探究：學(xué)生從知識(shí)課堂走向智慧課堂——“二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用”課例及其評(píng)價(jià)

1、探究：學(xué)生從知識(shí)課堂走向智慧課堂“二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用”課例及其評(píng)價(jià)江蘇省邳州市教育局教研室張健文evi指出:學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受,記憶,模仿和練習(xí),高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索,動(dòng)手實(shí)踐,合作交流,閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式.這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性,使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的”再創(chuàng)造”過程.高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí),探究活動(dòng),讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程,發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí).“二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用”是高中數(shù)學(xué)新課程數(shù)學(xué)選修2-3”計(jì)數(shù)原理”中的一節(jié)內(nèi)容.這節(jié)內(nèi)容的難度大,探究性強(qiáng),所滲透的數(shù)學(xué)思想方法較多,如何在教師的引導(dǎo)下,讓學(xué)生通過

2、自主探究,合作交流的學(xué)習(xí)方式”體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程”?我們對(duì)這節(jié)課做了富有成效的嘗試.1課堂教學(xué)簡(jiǎn)錄教師:二項(xiàng)式系數(shù)之間有什么關(guān)系?(學(xué)生沉思,沒有回答)教師:研究數(shù)的變化規(guī)律,一般采用什么方法?學(xué)生2:從特殊到一般的方法.教師:”從特殊到一般”的基本思路是學(xué)生3:觀察特例一找出規(guī)律一歸納猜想一給出證明.學(xué)生4:取,z一1,2,3我發(fā)現(xiàn):前后兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)都是1;與兩端間距相等的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等;當(dāng)i”1為偶數(shù)時(shí),中間一個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)最大;當(dāng)為奇數(shù)時(shí),中間兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)最大.教師:真不錯(cuò)!一下就說出來三條性質(zhì).為了便于觀察,我們可以對(duì)取不同值,得到二項(xiàng)式系數(shù)表(多媒體投影圖1):c?c(口

3、+6).lc:奠ctc:.:a+ba+b2c.c:c3c:+:?:33c:cc:c:c:c:(口+6)15l0105教師:二項(xiàng)式右側(cè)的表是由左側(cè)表計(jì)算得來的.二項(xiàng)式系數(shù)表構(gòu)成了三角形圖案,右側(cè)這個(gè)三角形圖案最早是由我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)的,所以又稱“楊輝三角”,它比西方的”帕斯卡三角”早300多年.教師:能用式子表示這些性質(zhì)嗎?學(xué)生5:c:=c:一1;c:=lc:一;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),以c最大;當(dāng)為奇數(shù)時(shí),以c和c(兩者相等)最大.(有其他學(xué)生補(bǔ)充)教師:還有其他發(fā)現(xiàn)嗎?學(xué)生6:”楊輝三角”從第三行開始,每行的數(shù)都是先增后減.教師:怎么用數(shù)學(xué)符號(hào)表示?學(xué)生7:設(shè)c<cr,于是萬<研研,可

4、推出r<.即當(dāng)r<時(shí),c:<c;同理當(dāng)r>時(shí),cr>c;+1.教師:還有其他性質(zhì)嗎?(學(xué)生沉默)教師:同行的數(shù)”親如兄弟”,異行的數(shù)是否也”藕斷絲連”呀!學(xué)生8:任意一個(gè)數(shù)(除1以外)都等于它”兩肩”上的兩個(gè)數(shù)之和.教師:你能發(fā)現(xiàn)它很不簡(jiǎn)單!請(qǐng)看圖2.這個(gè)性質(zhì)怎么表示?圖2圖3學(xué)生9:任意寫出一項(xiàng)c:,根據(jù)其規(guī)律即可寫出其他兩項(xiàng)(圖3),于是有c:叫+c:一cr+,或c:+cr+一c:j.教師:太精彩了!由于是任意的,實(shí)際這兩個(gè)等式是統(tǒng)一的.教師:這個(gè)性質(zhì)非常重要!它可以使”楊輝三角”連續(xù)不斷地寫下去.你能說出(口+6)各項(xiàng)的二項(xiàng)式c.激系數(shù)嗎?學(xué)生1o:1,7,

