江蘇省各地市高三歷次模擬數(shù)學(xué)試題分類匯編：第7章數(shù)列

1、目錄（基礎(chǔ)復(fù)習(xí)部分）第七章數(shù)列2第40課數(shù)列的概念和簡單表示2第41課等差數(shù)列2第42課等比數(shù)列5第43課數(shù)列求和5第44課綜合應(yīng)用（）11第45課綜合應(yīng)用（）28第七章 數(shù)列第40課 數(shù)列的概念和簡單表示已知，設(shè)為數(shù)列的最大項(xiàng)，則8（南京鹽城模擬一）已知數(shù)列滿足，n*)若數(shù)列單調(diào)遞減，數(shù)列單調(diào)遞增，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .答案：（說明：或?qū)懗傻诙?shù)歸法可證，第二步分奇偶）設(shè)單調(diào)遞增數(shù)列an的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且a7=120,an+2=an+an+1,nn*，則a8= 答案：194.a7=5a1+8a2=120,所以a1=8k,a2=5m,所以k+m=3,所以k=1,m=2.第41課 等差數(shù)列在等

2、差數(shù)列中，則若等差數(shù)列的前5項(xiàng)和且則 .-3若一直角三角形的三邊長構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，則該直角三角形的周長為 24等差數(shù)列中，則該數(shù)列前十項(xiàng)的和 （蘇州期末）已知等差數(shù)列中，若前5項(xiàng)的和，則其公差為 . 2（蘇北四市期末）在等差數(shù)列中，已知，則的值為 22（淮安宿遷摸底）已知是等差數(shù)列，若，則的值是 （鹽城期中）在等差數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，若，則= . 12（南京鹽城二模）記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且數(shù)列也為等差數(shù)列，則= 。50（南通調(diào)研二）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為4，公差為2，前項(xiàng)和為若()，則的值為 【答案】7（南通調(diào)研三）在等差數(shù)列an中，若an+an+2=4n+6（nn*），則該數(shù)

3、列的通項(xiàng)公式an= 【答案】2n+1（蘇北三市調(diào)研三）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為 37（南京三模）記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn若sk18，sk0，sk110，則正整數(shù)k 9已知數(shù)列（n*，）滿足，其中，n*（1）當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的表達(dá)式，并求的取值范圍；（2）設(shè)集合，n*，若，求證：；是否存在實(shí)數(shù)，使，都屬于？若存在，請求出實(shí)數(shù)，；若不存在，請說明理由19解：（1）當(dāng)時(shí)， 2分因?yàn)?，或，所?4分（2）由題意，6分令，得因?yàn)椋琻*，所以令，則 8分不存在實(shí)數(shù)，使，同時(shí)屬于 9分 假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，同時(shí)屬于，從而， 11分因?yàn)椋瑫r(shí)屬于，所以存在三個(gè)不同的整數(shù)，（，），使得從而則 13分因?yàn)榕c

4、互質(zhì)，且與為整數(shù)，所以，但，矛盾所以不存在實(shí)數(shù)，使，都屬于 16分（南師附中四校聯(lián)考）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.（1） 又是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則4分 6分8分注：由解得，但沒有證明原式成立，只給4分.（2）得10分兩式相減得12分14分 可得 是等差數(shù)列16分第42課 等比數(shù)列已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)則 3等比數(shù)列中，則數(shù)列的前6項(xiàng)和為 答案：；已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若，則 （揚(yáng)州期末）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若對任意n*，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是. （鎮(zhèn)江期末）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 . 448（鹽城期

5、中）若等比數(shù)列滿足，則 . 27（泰州二模）在等比數(shù)列中，已知，則 (南通中學(xué)期中) 已知數(shù)列滿足（q為常數(shù)），若18，6，2，6，30，則 【知識點(diǎn)】單元綜合d5【答案】-2,126，-3【解析】由已知可得，an+1+2=q（an+2），n=1，2，當(dāng)an=-2時(shí)，顯然有a3，a4，a5，a6-18，-6，-2，6，30，此時(shí)a1=-2當(dāng)an-2時(shí)，則，（q為常數(shù)），又因?yàn)閍3，a4，a5，a6-18，-6，-2，6，30，所以a3+2，a4+2，a5+2，a6+2-16，-4，0，8，32，因?yàn)閍n-2，所以an+20，從而a3+2=32，a4+2=-16，a5+2=8，a6+2=-4，或

