用等價無窮小求極限的研究畢業(yè)論文

1、 用等價無窮小求極限的研究 摘要：極限的計算方法多樣靈活，計算巧妙。等價無窮小的替換是求極限的重要方法之一。再求和、差函數(shù)極限，函數(shù)的極限，積分上限函數(shù)的極限等方面，等價無窮小的替換具有很好的性質(zhì)，掌握并充分利用好它的性質(zhì)，往往會使一些復(fù)雜的問題簡單化，起到事半功倍的效果。我在此研究了和、差函數(shù)的極限等價無窮小，乘積因子等價無窮小的替換，函數(shù)的極限的等價無窮小，積分上限函數(shù)極限的等價無窮小，和、差函數(shù)極限的等價無窮小的替換。關(guān)鍵詞： 等價無窮小 函數(shù)的極限 替換 級數(shù)收斂定義：設(shè)函數(shù)f(x)在上有意義，若，則稱為時的一個無窮小量.證明 因?yàn)?，于是這樣例2 （1）求解：當(dāng)時，.顯然與均為比高階的

2、無窮小，而為比高階的無窮小量，由定理易知：，則原式（2）求極限于是 解法二：當(dāng)時，有，于是解法二說明了求“”型的極限時,分子或分母是連乘或連除的形式時，可以把分子或分母的某個函數(shù)用其等價無窮小來代換.定理3若且對任意的與為等價無窮小量,即且在區(qū)間內(nèi)不變號,則有.再證明之前,先給出兩個引理:引理1 在自變量的某一變化過程中,函數(shù)有極限a的充要條件是其中是自變量同一變化過程中的無窮小量.引理2 由積分第一中值定理可知,若與在閉區(qū)間上連續(xù)，且在上不變號,則在上至少存在一點(diǎn)使得. 證明 由于即,由引理1得,則,其中滿足,則.由于在區(qū)間上不變號,則由引理2得,所以例3 求極限解 顯然在內(nèi)單調(diào)增加, 時,

3、 和是等價無窮小,由定理3得 2 乘積因子等價無窮小的替換定理 3設(shè)是某一變化過程中的無窮小量,極限都存在且不為零，則當(dāng)且僅當(dāng)與為等價無窮小量時,有證明：當(dāng)與為等價無窮小量時,即則 .反之若 則有.即與為等價無窮小量.例4 定理 4是某一變化過程中的無窮小量, ,且極限存在,則 證明： .例5 求解：由于則3 型不定式極限的替換定義：重要極限，此類極限可歸結(jié)為型不定式極限.定理 5 假設(shè)以及并且，則有.證明： 由于函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，因此得： . 證畢.例6 求極限 解 ：將極限式做恒等變形：得 ，由于當(dāng)時 ，有，又，因此可得定理 6 如果在給定的的趨向下，都是無窮小，并且，,則在的這種趨向下，極限

4、：. 證明：由于 . （1）又由于，,有：，于是， . （2）有上述兩式，定理得證.推論1 如果在給定的的趨向下，都是無窮小，且，則在的這種趨向下，極限：.推論 2 如果在給定的的趨向下，都是無窮小，且，則在的這種趨向下，極限：. 例7 求極限.解： 考慮到當(dāng)時，應(yīng)用推論1得： 例8 求極限解：由于,則,做變量替換：,則原式變?yōu)椋?因?yàn)楫?dāng)時, ,則4 變上限函數(shù)極限的等價無窮小的替換 在變上限積分中,如果那么該變上限積分就是一個無窮小,如果能夠找出這種類型在變上限積分的等價無窮小,那么在一些極限計算的過程中運(yùn)用等價無窮小替換的方法,從而使極限的計算得到簡化.定理7若函數(shù)在處階可導(dǎo),且,則當(dāng)時,

5、變上限積分與是等價無窮小,即.證明 由于,已知條件,可得因此利用洛比達(dá)法則可以得到根據(jù)定理8,可以得到以下結(jié)論:推論1 若函數(shù)在處階可導(dǎo),且則當(dāng)時有推論2 若函數(shù)在處階可導(dǎo),且則當(dāng)時有推論3 若函數(shù)在處階可導(dǎo),且則當(dāng)時有在定理8中,若取,則可以得到以下結(jié)論:若函數(shù)在處階可導(dǎo),且,待添加的隱藏文字內(nèi)容2則當(dāng)時有;特別的,當(dāng)時,可以得到下面引理:引理 若函數(shù)在處階可導(dǎo),且,則當(dāng)時有例9 求 解 在中, ,當(dāng)時, ;在中,當(dāng)時, 所以極限 定理8設(shè)為時的無窮小量, ,且與在上連續(xù),則有證明：因?yàn)?所以例10（1）求極限.解 由于當(dāng)時, ， 定理9若與在上連續(xù),則 證明 例11 (1)求極限.解 因?yàn)?/p>

6、所以當(dāng)時,所以.5 ，定理10設(shè)為時的同號無窮小量, 且則當(dāng)時,級數(shù)與有相同的斂散性.證明 （1）當(dāng)為正項(xiàng)級數(shù)時,且對,存在著正整數(shù),當(dāng)時,有,即,由正項(xiàng)級數(shù)比較收斂法知與有相同的斂散性.（2）當(dāng)為負(fù)項(xiàng)級數(shù)時,則有為正的,即,同（1）也可以得出具有相同的斂散性.例12 求極限 .解 令,于是參考文獻(xiàn)：1 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（上冊）m.北京：高等教育出版社,1996.2 陳傳璋等.數(shù)學(xué)分析（上冊）m.高等教育出版社,1979.3 徐志軍,張青山.和式極限求法初探j(luò).四川教育學(xué)院學(xué)報,2001.4 李冬梅.一類特殊和式極限的簡便求法j.鞍山師范學(xué)院學(xué)報,2004.5 于延榮.關(guān)于等價無窮小代換的若干結(jié)論j.工程教學(xué),2001.6 楊春林,張傳芳.變