5、21,35,35,21,7,1.教師:還有其他發(fā)現(xiàn)嗎7(學(xué)生沉思)教師:剛才我們探索了”楊輝三角”“局部”之間數(shù)的關(guān)系,若從”整體上看呢?比如,把每一行的所有數(shù)賦予運(yùn)算,所得的值是否有規(guī)律性呢?學(xué)生11:我把每一行的數(shù)都相加:第一行為12.;第二行為22;第三行為42;于是第,z行應(yīng)為2.也就是c:+c+c:一2.教師:真不簡(jiǎn)單呀!這個(gè)性質(zhì)是通過歸納猜想得到的,怎么證明它呢?(學(xué)生沉思)教師:這個(gè)式子的”源頭”在哪里呀?學(xué)生:二項(xiàng)式定理.學(xué)生12:我是這樣想的,不知對(duì)不對(duì)!要用二項(xiàng)式定理證明這個(gè)等式,關(guān)鍵是把展開式各項(xiàng)中的字母口,b化為1,于是令口一b_-1,就得證了.教師:大家認(rèn)為她這樣證明

6、是否可以?學(xué)生l3:可以.因?yàn)槎?xiàng)式定理對(duì)任意的n,b都正確,所以當(dāng)口,b都取1時(shí),推出的結(jié)論當(dāng)然也是正確的.教師:是的!若一般情形成立,則特殊情形一定成立.我們把這種代人特殊值來解決問題的方法,稱為賦值法.把二項(xiàng)式定理中的口,b賦予不同的特殊值,還能得到一些結(jié)論!學(xué)生14:令口一1,b一一1,得c+c:+c+一c+c:+c:+.教師:其實(shí)用賦值法還能解決很多有趣的問題,請(qǐng)看下面例題.例1已知(2x+3)一口0+口l+口2z.+口3z.+n4z,求(口0+口2+口4)一(a1+n3)的值.學(xué)生15:先令z一1,可得口o+口1+口2+口3+n:(2+3),再令z一一1,得口0一口1+n2一口3+

7、口4一(32).再將所求的式子分解因式,代人這兩個(gè)值,即可求得其值為1.教師:賦值法在這里起到了化難為易,化繁為簡(jiǎn)的作用.例2證明:1+2c+2c:+2.c:+2c:一3.學(xué)生16:在(1+2x)一1+2z+2.c.+2c:z”中,令z一1即得證.學(xué)生17:直接用二項(xiàng)式定理就可證得.由于3(1+2)把右邊展開即得.教師:思路都很好!用賦值法證明此題的關(guān)鍵是構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)亩?xiàng)式;用二項(xiàng)式定理證明的關(guān)鍵是拆項(xiàng).再看幾個(gè)直接運(yùn)用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)來解決的問題.例3求證:c1一c-1+c1+c.學(xué)生18:由c一c-1+c,c:=i=c+c:m一-i即得證.教師:運(yùn)用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解決問題的關(guān)鍵是能夠靈

8、活的變換這些性質(zhì)公式.例4證明:99一1能被1000整除.學(xué)生19:99一1=(1001)一1一coo100如一ci.100.+c100.一c100,只要能證明c100能被1000整除即可.而c2.一cio一ci.一10,于是問題得證.教師:一般來說,當(dāng)m>蕓時(shí),應(yīng)用:c:一進(jìn)行轉(zhuǎn)化,可以減少計(jì)算量.例5證明:當(dāng),2為偶數(shù)時(shí),c:+c+c:+c:一2.學(xué)生20:由上面學(xué)習(xí)的性質(zhì),我們有驀01:2n-nc:,+.+c:一,將第二個(gè)等lc+:+c:一c+c:+”?+c:_.,一式代人第一個(gè)等式,消去偶數(shù)項(xiàng),化簡(jiǎn)后即得.2教學(xué)特色點(diǎn)評(píng)數(shù)學(xué)教學(xué)從本質(zhì)上說,是教師和學(xué)生以課堂為主渠道的交往活動(dòng),是

9、教師和學(xué)生在特殊教育情境中的自主探究活動(dòng).這節(jié)課教師本著”讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識(shí)的形成,發(fā)展和應(yīng)用過程”“充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程”的教學(xué)理念,為學(xué)生的智慧生長(zhǎng)而教,使學(xué)生在探究中”轉(zhuǎn)知為智,化識(shí)成慧”,從知識(shí)課堂走向智慧課堂.2.1提供時(shí)空:讓學(xué)生在探究過程中生成智慧教材知識(shí)的呈現(xiàn)方式是單一的,靜態(tài)的,而學(xué)生獲取的方式是多樣的,動(dòng)態(tài)的.教師能夠摒棄”教教材”的做法,樹立”用教材教”的理念,將教材中靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)還原成動(dòng)態(tài)的生成過程,盡可能地為學(xué)生提供一種思考,交流,探究的空間,像科學(xué)家一樣參與數(shù)學(xué)知識(shí)的再發(fā)現(xiàn),再創(chuàng)造過程,引導(dǎo)學(xué)生從過程中體驗(yàn)和感悟.在探究過程中,教師充當(dāng)一名組織者,提供探究

