圓錐曲線理科高考解答題薈萃

1、圓錐曲線2009年理科高考解答題薈萃1.（2009浙江理）已知橢圓：的右頂點(diǎn)為，過(guò)的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為 （i）求橢圓的方程； （ii）設(shè)點(diǎn)在拋物線：上，在點(diǎn)處的切線與交于點(diǎn)當(dāng)線段的中點(diǎn)與的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求的最小值解（i）由題意得所求的橢圓方程為， （ii）不妨設(shè)則拋物線在點(diǎn)p處的切線斜率為，直線mn的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因?yàn)橹本€mn與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有，設(shè)線段mn的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則， 設(shè)線段pa的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，由題意得，即有，其中的或；當(dāng)時(shí)有，因此不等式不成立；因此，當(dāng)時(shí)代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為12.（2009北京理）已知雙曲

2、線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為（）求雙曲線的方程；（）設(shè)直線是圓上動(dòng)點(diǎn)處的切線，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，證明的大小為定值.【解法1】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力（）由題意，得，解得， ，所求雙曲線的方程為.（）點(diǎn)在圓上，圓在點(diǎn)處的切線方程為，化簡(jiǎn)得.由及得，切線與雙曲線c交于不同的兩點(diǎn)a、b，且，且，設(shè)a、b兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，且，. 的大小為.【解法2】（）同解法1.（）點(diǎn)在圓上，圓在點(diǎn)處的切線方程為，化簡(jiǎn)得.由及得 切線與雙曲線c交于不同的兩點(diǎn)a、b，且，設(shè)a、b兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則， 的大小為.（且，

3、從而當(dāng)時(shí)，方程和方程的判別式均大于零）.3.（2009江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線c的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)a（2，2），其焦點(diǎn)f在軸上。（1）求拋物線c的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過(guò)點(diǎn)f，且與直線oa垂直的直線的方程；（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線c于d、e兩點(diǎn)，me=2dm，記d和e兩點(diǎn)間的距離為，求關(guān)于的表達(dá)式。 4.(2009山東卷理)設(shè)橢圓e: （a,b0）過(guò)m（2，） ，n (,1)兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，（i）求橢圓e的方程；（ii）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個(gè)交點(diǎn)a,b,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|ab |的取值范圍，若不存在說(shuō)明理由。解:（1）因?yàn)闄E

4、圓e: （a,b0）過(guò)m（2，） ，n (,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓e的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個(gè)交點(diǎn)a,b,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即, 則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個(gè)交點(diǎn)a,b,且.因?yàn)?所以, 當(dāng)時(shí)因?yàn)樗?所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”. 當(dāng)時(shí),. 當(dāng)ab的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為或,所以此時(shí),綜

5、上, |ab |的取值范圍為即: 【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問(wèn)題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問(wèn)題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.5.（2009廣東卷理）已知曲線與直線交于兩點(diǎn)和，且記曲線在點(diǎn)和點(diǎn)之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為設(shè)點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)和點(diǎn)均不重合（1）若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，試求線段的中點(diǎn)的軌跡方程； （2）若曲線與有公共點(diǎn)，試求的最小值解（1）聯(lián)立與得，則中點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，又點(diǎn)在曲線上，化簡(jiǎn)可得，又點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且不與點(diǎn)和點(diǎn)重合，則，即，中點(diǎn)的軌跡方

6、程為（）.xaxbd （2）曲線，即圓：，其圓心坐標(biāo)為，半徑由圖可知，當(dāng)時(shí)，曲線與點(diǎn)有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，要使曲線與點(diǎn)有公共點(diǎn)，只需圓心到直線的距離，得，則的最小值為.6.（2009安徽卷理）點(diǎn)在橢圓上，直線與直線垂直，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線op的傾斜角為，直線的傾斜角為.（i）證明: 點(diǎn)是橢圓與直線的唯一交點(diǎn)； （ii）證明:構(gòu)成等比數(shù)列.解析：本小題主要考查直線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程，直線和曲線的幾何性質(zhì)，等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)?？疾榫C合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。本小題滿分13分。證明 （i）（方法一）由得代入橢圓,得.將代入上式,得從而因此,方程組有唯一解,即直線與橢圓有唯一交點(diǎn)p. (方

