初中數(shù)學(xué)論文：巧用點(diǎn)的坐標(biāo)妙解圖形面積

1、巧用點(diǎn)的坐標(biāo)，妙解圖形面積為了提高學(xué)生的素質(zhì)，考察學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)及綜合能力的應(yīng)用水平，近年中考出現(xiàn)了較多的函數(shù)與幾何相結(jié)合型試題。這類試題，要溝通幾何與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，除了坐標(biāo)平面、函數(shù)圖像本身的性質(zhì)及幾何圖形的基本定理的應(yīng)用外，還有一個(gè)重要的解題手段，這就是點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長(zhǎng)度的互化。表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是將線段長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)，迅速求出了解析式，實(shí)現(xiàn)“以形表數(shù)”的轉(zhuǎn)化；二是將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)，進(jìn)而利用線段間的關(guān)系使問(wèn)題得以解決，實(shí)現(xiàn)“以數(shù)表形”的轉(zhuǎn)化。掌握好這個(gè)互化方法，很多綜合題型就能得以突破現(xiàn)就第二方面的轉(zhuǎn)化（坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)），擷取一些有代表性的題目，以饗讀者。1、一次函數(shù)中用好點(diǎn)的

2、坐標(biāo)例1、（2009年紹興）如圖1，在軸上有五個(gè)點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，4，5分別過(guò)這些點(diǎn)作軸的垂線與三條直線，相交，其中則圖中陰影部分的面積是（）圖3圖10 圖4a12.5 b25 c12.5 d25 【解析】： 此題利用直線構(gòu)造一系列不規(guī)則圖形，解答時(shí)需要學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，我們先來(lái)看這么一個(gè)事實(shí)（如圖2），直線y=ax ，y=(a+1)x ， y=(a+2)x與直線x=m 相交于a，b ，c三點(diǎn)，容易求得=am ，=(a+1)m ，=(a+2)m 注：表示a點(diǎn)縱坐標(biāo)，下同據(jù)此可求得 bc =，ab = ，進(jìn)一步可得bc=ab。根據(jù)上面這個(gè)事實(shí)，我們發(fā)現(xiàn)線段的

3、長(zhǎng)和a的值無(wú)關(guān)，就等于m的值，這樣會(huì)自然想到兩種方法：（1）逐個(gè)求解：不難求出從左到右各陰影的面積分別為，故.故選a。（2）轉(zhuǎn)化求解： 同一列上的陰影部分與空白部分形狀雖不相同，但它們的面積是相同的，這樣通過(guò)轉(zhuǎn)化思想把陰影面積變成如圖3所示，只需計(jì)算這一三角形面積即可，.故選a。例2、（2009年寧波）如圖4，點(diǎn)a、b、c、d在一次函數(shù) 的圖象上，它們的橫坐標(biāo)依次為-1、1、2，分別過(guò)這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線，則圖中陰影部分的面積之和是 （ ）a b c d 【解析】 陰影部分的三個(gè)三角形底邊長(zhǎng)為1，而這三個(gè)三角形高的和就是點(diǎn)a和點(diǎn)c的垂直距離，故可采用以下方法求解 當(dāng)x =1時(shí) y=2+ m

4、 a (1, 2+ m) 當(dāng)x = 2時(shí) y=4+ m c ( 2, 4+ m) =(-2+ m)(-4+ m) = 2 =1（）=12 = 12、反比例函數(shù)中用好點(diǎn)的坐標(biāo) 例3、（2009年長(zhǎng)春）如圖5，點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，），過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交軸于點(diǎn)，交雙曲線（）于點(diǎn)，作交雙曲線（）于點(diǎn)，連結(jié)已知（1）求的值yxopamn（2）求的面積【解析】：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，）ap=2, oa=.pn=4, an=6. 圖5點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，）把n（6，）代入中，得（2）k=9，y=.當(dāng)時(shí)，m（2，） 例4（2009年吉林）如圖6，反比例函數(shù)的圖像與直線在第一象限交于點(diǎn)，為直線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，

5、點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3為反比例函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，且平行于軸（1）直接寫出的值；yobabcdpxb圖6（2）求梯形的面積【解析】：（1）=12，=.（2）把=2代入=，得=6.d（2，6）把=2代入，得 a(2，).把=3代入得=， b (3，).bc= =4-(-1)=5s=3、二次函數(shù)中用好點(diǎn)的坐標(biāo) bc鉛垂高水平寬h a 圖7a2例5、（2009年益陽(yáng)）閱讀材料：如圖7， 過(guò) abc的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫abc的“水平寬”(a)，中間的這條直線在abc內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫abc的“鉛垂高(h)”.我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平

6、寬與鉛垂高乘積的一半.解答下列問(wèn)題： 如圖8，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)c(1,4),交x軸于點(diǎn)a(3,0)，交y軸于點(diǎn)b.(1)求拋物線和直線ab的解析式；(2)點(diǎn)p是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)pa，pb，當(dāng)p點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)c時(shí)，求cab的鉛垂高cd及；圖8xcoyabd11(3)是否存在一點(diǎn)p，使spab=scab，若存在，求出p點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】:(1) (2) 因?yàn)閏點(diǎn)坐標(biāo)為(,4)當(dāng)x時(shí)， (平方單位) 注：表示a點(diǎn)橫坐標(biāo)，下同 (3)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)p，設(shè)p點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，pab的鉛垂高為h，則 由spab=scab 得：即 ，化簡(jiǎn)得：解得：，將代入，

7、得p點(diǎn)坐標(biāo)為例6、（2009年江西?。┤鐖D9，拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸相交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為.（1）直接寫出、三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸； （2）連接，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；圖9用含的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)，并求出當(dāng)為何值時(shí)，四邊形為平行四邊形？設(shè)的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式. 【解析】:（1）a（-1，0），b（3，0），c（0，3）拋物線的對(duì)稱軸是：x=1 （2）直線bc的函數(shù)關(guān)系式為：e（1，2）p（m，m+3）當(dāng)時(shí)，線段，當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形由解得：（不合題意，舍去）因此，當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形 （03）綜上所述，用好點(diǎn)的坐標(biāo)，解決好線段長(zhǎng)問(wèn)題，很多函數(shù)綜合題就能得以突破，點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長(zhǎng)度的關(guān)系，