第六章：收益率曲線的擬合技術(shù)

1、第六章 收益率曲線的擬合技術(shù)關(guān)于利率期限結(jié)構(gòu)的研究，在整個(gè)債券投資分析的理論和方法中居于最核心的地位。準(zhǔn)確地獲得當(dāng)前市場(chǎng)的利率期限結(jié)構(gòu)信息，對(duì)估計(jì)當(dāng)前利率形勢(shì)，定價(jià)未來(lái)現(xiàn)金流，以及債券衍生物的定價(jià)和研究都有重要的作用?？梢赃@樣說(shuō)：如果沒(méi)有期限結(jié)構(gòu)信息，債券分析師就無(wú)從對(duì)債券市場(chǎng)和個(gè)別品種進(jìn)行有效研究。構(gòu)成利率期限結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)是即期利率曲線。通常，即期利率曲線的完整形態(tài)和數(shù)據(jù)是可以準(zhǔn)確地通過(guò)市場(chǎng)數(shù)據(jù)中導(dǎo)出的。這個(gè)過(guò)程有時(shí)候被稱為“收益率曲線的提取”（yield curve extraction）。由于這個(gè)“提取”過(guò)程的關(guān)鍵在于能夠有效地建立收益率曲線的參數(shù)模型，而其具體應(yīng)用中有時(shí)也會(huì)借助于一些工程

2、應(yīng)用中的曲線擬合方法，因此本章的核心內(nèi)容即是主要關(guān)于收益率曲線參數(shù)模型和具體的一些應(yīng)用擬合方法的探討。在國(guó)外成熟的債券市場(chǎng)上，關(guān)于“收益率曲線的提取”的理論和技術(shù)已經(jīng)相當(dāng)完善，其市場(chǎng)的程度成熟和理性程度較高，這降低了不同的參數(shù)模型和擬合方法對(duì)最終擬合結(jié)果的影響。因此，在國(guó)外的一些關(guān)于固定收益證券理論的書(shū)籍和文獻(xiàn)上，對(duì)收益率曲線擬合的問(wèn)題都泛泛帶過(guò)，或者敘述得相當(dāng)簡(jiǎn)略。但對(duì)于中國(guó)債券市場(chǎng)來(lái)講，無(wú)論是市場(chǎng)本身，還是針對(duì)市場(chǎng)的研究方法和理論都還很不成熟。國(guó)內(nèi)研究人員往往直接采用一些分析軟件上的收益率曲線數(shù)據(jù)，而不是自己去嘗試建立參數(shù)模型進(jìn)行擬合。而且，人為地將市場(chǎng)割裂成交易所和銀行間兩個(gè)交易制度和參

3、與主體都不盡相同的市場(chǎng)，也給準(zhǔn)確地?cái)M合合理的收益率曲線增加了難度。因此，本章的內(nèi)容將著重介紹這些通常被忽視的理論和方法，包括如何從當(dāng)前的市場(chǎng)上的債券（對(duì)于國(guó)內(nèi)市場(chǎng)來(lái)說(shuō)，主要是固定息票的國(guó)債）數(shù)據(jù)，來(lái)獲得當(dāng)前市場(chǎng)的即期利率曲線。本章將著重介紹幾種最常被使用的方法：nelson-siegel-svensson方法、三次多項(xiàng)式樣條法和三次指數(shù)樣條法，以及擬合中的一些理論和應(yīng)用問(wèn)題，如目標(biāo)函數(shù)的設(shè)定和異方差問(wèn)題的處理。最后，在本章的附錄中，我們將比較這些方法在中國(guó)國(guó)債交易所市場(chǎng)的應(yīng)用效果和優(yōu)缺點(diǎn)。6-1一般方法息票債券的理論價(jià)格和定價(jià)誤差在第五章中，我們已經(jīng)提及了對(duì)于固定息票債券的定價(jià)方法，其前提是我

