中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)5：探索性問題

1、中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)5：探索性問題、綜合問題精講：探索性問題是指命題中缺少一定的條件或無明確的結(jié)論，需要經(jīng)過推斷，補充并加以證明的題型探索性問題一般有三種類型：（1）條件探索型問題；（2）結(jié)論探索型問題；（3）探索存在型問題條件探索型問題是指所給問題中結(jié)論明確，需要完備條件的題目；結(jié)論探索型問題是指題目中結(jié)論不確定，不唯一，或題目結(jié)論需要類比，引申推廣，或題目給出特例，要通過歸納總結(jié)出一般結(jié)論；探索存在型問題是指在一定的前提下，需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)關(guān)系是否存在的題目 探索型問題具有較強的綜合性，因而解決此類問題用到了所學(xué)過的整個初中數(shù)學(xué)知識經(jīng)常用到的知識是：一元一次方程、平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)與二

2、次函數(shù)解析式的求法（圖象及其性質(zhì)）、直角三角形的性質(zhì)、四邊形（特殊）的性質(zhì)、相似三角形、解直角三角形等其中用幾何圖形的某些特殊性質(zhì)：勾股定理、相似三角形對應(yīng)線段成比例等來構(gòu)造方程是解決問題的主要手段和途徑因此復(fù)習(xí)中既要重視基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)，又要加強變式訓(xùn)練和數(shù)學(xué)思想方法的研究，切實提高分析問題、解決問題的能力、典型例題剖析【例1】（2005，臨沂）如圖261，已知拋物線的頂點為a(o，1)，矩形cdef的頂點c、f在拋物線上，d、e在軸上，cf交y軸于點b(0，2)，且其面積為8(1)求此拋物線的解析式；(2)如圖262，若p點為拋物線上不同于a的一點，連結(jié)pb并延長交拋物線于點q，過點p、q分

3、別作軸的垂線，垂足分別為s、r求證：pbps；判斷sbr的形狀；試探索在線段sr上是否存在點m，使得以點p、s、m為頂點的三角形和以點q、r、m為頂點的三角形相似，若存在，請找出m點的位置；若不存在，請說明理由解：方法一：b點坐標(biāo)為(0，2)，ob2，矩形cdef面積為8，cf=4.c點坐標(biāo)為(一2，2)f點坐標(biāo)為(2，2)。設(shè)拋物線的解析式為其過三點a(0，1)，c(-22)，f(2，2)。得 解得此拋物線的解析式為 方法二：b點坐標(biāo)為(0，2)，ob2，矩形cdef面積為8， cf=4.c點坐標(biāo)為(一2，2)。 根據(jù)題意可設(shè)拋物線解析式為。其過點a(0，1)和c(-22) 解得此拋物線解析

4、式為(2)解：過點b作bn，垂足為np點在拋物線y=+l上可設(shè)p點坐標(biāo)為ps，obns2，bn。pn=psns= 在rtpnb中pb2pbps 根據(jù)同理可知bqqr。，又 ，同理sbpb . sbr為直角三角形 方法一：設(shè)，由知pspbb，。假設(shè)存在點m且ms，別mr 。若使psmmrq，則有。即。 sr2m為sr的中點. 若使psmqrm，則有。m點即為原點o。綜上所述，當(dāng)點m為sr的中點時psmmrq；當(dāng)點m為原點時，psmmrq 方法二：若以p、s、m為頂點的三角形與以q、m、r為頂點三角形相似，有psmmrq和psmqrm兩種情況。 當(dāng)psmmrq時spmrmq，smprqm 由直角三

5、角形兩銳角互余性質(zhì)知pms+qmr90。 取pq中點為n連結(jié)mn則mnpq= mn為直角梯形srqp的中位線,點m為sr的中點 當(dāng)psmqrm時，。又，即m點與o點重合。點m為原點o。綜上所述，當(dāng)點m為sr的中點時，psmmrq；當(dāng)點m為原點時，psmqrm。 點撥：通過對圖形的觀察可以看出c、f是一對關(guān)于y軸的對稱點，所以（1）的關(guān)鍵是求出其中一個點的坐標(biāo)就可以應(yīng)用三點式或 y=ax2+c型即可而對于點 p既然在拋物線上，所以就可以得到它的坐標(biāo)為（a，a2+1）這樣再過點b作bnps得出的幾何圖形求出pb 、ps的大小最后一問的關(guān)鍵是要找出psm與mrq相似的條件【例2】探究規(guī)律：如圖264

