基尼系數(shù)的計(jì)算方法及數(shù)學(xué)推導(dǎo)_2

1、基尼系數(shù)的計(jì)算方法及數(shù)學(xué)推導(dǎo)2001金融二班袁源摘要：本文歸納了基尼系數(shù)的四種計(jì)算方法：直接計(jì)算法、擬合曲線法、分組計(jì)算法和分解法，并進(jìn)行了數(shù)學(xué)推導(dǎo)和證明。在此基礎(chǔ)上，文章比較了各種算法優(yōu)缺點(diǎn)，分析了誤差可能產(chǎn)生的環(huán)節(jié)。關(guān)鍵詞：洛倫茨曲線基尼系數(shù)、洛倫茨曲線和基尼系數(shù)1905年，統(tǒng)計(jì)學(xué)家洛倫茨提出了洛倫茨曲線，如圖一。將社會(huì)總?cè)丝诎词杖胗傻偷礁叩捻樞蚱骄譃?0個(gè)等級(jí)組,每個(gè)等級(jí)組均占10%的人口，再計(jì)算每個(gè)組的收入占總收入的比重。然后以人口累計(jì)百分比為橫軸，以收入累計(jì)百分比為 縱軸，繪出一條反映居民收入分配差距狀況的曲線，即為洛倫茨曲線。圖一為了用指數(shù)來更好的反映社會(huì)收入分配的平等狀況，19

2、12年，意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家基尼根據(jù)洛倫茨曲線計(jì)算出一個(gè)反映收入分配平等程度的指標(biāo)，稱為基尼系數(shù)（G）。在上圖中，基尼系數(shù)定義為：G= -Sa式（1）Sa+b當(dāng)A為0時(shí)，基尼系數(shù)為0,表示收入分配絕對(duì)平等；當(dāng) B為0時(shí)，基尼系數(shù)為1，表示收入分配絕對(duì)不平等。基尼 系數(shù)在01之間，系數(shù)越大，表示越不均等，系數(shù)越小，表示越均等。二、基尼系數(shù)的計(jì)算方法式（1）雖然是一個(gè)極為簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)表達(dá)式，但它并不具有實(shí)際的可操作性。為了尋求具有可操作性的估算方法，自基 尼提出基尼比率以來，許多經(jīng)濟(jì)學(xué)家和統(tǒng)計(jì)學(xué)家都進(jìn)行了這方面的探索。在已有的研究成果中，主要有四種有代表性的估 算方法，結(jié)合自己的計(jì)算，筆者將它們歸納為直接

3、計(jì)算法、擬合曲線法、分組計(jì)算法和分解法。1、直接計(jì)算法直接計(jì)算法在基尼提出收入不平等的一種度量時(shí)，就已經(jīng)給出了具體算法，而且這種算法并不依賴于洛倫茨曲線，它 直接度量收入不平等的程度。定義式（2）n n,2 = EE Yj-Yi I /n , 0 2u j=1 i=1 |式中，是基尼平均差，IYj-Yi I是任何一對(duì)收入樣本差的絕對(duì)值，n是樣本容量，u是收入均值。定義G= /2u, 0 GW 1式（3）可以證明：G= /2u = 2Sa （證明過程見附錄一），而由式（1） G= Sa/ Sa+b , Sa+b =1/2 , G=2Sa,因此，式（2）中定義的G即為基尼系數(shù)，綜合式（2）、（3）

4、,基尼系數(shù)的計(jì)算方法為：G=12n2 un nEE Yj- Yi I j=1 i=1 |式（4）直接計(jì)算法只涉及居民收入樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)運(yùn)算，很多學(xué)者認(rèn)為理論上看，只要不存在來源于樣本數(shù)據(jù)方面的誤差， 就不存在產(chǎn)生誤差的環(huán)節(jié)。實(shí)際上，在附錄一證明過程當(dāng)中將看到，直接計(jì)算法依然采用了以直代曲法計(jì)算面積，只不過 這個(gè)過程在樣本數(shù)據(jù)范圍內(nèi)達(dá)到了最小近似，其精確度直接取決于樣本數(shù)據(jù)本身。因此，可以認(rèn)為它不帶任何誤差的計(jì)算了樣本數(shù)據(jù)的基尼系數(shù)值。2、擬合曲線法擬合曲線法計(jì)算基尼系數(shù)的思路是采用數(shù)學(xué)方法擬合出洛倫茨曲線，得出曲線的函數(shù)表達(dá)式，然后用積分法求出B的面積，計(jì)算基尼系數(shù)。通常是通過設(shè)定洛倫茨曲線方

