高中數(shù)學(xué)論文：新課程理念下對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的認(rèn)識(shí)、實(shí)踐與思考

1、高中數(shù)學(xué)論文新課程理念下對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的認(rèn)識(shí)、實(shí)踐與思考摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)是“數(shù)學(xué)活動(dòng)”的教學(xué)。在教學(xué)過程中應(yīng)經(jīng)歷“再發(fā)現(xiàn)”，“再創(chuàng)造”的過程，而“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”正是發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的一個(gè)重要途經(jīng)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中引入“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”已成為新的課題，筆者經(jīng)過幾年的實(shí)踐研究表明：創(chuàng)設(shè)“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”，不僅能深刻理解數(shù)學(xué)概念牢固掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，而且能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)他們探索精神和創(chuàng)新能力。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 作用 思考新課程標(biāo)準(zhǔn)的一個(gè)突出特點(diǎn)：就是通過情景材料感悟知識(shí)的生成過程，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就是其中的常用方法。數(shù)學(xué)家歐拉曾說：“數(shù)學(xué)這門科學(xué)需要觀察，也需要實(shí)驗(yàn)”。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種方法。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，可以通過實(shí)驗(yàn)的手段、產(chǎn)

2、生的現(xiàn)象、出現(xiàn)的結(jié)果，進(jìn)行判斷、推理、歸納、總結(jié)，能更好地感悟數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的背景、發(fā)展的動(dòng)機(jī)、解決的問題。本文就以幾個(gè)實(shí)驗(yàn)為例來體會(huì)，感悟新課標(biāo)的內(nèi)涵。一、 通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性和邏輯性思維的嚴(yán)密性和邏輯推理能力是一個(gè)高中學(xué)生必須具備的能力,也是平時(shí)提高學(xué)習(xí)效率,考試時(shí)答好試題的重要一環(huán)。但是現(xiàn)在的高中學(xué)生在這一方面很缺乏。針對(duì)學(xué)生的這種情況，我在學(xué)生進(jìn)入高中的第一堂數(shù)學(xué)課就和他們一起做了以下實(shí)驗(yàn)。把一個(gè)邊長(zhǎng)為8cm的正方形剪成如圖（1）所示的四塊，記為1、2、3和4。然后把這四塊重新組合成一個(gè)如圖（2）所示的長(zhǎng)方形。然后請(qǐng)他們計(jì)算兩個(gè)圖形的面積。同學(xué)們很快得到圖（1）的面積為6

3、4cm2，圖（2）的面積為65cm2，于是就出現(xiàn)面積增加了1cm2的結(jié)論。 1234圖（2）圖（1）14 23 在學(xué)生的驚奇中又做了第二個(gè)實(shí)驗(yàn)。再把另一個(gè)邊長(zhǎng)為13cm的正方形照樣也剪成如圖（3）所示標(biāo)號(hào)為1、2、3和4的四塊。這四塊也正好拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為21cm和8cm的長(zhǎng)方形如圖（4）所示。同樣經(jīng)過計(jì)算面積可得現(xiàn)在面積減少了1cm2。4圖（3）1123圖（4）4 32為什么正方形通過重新組合面積會(huì)發(fā)生變化呢？這不可能呀？學(xué)生在不斷地重復(fù)以上問題。這時(shí)向?qū)W生指出其實(shí)面積既沒有增加也沒有減少，我們不要被表面現(xiàn)象所迷惑。acb3412圖（5）上述拼圖引起面積增加或減少的原因是這樣的：在圖（1）中1

