數(shù)學(xué)分析中輔助函數(shù)的作法與應(yīng)用

1、 數(shù)學(xué)分析中輔助函數(shù)的作法與應(yīng)用 摘要:輔助函數(shù)法不僅是轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題的一種重要手段，而且是綜合運用多種數(shù)學(xué)思維進(jìn)行理論分析的具體體現(xiàn).通過系統(tǒng)的探討輔助函數(shù)在微分中值定理的證明、定積分不等式證明、利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式、數(shù)值不等式證明中的作法，對相關(guān)結(jié)論進(jìn)行了證明，并用多個例子論述并總結(jié)了輔助函數(shù)法在碩士研究生考試命題中的應(yīng)用.理論結(jié)合實例的分析與總結(jié)，結(jié)果表明經(jīng)由輔助函數(shù)法這樣一種巧妙的數(shù)學(xué)變換，我們可以將一般問題化為特殊問題，將復(fù)雜問題化為簡單問題，進(jìn)而提高解題的效率.關(guān)鍵詞: 輔助函數(shù)法；理論分析；定理證明；不等式證明auxiliary function in the practice

2、 and application of mathematical analysis abstract：method of auxiliary function is not only a kind of transformation mathematical problems, but also is an important means of comprehensive use of mathematical thinking a theoretical analysis of the concrete embodiment of systematic discussion. through

3、 the auxiliary function in the mid-value theorem of proof, definite integral inequality proof, using functional monotonicity proof, inequality, the numerical inequality proof of relevant conclusion practice proved, and multiple example demonstrating and summarizes the method of auxiliary function in

4、 the application of exam of master graduate student proposition. theory of analysis and summary examples, the result shows that through the method of auxiliary function such a clever mathematical transformation, we can will generally problem into special problems, will complex problem into a simple

5、question, thus improving the efficiency of solving problems.key words：method of auxiliary function; theoretical analysis; theorem proof; inequality proof0 引言 輔助函數(shù)是數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造的輔助手段的一種，它是依據(jù)數(shù)學(xué)問題所提供的信息而構(gòu)造的函數(shù).通常情況下，我們可以利用這個函數(shù)的特性進(jìn)行有關(guān)的證明或求.之所以要構(gòu)造輔助函數(shù)，是因為通過這樣一種巧妙的數(shù)學(xué)變，我們可以將原來不易解決的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為容易解決的輔助函數(shù)問題.在數(shù)學(xué)分析中，微分中值定理

6、扮演了極其重要的角色，而有關(guān)輔助函數(shù)的構(gòu)造問題是應(yīng)用微分中值定理解決問題的關(guān)鍵.在近幾年的數(shù)學(xué)類碩士研究生考試，有關(guān)微分中值定理的命題屢見不鮮，而解決這類問題的關(guān)鍵正是有關(guān)輔助函數(shù)的構(gòu)造問題.如果我們對輔助函數(shù)的構(gòu)造原理有一個清晰的認(rèn)識和理解，那么對于這類問題的解決無疑是種莫大的幫助.因而，探究有關(guān)輔助函數(shù)的構(gòu)造及應(yīng)用問題對于我們具有重要的理論意義和實用價值. 本文將從四個方面探討有關(guān)輔助函數(shù)的作法與應(yīng)用問題.首先將給出微分中值定理中輔助函數(shù)的三種作法，并且對于每一種作法都將相應(yīng)的給出幾個例題予以應(yīng)用，以便使大家不僅能夠理解并掌握這種方法，而且能夠饒有興趣地繼續(xù)研究其它的方法，以拓寬思維；其次

7、將探討定積分不等式證明中輔助函數(shù)的作法與應(yīng)用問題；再次將討論利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式中輔助函數(shù)的作法與應(yīng)用問題；最后我們討論數(shù)值不等式證明中輔助函數(shù)的作法與應(yīng)用問題.全文大體分為這四個部分，旨在對于輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)分析中的作法與應(yīng)用作一個初步的探究.1 微分中值定理中輔助函數(shù)的作法與應(yīng)用 在微分中值定理中，輔助函數(shù)的作法常見的有以下三種：1.1 原函數(shù)法（又稱微分方程法） 應(yīng)用原函數(shù)法構(gòu)造輔助函數(shù)的步驟如下：第一步：將欲證結(jié)論中的或改寫為；第二步：通過恒等變形將欲證結(jié)論化為易消除導(dǎo)數(shù)符號的形式（或稱為易積分形式）；第三步：用觀察法或積分法求出原函數(shù)（即不含導(dǎo)數(shù)符號的式子）.為簡便起見，積分常數(shù)取