10、材料(楊輝三角),提出學(xué)習(xí)要求;充當(dāng)一各引導(dǎo)者,幫助學(xué)生獲得探究方法(從特殊到一般),提示研究方向,引導(dǎo)學(xué)生朝著有意義的方向去做;充當(dāng)一名合作者,成為學(xué)生中的一員,與學(xué)生平等交流,相互分享彼此的思考,見解和知識(shí).學(xué)生擁有一份被信任感,積極參與自主探究,合作交流活動(dòng),其間,矛盾沖突層層深入,思維碰撞時(shí)時(shí)激起,智慧火花不斷生成:”與兩端間距相等的兩個(gè)數(shù)相等當(dāng),z為偶數(shù)時(shí),中間一個(gè)數(shù)最大;當(dāng)為奇數(shù)時(shí),中間兩個(gè)數(shù)最大任意一個(gè)數(shù)(除1以外)都等于它兩肩上的兩個(gè)數(shù)之和”,多么富有個(gè)性化的理解和表達(dá),這是學(xué)生靈感和智慧的外顯,是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種超越和真正的創(chuàng)造.2.2注重有效:讓學(xué)生在多樣化的教學(xué)形態(tài)中生成

11、智慧有效的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是體現(xiàn)新課程理念,體現(xiàn)學(xué)生主動(dòng)發(fā)展的課堂.數(shù)學(xué)課堂是否有效,主要看學(xué)生發(fā)展是否有效,促進(jìn)學(xué)生生動(dòng)活潑地主動(dòng)發(fā)展的課堂就是有效的課堂.有效的數(shù)學(xué)課堂沒有固定的模式,應(yīng)表現(xiàn)為多樣的教學(xué)形態(tài).綜觀本節(jié)課,主要有以下幾種教學(xué)形態(tài):(1)對(duì)話課堂形態(tài).本節(jié)課是以師生平等關(guān)系為基礎(chǔ),以學(xué)生自主探究為特征,以對(duì)話為手段進(jìn)行教學(xué)的.在教師的引導(dǎo)下,通過教師和學(xué)生,學(xué)生和學(xué)生的相互啟發(fā)和討論,實(shí)現(xiàn)了學(xué)生個(gè)體對(duì)知識(shí)的自主建構(gòu)和主體的全面發(fā)展.?(2)活動(dòng)課堂形態(tài).本節(jié)課是以探究性活動(dòng)的形式來促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的.教師在學(xué)生探索的基礎(chǔ)上,適時(shí)的向?qū)W生提供了楊輝三角,很自然地把學(xué)生帶人了探究新知的數(shù)學(xué)

12、活動(dòng)中.學(xué)生通過觀察,分析,歸納,猜想,驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng),在經(jīng)歷了思考的痛苦,超越的艱辛,刻苦的體驗(yàn)之后,獲得的是成功的喜悅,是信心的倍增,是創(chuàng)造潛能的提升,是智慧的生成.(3)開放課堂形態(tài).本節(jié)課的教學(xué)結(jié)構(gòu)是開放的:教師不追求固定的教學(xué)結(jié)構(gòu),沒有墨守封閉性教學(xué)過程的預(yù)設(shè),而是根據(jù)教學(xué)需要靈活地安排教學(xué)程序,適時(shí)地調(diào)整教學(xué)環(huán)節(jié),提高教學(xué)實(shí)效.本節(jié)課的教學(xué)方法是開放的:教師改變了單一的講授方法,在多媒體輔助下,實(shí)現(xiàn)了多種教學(xué)方法的優(yōu)化組合,促進(jìn)了學(xué)生自主地學(xué)習(xí),能動(dòng)地建構(gòu).本節(jié)課的教學(xué)時(shí)空是開放的:課堂上凡是學(xué)生能想的,能說的,能做的,都讓學(xué)生自己去完成,教師盡量減少對(duì)教學(xué)時(shí)空的占有,把更多的學(xué)習(xí)

