數(shù)學(xué)論文Euclid空間上的線性泛函的內(nèi)積刻畫(huà)及推廣

1、euclid空間上的線性泛函的內(nèi)積刻畫(huà)及推廣（孝感學(xué)院數(shù)學(xué)系021114230 湖北孝感 432100）摘 要：本文在一般意義上討論了euclid空間上的線性泛函，尋找到了它能用內(nèi)積來(lái)刻畫(huà)的充要條件，并將結(jié)論進(jìn)一步推廣到雙線性函數(shù)的情形，最后說(shuō)明了本文的主要結(jié)論與f.riesz定理關(guān)系.本文得到的主要結(jié)論是：是euclid空間上的線性泛函，則下列條件是等價(jià)的：1）存在唯一的,使得,有；2）或；3）.關(guān)鍵詞：euclid空間；內(nèi)積；線性泛函；雙線性函數(shù)；零空間the depiction and further generalizition of linear function in euccli

2、d spacewang peng(department of mathematics,xiaogan university 021114230)abstract: in this paper ,we generally discuss linear function in euclid space,found out the necessary and sufficient conditions that can be depicted by inner-product.further gerneralize those results to dobuble linear function.a

3、t last,we illustrate the relation between the results of the paper and theory of f.riesz.the main result of this paper is :is linear function in euclid space,then the conditions on the following are equal.1) there exists only ,let, we have 2) or ；3) .keywords: euclid space; inner-product; linear fun

4、ction; dobuble linear function;zero-space目 錄0 引言 3-41 預(yù)備知識(shí)及引理 4-52 主要結(jié)果 5-132.1 euclid空間上線性泛函的內(nèi)積刻畫(huà) 5-92.2 euclid空間上不能用內(nèi)積刻畫(huà)的線性泛函的存在性 9-102.3 雙線性函數(shù)的內(nèi)積刻畫(huà) 10-13參考文獻(xiàn) 13致謝 130 引言 cauchy曾用函數(shù)方程給出了實(shí)數(shù)域上的線性函數(shù)的公理化定義，該定義基于以下命題得到： 命題1 設(shè)是實(shí)數(shù)域到的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，若對(duì)，有，則，這里為常數(shù).美國(guó)數(shù)學(xué)家k.gabriel在他的著作中取消了命題“是連續(xù)函數(shù)”這一假設(shè)，并利用連續(xù)函數(shù)的延拓原理進(jìn)行了

5、新的證明.把線性函數(shù)這一概念拓廣到一般的線性空間上，就是如下：定義1 設(shè)是數(shù)域上的一個(gè)線性空間，映射稱為上的線性函數(shù)，如果滿足1）；2），式中是中任意元素，是中任意數(shù).在上述定義中當(dāng)為實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域時(shí)，我們也把稱為上的線性泛函.在三維幾何空間中，當(dāng)為常向量，而為變向量時(shí)，數(shù)量積（內(nèi)積）可視為函數(shù)，容易驗(yàn)證是一個(gè)線性泛函.推廣到一般的內(nèi)積空間，記是中任意向量，是中一固定向量，易證是上的一個(gè)線性泛函. f.riesz考慮了以上問(wèn)題在一般意義上的逆命題，對(duì)hilbert空間上的連續(xù)線性泛函進(jìn)行了一般性的刻畫(huà)：f.riesz定理 設(shè)是hilbert空間上的一個(gè)連續(xù)線性泛函，則必存在唯一的，使得，有.本

6、文將在一般意義上考慮內(nèi)積空間上的線性泛函，研究在怎樣的情形下，內(nèi)積空間上的線性泛函才能用內(nèi)積來(lái)刻畫(huà)，這種刻畫(huà)是否唯一，并將結(jié)論進(jìn)一步推廣到雙線性函數(shù)的情形.在本文中用表示內(nèi)積，表示實(shí)數(shù)域，表示正整數(shù)集，表示的維數(shù)，表示范數(shù)，表示正交，表示直和，表示生成子空間.1 預(yù)備知識(shí)及引理定義2 是數(shù)域上的線性空間，是上的線性函數(shù)，稱為在上的零空間，簡(jiǎn)稱的零空間.容易驗(yàn)證，是的子空間.定義3 和是數(shù)域上的兩個(gè)線性空間，是的映射，如果滿足1)；2)，其中是中任意向量，是中任意向量，是中任意數(shù)，則稱是一個(gè)雙線性函數(shù).在定義3中，如果，我們?cè)诹?xí)慣上也稱是上的雙線性函數(shù).定義4 和是數(shù)域上的兩個(gè)線性空間，為到的映