4、們已知了即期利率曲線，而相應(yīng)地，我們也可以導(dǎo)出瞬間遠(yuǎn)期利率曲線。對(duì)于每一筆確定性的，發(fā)生在未來(lái)時(shí)點(diǎn)t的遠(yuǎn)期現(xiàn)金流cf，我們有其現(xiàn)值 （6-1）其中，s (t)為t時(shí)點(diǎn)的年計(jì)連續(xù)復(fù)利的即期利率水平，finst (t)為瞬間遠(yuǎn)期利率函數(shù)。類似地，我們也定義固定息票債券的理論價(jià)格為其所有的內(nèi)含遠(yuǎn)期現(xiàn)金流的現(xiàn)值加總（我們不區(qū)分具體的遠(yuǎn)期現(xiàn)金流是利率或本金）： （6-2）當(dāng)然，在真實(shí)的交易環(huán)境（包含交易成本和稅費(fèi)支出）下，（6-2）中的固息債券理論價(jià)格只能是一個(gè)近似的定價(jià)水平。此外，這里的理論價(jià)格也沒(méi)有考慮債券交易的流動(dòng)性問(wèn)題。但我們的目的并不是給債券定價(jià)，而是要從考察當(dāng)前的收益率曲線。假設(shè)當(dāng)前市場(chǎng)上的

5、債券品種（或我們選取的債券樣本）為集合，n為樣本債券總數(shù)。我們以來(lái)表示市場(chǎng)上債券品種i的有效交易價(jià)格，為債券品種i的理論價(jià)格，則我們有 （6-3）為對(duì)應(yīng)債券品種i的定價(jià)誤差。對(duì)于整個(gè)樣本集合，我們可以將（6-3）寫(xiě)作向量（即n1維矩陣）形式，有 （6-4）這樣，我們就有了總體債券樣本的定價(jià)誤差向量，接下來(lái)的內(nèi)容中，我們將經(jīng)常會(huì)用到這個(gè)關(guān)鍵的向量，并基于定價(jià)誤差最小化的原則來(lái)建立我們的收益率曲線擬合方法。一般方法我們這里所提到的“一般方法”，實(shí)際上就是前面所講到的收益率曲線擬合方法的基本原理。原則上來(lái)將，一般方法包含的原理可以適用于各種參數(shù)模型。事實(shí)上，本章節(jié)中介紹的收益率曲線擬合方法是一種所謂

6、“間接”方法。在許多文獻(xiàn)中也提到“直接”的方法，即不考慮理論價(jià)格和實(shí)際價(jià)格間的誤差，而是直接將所有遠(yuǎn)期現(xiàn)金流樣本所對(duì)應(yīng)的貼現(xiàn)率直接作為即期利率曲線的基礎(chǔ)。這些貼現(xiàn)率在收益率-期限的兩維平面上是一系列離散的點(diǎn)，可以通過(guò)內(nèi)插法把它們連成一條曲線，這就是直接從市場(chǎng)。然而，這種方法在應(yīng)用中實(shí)際上是不可行的。如果樣本僅有零息債券，那么每一筆遠(yuǎn)期現(xiàn)金流都有可觀察到的實(shí)際市場(chǎng)價(jià)格與其對(duì)應(yīng)。但如果我們的債券樣本中包含息票債券的話，情況就復(fù)雜得多（注*：對(duì)于一組息票債券來(lái)說(shuō)，其市場(chǎng)價(jià)格向量為全部現(xiàn)金流組成的矩陣f和貼現(xiàn)率向量b的乘積，即p = fb。顯然，如果我們要根據(jù)p和f求出b，則必須要求矩陣f非奇異，即所

7、有的樣本債券現(xiàn)金流都相互線性無(wú)關(guān)，這很可能導(dǎo)致我們不能將某些債券納入總體樣本中，因此收益率曲線無(wú)法代表整個(gè)市場(chǎng)的信息）。此外，這樣獲得的收益率曲線也不會(huì)是一條很平滑的曲線。因?yàn)檫@樣的原因，通常研究人員都會(huì)采取“間接”的方法來(lái)獲得收益率曲線。所謂“間接”方法就是先假設(shè)收益率曲線近似符合某些包含有自由參數(shù)的參數(shù)模型，并且約定一個(gè)與自由參數(shù)有關(guān)的目標(biāo)函數(shù)。然后在現(xiàn)有市場(chǎng)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，估計(jì)和調(diào)整函數(shù)中自由參數(shù)，使其令目標(biāo)函數(shù)達(dá)到或接近優(yōu)化目標(biāo)。這樣，我們將獲得自由參數(shù)的“最優(yōu)值”代入最初的期限結(jié)構(gòu)參數(shù)模型，就可以獲得收益率曲線的結(jié)果。這個(gè)最優(yōu)化的過(guò)程就是我們“擬合”收益率曲線的過(guò)程。這樣的方法有許多好