4、、2、3和4這四快圖形沒有填滿整個(gè)長(zhǎng)方形。如圖（5）所示，中間還留著一條狹縫。這條狹縫的面積正好是1cm2，它與整個(gè)長(zhǎng)方形的面積的比的比值很小（1：65），拼圖時(shí)不容易察覺到，因此我們才錯(cuò)誤地認(rèn)為面積增加了1cm2。同樣在在圖（3）中1、2、3和4這四快圖形3412圖（6）發(fā)生了重疊現(xiàn)象。如圖（6）所示，重疊部分的面積正好是1cm2，它與整個(gè)長(zhǎng)方形的面積的比的比值更小?。?：168），拼圖時(shí)更不容易察覺到，因此我們才錯(cuò)誤地認(rèn)為面積增加了1cm2。學(xué)生就要問：怎么知道圖（5）中間留有一條縫而圖（6）中間重疊呢？證明如下（上課時(shí)只證明第一個(gè)結(jié)論，第二個(gè)由學(xué)生自己完成）證明：實(shí)際上只需證明a、b、c

5、三點(diǎn)不在同一條直線上即可。因?yàn)椋浴?通過本次實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生明白要想得到正確無誤的數(shù)學(xué)結(jié)論，不能依靠簡(jiǎn)單的觀察和實(shí)驗(yàn)，還要依靠嚴(yán)密的邏輯推理。開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)活動(dòng)，可以培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的作風(fēng)和一絲不茍的態(tài)度，而這種品質(zhì)正是將來走上社會(huì)做好任何工作所必須的。二、 通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，探索概念的形成通常數(shù)學(xué)概念教學(xué)是教師給出概念，學(xué)生加以記憶,但學(xué)生往往對(duì)其本質(zhì)屬性理解不夠，一知半解，更別提運(yùn)用了。正如列夫托爾斯泰所說：“知識(shí)，只有當(dāng)它靠積極的思維得來，而不是憑記憶得來的時(shí)候，才是真正的知識(shí)?！毙吕砟罹鸵蠼處熢诟拍罱虒W(xué)中注重知識(shí)的生成，引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識(shí)背景和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，提供大量操作、思考與交

6、流的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、交流與反思等過程，進(jìn)而在增加感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念。例如在圓錐曲線中學(xué)習(xí)橢圓、雙曲線、拋物線等有關(guān)概念時(shí)，筆者就是通過以下實(shí)驗(yàn)而進(jìn)行的，學(xué)生反映良好。1， 橢圓概念的教學(xué)課本上的引入是這樣的：取一條一定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩個(gè)端點(diǎn)固定在小黑板上的和兩點(diǎn)，當(dāng)繩長(zhǎng)大于和的距離時(shí)，用筆尖拉緊繩，使筆尖在小黑板上慢慢地移動(dòng)，畫出一條曲線。（請(qǐng)兩位同學(xué)幫忙，將圖形畫在黑板的中間位置）（實(shí)物演示橢圓生成過程）這樣做很直觀也很容易接受，但是學(xué)生可能會(huì)有這樣的疑問：圖（8）圖（7）“這個(gè)定義記是比較好記，但是這個(gè)概念是怎樣來的?！睘榱舜蛳麑W(xué)生的疑問，在教

7、學(xué)中我先做了以下實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：準(zhǔn)備一張紙片（如圖7）（o為圓心， f表示圓內(nèi)除 o點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)。）將圓紙片翻折，使翻折上去的圓弧通過f點(diǎn)（圖8），將折痕用筆畫上顏色。繼續(xù)上述過程，繞圓心一周。圖（9）觀察看到了什么？直線圍成了橢圓（圖9）想一想為什么？設(shè)折痕為l，那么 f點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn) n一定在圓弧上連接 on，交l與 p點(diǎn)，連結(jié) pf，則|op|+|pf|=|op|+|pn|= 半徑長(zhǎng)（定值），然后再做書本上的引入的實(shí)驗(yàn)，從而得出橢圓的定義。這樣得出的橢圓定義，我相信學(xué)生的記憶會(huì)更深刻。2.雙曲線實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：準(zhǔn)備一張紙片(圖10)（o為圓心，f為圓外一點(diǎn)）將圓紙片翻折，使翻折上去的