5、程，用回歸的方法求出參數(shù)，再計(jì)算積分。例如，設(shè)定洛倫茨曲線的 函數(shù)關(guān)系式為幕函數(shù)：I= a式（5）根據(jù)選定的樣本數(shù)據(jù)，用回歸法求出洛倫茨曲線，例如，a = m,3 =n.求積分1Sb= / 0mpndp= m式（6）n+1計(jì)算G= Sa+bSb = 1 式（7）Sa+bSa+bn+1擬合曲線法的在兩個(gè)環(huán)節(jié)容易產(chǎn)生謬誤：一是擬合洛倫茨曲線，得出函數(shù)表達(dá)式的過程中，可能產(chǎn)生誤差；二是擬合 出來的函數(shù)應(yīng)該是可積的，否則就無法計(jì)算。3、分組計(jì)算法這種方法的思路有點(diǎn)類似用幾何定義計(jì)算積分的方法，在X軸上尋找n個(gè)分點(diǎn)，將洛倫茨曲線下方的區(qū)域分成n部分,每部分用以直代曲的方法計(jì)算面積，然后加總求出面積。分點(diǎn)

6、越多，就越準(zhǔn)確，當(dāng)分點(diǎn)達(dá)到無窮大時(shí)，則為精確計(jì)算。圖假設(shè)分為n組，每組的收入為i-1iYi，則每個(gè)部分 P的面積為:這是精確計(jì)算基尼系數(shù)的表達(dá)式，當(dāng)分點(diǎn)yi=亠yi= n刀Y得到近似表達(dá)式：式（10）n+1)n式（11）Sp=1-2nX Yi + E YinX Y式（8）加總得到：g= Sa 一_ Sa+b Sbi-1in-1 2lim X 1 X 丫千X Yk= 2nXY式(9)G=Sa+bSa+bn個(gè)數(shù)有限時(shí)，定義:2G=2Sa=（y1+2y2+ + nyn） n（證明過程見附錄二）分組計(jì)算法不依賴于洛倫茨曲線的函數(shù)形式，但在以直代曲的環(huán)節(jié)會(huì)出現(xiàn)誤差，增加分點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以減少這種誤差。4、分

7、解法上述的計(jì)算方法的最終目的都在于求出基尼系數(shù)的值，而分解法則是在求出上述值的基礎(chǔ)上，力圖研究基尼系數(shù)的構(gòu) 成因素，除了得出總的基尼系數(shù)的信息之外，在計(jì)算過程中還能夠獲得分解部分內(nèi)部的基尼系數(shù)值。另外，分解法求出基 尼系數(shù)的過程一般都依賴于已有部分的基尼系數(shù)的值，從這個(gè)意義上說，分解法并不是獨(dú)立計(jì)算基尼系數(shù)的方法，它更重 要的意義在于對(duì)基尼系數(shù)的分解，即定義的各個(gè)不同基尼系數(shù)值之間的相互關(guān)系。倫敦經(jīng)濟(jì)學(xué)院收入分配方法論專家Cowell教授提出，基尼系數(shù)在不同人群組之間無法完全分解于盡?？傮w基尼系數(shù)除了包括各個(gè)組內(nèi)差距之外，還應(yīng)包括組間差距和相互作用項(xiàng)。公式為：kG =刀 WG+I b+ （ f

8、i）式（12）式中，G是總體基尼系數(shù)，G是第i組內(nèi)部的基尼系數(shù)（i=1,2,，n）, W是G的權(quán)數(shù)，Ib是組間的差距指數(shù)， （fi） 是相互作用項(xiàng)。 （fi）是各個(gè)組之間收入分布的重疊程度。特別地，當(dāng)各個(gè)組之間收入分布完全不重疊時(shí)， （fi）= 0。式（12）地意義在于形式化地表述了對(duì)總體基尼系數(shù)進(jìn)行分解的思路和框架，但由于沒有給出W、lb和 （fi）的具體計(jì)算方法，還不能用于基尼系數(shù)的計(jì)算。經(jīng)濟(jì)學(xué)家Sun drum （1990）在他的欠發(fā)達(dá)國家的收入分配一書中介紹了一種對(duì)一國或地區(qū)基尼系數(shù)進(jìn)行分解的方法，其數(shù)學(xué)公式為：G=P1UlGi+ P2-2 G2+P1P2 I 出二2- I式（13）u

