初中數(shù)學(xué)論文：運(yùn)動變化中的折疊問題

1、 運(yùn)動變化中的折疊問題 由于動點的運(yùn)動，導(dǎo)致動直線的位移，使圖形在折疊中的重疊部分的面積也發(fā)生變化，在這一變化過程中需要對不同情況加以分類討論。解決這類折疊中的重疊部分面積問題的試題，關(guān)鍵是找出折痕及全等圖形，抓住運(yùn)動中的不變量，然后利用全等圖形和相似圖形的性質(zhì)及相關(guān)的知識進(jìn)行分類求解，問題就會迎刃而解。下面舉例說明如下：例1、(2007年廣西南寧市中考題)如圖，在銳角中，于點，且，點為邊上的任意一點，過點作，交于點設(shè)的高為，以為折線將翻折，所得的與梯形重疊部分的面積記為（點關(guān)于的對稱點落在所在的直線上）（1）分別求出當(dāng)與時，與的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)取何值時，的值最大？最大值是多少？解：（1）

2、當(dāng)時，由折疊得到的落在內(nèi)部如圖（1），重疊部分為 ，即 又 圖（1）圖（2） 當(dāng)時，由折疊得到的有一部分落在外，如圖（2），重疊部分為梯形 , 又, （2）當(dāng)時，的最大值：； 當(dāng)時，由 可知：當(dāng)時，的最大值：，當(dāng)時，有最大值：【評析】這一道以折疊為背景的綜合性壓軸題，利用圖形的折疊建立數(shù)學(xué)模型來求解問題。在本題的解答中側(cè)重對相似三角形的面積比和相似比之間的關(guān)系及利用二次函數(shù)求最值等知識的考查，該試題一定程度上考查了分類討論和數(shù)形結(jié)合等 例2、（2008年山東省東營市中考題）（）在abc中，a90，ab4，ac3，m是ab上的動點（不與a，b重合），過m點作mnbc交ac于點n以mn為直徑作o，

3、并在o內(nèi)作內(nèi)接矩形ampn令amx（1）用含x的代數(shù)式表示np的面積s；（2）當(dāng)x為何值時，o與直線bc相切？（3）在動點m的運(yùn)動過程中，記np與梯形bcnm重合的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？abcmnp圖 1o解：（1）mnbc，amn=b，anmc amn abc ，即 anx =（04） （2）如圖2，設(shè)直線bc與o相切于點d，連結(jié)ao，od，則ao =od =mnabcmnd圖 2oq在rtabc中，bc =5 由（1）知 amn abc ，即 ， 過m點作mqbc 于q，則 在rtbmq與rtbca中，b是公共角， bmqbca ，

4、x 當(dāng)x時，o與直線bc相切 （3）隨點m的運(yùn)動，當(dāng)p點落在直線bc上時，連結(jié)ap，則o點為ap的中點 mnbc， amn=b，aomapcabcmnp圖 3o amo abp ammb2 故以下分兩種情況討論： abcmnp圖 4oef 當(dāng)02時， 當(dāng)2時， 當(dāng)24時，設(shè)pm，pn分別交bc于e，f 四邊形ampn是矩形， pnam，pnamx 又 mnbc， 四邊形mbfn是平行四邊形 fnbm4x 又pef acb 當(dāng)24時， 當(dāng)時，滿足24， 綜上所述，當(dāng)時，值最大，最大值是2【評析】本題以三角形與圓相結(jié)合為背景的綜合性壓軸題，考查的知識點較多，圓的知識與相似三角形的性質(zhì)的有機(jī)綜合運(yùn)用

5、，環(huán)環(huán)相扣，步步為營，循序漸進(jìn)，區(qū)分度強(qiáng)。第（3）小題要運(yùn)用分類討論思想來解決問題，解題中關(guān)鍵是抓住在點的運(yùn)動過程中不變的量，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方得出等量關(guān)系，從而構(gòu)建一個二次函數(shù)使問題得以解決。例3、（2008年浙江省臺州市中考題）如圖，在矩形abcd中，點p是邊bc上的動點（點p不與點b,c重合），過點p作直線pqbd，交cd邊于q點，再把pqc沿著動直線pq對折，點c的對應(yīng)點是r點，設(shè)cp的長度為x，pqr與矩形abcd重疊部的面積為y（1）求cqp的度數(shù)； （2）當(dāng)x取何值時，點r落在矩形abcd的ab邊上？（3）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)x取何值時，重疊部分的面

6、積等于矩形面積的？解：（1）如圖，四邊形是矩形，dqcbpra又，dqcbpra（圖1），（2）如圖1，由軸對稱的性質(zhì)可知，由（1）知，dqcbpra（圖2）fe，在中，根據(jù)題意得：，解這個方程得：（3）當(dāng)點在矩形的內(nèi)部或邊上時，當(dāng)時，當(dāng)在矩形的外部時（如圖2），在中，又，在中，當(dāng)時，綜上所述，與之間的函數(shù)解析式是：矩形面積，當(dāng)時，函數(shù)隨自變量的增大而增大，所以的最大值是，而矩形面積的的值，而，所以，當(dāng)時，的值不可能是矩形面積的；當(dāng)時，根據(jù)題意，得：，解這個方程，得，因為，所以不合題意，舍去所以綜上所述，當(dāng)時，與矩形重疊部分的面積等于矩形面積的【評析】這一道以折疊為背景的綜合性壓軸題，綜合性較強(qiáng)。解決折疊問題的試題，關(guān)鍵是找出折痕及全等圖形，然后利用全等圖形的性質(zhì)及相關(guān)的知識，問題就會迎刃而解。本題中的第（1）（2）小題只需要根據(jù)折疊的基本性質(zhì)結(jié)合相似三角形的知