8、處，它可以包含所有必要的市場(chǎng)債券品種，而且確保我們的收益率曲線是平滑的曲線。但這種一般方法代價(jià)的是較高的模型風(fēng)險(xiǎn)，即研究人員必須合理地選擇適用的期限結(jié)構(gòu)參數(shù)模型，如果模型本身不恰當(dāng)，或者根本就選取了錯(cuò)誤的模型，那最終的輸出結(jié)果可能是災(zāi)難性的，所以本章將會(huì)使用大部分的篇幅來(lái)討論具體的參數(shù)模型。收益率曲線擬合的一般方法，通常是設(shè)定一個(gè)參數(shù)模型，這個(gè)模型可能是直接體現(xiàn)為一個(gè)即期利率關(guān)于到期期限t的函數(shù)，我們記為，其中，為自由參數(shù)向量。另外一種形式為建立貼現(xiàn)率關(guān)于到期期限t的函數(shù)，我們計(jì)為，而讀者在上一章已經(jīng)了解，年計(jì)連續(xù)復(fù)利的即期利率和貼現(xiàn)率之間使可以相互換算的，可表示為 （6-5）所以，這兩種形式

9、的期限結(jié)構(gòu)參數(shù)模型本質(zhì)上是一樣的。使用貼現(xiàn)率的函數(shù)往往是出于方便于表達(dá)的考慮。在上一小節(jié)中，我們已經(jīng)知道了關(guān)于定價(jià)誤差的定義。對(duì)于理想的即期利率曲線來(lái)說(shuō)，通常要求使整個(gè)債券樣本的總體定價(jià)誤差最小，也就是說(shuō)，如果我們考慮樣本的定價(jià)誤差（列）向量，顯然有。而對(duì)于自由參數(shù)向量來(lái)說(shuō)，其最優(yōu)估計(jì)量應(yīng)滿足使 （6-6）成立。（6-6）這就是我們優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。如果按前述的式（6-4），我們實(shí)際上是要求理論價(jià)格和市場(chǎng)價(jià)格間的“絕對(duì)定價(jià)誤差”最小化，這也就是說(shuō)，應(yīng)滿足使（6-7）成立。我們注意（6-6）和（6-7）式，這樣的目標(biāo)函數(shù)形式和我們熟知的最小二乘法（ordinary least squares） 的

10、目標(biāo)函數(shù)是一致的。事實(shí)上，對(duì)于某些僅包含線性參數(shù)的期限結(jié)構(gòu)模型，直接使用最小二乘法的結(jié)果使可以求出自由參數(shù)向量的最優(yōu)解的。即，k維參數(shù)向量是函數(shù)關(guān)于（殘差平方和最小化）的最小二乘估計(jì)量。根據(jù)最小二乘原理進(jìn)行多元線性回歸，線性參數(shù)最小二乘估計(jì)量的解析解為 （6-8）在（6-8）式中，p是可觀察到的n個(gè)樣本債券在同一時(shí)點(diǎn)的市場(chǎng)價(jià)格組成的n維向量。我們需要注意的一點(diǎn)是，nk維的數(shù)據(jù)矩陣x的取值是和具體的模型設(shè)定有關(guān)的。在本章的多項(xiàng)式樣條法一節(jié)里，我們還會(huì)具體討論數(shù)據(jù)矩陣x的設(shè)定。當(dāng)然，這樣的在最小二乘法（ols）下的解是可能存在很多問(wèn)題的，因?yàn)槲覀兊钠谙藿Y(jié)構(gòu)模型設(shè)定違反了最小二乘法的一些古典假定。此