7、法二)顯然p是橢圓與的交點(diǎn)，若q是橢圓與的交點(diǎn)，代入的方程，得即故p與q重合。（方法三）在第一象限內(nèi)，由可得橢圓在點(diǎn)p處的切線斜率切線方程為即。因此，就是橢圓在點(diǎn)p處的切線。 根據(jù)橢圓切線的性質(zhì)，p是橢圓與直線的唯一交點(diǎn)。（ii）的斜率為的斜率為由此得構(gòu)成等比數(shù)列。7.（2009江西卷理）已知點(diǎn)為雙曲線（為正常數(shù)）上任一點(diǎn),為雙曲線的右焦點(diǎn),過(guò)作右準(zhǔn)線的垂線,垂足為,連接并延長(zhǎng)交軸于. (1) 求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程;(2) 設(shè)軌跡與軸交于兩點(diǎn),在上任取一點(diǎn),直線分別交軸于兩點(diǎn).求證:以為直徑的圓過(guò)兩定點(diǎn). (1) 解 由已知得,則直線的方程為:, 令得,即,設(shè),則,即代入得:,即的軌跡的方

8、程為. (2) 證明 在中令得,則不妨設(shè),于是直線的方程為:, 直線的方程為:,則,則以為直徑的圓的方程為: ,令得:,而在上,則,于是,即以為直徑的圓過(guò)兩定點(diǎn).8.(2009湖北卷理)過(guò)拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)的直線與拋物線相交于m、n兩點(diǎn)，自m、n向直線作垂線，垂足分別為、。 （）當(dāng)時(shí)，求證：；（）記、 、的面積分別為、，是否存在，使得對(duì)任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由。解 依題意，可設(shè)直線mn的方程為， 則有由 ，消去x可得 從而有 于是 又由，可得 （）如圖1，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)即為拋物線的焦點(diǎn)，為其準(zhǔn)線此時(shí) 可得證法1： 證法2： ()存在，使得對(duì)任意的，都有成立，證明如下：

9、證法1：記直線與x軸的交點(diǎn)為,則。于是有 將、代入上式化簡(jiǎn)可得上式恒成立，即對(duì)任意成立 證法2：如圖2，連接,則由可得,所以直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)o，同理可證直線也經(jīng)過(guò)原點(diǎn)o又設(shè)則9.（2009全國(guó)卷理）已知橢圓的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)f的直線與相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為 （i）求，的值；（ii）上是否存在點(diǎn)p，使得當(dāng)繞f轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？若存在，求出所有的p的坐標(biāo)與的方程；若不存在，說(shuō)明理由。解 (i）設(shè)，直線，由坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為 則，解得 .又.（ii）由(i）知橢圓的方程為.設(shè)、由題意知的斜率為一定不為0，故不妨設(shè) 代入橢圓的方程中整理得，顯然。由韋達(dá)定理有：.假設(shè)存在點(diǎn)

10、p，使成立，則其充要條件為：點(diǎn)，點(diǎn)p在橢圓上，即。整理得。 又在橢圓上，即.故將及代入解得,=,即.當(dāng);當(dāng).10.（2009福建卷理）已知a,b 分別為曲線c： +=1（y0,a0）與x軸的左、右兩個(gè)交點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)b,且與軸垂直，s為上異于點(diǎn)b的一點(diǎn)，連結(jié)as交曲線c于點(diǎn)t.(1)若曲線c為半圓，點(diǎn)t為圓弧的三等分點(diǎn)，試求出點(diǎn)s的坐標(biāo)；（ii）如圖，點(diǎn)m是以sb為直徑的圓與線段tb的交點(diǎn)，試問(wèn)：是否存在,使得o,m,s三點(diǎn)共線？若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 解 方法一()當(dāng)曲線c為半圓時(shí)，如圖，由點(diǎn)t為圓弧的三等分點(diǎn)得bot=60或120.(1)當(dāng)bot=60時(shí), sae=30.

11、又ab=2,故在sae中,有 (2)當(dāng)bot=120時(shí),同理可求得點(diǎn)s的坐標(biāo)為,綜上, ()假設(shè)存在,使得o,m,s三點(diǎn)共線.由于點(diǎn)m在以sb為直線的圓上,故.顯然,直線as的斜率k存在且k0,可設(shè)直線as的方程為.由設(shè)點(diǎn)故,從而.亦即由得由,可得即經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)時(shí),o,m,s三點(diǎn)共線. 故存在,使得o,m,s三點(diǎn)共線.方法二:()同方法一.()假設(shè)存在a,使得o,m,s三點(diǎn)共線.由于點(diǎn)m在以so為直徑的圓上,故.顯然,直線as的斜率k存在且k0,可設(shè)直線as的方程為由設(shè)點(diǎn),則有故由所直線sm的方程為o,s,m三點(diǎn)共線當(dāng)且僅當(dāng)o在直線sm上,即.故存在,使得o,m,s三點(diǎn)共線.11.（2009遼寧