9、uu式中，G表示總體基尼系數(shù)，G1和G2分別表示農(nóng)村和城鎮(zhèn)的基尼系數(shù)，P1、P2分別表示農(nóng)村人口和城鎮(zhèn)人口占總?cè)丝诘谋戎?，uu2、u分別表示農(nóng)村、城鎮(zhèn)和總體的人均收入。對(duì)比式（12）和式（13）,可以發(fā)現(xiàn)式（13）是式（12）的一種具體運(yùn)用，P12勺一 G1和P22_G2可以作為以P12出uuk和卩22丄2為權(quán)重的刀WG ,P1P2I也二竺一 I則為組間差距指數(shù)lb。值得注意的是式中沒有（fi）項(xiàng)，意味著 （ fi） =uuu0成立，因此這種算法隱含的假設(shè)條件是農(nóng)村與城鎮(zhèn)的收入分布完全不重疊。此外，采用這種計(jì)算方法還必須滿足條件： 在估算城鄉(xiāng)內(nèi)部的基尼系數(shù)時(shí)所用的居民收入數(shù)據(jù)的口徑是相同或相近

10、的。這種方法會(huì)在可能在兩個(gè)環(huán)節(jié)產(chǎn)生誤差：一是用其他方法估計(jì)城鄉(xiāng)各自的基尼系數(shù)G1和G2時(shí)，可能產(chǎn)生誤差；二是城鄉(xiāng)收入分布一般會(huì)在不同程度上重疊。附錄一：證明：G= /2u = 2Sa“ 八“ n n,第一步，分解EE Yj-Yi I1c 22n uj=1 i=1 I設(shè)將收入按從低到高排列丫1、丫2、Yn,則上式可以分解為矩陣A :丫1丫2Yn1YnY10丫2 丫1Yn 1丫1Y n Y 1Y2Y2 丫10Yn 1丫2Yn 丫2丫 n 1Y n-1 Y 1Y n-1 Y 20Yn Y n- 1YnYn Y1Y n Y 20將矩陣中各項(xiàng)加總得到：2(n 1) Yn+( n 2)Yn-1 + + Y

11、2(n- 1)Y1 ( n 2)丫2- Y n 1=2(n 1) Yn+( n 3)Y n- 1 +(n 5) Yn2(1 n) Y2(n 1) YJ第二步，計(jì)算n取樣本均值 u= 丫1+ 丫2+ 丫 = 里丫nn1 = 12=n2n u 2n e 丫綜上，第 步、第二步，n得到(n 1 ) Y n + ( n 3 )(1 n ) 丫2 ( n 1 ) YJ式（14） 第三步，計(jì)算Sbi-1iii-1Bi如圖四，計(jì)算每一部分面積SpSp=丄 AB2(AC + BD)12ni-1E Yi + E Yi12ni-1i刀 Yi + E Yi第四步,n刀Y計(jì)算SaSA=SA + B 一 I12ni-1

12、E Yi + E Yi12ni-1E Yi+E YiE Yi一、主要內(nèi)容與適用范圍nn i-1nn i-1inE Yi E E Yi + E Yi=( n 1) Yn+( n 2)(1 n) 丫2( n 1) Y1Yn-1 +Y2 ( n 1) 丫！一( n 2) Y2Yn-1=( n 1 )Y n+( n 一 3) Yn1+( n 一 5) Yn- 2nn 卜1inE Y E E y i + E y i丫1比較式(1 n(n 1) Yn+( n 3) Y n-1 +( n 5) Y n-2 ( 1 n) Y2(n 1)2n E Y式(15)14)和式(15)可得G= /2u= 2SA。i分解

13、nE Y E E Yi + E Yi得到矩陣BnnE Yn卜1iE E Yi + E YinnE Yin卜1i-E EYi+E YiY1+ 丫2+Yn+ Y1Y n+ Yn-1 +Y2Y1+ 丫2+YnY1 + Y1+ Y 2Y n+ Yn-1 +Y3-丫1Y1+ Y 2+ Y1 + Y2+ Y 3Y n+ Yn-1 +丫4-丫1- 丫2Y1+ 丫2+YnY1+ 丫2 + Y n-2+ Y1 + Y2+Y n-1Yn Y1 丫2一Yn-2Y1+ 丫2+YnY1+ 丫2 + Yn 1+ Y1 + 丫2+Yn丫 1 丫 2Yn 1加總最后一行，得到:附錄二：證明：當(dāng)分點(diǎn)個(gè)數(shù) n 有限時(shí)，G=2Sa