11、外，有些形式的期限結(jié)構(gòu)模型是沒(méi)有最小二乘估計(jì)量的解析解的。關(guān)于這些問(wèn)題，也會(huì)在后面的內(nèi)容中具體討論。最后，關(guān)于債券樣本的選取，最好選擇“同質(zhì)”的一組固定息票或零息債券，也就是說(shuō)，如果選取的債券樣本不具有相同的信用等級(jí)，則它們之間會(huì)存在因信用風(fēng)險(xiǎn)息差。而對(duì)于含有內(nèi)置期權(quán)的債券也存在類似的問(wèn)題。不過(guò)在國(guó)內(nèi)的債券市場(chǎng)上，我們通常最關(guān)心的是固息國(guó)債收益率曲線，所以債券樣本選取的問(wèn)題會(huì)簡(jiǎn)單一些。6-2nelson-siegel-svensson模型nelson-siegel模型讓我們開(kāi)始來(lái)關(guān)注一下具體的期限結(jié)構(gòu)參數(shù)模型。nelson-siegel模型是一種簡(jiǎn)單而且有效的參數(shù)模型，最早在1987年在一篇論

12、文中被charles nelson和andrew siegel提出。它是通過(guò)建立現(xiàn)金流的起息和支付時(shí)間（兩者差即期限）對(duì)瞬間遠(yuǎn)期利率的一個(gè)較為簡(jiǎn)單的函數(shù)表達(dá)形式。我們?cè)谏弦徽轮性?jīng)提到過(guò)遠(yuǎn)期時(shí)點(diǎn)t的瞬間遠(yuǎn)期利率是連續(xù)復(fù)利的即期利率曲線關(guān)于t的偏導(dǎo)數(shù) （6-9）（6-9）和（5-23）的含義是一致的。不過(guò)由于在對(duì)收益率曲線擬合時(shí)，我們只需考慮當(dāng)前的即期利率曲線，因此（6-9）的瞬間遠(yuǎn)期利率計(jì)算時(shí)點(diǎn)就是即刻。nelson和siegel在論文中推導(dǎo)出了一個(gè)的瞬間遠(yuǎn)期利率的函數(shù)表達(dá)式，其形式如下 （6-10）而有了瞬間遠(yuǎn)期利率的函數(shù)表達(dá)式，我們就可以相應(yīng)地獲得即期利率的函數(shù)表達(dá)式，因?yàn)榧雌诶?，我們?/p>

13、（6-10）的積分，得出 （6-11）在式（6-10）和（6-11）中，我們需要估計(jì)四個(gè)自由參數(shù)，它們是、 和。這四個(gè)參數(shù)都是有真實(shí)的經(jīng)濟(jì)意義的，具體分別為： 是一個(gè)正數(shù)，它表示瞬間遠(yuǎn)期利率曲線的水平漸近線，隨著ttm的增大， 的曲線應(yīng)趨向于的值。 是瞬間遠(yuǎn)期利率曲線在初始位置（或短期）和漸近線的背離值，它也包含了瞬間遠(yuǎn)期利率曲線向水平漸進(jìn)線的趨近速度的因素。若它是一個(gè)正數(shù)，則瞬間遠(yuǎn)期利率曲線是隨著期限的增大而上升的，反之則瞬間遠(yuǎn)期利率曲線隨著期限的增大而下降。 是一個(gè)正數(shù)，它與瞬間遠(yuǎn)期利率曲線的橫坐標(biāo)（期限）相對(duì)應(yīng)，標(biāo)志了遠(yuǎn)期利率曲線的極值點(diǎn)出現(xiàn)的位置。 則決定了瞬間遠(yuǎn)期利率曲線極值點(diǎn)的性質(zhì)

14、和曲度。若是一個(gè)正數(shù)，則曲線是上凸的，反之則曲線是上凹的。圖6-1為以nelsen-siegel方法擬合的中國(guó)國(guó)債銀行間市場(chǎng)期限結(jié)構(gòu)。我們由上面對(duì)自由參數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義的介紹內(nèi)容以及圖6-1可以發(fā)現(xiàn)，顯然我們可以看出，nelson-siegel提供的方程只能描繪形狀較為簡(jiǎn)單的收益率曲線，瞬間遠(yuǎn)期利率只能有一個(gè)極值點(diǎn)，這就使得實(shí)際上經(jīng)常出現(xiàn)的馬鞍形或其他一些更復(fù)雜的收益率曲線形態(tài)無(wú)法準(zhǔn)確地被表達(dá)。此外，單調(diào)的收益率曲線也造成了整體定價(jià)誤差和模型風(fēng)險(xiǎn)的增加。圖6-1svensson的擴(kuò)展模型為了彌補(bǔ)nelson-siegel模型的這一缺陷，svensson（1994）提出了一個(gè)對(duì)nelson-sieg