8、圓弧通過f點(diǎn)如圖11，將折痕用筆畫上顏色。繼續(xù)上述過程，繞圓心一周。觀察看到了什么？想一想為什么？圖（11）圖（10）圖（12）直線圍成了雙曲線如圖（12）設(shè)折痕為l，那么 f點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn) n一定在圓弧上延長(zhǎng) on，交l與 p點(diǎn)，連結(jié) pf，則|pf|-|op|=|pn|-|op|= 半徑長(zhǎng)（定值），于是得到了雙曲線的定義。3.拋物線。1）活動(dòng)：在一紙上畫一條直線及線外一點(diǎn)（焦點(diǎn)），將點(diǎn)與直線上任意點(diǎn)對(duì)折，如圖13示方法，將紙折20到30次，形成一系列折痕。2）觀察、猜想：眾多折痕圍出一條拋物線。 3）發(fā)現(xiàn):拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到直線的距離。4）形成定義：（學(xué)生概括，教師補(bǔ)充）

9、平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)圖（13）f和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。點(diǎn)f叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。由于將這個(gè)實(shí)驗(yàn)折紙引入“圓錐曲線”一章的教學(xué)中，學(xué)生學(xué)得輕松并能深刻理解概念、牢固掌握知識(shí)，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和科學(xué)探索的精神。學(xué)生動(dòng)手（或動(dòng)腦）做實(shí)驗(yàn)，不僅能加快對(duì)知識(shí)的理解和記憶，而且更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)科學(xué)探索精神，使數(shù)學(xué)教學(xué)邁進(jìn)嶄新的天地。三、 通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情景心理學(xué)研究表明：經(jīng)過精心設(shè)計(jì)的好的問題情境，有利于啟發(fā)推動(dòng)學(xué)生的思維。問題解決之時(shí)，就是新知識(shí)獲取之時(shí)，更是思維得到訓(xùn)練，能力得到提高之時(shí)。通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以創(chuàng)設(shè)有趣的情景為課堂教學(xué)服務(wù)。

10、例如在講用二分法求方程的近似解這一課內(nèi)容時(shí)，因?yàn)楸拘W(xué)生大多來自農(nóng)村，對(duì)二分法較難理解。因此我在上課前先讓他們做一個(gè)實(shí)驗(yàn)：猜一只籃球的價(jià)格（仿照中央電視臺(tái)幸運(yùn)52），誰(shuí)猜中所用的次數(shù)最小籃球就歸誰(shuí)。在學(xué)生猜的同時(shí)我在黑板上記錄每一次的猜價(jià)，實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，引導(dǎo)同學(xué)們對(duì)競(jìng)猜的價(jià)格進(jìn)行總結(jié)歸類：引導(dǎo)怎樣猜次數(shù)最少？學(xué)生也很容易得出猜兩次價(jià)格的中間這樣總次數(shù)會(huì)更少。到此二分法的具體應(yīng)用已經(jīng)完成，接下去學(xué)生學(xué)習(xí)二分法的概念和求法和步驟就顯得很容易“上手”。 又例如在講必修（1）中3.2.1幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型課題時(shí)，為了讓學(xué)生明白指數(shù)模型是“爆炸式”增長(zhǎng)的。在上課時(shí)做了以下實(shí)驗(yàn)。 準(zhǔn)備一張白紙，讓一位同

11、學(xué)上來。把白紙對(duì)折一次，再對(duì)折一次，學(xué)生感覺很輕松。這時(shí)乘機(jī)問他能否對(duì)折10次。學(xué)生當(dāng)然回答能。這時(shí)就讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，但是一般來說只能折8次左右，就失敗了。 此時(shí)學(xué)生對(duì)指數(shù)的增加速度有了一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)。接著筆者在黑板上寫下這樣一句話“給我一張白紙，我就可以登上月球”。（學(xué)生大笑），這時(shí)我說，如果一張白紙的厚度是0.1mm。我只要對(duì)折50次，它的高度就超過月球，不信試試。列式請(qǐng)他們計(jì)算：0.00000001*250 km112589999km。超過地球和月球之間的距離。 通過這樣的實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生在驚奇中體會(huì)指數(shù)模型的“爆炸式”增長(zhǎng)。此，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)情景能非常有效的激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而提高學(xué)