6、所示，已知：直線mn，a、b為直線n上兩點，c、p為直線m上兩點 （1）請寫出圖264中，面積相等的各對三角形； （2）如果a、b、c為三個定點，點p在m上移動，那么，無論p點移動到任何位置，總有_與abc的面積相等理由是：_. 解決問題：如圖 265所示，五邊形 abcde是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經(jīng)過多年開墾荒地，現(xiàn)已變成如圖266所示的形狀，但承包土地與開墾荒地的分界小路（266中折線cde）還保留著；張大爺想過e點修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多，右邊的土地面積與開墾的荒地面積一樣多請你用有關(guān)的幾何知識，按張大爺?shù)囊笤O(shè)計出修路方案（不計分界

7、小路與直路的占地面積） （1）寫出設(shè)計方案并畫出相應(yīng)的圖形； （2）說明方案設(shè)計理由解：探究規(guī)律：（l）abc和abp，aoc和 bop、cpa和cpb （2）abp；因為平行線間的距離相等，所以無論點p在m上移動到任何位置，總有abp與abc同底等高，因此，它們的面積總相等 解決問題：畫法如圖267所示 連接ec，過點d作dfec，交cm于點f，連接ef，ef即為所求直路位置 設(shè)ef交cd于點h，由上面得到的結(jié)論可知： secf=secd，shcf=sedh，所以s五邊形abcde=s五邊形abcfe，s五邊形edcmn=s四邊形efmn 點撥：本題是探索規(guī)律題，因此在做題時要從前邊問題中總

8、結(jié)出規(guī)律，后邊的問題要用前邊的結(jié)論去一做，所以要連接ec，過d作dfec，再運用同底等高的三角形的面積相等【例3】（2005，成都模擬，12分）如圖268所示，已知拋物線的頂點為m（2，4），且過點a(1,5)，連結(jié)am交x軸于點b求這條拋物線的解析式；求點 b的坐標(biāo)；設(shè)點p（x，y）是拋物線在x軸下方、頂點 m左方一段上的動點，連結(jié) po，以p為頂點、pq為腰的等腰三角形的另一頂點q在x軸上，過q作x軸的垂線交直線am于點r，連結(jié)pr設(shè)面 pqr的面積為s求s與x之間的函數(shù)解析式；在上述動點p（x，y）中，是否存在使spqr=2的點？若存在，求點p的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解：（1）因為拋物

9、線的頂點為m（2，4）所以可設(shè)拋物線的解析式為y=（x2）2 4因為這條拋物線過點a（1，5）所以5=a(12)24解得a=1所以所求拋物線的解析式為y=（x2）2 4 （2）設(shè)直線am的解析式為y=kx+ b因為a（1，5）, m（2，4）所以，解得 k=3，b=2所以直線am的解析式為 y=3x2當(dāng)y=0時，得x= ，即am與x軸的交點b（,0）（3）顯然，拋物線y=x24x過原點(0，0當(dāng)動點p（x，y）使poq是以p為頂點、po為腰且另一頂點q在x軸上的等腰三角形時，由對稱性有點 q（2x，0）因為動點p在x軸下方、頂點m左方，所以0x2因為當(dāng)點q與b（，0）重合時，pqr不存在，所以

10、x，所以動點p（x，y）應(yīng)滿足條件為0x2且x，因為qr與x軸垂直且與直線am交于點r，所以r點的坐標(biāo)為（2x，6x+2） 如圖269所示，作p hor于h，則ph= 而s=pqr的面積=qrp h= 下面分兩種情形討論：當(dāng)點q在點b左方時，即0x時，當(dāng)r在 x軸上方，所以6x20所以s=（6x2）x=3x2+x；當(dāng)點q在點b右方時，即x2時點r在x軸下方，所以6x20所以s=（6x2）x=3x2x； 即s與x之間的函數(shù)解析式可表示為（4）當(dāng)s=2時，應(yīng)有3x2+x =2，即3x2 x+ 2=0，顯然0，此方程無解或有3x2x =2，即3x2 x2=0，解得x1 =1，x2當(dāng)x=l時，y= x

11、24x=3，即拋物線上的點p（1，3）可使spqr=2；當(dāng)x=0時，不符合條件，應(yīng)舍去所以存在動點p，使spqr=2，此時p點坐標(biāo)為(1,3)點撥：此題是一道綜合性較強的探究性問題，對于第（1）問我們可以采用頂點式求得此拋物線，而（2）中的點b是直線 am與x軸的交點，所以只要利用待定系數(shù)法就可以求出直線am，從而得出與x軸的交點b(3)問中注意的是q點所處位置的不同得出的s與x之間的關(guān)系也隨之發(fā)生變化（4）可以先假設(shè)存在從而得出結(jié)論、綜合鞏固練習(xí)：（100分 90分鐘） 1 觀察圖2610中）至中小黑點的擺放規(guī)律，并按照這樣的規(guī)律繼續(xù)擺放記第n個圖中小黑點的個數(shù)為y解答下列問題： 填下表：