15、el方程的擴(kuò)展形式，在這個(gè)擴(kuò)展形式中，瞬間遠(yuǎn)期利率為 （6-12）由（6-12），我們可以得出svensson擴(kuò)展模型的即期利率參數(shù)模型為 （6-13）svensson擴(kuò)展模型中，比nelson-siegel模型的基礎(chǔ)方程又多出了一個(gè)關(guān)于瞬間遠(yuǎn)期利率的修正項(xiàng)，以及兩個(gè)新的自由參數(shù) 和。這個(gè)增加的修正項(xiàng)可以使瞬間遠(yuǎn)期利率曲線表現(xiàn)出更為復(fù)雜的形態(tài)。類似nelson-siegel基礎(chǔ)模型的自由參數(shù)，和分別描述了瞬間遠(yuǎn)期利率曲線的第二個(gè)極值點(diǎn)的曲度和出現(xiàn)的位置。這樣，svensson擴(kuò)展模型事實(shí)上已經(jīng)可以描繪大多數(shù)形態(tài)的收益率曲線了。圖6-2是以svensson模型擬合的2002年12月26日中國(guó)國(guó)債

16、交易所市場(chǎng)期限結(jié)構(gòu)。圖6-2nelson-siegel-svensson擴(kuò)展模型具有很多應(yīng)用上的優(yōu)點(diǎn)，它僅有6個(gè)自由參數(shù)（注*：與具有類似性質(zhì)的其他一些“動(dòng)態(tài)”模型相比，svensson模型的自由參數(shù)數(shù)目的確是可接受的），而這個(gè)較為簡(jiǎn)潔的模型卻同時(shí)具備了相當(dāng)強(qiáng)的靈活性，而且在整個(gè)模型框架內(nèi)，每個(gè)自由參數(shù)都被賦予了很明確的經(jīng)濟(jì)意義。有時(shí)候，研究人員甚至可以直接通過(guò)這些參數(shù)的估計(jì)結(jié)果來(lái)判斷整個(gè)收益率曲線的擬合效果。這一點(diǎn)在實(shí)際應(yīng)用中帶來(lái)的好處是非常明顯的。此外，在整個(gè)模型中的全部6個(gè)自由參數(shù)都僅僅依賴于現(xiàn)實(shí)的市場(chǎng)數(shù)據(jù)，而不需要我們?nèi)タ紤]設(shè)定某些參數(shù)（注*：在有些文獻(xiàn)中稱參數(shù)是需要設(shè)定的，這實(shí)際上是

17、指需要設(shè)定其進(jìn)行優(yōu)化前的初值而并非終值，因?yàn)樗查g遠(yuǎn)期利率曲線形態(tài)必須完全通過(guò)市場(chǎng)數(shù)據(jù)去獲知），因而模型風(fēng)險(xiǎn)被大大地降低了。nelson-siegel參數(shù)模型和svensson擴(kuò)展模型的另一個(gè)特點(diǎn)在于：關(guān)于瞬間遠(yuǎn)期利率的參數(shù)方程中包含有非線性的自由參數(shù)。在這種情況下，6-1節(jié)中自由參數(shù)向量（就是前述的六個(gè)自由參數(shù)組成的列向量）是沒(méi)有辦法直接獲得解析解的，我們必須通過(guò)牛頓迭代方法之類的最優(yōu)化方法來(lái)獲得參數(shù)向量的最優(yōu)解。在迭代過(guò)程中，需要我們根據(jù)目標(biāo)函數(shù)（6-7），將每一次的即期利率函數(shù)轉(zhuǎn)化成為債券樣本的理論價(jià)格，然后考察總體定價(jià)誤差（理論價(jià)-市場(chǎng)價(jià)的殘差平方和項(xiàng)），直到獲得滿意的優(yōu)化結(jié)果。如圖6-