12、習(xí)效率。四、通過實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理、公式傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)忽略教學(xué)原理的來龍去脈,壓縮了學(xué)習(xí)知識(shí)的思維過程,往往造成感知與概括之間的思維斷層,既無法保證教學(xué)質(zhì)量,更不可能發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)策略。新理念提倡重視過程教學(xué)，在揭示知識(shí)生成規(guī)律上，讓學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，自己去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)原理，從而理解更深刻。rr “球的體積公式”這一課時(shí)我的教學(xué)實(shí)驗(yàn)如下。rrrr提出v球=？（讓學(xué)生進(jìn)行猜想） 教師出示模型讓學(xué)生觀察、對(duì)比。問：v圓柱 、v半球、v圓錐、這三者之間的大小關(guān)系如何？學(xué)生易看出：v圓柱 v半球v圓錐 即 r3 v半球r3 即r3 v半球r3有一些學(xué)生會(huì)大膽提出他們的猜測(cè)：v半球=r3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證和學(xué)生做

13、一次實(shí)驗(yàn)：取一個(gè)半徑為r的半球面，再取一個(gè)半徑和高都是r的圓錐容器，將圓錐容器內(nèi)用細(xì)砂裝滿，并倒入半球內(nèi)，再用細(xì)砂裝滿，再倒入半球容器內(nèi)，恰好半球容器被裝滿。這一實(shí)驗(yàn)還表明：2v圓錐=v半球，即v半球=r3，即為r的圓柱挖去一個(gè)等底等高的圓錐所剩下的部分的體積，這也為球體積公式推導(dǎo)過程中的參照體構(gòu)造了基礎(chǔ)。直觀易懂的實(shí)驗(yàn)?zāi)芗ぐl(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力。五、 借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，降低學(xué)生學(xué)習(xí)中抽象性的難度，突破課堂中的教學(xué)難點(diǎn)許多數(shù)學(xué)規(guī)則具有嚴(yán)謹(jǐn)性和抽象性，不容易理解和掌握。對(duì)于教學(xué)中的一些疑難點(diǎn)，如不借助于一定的實(shí)驗(yàn)手段，就不能調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，也很難達(dá)到預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)。比如在教學(xué)“抽

14、簽有先有后，對(duì)各人公平嗎？”這一閱讀材料的教學(xué)。學(xué)生對(duì)書本上的結(jié)果“公平”很不理解。這時(shí)我就讓同學(xué)們每三個(gè)人一組進(jìn)行抽簽實(shí)驗(yàn)，重復(fù)20次以上。把結(jié)果記入。并填在下面表格上（其中某組的數(shù)據(jù)如下）甲先抽的情況乙先抽的情況丙先抽的情況實(shí) 驗(yàn) 次 數(shù)383838待添加的隱藏文字內(nèi)容1甲抽中的次數(shù)101312乙抽中的次數(shù)151412丙抽中的次數(shù)131114最后累計(jì)全班同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果，基本得到相似的結(jié)論。這樣就順利的突破課堂中的教學(xué)難點(diǎn)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，從而提高學(xué)習(xí)效率。再比如在學(xué)習(xí)反函數(shù)這節(jié)課時(shí)，在上課時(shí)我和學(xué)生做了以下實(shí)驗(yàn)，我發(fā)給他們每人一張卡片，每張卡片上寫有不同的數(shù)字（從1-50）。讓他們把自己