8、作“0”；第四步：移項，使不等式一端為“0”，另一端即為所求的輔助函數(shù). 下面，首先我們以拉格朗日中值定理和柯西中值定理為例，利用原函數(shù)法來構(gòu)造輔助函數(shù)，以得到這兩個定理的證明.定理 拉格朗日（lagrange）中值定理 設(shè)函數(shù)滿足如下條件：（i）在閉區(qū)間上連續(xù)；（ii）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則至少存在一點，使得 分析：拉格朗日中值定理的結(jié)論：于是得到輔助函數(shù) 證明：令則在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；且即 所以函數(shù)在上滿足羅爾中值定理的三個條件于是由羅爾中值定理知，至少存在一點，使得又 故 ， 即 定理 柯西（cauchy）中值定理 設(shè)函數(shù)滿足如下條件：（i）在閉區(qū)間上都連續(xù)；（ii）在開區(qū)間內(nèi)都

9、可導(dǎo)；（iii）在內(nèi)不同時為零；（iv）；則至少存在一點，使得 分析：柯西中值定理的結(jié)論：于是得到輔助函數(shù) 證明：令則在閉區(qū)間上都連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)都可導(dǎo)；且即 所以函數(shù)在上滿足羅爾中值定理的三個條件于是由羅爾中值定理知，至少存在一點，使得又 故 ， 即 以上所給出的利用原函數(shù)法來構(gòu)造輔助函數(shù)，以證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理，較教材中所構(gòu)造的那個輔助函數(shù)更易于我們掌握運用.因為這種方法本身為我們闡明了有關(guān)這類問題輔助函數(shù)的構(gòu)造原理，具有一定的科學(xué)探究性和推理性.微分中值定理在微分學(xué)中應(yīng)用非常廣泛，我們經(jīng)常會遇到類似“至少存在一點,使得等滿足”的證明問.有關(guān)這類問題的解決常常要用到中值定理,

10、而應(yīng)用中值定理時往往需要構(gòu)造出輔助函數(shù).若輔助函數(shù)構(gòu)造的巧妙適當(dāng),則問題很快便能迎刃而解;否則,我們有時會感到無從下手. 以下，我們利用微分中值定理證明一些恒等式，其方法仍然是構(gòu)造輔助函數(shù).為直觀地說明這種方法的巧妙性，我們以一些考研真題為例來繼續(xù)討論原函數(shù)法在構(gòu)造輔助函數(shù)方面的精妙之處.例1.1.1 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且有.試證：至少存在一點，使得. 分析：由原結(jié)論于是得到輔助函數(shù)顯然在上滿足羅爾中值定理的條件 證：令則在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；且，即 所以函數(shù)在上滿足羅爾中值定理的三個條件于是由羅爾中值定理知，至少存在一點，使得又 故 例1.1.2 設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)，且.試

11、證：至少存在一點，使得 分析：由原結(jié)論兩邊積分，得.令，并移項，得于是得到輔助函數(shù)顯然在上滿足羅爾中值定理的條件 證：令則在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；且即 所以函數(shù)在上滿足羅爾中值定理的三個條件于是由羅爾中值定理知，至少存在一點，使得又 故 ，即 例1.1.3設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo).試證：至少存在一點，使得，這里 分析：由原結(jié)論于是得到輔助函數(shù)顯然在上滿足柯西中值定理的條件。 證：令則由題設(shè)條件知，在閉區(qū)間上都連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)都可導(dǎo)；在內(nèi)， ；所以函數(shù)在上滿足柯西中值定理的四個條件于是由柯西中值定理知，至少存在一點，使得 又 故 ， 即 例1.1.4 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且.試證：

12、存在，使得 分析：由原結(jié)論于是得到輔助函數(shù)顯然與在上都滿足柯西中值定理的條件 證：令則由題設(shè)條件知，在閉區(qū)間上都連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)都可導(dǎo)；在內(nèi)，；所以函數(shù)在上滿足柯西中值定理的四個條件于是由柯西中值定理知，至少存在一點，使得 (1)再令則在上也滿足柯西中值定理的四個條件于是由柯西中值定理知，至少存在一點，使得 (2)聯(lián)立（1），（2）兩式便得： 以上各題以不同的形式向我們闡明了原函數(shù)法在構(gòu)造輔助函數(shù)方面的巧妙.也就是說，它們的欲證結(jié)論雖呈現(xiàn)不同的形式，但這類問題總可以利用原函數(shù)法所構(gòu)造的輔助函數(shù)予以成功解決，只是我們要特別注意這種方法的靈活性和技巧性.1.2 常數(shù)k值法 常數(shù)k值法適用于欲證結(jié)論