18、3所示。圖6-3 以nelson-siegel-svensson方法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，獲得期限結(jié)構(gòu)函數(shù)參數(shù)向量瞬間遠(yuǎn)期利率 finst (t;)即期利率 s (t;)通過(guò)迭代方法進(jìn)行反復(fù)優(yōu)化貼現(xiàn)函數(shù) b (t )目標(biāo)函數(shù)由貼現(xiàn)函數(shù)和樣本債券導(dǎo)出定價(jià)誤差樣本債券現(xiàn)金流矩陣當(dāng)然，進(jìn)行非線性優(yōu)化前需要對(duì)自由參數(shù)向量預(yù)設(shè)初值。david bolder和david streliski（1999）的研究指出，nelson-siegel基礎(chǔ)模型對(duì)于參數(shù)初值是較為敏感的，即自由參數(shù)向量的初值設(shè)定不同會(huì)引至最終優(yōu)化結(jié)果的一定差異，這也是對(duì)nelson-siegel方法批評(píng)最多的一點(diǎn)。但svensson擴(kuò)展模型由于包

19、含了修正項(xiàng)而更具靈活性，因此對(duì)于參數(shù)初值的敏感性較低，在絕大多數(shù)情況下，svensson擴(kuò)展模型的初值設(shè)定對(duì)最終擬合結(jié)果的影響并不太大。實(shí)際上，任何包含非線性參數(shù)的期限結(jié)構(gòu)模型都存在上述這種初值設(shè)定的問(wèn)題，包括本章接下來(lái)要介紹的指數(shù)樣條方法。而要深入研究這方面的問(wèn)題，事實(shí)上屬于最優(yōu)化理論和數(shù)值方法的研究范疇?；旧希覀冋J(rèn)為nelson-siegel-svensson擴(kuò)展模型在這方面的問(wèn)題還并不算嚴(yán)重，畢竟它要求參與優(yōu)化的參數(shù)不多，而且根據(jù)它們的經(jīng)濟(jì)意義，初值的設(shè)定也不太困難。由于其模型具有良好的實(shí)用效果，nelson-siegel-svensson方法在90年代中后期在世界范圍內(nèi)得到了廣泛的

20、使用。目前，已經(jīng)有瑞典、法國(guó)和加拿大等國(guó)家的中央銀行使用svensson擴(kuò)展模型來(lái)計(jì)算并公布其政府債券的收益率曲線。特別值得一提的是，nelson-siegel-svensson方法是比較適合類似中國(guó)國(guó)債交易所市場(chǎng)這種交易品種不太多，而且自身也不是非常成熟的市場(chǎng)的。6-2多項(xiàng)式樣條方法多項(xiàng)式樣條函數(shù)樣條方法（splines approach）是一種廣為人知的曲線擬合方法。而在對(duì)收益率曲線擬合的諸多方法中，樣條方法也是被應(yīng)用得最廣泛的一種方法。它通過(guò)構(gòu)造高階多項(xiàng)式或指數(shù)分段函數(shù)的方法來(lái)擬和收益率曲線。由于這類函數(shù)具有連續(xù)、可積、高階可導(dǎo)等良好的性質(zhì)，因此往往可以較好地表現(xiàn)收益率曲線形態(tài)。同nel

21、son-siegel方法原理一樣，樣條法也需要先假設(shè)具體的函數(shù)形式，然后估計(jì)函數(shù)中自由參數(shù)的最優(yōu)值。但和通常nelson-siegel直接給出瞬間遠(yuǎn)期利率關(guān)于計(jì)算時(shí)點(diǎn)的方程不同的是，樣條方法是將與即期利率曲線對(duì)應(yīng)的即期貼現(xiàn)率函數(shù)b（t）作為參數(shù)模型。通常，這個(gè)參數(shù)模型是一個(gè)關(guān)于到期期限t的二次或三次多項(xiàng)式，我們稱之為樣條函數(shù)（splines function）。考慮到僅僅依賴一個(gè)三次多項(xiàng)式也并不能很好地描述形態(tài)復(fù)雜的收益率曲線，一般來(lái)說(shuō)樣條函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，為了收益率曲線光滑而且連續(xù)，樣條函數(shù)在分段點(diǎn)必需連續(xù)且可導(dǎo)（注*：對(duì)于三次多項(xiàng)式樣條函數(shù)來(lái)說(shuō)，我們一般要求其在分段點(diǎn)上二階可導(dǎo)）。moc