7、射，如果及數(shù)，有1) ；2) ，則稱為到的線性算子.特別地，在定義4中，當(dāng)時(shí)，就是定義中所說(shuō)的上的線性函數(shù)；當(dāng)時(shí)，就是的線性變換.引理1 是內(nèi)積空間的閉子空間，則對(duì)每個(gè)，存在唯一的，使得，這里的范數(shù)是的內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)，是與的距離. 引理2 是內(nèi)積空間的子空間，若，使得，那么，.引理1與引理2的證明在文獻(xiàn)3中有詳細(xì)的論述，為避免累贅，我們?cè)谶@里省略掉這部分過(guò)程.2 主要結(jié)果2.1 euclid空間上的線性泛函的內(nèi)積刻畫(huà)定理f.riesz定理指出hilbert空間上的連續(xù)線性泛函的內(nèi)積刻畫(huà)具有唯一性，下面引理說(shuō)明了這種唯一性具有普遍性，不僅僅局限于hilbert空間上的連續(xù)線性泛函. 引理3 設(shè)是

8、euclid空間上的線性泛函，若，使得,有，則. 證明 由于 ， ，有，取，則有， ， 即 .在三維幾何空間上的線性泛函，其中是中常向量，是中任意向量.很明顯，f.riesz定理中要找的現(xiàn)在就是，它是平面的法向量，而平面就是的子空間，推廣到一般的有限維euclid空間，便有：定理1 設(shè)是維euclid空間上的線性泛函，如果，則存在唯一的，使得，有.證明 由于，可設(shè)是的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，利用schimidt正交方法將其擴(kuò)充為的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則，有，其中，再由引理3可知定理1結(jié)論成立.其實(shí)，在定理1中，不要條件，結(jié)論也是成立的，即有：定理2 設(shè)是euclid空間上的線性泛函，且，則存在唯一的，使得

9、，有.證明 設(shè)，1) 當(dāng)時(shí)，這時(shí)取即可；2) 當(dāng)時(shí)，設(shè)是的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，利用schimidt正交方法將其擴(kuò)充為的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基則，有其中.再由引理3知唯一性成立，定理得證.通過(guò)定理2，我們知道，對(duì)于有限維的euclid空間上的線性泛函都能用內(nèi)積來(lái)刻畫(huà)，而對(duì)于更一般的情形（對(duì)整個(gè)euclid空間的維數(shù)不加限制），我們先從下面的引理開(kāi)始探討.引理4 設(shè)是euclid空間，則由生成的子空間是的閉子空間.證明 當(dāng)?shù)木埸c(diǎn)集時(shí)，結(jié)論顯然成立，下面不妨設(shè)，這時(shí)，否則是孤立點(diǎn)集，從而，矛盾.現(xiàn)設(shè)，則有中的點(diǎn)列，有，則，對(duì)，有 ， （1）由于，故，使得，將此代入（1）得到， （2）所以根據(jù)cauchy收斂準(zhǔn)則

10、知數(shù)列收斂，設(shè)，則，使得，有，于是，有，即，故，所以是的閉子空間.引理5 是euclid空間的閉子空間，則.證明 ，有，則，所以，下面只須證即可.，由于是euclid空間的閉子空間，故根據(jù)引理1和引理2知存在及，使得，由于是線性子空間，因此，從而，即，所以.這就證明了.經(jīng)過(guò)前面的準(zhǔn)備下，我們就可以得到以下定理.定理3 設(shè)是euclid空間上的線性泛函，則下列條件是等價(jià)的：1）存在唯一的，使得，有；2）或；3）.證明 1）2）若，使得，有，則當(dāng)時(shí)，下設(shè).，有:，從而:，即，所以；反之 ，有:，即，于是.因此.再根據(jù)引理3和引理4知，由于，所以.2）3）當(dāng)時(shí)，此時(shí)3）顯然成立；當(dāng)時(shí)，則，使.由于，

11、故，所以，于是，令，則有，其中因此，而，所以.3）1）若，則令，結(jié)論自然成立.若，且，則，于是可設(shè)，對(duì)任何，令，則， 即 .，由于 ，所以 ，令，則 . 而的唯一性通過(guò)引理3是顯然的.證畢.由定理2知道，維euclid空間上的線性泛函都能用內(nèi)積來(lái)刻畫(huà)，再結(jié)合定理3知該泛函為零函數(shù)或者其零空間的維數(shù)為，這一點(diǎn)在幾何空間中是有比較明確的幾何意義的（前面已分析）.2.2 euclid空間上不能用內(nèi)積刻畫(huà)的線性泛函的存在性在上一段我們得到定理3這個(gè)重要結(jié)論，下面利用定理3來(lái)說(shuō)明euclid空間上確實(shí)存在線性泛函不能用內(nèi)積來(lái)刻畫(huà).設(shè) ，則按多項(xiàng)式函數(shù)的加法和數(shù)乘構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間，對(duì)于，定義內(nèi)積，易

12、知按此內(nèi)積構(gòu)成一個(gè)euclid空間，對(duì)于，我們?cè)俣x，不難驗(yàn)證是上的線性泛函，下面我們就來(lái)證明不能用內(nèi)積來(lái)刻畫(huà).事實(shí)上，根據(jù) 的定義知，2，3，. 現(xiàn)設(shè)則有 ，2，3，. （3）由（3）我們可以得到關(guān)于的齊次線性方程組 （4）該齊次線性方程組的系數(shù)行列式為cauchy行列式其值為，于是齊次線性方程組（4）只有零解，即有由此得到，所以.又由于，因此，從而根據(jù)定理3知不能用的內(nèi)積來(lái)刻畫(huà).2.3 雙線性函數(shù)的內(nèi)積刻畫(huà) 本文在上面探討了用內(nèi)積來(lái)刻畫(huà)euclid空間上的線性泛函的問(wèn)題，下面我們對(duì)雙線性函數(shù)也作類(lèi)似的探討.設(shè)是euclid空間上的雙線性函數(shù)，對(duì)于，我們定義：，. （5）易知是上的線性泛函，