13、時(shí)空讓給了學(xué)生.2.3創(chuàng)設(shè)情境:讓學(xué)生在亢奮的探究狀態(tài)中生成智慧一堂成功的課,離不開良好的探究情境和學(xué)習(xí)氛圍.探究情境需要靠教師智慧地創(chuàng)設(shè),學(xué)習(xí)氛圍需要靠師生互動(dòng)來營(yíng)造.在這方面,教師采取了以下有效措施.(1)生成問題,激發(fā)學(xué)生的探究欲望.本節(jié)課開始時(shí),師生在復(fù)習(xí)回顧的基礎(chǔ)上,自然的生成”二項(xiàng)式系數(shù)之間有什么關(guān)系”這樣一個(gè)開放性強(qiáng),發(fā)散范圍大的”元認(rèn)知問題”,從而引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,使學(xué)生產(chǎn)生探究的欲望.(2)明確方法,讓學(xué)生在探究中學(xué)會(huì)探究.當(dāng)學(xué)生對(duì)所提出的”二項(xiàng)式系數(shù)之間有什么關(guān)系?”不知該如何探究時(shí),教師適時(shí)地給予了方法上的”暗示”:”研究數(shù)的變化規(guī)律,一般采用什么方法?”在教師的啟發(fā)下

14、,學(xué)生憑著自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),智慧地感悟到應(yīng)該運(yùn)用”從特殊到一般,歸納猜想”的探究方法.(3)提供材料,為學(xué)生探究提供智力背景.在學(xué)生思維開始活躍時(shí),教師適時(shí)地向?qū)W生提供楊輝三角.這個(gè)充滿”神秘”,暗藏”懸念”的美麗圖表,會(huì)給學(xué)生探究問題注入活力圖表中的數(shù)據(jù)變化有什么規(guī)律呢?數(shù)據(jù)之間有什么聯(lián)系呢?我怎樣發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律,找出它們之間的聯(lián)系呢?學(xué)生在這些現(xiàn)實(shí)問題的驅(qū)動(dòng)下,探究激情和欲望高漲起來,同時(shí),這個(gè)圖表也為學(xué)生探究新知鋪平了道路.(4)啟發(fā)引導(dǎo),為學(xué)生探究鋪路搭橋.這節(jié)課無論是”二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)”的得出,還是賦值法和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用過程,都是通過學(xué)生的探究來完成的.在難點(diǎn)問題的處理上,教師采用

15、了”問題串”進(jìn)行啟發(fā),暗示,引發(fā)學(xué)生的靈感,促進(jìn)智慧的生成,沒有出現(xiàn)”教師告訴,學(xué)生接受”的灌輸式教學(xué).(5)語言幽默,為學(xué)生探究營(yíng)造輕松愉悅的氛圍.學(xué)生對(duì)新知識(shí)的發(fā)現(xiàn),開掘,利用,揭示,對(duì)新問題的解決,拓展,延伸,歸納,都可以在教師風(fēng)趣幽默且富有哲理的語言表達(dá)中引發(fā).”同行的數(shù)親如兄弟,異行的數(shù)是否也藕斷絲連呀!你能發(fā)現(xiàn)它很不簡(jiǎn)單呀!”“這個(gè)式子的源頭在哪里呀?”等等,這些妙趣橫生的語言營(yíng)造了良好的探究氛圍,構(gòu)建了輕松愉快的課堂,引發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和持久的驅(qū)動(dòng)力,促進(jìn)了學(xué)生智慧的生成.2.4注重歸納:讓學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法的提煉中生成智慧本節(jié)課中,教師注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的提煉與運(yùn)用,在知識(shí)的形成過程中,教師引導(dǎo)學(xué)生回憶”從特殊到一般”的探究過程,提煉歸納猜想的方法,并運(yùn)用其去發(fā)現(xiàn)”二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)”;在知識(shí)的應(yīng)用過程中,教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷”從一般到特殊”的過程,提煉出賦值法,并運(yùn)用其證明猜想的性質(zhì)和一些問題.這些數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)生在經(jīng)歷知識(shí)形成,發(fā)展和應(yīng)用的過程中,自然形成并提煉出來的,是課堂教學(xué)中,學(xué)生智慧生成的閃光點(diǎn).總之,這節(jié)課是在教師適時(shí),恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)下,由學(xué)生通過自主探