12、卷文、理）已知，橢圓c以過(guò)點(diǎn)a（1，），兩個(gè)焦點(diǎn)為（1，0）（1，0）。（1） 求橢圓c的方程；（2） e,f是橢圓c上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線ae的斜率與af的斜率互為相反數(shù)，證明直線ef的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。 （）解 由題意，c1,可設(shè)橢圓方程為。 因?yàn)閍在橢圓上，所以，解得3，（舍去）。所以橢圓方程為 （）證明 設(shè)直線方程：得，代入得 設(shè)（，），（，）因?yàn)辄c(diǎn)（1，）在橢圓上，所以， 。又直線af的斜率與ae的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代，可得， 。所以直線ef的斜率。即直線ef的斜率為定值，其值為。 12.（2009寧夏海南卷理） 已知橢圓c的中心為直角坐標(biāo)系xoy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在s軸

13、上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.（）求橢圓c的方程；（）若p為橢圓c上的動(dòng)點(diǎn)，m為過(guò)p且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，=，求點(diǎn)m的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線。 解 ()設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及半焦距分別為，由已知得， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （）設(shè)，其中。由已知及點(diǎn)在橢圓上可得。整理得，其中。（i）時(shí)?；?jiǎn)得 所以點(diǎn)的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段。（ii）時(shí)，方程變形為，其中當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在軸上的雙曲線滿足的部分。當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓滿足的部分；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓；13.（2009四川卷文、理）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分

14、別為，離心率，右準(zhǔn)線方程為。（i）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ii）過(guò)點(diǎn)的直線與該橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程。解 （i）由已知得，解得 所求橢圓的方程為 . （ii）由（i）得、若直線的斜率不存在，則直線的方程為，由得設(shè)、， ，這與已知相矛盾。若直線的斜率存在，設(shè)直線直線的斜率為，則直線的方程為，設(shè)、，聯(lián)立，消元得 ， ， 又 化簡(jiǎn)得解得 所求直線的方程為 14.(2009湖南卷理)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)p到點(diǎn)f（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當(dāng)p點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，d恒等于點(diǎn)p的橫坐標(biāo)與18之和 （）求點(diǎn)p的軌跡c；（）設(shè)過(guò)點(diǎn)f的直線l與軌跡c相交于m，n兩點(diǎn)，求線段m

15、n長(zhǎng)度的最大值。 解（）設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為（x，y），則3x-2由題設(shè) 當(dāng)x2時(shí)，由得 化簡(jiǎn)得 當(dāng)時(shí) 由得化簡(jiǎn)得 故點(diǎn)p的軌跡c是橢圓在直線x=2的右側(cè)部分與拋物線在直線x=2的左側(cè)部分（包括它與直線x=2的交點(diǎn)）所組成的曲線，參見(jiàn)圖1（）如圖2所示，易知直線x=2與，的交點(diǎn)都是a（2，），b（2，），直線af，bf的斜率分別為=，=.當(dāng)點(diǎn)p在上時(shí)，由知. 當(dāng)點(diǎn)p在上時(shí)，由知 若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為（i）當(dāng)k，或k，即k-2 時(shí)，直線i與軌跡c的兩個(gè)交點(diǎn)m（，），n（，）都在c 上，此時(shí)由知mf= 6 - nf= 6 - 從而mn= mf+ nf= （6 - ）+ （6 - ）=1

16、2 - ( +)由 得 則，是這個(gè)方程的兩根，所以+=*mn=12 - （+）=12 - 因?yàn)楫?dāng) 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。（2）當(dāng)時(shí)，直線l與軌跡c的兩個(gè)交點(diǎn) 分別在上，不妨設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)上，則知， 設(shè)直線af與橢圓的另一交點(diǎn)為e 所以。而點(diǎn)a，e都在上，且 有（1）知 若直線的斜率不存在，則=3，此時(shí)綜上所述，線段mn長(zhǎng)度的最大值為.15.（2009年上海卷理）已知雙曲線設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線l的方向向量當(dāng)直線l與雙曲線c的一條漸近線m平行時(shí)，求直線l的方程及l(fā)與m的距離；（1） 證明：當(dāng)時(shí)，在雙曲線c的右支上不存在點(diǎn)q，使之到直線l的距離為。（1）解 雙曲線c的漸近線 直線l的方程 直線l與m的距離 （2）證明 方法一設(shè)過(guò)原點(diǎn)且平行與l的直線則直線l與b的距離當(dāng) 又雙曲線c的漸近線為 雙曲線c的右支在直線b的右下方，雙曲線右支上的任意點(diǎn)到直線的距離為。故在雙曲線的右支上不存在點(diǎn)，使之到直線的距離為。（2）方法二 雙曲線的右支上存在點(diǎn)到直線的距離為，則由（1）得， 設(shè) 當(dāng)，0將 代入（2）得 （*）方程（*）不存在正根，即假設(shè)不成立 故在雙曲線c的右支上不存在q，使之到直線l 的距離為16.（2009重慶卷理）已知以原點(diǎn)為中心的橢圓的一條準(zhǔn)線方程為，離心率，