6、a3+2=-4，a4+2=8，a5+2=-16，a6+2=32故有q=-2或q=-代入an+1=qan+2q-2得a1=-3，或a1=126【思路點(diǎn)撥】觀察已知式子，移項(xiàng)變形為an+1+2=q（an+2），從而得到an+2與an+1+2的關(guān)系，分an=-2和an-2討論，當(dāng)an-2時(shí)構(gòu)造等比數(shù)列an+2，公比為q計(jì)算可得答案第43課 數(shù)列求和（鹽城期中）設(shè)函數(shù)的圖象在軸上截得的線段長為，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在正整數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的最小值為 . 13（南師附中四校聯(lián)考）已知數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .（金海南三校聯(lián)考）設(shè)sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若sn=nan3n(n

7、1)(nn*)且a2=11，則s20= .12401 已知有窮等差數(shù)列an公差為4，其首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過100，這樣的數(shù)列至多有 項(xiàng)答案：8已知an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)的和為sn， bn是等比數(shù)列，且a1b12，a4b421，s4b430（1）求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；（2）記cnanbn，nn*，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q由a1b12，得a423d，b42q3，s486d 3分由條件a4b421，s4b430，得方程組解得所以ann1，bn2n，nn* 7分（2）由題意知，cn(n1)2n記tnc1c2c3cn則tnc1c2c

8、3cn 22322423n2n1 (n1)2n，2 tn 222323(n1)2n1n2n (n1)2n1，所以tn22(22232n )(n1)2n1， 11分即tnn2n1，nn* 14分已知數(shù)列、，其中，數(shù)列的前項(xiàng)和,數(shù)列滿足 （1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）是否存在自然數(shù)，使得對于任意有恒成立？若存在,求出的最小值；（3）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（1）因?yàn)?當(dāng)時(shí)，所以所以，即 2分又，所以. 4分當(dāng)時(shí)，上式成立，因?yàn)?，所以是首?xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故. 6分(2) 由（1）知，則.假設(shè)存在自然數(shù)，使得對于任意有恒成立，即恒成立，由，解得9分所以存在自然數(shù)，使得對于任意有恒成

9、立，此時(shí)，的最小值為16. 11分（3）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；13分當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，. 15分因此 16分（蘇州期末）已知數(shù)列中，（1）是否存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列是等比數(shù)列？若存在，求的值；若不存在，請說明理由；（2）若是數(shù)列的前項(xiàng)和，求滿足的所有正整數(shù)解：（1）設(shè)，因?yàn)椋?分若數(shù)列是等比數(shù)列，則必須有（常數(shù)），即，即 5分此時(shí)，所以存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列是等比數(shù)列 6分（注：利用前幾項(xiàng)，求出的值，并證明不扣分）（2）由（1）得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故，即，8分由，得，10分所以，12分顯然當(dāng)n*時(shí)，單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，；，同理，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，綜上，滿足的所有正整數(shù)為1和2 16分（鹽城期中）設(shè)數(shù)

10、列的前項(xiàng)和為，且. （1）若是等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；（2）若. 當(dāng)時(shí)，試求； 若數(shù)列為遞增數(shù)列，且，試求滿足條件的所有正整數(shù)的值.解：（1）由等差數(shù)列求和公式， 2分，解得， ； 4分（說明：也可以設(shè)；或令，先求出首項(xiàng)與公差）（2）由， 得 ， 6分， . 8分（說明：用，利用分組方法求和，類似給分.）（3）設(shè)，由，得與， 10分又， 相減得，數(shù)列為遞增數(shù)列，解得， 12分由， 14分，解得. 16分（蘇北三市調(diào)研三）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求所有正整數(shù)m的值，使得恰好為數(shù)列中的項(xiàng)(1) 因?yàn)?當(dāng)時(shí),解得.1分 由,當(dāng)

11、,兩式相減，得2分又因?yàn)?所以，所以,4分由得， 所以6分(2)由題意得，所以 8分所以 10分故若為中的項(xiàng)只能為 11分()若,則,所以無解12分（）若 顯然不符合題意，符合題意當(dāng)時(shí)，即則設(shè)則，即為增函數(shù)，故，即為增函數(shù)故故當(dāng)時(shí)方程無解，即 是方程唯一解。15分（）若則,即.綜上所述，或16分第44課 綜合應(yīng)用（）設(shè)等比數(shù)列的公比為（），前n項(xiàng)和為，若，且與的等差中項(xiàng)為，則 記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn若a11，sn2(a1an)(n2，nn*)，則sn 22n1已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且滿足，則滿足的的最大值為 .9已知是分比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，不等式的解集是則 .（鹽城三模）設(shè)是等差數(shù)列的

