.9935701.9806781.984581.985183分析二階數(shù)值微分公式的整體誤差并依此確定最佳步長(zhǎng)h解：不超過(guò)，其中，最佳步長(zhǎng)4計(jì)算弦長(zhǎng)，其中（1）（2）（3）解： 利用Newto-Cotes求積公式其中：，（1）弦長(zhǎng)為：（2）弦長(zhǎng)為：，（3）弦

32、長(zhǎng)為：5計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積，其中同習(xí)題4解：利用Newto-Cotes求積公式其中：，（1）旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為：（2）旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為：（3）旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為：6分別用定步長(zhǎng)和變步長(zhǎng)梯形求積公式計(jì)算積分，使誤差不超過(guò)（提示：利用關(guān)系估計(jì)導(dǎo)函數(shù)的界）解：（1）利用復(fù)化梯形求積公式計(jì)算，由誤差公式知：，因此，當(dāng)步長(zhǎng)滿足，也即區(qū)間個(gè)數(shù)，則由數(shù)值積分公式得：（2）利用變步長(zhǎng)的梯形公式計(jì)算，誤差估計(jì)：誤差估計(jì)：誤差估計(jì)：，故7分別用定步長(zhǎng)和變步長(zhǎng)辛浦生求積公式計(jì)算積分使誤差不超過(guò)解：（1）利用復(fù)化辛浦生求積公式計(jì)算，由誤差公式知，因此，當(dāng)步長(zhǎng)滿足，也即，取，則由公式可得：（2）利用變步長(zhǎng)辛浦生求積公式計(jì)算

33、，誤差估計(jì)為：，誤差估計(jì)為：，8證明梯形求積公式的代數(shù)精度為1，辛浦生求積公式的代數(shù)精度為3證明：（1）梯形求積公式，將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左右；從而梯形公式代數(shù)精度為1。（2）辛浦生求積公式，將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左右；從而梯形公式代數(shù)精度為3。9求求積公式的代數(shù)精度并估計(jì)求積公式的截?cái)嗾`差。解：將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左右故其

34、代數(shù)精度為5；由廣義皮亞諾定理，當(dāng)時(shí)，它的截?cái)嗾`差為：其分別取得：10試分別確定用復(fù)化梯形、辛浦生和中矩形求積公式計(jì)算積分所需的步長(zhǎng)h，使得精度達(dá)到。解：（1）復(fù)化梯形公式故（2）復(fù)化辛浦生公式故（3）復(fù)化中矩形求積公式故11用龍貝格求積公式計(jì)算7題和10題中的積分。解：（1）第7題由公式得下表：0.9207350.9397930.9461460.9432910.9444570.9443450.9445140.9449210.9449520.944961解為0.944961（2）第10題由公式得下表：0.416670.4083330.4055560.4067460.4062170.4062610.4061870.4060.4059860.405982解為0.40598212用龍貝格求積公式計(jì)算積分。解：由公式得下表：0.118320.1115630.109310.