12、當(dāng)n=8時，y=_； 根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，把n作為橫坐標(biāo)，把y作為縱坐標(biāo)，在圖2611的平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的各點（n，y），其中1n5； 請你猜一猜上述各點會在某一函數(shù)的圖象上嗎？如果在某一函數(shù)的圖象上，請寫出該函數(shù)的解析式2（5分）圖2612是某同學(xué)在沙灘上用石子擺成的小房子觀察圖形的變化規(guī)律，寫出第n個小房子用了_塊石子 3(10分)已知rtabc中，ac=5，bc=12，acb =90，p是ab邊上的動點（與點a、b不重合），q是bc邊上的動點（與點b、c不重合） 如圖2613所示，當(dāng)pqa c，且q為bc的中點時，求線段cp的長； 當(dāng)pq與ac不平行時，cpq可能為直角三角形嗎？若

13、有可能，請求出線段cq的長的取值范圍，若不可能，請說明理由4如圖2614所示，在直角坐標(biāo)系中，以a（1，1），b（1，1），c（1，1），d（1，l）為頂點的正方形，設(shè)正方形在直線：y=x及動直線：y=x+2a（la1）上方部分的面積為s（例如當(dāng)a取某個值時，s為圖中陰影部分的面積），試分別求出當(dāng)a=0，a=1時，相應(yīng)的s的值5（10分）如圖2615所示，de是abc的中位線，b90，afb c在射線a f上是否存在點m，使mec與a de相似？若存在，請先確定點m，再證明這兩個三角形相似；若不存在，請說明理由 6如圖2616所示，在正方形abcd中，ab=1，是以點b為圓心ab長為半徑的圓的

14、一段弧點e是邊ad上的任意一點（點e與點a、d不重合），過e作ac所在圓的切線，交邊dc于點f石為切點 當(dāng) def45時，求證點g為線段ef的中點； 設(shè)ae=x， fc=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；并寫出函數(shù)的定義域； 圖2617所示，將def沿直線ef翻折后得 d1ef，當(dāng)ef=時，討論ad1d與ed1f是否相似，如果相似，請加以證明；如果不相似，只要求寫出結(jié)論，不要求寫出理由。（圖2618為備用圖）7（10分）取一張矩形的紙進行折疊，具體操作過程如下： 第一步：先把矩形abcd對折，折痕為mn，如圖 2619（1）所示； 第二步：再把b點疊在折痕線mn上，折痕為ae，點b在mn上的對應(yīng)點b

15、，得 rtabe，如圖2619（2）所示； 第三步：沿eb線折疊得折痕ef，如圖2619所示；利用展開圖 2619（4）所示探究： （l）aef是什么三角形？證明你的結(jié)論 （2）對于任一矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形？請說明理由8（10分）某校研究性學(xué)習(xí)小組在研究有關(guān)二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)的問題時，發(fā)現(xiàn)了兩個重要結(jié)論一是發(fā)現(xiàn)拋物線y=ax2+2x+3(a0)，當(dāng)實數(shù)a變化時，它的頂點都在某條直線上；二是發(fā)現(xiàn)當(dāng)實數(shù)a變化時，若把拋物線y=ax2+2x+3(a0)的頂點的橫坐標(biāo)減少，縱坐標(biāo)增加，得到a點的坐標(biāo)；若把頂點的 橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)增加，得到b點的坐標(biāo)，則a、b兩點一定仍在拋物線y=ax2+2x+3(a0)上 請你協(xié)助探求出實數(shù)a變化時，拋物線y=ax2+2x+3(a0)的頂點所在直線的解析式； 問題中的直線上有一個點不是該拋物線的頂點，你能找出它來嗎？并說明理由； 在他們第二個發(fā)現(xiàn)的啟發(fā)下，運用“一般特殊一般”的思想，你還能發(fā)現(xiàn)什么？你能用數(shù)學(xué)語言將你的猜想表述出來嗎？你的猜想能成立嗎？若能成立，請說明理由。9已知二次函數(shù)的圖象過a（3，0），b（1，0）兩點 當(dāng)這個二