13、通過(guò)這一點(diǎn)，我們可以得到下面的定理.定理4 設(shè)是euclid空間上的雙線性函數(shù)，對(duì)于，是如（5）式所定義的上的線性泛函.若對(duì)，能用的內(nèi)積來(lái)刻畫(huà)，則存在的唯一線性變換，使得，有.證明 由于，能用的內(nèi)積來(lái)刻畫(huà)，結(jié)合引理3知，存在中唯一元素，使得，有，利用此我們可以定義： ，這樣我們就有.下面我們證明是的線性變換.首先由的唯一性知是到的映射；而與，一方面有： ，另一方面有： ，所以 ，即 .取，代入上式得 ，同理可證 . 是的線性變換.下面我們來(lái)證明的唯一性.假如還有的線性變換，使得：，有. 則：，有，即 .令，則得到，即.再由的任意性可知.證畢.通過(guò)定理4，我們可以知道：要判斷雙線性函數(shù)是否也能用

14、內(nèi)積來(lái)刻畫(huà)就轉(zhuǎn)化為了判斷或是否能用內(nèi)積來(lái)刻畫(huà)，而這個(gè)問(wèn)題通過(guò)定理3已得到解決.同樣，若是空間上的雙線性函數(shù)，對(duì)于，定義：，. （6）則也是上的線性泛函.于是有完全類(lèi)似于定理4的結(jié)論，從略.推論 設(shè)是有限維euclid空間上的雙線性函數(shù)，則存在的線性變換與，使得，有，并且這樣的與是唯一的.該推論可由定理2、定理4直接推得.現(xiàn)設(shè)和都是上的線性空間，：是雙線性函數(shù).對(duì)于，定義：，. （7）同樣易知是上的線性泛函，如果能用的內(nèi)積來(lái)刻畫(huà)的話，即存在，使得，有，則由引理3知是唯一的，于是定義 ，則是到的映射，進(jìn)一步，我們用定理4中證明是線性變換的方法同樣也可證明是到的線性算子.這樣我們就可將定理4的結(jié)論推

15、廣為：定理5 是euclid空間，是上的線性空間，：是雙線性函數(shù).對(duì)于，是如（7）所定義的上的線性泛函.若，能用的內(nèi)積來(lái)刻畫(huà)，則存在到的唯一線性算子，使得，有,這里的內(nèi)積是中的內(nèi)積.定理5的證明與定理4的證明是完全類(lèi)似的.運(yùn)用定理2、定理5立即可得到下面的推論：推論 和都是上的線性空間，：是雙線性函數(shù)；1） 若是有限維euclid空間，則存在到的唯一線性算子，使得與，有，這里的內(nèi)積是中內(nèi)積.2） 若是有限維euclid空間，則存在到的唯一線性算子，使得與，有，這里的內(nèi)積是中內(nèi)積.最后我們指出，在本文中，將euclid空間換成復(fù)內(nèi)積空間，則相應(yīng)的結(jié)論仍然成立，在證明中只須注意內(nèi)積的變化即可.由于

16、hilbert空間是完備的復(fù)的或?qū)嵉膬?nèi)積空間，而對(duì)于hilbert上的連續(xù)線性泛函滿足定理3的條件3）（這點(diǎn)在文獻(xiàn)2中有詳細(xì)的論述），由此可以看出在本文定理4的結(jié)論下，f.riesz定理成立是自然的，即本文定理3是f.riesz定理的推廣.參考文獻(xiàn)1 klambauer,gblems and propositions in analysism.new york:marcel dekker,1979.2 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)（第三版）m.北京：高等教育出版社，2003：339-420.3 程其襄等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)（第二版）m.北京：高等教育出版社，2003：218-265.4 張恭慶，林源渠.泛函分析講義m.北京：高等教育出版社，1994.5 余湄傅，萬(wàn)濤，肖為勝. 關(guān)于端單調(diào)線性泛函的擴(kuò)張和存在性j.南昌大學(xué)學(xué)報(bào)（理科版），1999，23（2）：164-167.6 張禾瑞.高等代數(shù)m.北京：高等教育出版社，2004.7 王金林. 關(guān)于對(duì)稱與反對(duì)稱雙線性函數(shù)j.江西師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2005，29（6）：538-540.8 周澤華.形式空間上的范數(shù)和線性算子j.武漢化工學(xué)院學(xué)報(bào)，1999，21（2）：77-80.9 傅小紅.拓?fù)渚€性空間中不連續(xù)線性泛函的存在問(wèn)題j.南開(kāi)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2002，35（1