22、ulloch(1975)最先提出了貼現(xiàn)函數(shù)b（t）的三次多項(xiàng)式樣條函數(shù)一般形式，如下： （6-14）對(duì)于即期貼現(xiàn)率函數(shù)b（t）來(lái)說(shuō)，顯然有b (0) = 1。此外，為了要滿足貼現(xiàn)函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)且一、二階可導(dǎo)，還需要滿足如下約束條件： （6-15）其中i 為上式中分段點(diǎn)的序數(shù)，和分別表示貼現(xiàn)率函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)。相對(duì)于nelsen siegel方法的復(fù)雜之處在于，我們?cè)谝远囗?xiàng)式樣條法進(jìn)行擬合時(shí)，存在一個(gè)參數(shù)矩陣需要估計(jì)。函數(shù)分段點(diǎn)越多，需要估計(jì)的參數(shù)越多。對(duì)于三次多項(xiàng)式樣條法來(lái)說(shuō)，每段分段函數(shù)就需要有四個(gè)自由參數(shù)。如果我們將整個(gè)收益率曲線的擬合區(qū)間分為三段，就有34 = 12個(gè)自由參數(shù)

23、。不過(guò)，由于多項(xiàng)式樣條法還是一個(gè)線性回歸模型（其需要估計(jì)的自由參數(shù)對(duì)貼現(xiàn)率函數(shù)的影響都是線性的），因此，我們可以直接應(yīng)用最小二乘法的對(duì)線性回歸模型的估計(jì)結(jié)果求自由參數(shù)，而不必?fù)?dān)心過(guò)多的參數(shù)會(huì)導(dǎo)致優(yōu)化過(guò)程消耗太長(zhǎng)時(shí)間。利用最小二乘法計(jì)算參數(shù)的解析解以上面的三次多項(xiàng)式樣條函數(shù)作為一個(gè)例子，對(duì)于每一個(gè)樣條分段函數(shù)，我們有一個(gè)自由參數(shù)的列向量為那么，由（6-14），貼現(xiàn)函數(shù)b (t) 應(yīng)當(dāng)為 （6-16）而對(duì)于整個(gè)債券樣本的市場(chǎng)價(jià)格觀測(cè)值向量，這個(gè)多元線性回歸模型為 （6-17）我們關(guān)鍵要考慮如何從市場(chǎng)數(shù)據(jù)中取得n4維的數(shù)據(jù)矩陣x。我們可以知道每只固息債券的現(xiàn)金流狀況，即其數(shù)量和發(fā)生時(shí)間，那么，由（6

24、-16），我們可以將（6-17）變換為 （6-18）上式中，我們將所有的債券遠(yuǎn)期現(xiàn)金流數(shù)量都映射到矩陣上，而所有的現(xiàn)金流發(fā)生時(shí)間都映射到矩陣上。注意一點(diǎn)，由于t1 tm包含了債券樣本所有的遠(yuǎn)期現(xiàn)金流的發(fā)生時(shí)間，因此對(duì)應(yīng)的現(xiàn)金流矩陣cf必然是一個(gè)“稀疏”的矩陣，也就是說(shuō)，對(duì)于每一只債券對(duì)應(yīng)的現(xiàn)金流向量（表現(xiàn)為cf的每一個(gè)行向量），是對(duì)應(yīng)整個(gè)債券樣本的現(xiàn)金流的。在實(shí)際生成cf矩陣時(shí)非常簡(jiǎn)單，我們只需要把每一行向量中與本行對(duì)應(yīng)的那只債券無(wú)關(guān)的現(xiàn)金流計(jì)為0即可了。這樣，我們事實(shí)上已經(jīng)有了數(shù)據(jù)矩陣x，即 （6-19）直接利用最小二乘正則方程組的解，我們就可以求出自由參數(shù)向量的最小二乘估計(jì)量了。當(dāng)然，對(duì)于