14、= 2 (y1+2y2+ + nyn) ( Jn+ )nn定義：yi=活E YSp=丄-AB(AC+ BD)=1Yi +Yi = 1(環(huán) i |22nYi2nYiYi-1inSb =1Yi +Yin2nYi-1inni-1i1Sa=Sa + B Sb =n41Yi +Yi =1nY (Yi +Yi)nn _22nY2nYinninni1 nY (2Yi YC)1nYi(2Yi Yi)=2nn -Yi2nnYin+12nn in=(2n 2： yi + 2刀 yi) 2nn i分解n yi得到矩陣C:nn iyin n iyiy1+ y2 +-yny1Yn+ Y n-1 +丫2y1 + y2 +

15、-yny1 + y2Yn+ Y n-1 +丫3y1 + y2+ y3Yn+ Y n-1 +丫4y1+ y2 +-yny1 + y2+ yn-1Yny1+ y2 +-yny1 + y2+ yn0加總最后一列，得到n in yi =( n-1 ) yn+ (n 2) yn 1 +y2Sa = 1- (2n 2yi + 2yi) n+1 2n2n=( y計(jì) 2y2+ + nyn)n2nG=2Sa= _2 (y1+2y2+ + nyn) ( 0+1 ) nn參考資料:1、Sun drum.R.M,1990,l ncom Distribution in Less Developed Cou nties,

16、 Lo ndon and New York:Routledge2、Cowell.F.A,2000,Measureme nt of In equality, in Han dbook of In come Distributio n, eds. By A.Atkirrs on and F.Bourguig non, Northholla nd3、 熊俊：基尼系數(shù)估算方法的比較研究；財(cái)經(jīng)問題研究2003年1月第1期4、 王文森：基尼系數(shù)及推廣應(yīng)用；統(tǒng)計(jì)與預(yù)測(cè)；2003年1月第1期辦公室衛(wèi)生管理制度1本制度規(guī)定了辦公室衛(wèi)生管理的工作內(nèi)容和要求及檢查與考核。2.此管理制度適用于本公司所有辦公室衛(wèi)生的管

17、理二、定義1公共區(qū)域：包括辦公室走道、會(huì)議室、衛(wèi)生間，每天由行政文員進(jìn)行清掃；2-個(gè)人區(qū)域：包括個(gè)人辦公桌及辦公區(qū)域由各部門工作人員每天自行清掃。1. 公共區(qū)域環(huán)境衛(wèi)生應(yīng)做到以下幾點(diǎn)：1) 保持公共區(qū)域及個(gè)人區(qū)域地面干凈清潔、無污物、污水、浮土，無死角。2) 保持門窗干凈、無塵土、玻璃清潔、透明一3) 保持墻壁清潔，表面無灰塵、污跡。4)保持掛件、畫框及其他裝飾品表面干凈整潔。5) 保持衛(wèi)生間、洗手池內(nèi)無污垢，經(jīng)常保持清潔，毛巾放在固定(或隱蔽)的地方。6) 保持衛(wèi)生工具用后及時(shí)清潔整理，保持清潔、擺放整齊。7)垃圾簍擺放緊靠衛(wèi)生間并及時(shí)清理，無溢滿現(xiàn)象。2. 辦公用品的衛(wèi)生管理應(yīng)做到以下幾點(diǎn)

18、：1) 辦公桌面：辦公桌面只能擺放必需物品，其它物品應(yīng)放在個(gè)人抽屜，暫不需要的物品就擺回柜子里，不用的物品要及時(shí)清理掉。2) 辦公文件、票據(jù)：辦公文件、票據(jù)等應(yīng)分類放進(jìn)文件夾、文件盒中，并整齊的擺放至辦公桌左上角上。3)辦公小用品如筆、尺、橡皮檫、訂書機(jī)、啟丁器等，應(yīng)放在辦公桌一側(cè)，要從哪取使用完后放到原位。4 )電腦：電腦鍵盤要保持干凈，下班或是離開公司前電腦要關(guān)機(jī)。5)報(bào)刊：報(bào)刊應(yīng)擺放到報(bào)刊架上，要定時(shí)清理過期報(bào)刊。6)飲食水機(jī)、燈具、打印機(jī)、傳真機(jī)、文具柜等擺放要整齊，保持表面無污垢，無灰塵，蜘蛛網(wǎng)等，辦公室內(nèi)電器線走向要美觀，規(guī)范，并用護(hù)釘固定不可亂搭接臨時(shí)線。7)新進(jìn)設(shè)備的包裝和報(bào)廢設(shè)備以及不用的雜物應(yīng)按規(guī)定的