15、分到的卡片上的數(shù)字乘以2加3，再乘以5減去25，只要他們把計(jì)算結(jié)果告訴我，我就能馬上猜出是寫有什么數(shù)字的卡片。通過這樣的實(shí)驗(yàn)就引發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)這堂課的好奇心，老師是怎樣算出來的。從而培養(yǎng)談們強(qiáng)烈探索新知識(shí)的愿望。在學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望下，學(xué)習(xí)反函數(shù)的難點(diǎn)就很容易突破。ab又比如許多同學(xué)對(duì)“球面上任意兩點(diǎn)，經(jīng)過該兩點(diǎn)的大圓劣弧和長(zhǎng)最短”產(chǎn)生疑問。如果僅僅用初等數(shù)學(xué)知識(shí)也很難使學(xué)生明白，若用微積分的知識(shí)去嚴(yán)格論證，那太費(fèi)勁了。我就用一個(gè)“地球模型”做實(shí)驗(yàn)（如圖14），在球面上選取上海和悉尼兩點(diǎn)，然后把這兩點(diǎn)用一根細(xì)繩連接讓學(xué)生去探索、分析，當(dāng)繩子處于什么樣的位置時(shí)，兩點(diǎn)間的距離最近。學(xué)生借助于實(shí)驗(yàn)，很

16、快明白：通過經(jīng)線時(shí)距離最近。從而得出“大圓劣弧的長(zhǎng)最短”，學(xué)生就覺圖（14）得很自然，從而達(dá)到了良好的教學(xué)效果。六、 借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生探索精神和求知欲望普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：提供積極主動(dòng)，勇于探索的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)方式。這些方式有助于發(fā)揮學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程。通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)正好可以滿足新課程的這些要求。比如在講“二面角的平面角”這一課時(shí)，在學(xué)習(xí)了二面角的定義后。我和學(xué)生做了以下實(shí)驗(yàn)：拿出我拿出事先準(zhǔn)備好的長(zhǎng)方形硬紙板，沿中間線折成如下的

17、圖形（圖15）：讓學(xué)生指出那只角是二面角的平面角。學(xué)生一般都能指出是。并得出直觀的結(jié)論：邊所圍成的平面角就是。caobaoboa圖（16）圖（15）這時(shí)我拿出剪刀把剛才硬紙板的二面角剪成如下的圖形（圖16）這時(shí)再問平面角是什么？a有些同學(xué)也說是。但是也有疑問的聲音。因?yàn)殡S著我剪的方向不同得出的角顯然不等，但是如果二面角一定的話其平面角也一定相等。因此二面角絕不是邊所圍成的平面角。通過實(shí)驗(yàn)使學(xué)生明白二面角的本質(zhì)。cdb又比如針對(duì)直線與平面垂直的判定定理時(shí)，筆者在教學(xué)中做了以下實(shí)驗(yàn)：abcd圖（19圖（18）準(zhǔn)備一張三角形的紙片，過三角形的頂點(diǎn)a翻折紙片，得到這痕ad如圖（18）,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（bd、dc與桌面接觸如（圖19）然后問學(xué)生，如何翻折才能使折痕ad與所在的桌面垂直？通過學(xué)生實(shí)驗(yàn)學(xué)生一般來說很容易得出只要折痕垂直于db、dc即可。從而直線與平面垂直的判定定理在學(xué)生的不斷實(shí)驗(yàn)中迎刃而解。讓實(shí)驗(yàn)走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂，充分發(fā)揮其作用。我們堅(jiān)信：每當(dāng)我們從數(shù)學(xué)的本質(zhì)特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)，運(yùn)用自然器材、數(shù)學(xué)模型、cai等多種工具和載體，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)這種教與學(xué)的方式，去致力于影響學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的意義建構(gòu)，去幫助學(xué)生本質(zhì)地理解數(shù)學(xué)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)精神和發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的能力時(shí)，我們就把握住了數(shù)學(xué)教育的時(shí)代性、科學(xué)性，我們就深入到了數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的核心。我們的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，尚在起步