12、前項(xiàng)和，若數(shù)列滿足且，則的最小值為 （蘇錫常鎮(zhèn)二模）已知等差數(shù)列滿足：若將都加上同一個(gè)數(shù)，所得的三個(gè)數(shù)依此成等比數(shù)列，則的值為 （前黃姜堰四校聯(lián)考）已知數(shù)列滿足，, ,則的值為 . 2 等比數(shù)列an中，首項(xiàng)a12，公比q3，anan1am720(m，nn*，mn)，則mn 【答案】9（鎮(zhèn)江期末）已知數(shù)列中，在，之間插入1個(gè)數(shù)，在，之間插入2個(gè)數(shù)，在，之間插入3個(gè)數(shù)，在，之間插入個(gè)數(shù)，使得所有插入的數(shù)和原數(shù)列中的所有項(xiàng)按原有位置順序構(gòu)成一個(gè)正項(xiàng)等差數(shù)列（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足(，為常數(shù))，求的通項(xiàng)公式解：（1）設(shè)的公差為，由題意，數(shù)列的前幾項(xiàng)為：，2分為的第10項(xiàng)，

13、則， 4分，而， 5分故數(shù)列的通項(xiàng)公式為 6分（2）由（，為常數(shù)），得， 7分當(dāng)?shù)茫?當(dāng)時(shí)， 得， 8分則， 9分若，則，代入上式，得，不成立； 10分（法一）當(dāng)，常數(shù) 恒成立，又為正項(xiàng)等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，不為常數(shù)，則得， 11分代入式，得 12分（法二），即，則對恒成立，令，3得解得 11分代入式，得 12分（法三）由， 得， ，得，代入上式得， 11分代入式，得 12分所以等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則 13分設(shè)中的第項(xiàng)為數(shù)列中的第項(xiàng)，則前面共有的項(xiàng)，又插入了項(xiàng)，則， 15分故 16分【說明】本題是原創(chuàng)題，考查等差數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)、求和、簡單遞推；考查一般與特殊思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想；考查運(yùn)算能力

14、；考查分析探究能力.設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為公比為為正整數(shù)），且滿足是與的等差中項(xiàng)；數(shù)列滿足（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2） 試確定的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；（3） 當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，對每個(gè)正整數(shù)在與之間插入個(gè)2，得到一個(gè)新 數(shù)列.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試求滿足的所有正整數(shù)【解析】（）因?yàn)?所以，解得（舍），則- 3分又，所以-5分（）由 ，得，所以,則由，得- 8分而當(dāng)時(shí)，由（常數(shù)）知此時(shí)數(shù)列為等差數(shù)列- 10分18在等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)；（2）問是否存在正整數(shù)，使得成立？如果存在，請求出的關(guān)系式；如果不存在，請說明理由18解：設(shè)等差數(shù)列

15、的公差為，則 2分解得 4分所以 6分（2）因?yàn)椋?7分所以有（*）若，則，（*）不成立，所以，9分若為奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，不成立， 10分當(dāng)時(shí)，設(shè)，則 12分若為偶數(shù)，設(shè)，則，因?yàn)?，所?4分綜上所述，只有當(dāng)為大于1的奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，不存在 16分?jǐn)?shù)列、滿足：，；（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若數(shù)列、都是等差數(shù)列，求證：數(shù)列從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列；（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，試判斷當(dāng)時(shí)，數(shù)列是否成等差數(shù)列？證明你的結(jié)論19證明：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列 4分（2）當(dāng)時(shí)，數(shù)列，都是等差數(shù)列，為常數(shù)，數(shù)列從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列 10分（3）數(shù)列成等差數(shù)列解法1 設(shè)數(shù)

16、列的公差為，設(shè)，兩式相減得，即， 12分令，得，數(shù)列（）是公差為的等差數(shù)列 14分，令，即，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列 16分解法2 ，令，即 12分，數(shù)列是等差數(shù)列， 14分，數(shù)列是等差數(shù)列16分（泰州二模）已知，都是各項(xiàng)不為零的數(shù)列，且滿足，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和， 是公差為的等差數(shù)列（1）若數(shù)列是常數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若（是不為零的常數(shù)），求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）若（為常數(shù)，），求證：對任意的，數(shù)列單調(diào)遞減解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)閿?shù)列是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列，所以，則由及得，當(dāng)時(shí)，兩式相減得， 當(dāng)時(shí)，也滿足，故 4分（2）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，兩式相減得，即，即，又，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，兩式