13、中常數(shù)部分可分離出的命題.有關(guān)這類命題，構(gòu)造輔助函數(shù)的步驟如下：第一步：令常數(shù)部分為k;第二步：作恒等變形，使上述等式一端為及構(gòu)成的代數(shù)式，另一端為及構(gòu)成的代數(shù)式;第三步：分析端點的表達(dá)式是否為對稱式或輪換對稱式.若是，只需把 (或)改寫為,相應(yīng)的函數(shù)值 (或）改寫為,則替換變量后的端點表達(dá)式即為所求的輔助函數(shù). 為便于在以后的解題中應(yīng)用這種方法，下面我們舉一個例子.例1.2.1設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo).證明：存在，使得 分析：令 ，則 顯然這是一個對稱式（這是因為a與b互換，等式不變）于是得到輔助函數(shù)顯然在上滿足羅爾中值定理的條件 證：令則在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；且即 所以函數(shù)在上滿

14、足羅爾中值定理的三個條件于是由羅爾中值定理知，至少存在一點，使得又 故 ， 即 常數(shù)k值法只適用于欲證結(jié)論中的常數(shù)部分可分離出的命題.若遇到的問題中，其欲證結(jié)論中的常數(shù)部分無法分離出或即使能夠分離出但分離出后的形式特別復(fù)雜，則這種方法一般不再適用.拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒定理也可以用常數(shù)k值法通過找輔助函數(shù)加以證明.1.3 嘗試法 嘗試法適用于題設(shè)條件或欲證結(jié)論中含有積分表達(dá)式的命題.有關(guān)這類命題，構(gòu)造輔助函數(shù)的方法如下: 將欲證結(jié)論中的或改寫為，移項后，使等式一端為“”，令另一端的表達(dá)式為 (i)若滿足根的存在性定理（又稱零值定理）的條件，則由根的存在性定理即可得出命題的證明；

15、（ii）若不滿足根的存在性定理的條件，即或,則此時改令為移項后含的那一端表達(dá)式，再通過積分得出輔助函數(shù)，此時應(yīng)該檢驗是否滿足羅爾中值定理的條件.若滿足，則由羅爾中值定理即可得出命題的證明；若不滿足，則通常驗證不出=,此時應(yīng)改令為移項后含的那一端表達(dá)式，通過兩次積分即可得到輔助函數(shù)，此時證明命題時，須將展成一階泰勒公式，由此即可得出命題的證明. 有關(guān)微分中值定理的命題在歷屆考研試題中大量出現(xiàn)，解決這種命題的關(guān)鍵是構(gòu)造出合適的輔助函數(shù)，嘗試法是解決這類問題的一個很好的方法.我們接著以一些考研真題為來繼續(xù)討論這種方法的靈活性和實用性.例1.3.1 設(shè)函數(shù)在上非負(fù)連續(xù).證明：在內(nèi)至少存在一點，使得 分

16、析：由原結(jié)論令 則 ， 在上不滿足根的存在性定理的條件此時改令 積分，得 顯然在上滿足羅爾中值定理的條件故 由羅爾中值定理即可得到該命題的證明 證：令則在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；且所以函數(shù)在上滿足羅爾中值定理的三個條件于是由羅爾中值定理知，至少存在一點，使得又 故 ，即 例1.3.2設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo).證明：在內(nèi)至少存在一點，使得 分析：由原結(jié)論令 ，則由于無法判斷與是否嚴(yán)格異號因此 在上不滿足根的存在性定理的條件.此時改令積分，得 顯然在上滿足羅爾中值定理的條件故由羅爾中值定理即可得到該命題的證明 證：令 則在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；且所以函數(shù)在上滿足羅爾中值定理的三個條件

17、于是由羅爾中值定理知，至少存在一點，使得又 故 ， 即 例1.3.3 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且.證明：至少存在一點，使得 分析：由原結(jié)論令 ，則 在上不滿足根的存在性定理的條件此時改令，積分，得顯然在上滿足羅爾中值定理的條件故由羅爾中值定理即可得到該命題的證明 證：令則在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；且 即 所以函數(shù)在上滿足羅爾中值定理的三個條件于是由羅爾中值定理知，至少存在一點，使得又 故 例1.3.4設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)，且.證明：在內(nèi)至少存在一點，使得 分析：由原結(jié)論令 則 由于無法判斷與是否嚴(yán)格異號因此在上不滿足根的存在性定理的條件.此時改令 積分，得 ， 于是有 由于無法判斷與是否

