高中數(shù)學(xué)微課題研究性精品教程專題6.7：等差數(shù)列中前 項和的最值問題的研究與拓展

1、 專題6.7：等差數(shù)列中前項和的最值問題的研究與拓展 【探究拓展】探究1：設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知，.（1）求公差的取值范圍；（2）求中的最大值.變式1：等差數(shù)列的前項和為，若，則前多少項的和最大？變式2：若把條件改為“”，有類似的結(jié)論嗎？變式3：一般地，若， ，則前多少項的和最大？變式4：若是等差數(shù)列，且，求證：；法1：基本量法證明法2：圖象，由，可得圖象關(guān)于對稱，故法3：由可得：，即得，易得證. 變式5：探究5的逆命題是否成立？即若是等差數(shù)列，且，且，則成立嗎？為什么？拓展1：已知為等差數(shù)列，若，且它的前項和有最大值，那么當(dāng)取得最小正值時， . 19拓展2：等差數(shù)列的前項和滿足：，則當(dāng)時

2、，最大.8 拓展3：在等差數(shù)列中，公差，、是方程的兩個根. 是數(shù)列的前項和，那么滿足條件的最大自然數(shù) 4021拓展4：已知數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，其前項之積為且，則下列四個命題中，真命題的序號為_（1）；（2）使得取得最大值的；（3）滿足不等式的最大正整數(shù)；探究2：設(shè)是各項均為非零實數(shù)的數(shù)列的前項和，給出如下兩個命題：命題：是等差數(shù)列；命題：等式對任意（）恒成立，其中是常數(shù).（1）若是的充分條件，求的值；（2）對于（1）中的與，問是否為的必要條件，請說明理由；（3）若為真命題，對于給定的正整數(shù)（）和正數(shù)m，數(shù)列滿足條件，試求的最大值.解：（1）設(shè)的公差為，當(dāng)時原等式可化為所以，即對于恒成立，所

3、以當(dāng)時，也成立（2）當(dāng)時 假設(shè)命題成立，即“若對于任意的恒成立，則為等差數(shù)列”. 當(dāng)時，顯然成立當(dāng)時，由-得，即.當(dāng)時，即、成等差數(shù)列，當(dāng)時，即.所以為等差數(shù)列，即為的必要條件.(3)由，可設(shè)，所以.設(shè)的公差為，則，所以，所以，所以的最大值為拓展1：設(shè)數(shù)列中的每一項都不為0.證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何，都有拓展2：已知是等差數(shù)列，對于給定的正整數(shù)， ，則的最大值為_.拓展3：在正項數(shù)列中,令.（1）若是首項為25,公差為2的等差數(shù)列,求；（2）若（為正常數(shù)）對正整數(shù)恒成立,求證為等差數(shù)列；（3）給定正整數(shù),正實數(shù),對于滿足的所有等差數(shù)列,求的最大值.解：（1）由題意得,所以=（2）證:令,則=1所以=（1）,=（2）,（2）（1）,得=,化簡得（3）（4）,（4）（3）得 在（3）中令,得,從而為等