17、相減得，所以數(shù)列從第二項(xiàng)起是公差為等差數(shù)列；又當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，由得，故數(shù)列是公差為等差數(shù)列 15分（3）由（2）得當(dāng)時(shí)，即，因?yàn)椋?，即，所以，即，所以，?dāng)時(shí)，兩式相減得 ，即，故從第二項(xiàng)起數(shù)列是等比數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，另外由已知條件得，又，所以，因而，令，則，因?yàn)?，所以，所以對任意的，?shù)列單調(diào)遞減 16分已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，設(shè)數(shù)列滿足（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，且數(shù)列，都是以2為公比的等比數(shù)列，求滿足不等式的所有正整數(shù)n的集合解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以， 1分由，得，及由，又由，得對一切都成立， 3分即對一切都成立令，解之得或經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以的通項(xiàng)

18、公式為或 5分（2）由題意得，6分 7分 8分 9分記，即， 10分記，則 ，當(dāng)，2，3時(shí)，當(dāng)時(shí)， 12分因?yàn)闀r(shí)，所以；且；所以在時(shí)也是單調(diào)遞增， 14分時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，所以滿足條件的正整數(shù)n的集合為1，2，3，4，5，616分（南京鹽城模擬一）設(shè)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對于正整數(shù)，（），求證：“且”是“，這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列”的充要條件；（3）設(shè)數(shù)列滿足：對任意的正整數(shù)，都有，且集合，n*中有且僅有3個(gè)元素，試求的取值范圍解：（1）數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，又，；4分（2）（）必要性：設(shè)，這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)

19、排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，若，則， 6分若，則，左邊為偶數(shù)，等式不成立若，同理也不成立綜合，得，所以必要性成立. 8分（）充分性：設(shè)，則，這三項(xiàng)為，即，調(diào)整順序后易知， 成等差數(shù)列，所以充分性也成立.綜合（）（），原命題成立. 10分（3）因?yàn)?，即，?）當(dāng)時(shí)，（*）則（*）式兩邊同乘以2，得，（*）（*）（*），得，即又當(dāng)時(shí)，即，適合，.14分，時(shí)，即；時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減，又， 16分（揚(yáng)州期末）已知數(shù)列中，且對任意正整數(shù)都成立，數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）若，且，求a（2）是否存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，且任意相鄰三項(xiàng)，按某順序排列后成等差數(shù)列，若存在，求出所有值；若不存在，請說明理由（3

20、）若，求（1）時(shí)，所以數(shù)列是等差數(shù)列， 1分 此時(shí)首項(xiàng)，公差，數(shù)列的前項(xiàng)和是， 3分故，即，得；4分（沒有過程，直接寫不給分）（2）設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，則它的公比，所以， 6分 若為等差中項(xiàng)，則，即，解得，不合題意；若為等差中項(xiàng)，則，即，化簡得， 解得（舍1）；若為等差中項(xiàng)，則，即，化簡得， 解得； 9分 綜上可得，滿足要求的實(shí)數(shù)有且僅有一個(gè)， 10分（3），則， 12分當(dāng)是偶數(shù)時(shí)， ；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)， .也適合上式. 15分 綜上可得， 16分（蘇北四市期末）在數(shù)列中，已知，為常數(shù)(1)證明：，成等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)當(dāng)時(shí)，數(shù)列中是否存在三項(xiàng)，成等比數(shù)列，且，也成等比數(shù)列？若存

21、在，求出，的值；若不存在，說明理由（1）因?yàn)?，所以，同理?2分又因?yàn)椋?分所以，故，成等差數(shù)列 4分（2）由，得，5分令，則，所以是以0為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以，6分即，所以，所以 8分當(dāng)， 9分當(dāng)10分（3）由（2）知，用累加法可求得，當(dāng)時(shí)也適合，所以12分假設(shè)存在三項(xiàng)成等比數(shù)列，且也成等比數(shù)列，則，即，14分因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，化簡得，聯(lián)立，得這與題設(shè)矛盾故不存在三項(xiàng)成等比數(shù)列，且也成等比數(shù)列16分（南通調(diào)研二）設(shè)是公差為的等差數(shù)列，是公比為()的等比數(shù)列記（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）已知數(shù)列的前4項(xiàng)分別為4，10，19，34 求數(shù)列和的通項(xiàng)公式； 是否存在元素均為正