18、相等因此在上不滿足羅爾中值定理條件.此時改令 兩次積分，得 顯然在上滿足羅爾中值定理的條件故由羅爾中值定理即可得到該命題的證明 證：令 則由題設(shè)條件知在內(nèi)二階可導(dǎo).現(xiàn)將在處展成一階泰勒公式，得令 ， 則有 因為 所以由式有， 又因為 所以 于是由式有， ， 又 故在內(nèi)存在一點，使得 運用嘗試法構(gòu)造輔助函數(shù)，首先必須明確題型的特點，然后依照如上的方法予以逐步探討.這種構(gòu)造輔助函數(shù)的方法較前兩種相對難一些，其關(guān)鍵在于每一步都必須運用相關(guān)定理及運算技巧予以仔細(xì)推證.2 定積分不等式證明中輔助函數(shù)的作法與應(yīng)用 若被積函數(shù)是連續(xù)的，則有關(guān)這類不等式的證明，我們一定要采用輔助函數(shù)法.也就是說，在這類問題的

19、證明中，我們通常是把定上限積分變?yōu)樽兩舷薹e分或把定下限積分變?yōu)樽兿孪薹e分來予以證明. 以下我們通過一個例子來說明這種方法在證明定積分不等式中的巧妙性.例2.1設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且嚴(yán)格單增.證明：分析：令, 則原結(jié)論變?yōu)?于是得到輔助函數(shù)下面只需證明在上嚴(yán)格單增即可得到命題的證明.為此只需證在上恒成立. 證：令 且 又 在上嚴(yán)格單增， 在上嚴(yán)格單增故 ， 即 3 利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式中輔助函數(shù)的作法與應(yīng)用 在利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式時，輔助函數(shù)的作法通常有以下兩種方法：（1） 直接通過移項，使不等式一端為“0”，另一端記為.（2） 直接對不等式作恒等變形，然后再移項，使不等式一端為“0”，另一

20、端記為.有關(guān)這類問題，其證明的程序一般可分為以下幾個步驟：第一步：作輔助函數(shù)；第二步：求出輔助函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷它的單調(diào)性；第三步：由第二步以及得出來的輔助函數(shù)在某一端點處的函數(shù)值（一般來說，端點處的函數(shù)值或者等于零或者已經(jīng)知道它的符號），我們可以立刻得出命題的證明. 為說明這種證明方法的實用性，下面我們舉一個例子.例3.1設(shè).證明： 分析：由原結(jié)論 于是得到輔助函數(shù)下面只需證明在內(nèi)單增即可得到命題的證明為此只需證在內(nèi)恒成立 證：令則 ，且 所以 在內(nèi)嚴(yán)格單增 故 即 ， 亦即 4 數(shù)值不等式證明中輔助函數(shù)的作法與應(yīng)用 有關(guān)這類不等式的證明，通常有以下兩種方法：（1）形似法：即由數(shù)值不等式出發(fā)找

21、一個與之相似的函數(shù)，由的單調(diào)性去證明這個數(shù)值不等式.（2）通過改變不等式中某個常數(shù)為變量，移項后，使不等式的一端為“0”，另一端即為所求的輔助函數(shù). 下面，我們應(yīng)用上面所介紹的方法來證明以下兩個命題.例4.1證明： 分析：顯然與該數(shù)值不等式相似的一個函數(shù)為 證：令 則 所以在其定義域內(nèi)嚴(yán)格單增又 又 故 例4.2 設(shè).證明： 分析：由原結(jié)論令 ，則上式變?yōu)?于是得到輔助函數(shù) 證：令則 且 ， 又 在內(nèi)嚴(yán)格單增 在內(nèi)嚴(yán)格單增 故 即 ， 亦即 5 結(jié)束語 通過對以上命題中輔助函數(shù)的構(gòu)造方法和技巧的歸納和分析可知，數(shù)學(xué)應(yīng)該在培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思想觀念，提高用構(gòu)造輔助函數(shù)法解決數(shù)學(xué)問題的意識和能力方面體現(xiàn)教育價. 特別需要指出的是，中值定理是研究函數(shù)性態(tài)的一個重要的數(shù)學(xué)工具，