22、整數(shù)的集合，(，)，使得數(shù)列 ，為等差數(shù)列？證明你的結(jié)論解：（1）證明：依題意， ， 3分 從而，又， 所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列 5分 （2） 法1：由（1）得，等比數(shù)列的前3項(xiàng)為， 則， 解得，從而， 7分 且 解得， 所以， 10分 法2：依題意，得 7分 消去，得 消去，得 消去，得， 從而可解得， 所以， 10分 假設(shè)存在滿足題意的集合，不妨設(shè)，且， ，成等差數(shù)列， 則， 因?yàn)?，所以?若，則， 結(jié)合得， 化簡得， 因?yàn)?，不難知，這與矛盾， 所以只能， 同理， 所以，為數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，從而， 即， 故，只能，這與矛盾， 所以假設(shè)不成立，從而不存在滿足題意的集合 16分（注：第（2

23、）小問中，在正確解答的基礎(chǔ)上，寫出結(jié)論“不存在”，就給1分）（蘇錫常鎮(zhèn)二模）已知為常數(shù)，且為正整數(shù)，無窮數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，其前項(xiàng)和為，對任意正整數(shù)，數(shù)列中任意兩不同項(xiàng)的和構(gòu)成集合 （1）證明無窮數(shù)列為等比數(shù)列，并求的值； （2）如果，求的值； （3）當(dāng)時(shí)，設(shè)集合中元素的個(gè)數(shù)記為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式（前黃姜堰四校聯(lián)考）已知無窮數(shù)列中，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列（其中），并對任意的，均有成立（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，試求的值；（3）判斷是否存在（），使得成立？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由解（1）時(shí)，數(shù)列的周期為，而是等比數(shù)列中的項(xiàng)， 4分（2）設(shè)是第一個(gè)周

24、期中等比數(shù)列中的第項(xiàng)，則，等比數(shù)列中至少有項(xiàng)，即，則一個(gè)周期中至少有16項(xiàng)最多是第二個(gè)周期中的項(xiàng) 7分若是第一個(gè)周期中的項(xiàng)，則；若是第二個(gè)周期中的項(xiàng)，則不為整數(shù)；綜上， 10分（3）是此數(shù)列的周期，表示64個(gè)周期及等差數(shù)列的前3項(xiàng)之和最大時(shí)，最大 12分，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，29 當(dāng)時(shí)，取得最大值，則取得最大值為 15分由此可知，不存在（），使得成立 16分（金海南三校聯(lián)考）定義：從一個(gè)數(shù)列an中抽取若干項(xiàng)(不少于三項(xiàng))按其在an中的次序排列的一列數(shù)叫做an的子數(shù)列，成等差(比)的子數(shù)列叫做an的等差(比)子列.(1)求數(shù)列的等比子列；(2)設(shè)數(shù)列an是各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列，且公比q1.試

25、給出一個(gè)an，使其存在無窮項(xiàng)的等差子列(不必寫出過程)；若an存在無窮項(xiàng)的等差子列，求q的所有可能值.解：（1）設(shè)所求等比子數(shù)列含原數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為k（1k3，kn*）， 當(dāng)k2時(shí)， 設(shè)，成等比數(shù)列，則，即mn2， 當(dāng)且僅當(dāng)n1時(shí)，mn*，此時(shí)m4，所求等比子數(shù)列為1，；設(shè)，成等比數(shù)列，則，即mn12n*； 3分 當(dāng)k3時(shí)，數(shù)列1，；，；，均不成等比， 當(dāng)k1時(shí)，顯然數(shù)列1，不成等比； 綜上，所求等比子數(shù)列為1，5分 （2）（i）形如：a1，a1，a1，a1，a1，a1，（a10，q1）均存在無窮項(xiàng) 等差子數(shù)列： a1，a1，a1， 或a1，a1，a1，7分 （ii）設(shè)a(kn*，nkn

26、*)為an的等差子數(shù)列，公差為d， 當(dāng)|q|1時(shí)，|q|n1，取nk1log，從而|q|， 故|aa|a1qa1q|a1|q|q1|a1|q|(|q|1)|d|， 這與|aa|d|矛盾，故舍去；12分 當(dāng)|q|1時(shí)，|q|n1，取nk1log，從而|q|， 故|aa|a1|q|q1|a1|q|q|1|2|a1|q|d|， 這與|aa|d|矛盾，故舍去； 又q1，故只可能q1，結(jié)合(i)知，q的所有可能值為116分第45課 綜合應(yīng)用（）已知等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為.若,（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為；求數(shù)列的通項(xiàng)公式；記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求所有使得等式成立 的

27、正整數(shù)，解：（），即；-1分； - -2分所以，；- -4分（）- -6分；- -8分得；- -9分；- -10分得，- -11分由，得，化簡得， 即，即- 13分（*）因?yàn)?，所以，所以?因?yàn)?，所以或或?dāng)時(shí)，由（*）得，所以無正整數(shù)解； 當(dāng)時(shí)，由（*）得，所以無正整數(shù)解； 當(dāng)時(shí)，由（*）得，所以 綜上可知，存在符合條件的正整數(shù)-16分在數(shù)列，中，已知，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，其中為正整數(shù).（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）問是否存在正整數(shù)，使成立？若存在，求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對；若不存在，請說明理由.（南通調(diào)研一）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為若(n*)，則稱是“緊密數(shù)列”（1）若數(shù)列

28、的前項(xiàng)和(n*)，證明：是“緊密數(shù)列”；（2）設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列若數(shù)列與都是“緊密數(shù)列”，求的取值范圍（淮安宿遷摸底）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，若，（1）求；（2）若數(shù)列mn滿足條件： ，當(dāng)時(shí)，其中數(shù)列單調(diào)遞增，且，試找出一組，使得；證明：對于數(shù)列，一定存在數(shù)列，使得數(shù)列中的各數(shù)均為一個(gè)整數(shù)的平方（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由，得， 2分解得，所以4分（2）因?yàn)?，若，因?yàn)?，所以，此方程無整數(shù)解； 6分若，因?yàn)?，所以，此方程無整數(shù)解；8分若，因?yàn)?，所以，解得，所以，滿足題意10分 由知，則，一般的取， 13分此時(shí)，則，所以為一整數(shù)平方因此存在數(shù)列，使得數(shù)列中的各數(shù)均為一個(gè)整數(shù)的平

29、方16分（南京鹽城二模）給定一個(gè)數(shù)列an，在這個(gè)數(shù)列里，任取m(m3，mn*)項(xiàng)，并且不改變它們在數(shù)列an中的先后次序，得到的數(shù)列稱為數(shù)列an的一個(gè)m階子數(shù)列已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an (nn*，a為常數(shù))，等差數(shù)列a2，a3，a6是數(shù)列an的一個(gè)3階子數(shù)列 （1）求a的值；（2）等差數(shù)列b1，b2，bm是an的一個(gè)m (m3，mn*) 階子數(shù)列，且b1 (k為常數(shù)，kn*，k2)，求證：mk1； （3）等比數(shù)列c1，c2，cm是an的一個(gè)m (m3，mn*) 階子數(shù)列，求證：c1c2cm2 解：（1）因?yàn)閍2，a3，a6成等差數(shù)列，所以a2a3a3a6又因?yàn)閍2，a3， a6，代入得，解得

30、a0 3分（2）設(shè)等差數(shù)列b1，b2，bm的公差為d因?yàn)閎1，所以b2，從而db2b1 6分所以bmb1(m1)d又因?yàn)閎m0，所以0即m1k1所以mk2又因?yàn)閙，kn*，所以mk1 9分（3）設(shè)c1 (tn*)，等比數(shù)列c1，c2，cm的公比為q因?yàn)閏2，所以q 從而cnc1qn1（1nm，nn*） 所以c1c2cm1 13分設(shè)函數(shù)f(x)x，（m3，mn*）當(dāng)x(0，)時(shí)，函數(shù)f(x)x為單調(diào)增函數(shù)因?yàn)楫?dāng)tn*，所以12 所以f()2即 c1c2cm2 16分（南京三模）已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)的和為sn，且對任意的m，nn*，都有(smns1)24a2ma2n （1）求的值；（2）求證：an為等比數(shù)列；（3）已知數(shù)列cn，dn滿足|cn|dn|an，p(p3)是給定的正整數(shù)，數(shù)列cn，dn的前p項(xiàng)的和分別為tp，rp，且tprp，求證：對任意正整數(shù)k(1kp)，ckdk解：（1）由(smns1)24a2na2m，得(s2s1)24a，即(a22a1)24a因?yàn)閍10，a20，所以a22a1a2，即2 3分證明：（2）（方法一）令m1，n2，得(s3s1)24a2a4，即(2a1a2a3)24a2a4，令mn2，得s4s12a4，