25、分段的樣條函數(shù)來(lái)說(shuō)，我們還要在分段點(diǎn)上連續(xù)和可導(dǎo)的約束條件。一種簡(jiǎn)單的處理辦法是考慮改變現(xiàn)金流的時(shí)間映射矩陣t，例如，如果我們?nèi)蓚€(gè)樣條分段函數(shù)，唯一的分段點(diǎn)取值在t =，可考慮對(duì)t和的形式作如下改變： （6-20）上式中，。這樣，我們就可以將兩個(gè)分段的樣條函數(shù)寫(xiě)入同一個(gè)正則方程組中。而分段函數(shù)連續(xù)同時(shí)一階和二階可導(dǎo)的約束條件為 （6-21）為了求出正則方程組的解析解，我們將（6-21）變?yōu)榈木仃囆问健＜?（6-22）約束條件矩陣r為 （6-23） 而在約束的下的最小二乘估計(jì)量為 （6-24）其中，是無(wú)約束條件下求出的自由參數(shù)估計(jì)量。上述方法看似繁瑣，特別是分段點(diǎn)越多，（6-20）和（6-23

26、）中的矩陣就會(huì)變得愈發(fā)龐大。但在應(yīng)用處理中，我們通常是以matlab等數(shù)學(xué)工具軟件對(duì)收益率曲線進(jìn)行擬合的，因此上述過(guò)程可以通過(guò)編程完成。而且，直接求最優(yōu)估計(jì)量的解析解比迭代優(yōu)化方法在運(yùn)行時(shí)速度快得多。如果我們采用迭代算法，而且設(shè)置的樣條函數(shù)分段點(diǎn)較多時(shí)，自由參數(shù)數(shù)目的增加將會(huì)造成處理時(shí)間的幾何增長(zhǎng)。當(dāng)自由參數(shù)的數(shù)目超過(guò)12個(gè)時(shí)（也就是取3段以上的分段函數(shù)時(shí)），即使以目前的硬件處理速度，迭代優(yōu)化所需要的時(shí)間也是比較長(zhǎng)的。雖然在moculloch的三次多項(xiàng)式樣條法在80年代的華爾街是一種流行的收益率擬合方法，但它也遭受了許多批評(píng)。作為一種關(guān)于貼現(xiàn)率的參數(shù)模型，多項(xiàng)式樣條法的缺點(diǎn)主要在于：1、 需要

27、足夠的市場(chǎng)數(shù)據(jù)（債券樣本）作為擬合的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，否則只能減少函數(shù)分段數(shù)量，導(dǎo)致擬合質(zhì)量下降（例如，在缺乏長(zhǎng)期債券的市場(chǎng)，比如中國(guó)的國(guó)債市場(chǎng)上，三次多項(xiàng)式樣條法對(duì)20年以上長(zhǎng)期利率的擬合結(jié)果明顯不合理）。2、 而在有足夠樣本數(shù)據(jù)的情況，對(duì)分段點(diǎn)數(shù)量的選擇也需謹(jǐn)慎，否則很容易出現(xiàn)“過(guò)度擬合”的情況。有時(shí)候，甚至?xí)霈F(xiàn)“扭動(dòng)的”或“擺動(dòng)的”收益率曲線。3、 多項(xiàng)式樣條法的參數(shù)基本上沒(méi)有經(jīng)濟(jì)意義，因此無(wú)法根據(jù)這些參數(shù)獲得關(guān)于收益率曲線的經(jīng)濟(jì)信息（這也是多項(xiàng)式樣條法相比nelson-siegel-svensson方法這類參數(shù)模型的重要不足之處）。對(duì)于多項(xiàng)式樣條法的收益率出現(xiàn)的扭動(dòng)和擺動(dòng)（特別是在遠(yuǎn)端）問(wèn)題

28、，許多學(xué)者提出，應(yīng)對(duì)多項(xiàng)式樣條法的目標(biāo)函數(shù)加入一個(gè)懲罰函數(shù)（roughness penalty）來(lái)進(jìn)行修正。典型的一種懲罰函數(shù)如fisher（1995），fisher提出的修正的目標(biāo)函數(shù)形式如下： （6-25）其中，為瞬間遠(yuǎn)期利率曲線，而常數(shù)的取值需使成立。其中，n為集合中的債券數(shù)量，rss () 為理論價(jià)格和實(shí)際價(jià)格的殘差方差和（實(shí)際上就是最早的未經(jīng)調(diào)整過(guò)的目標(biāo)函數(shù)），ep() 為有效參數(shù)的數(shù)目，為參數(shù)調(diào)整的成本，在fisher的方法中取為2。針對(duì)應(yīng)用中的批評(píng)，多項(xiàng)式樣條方法也在不斷改進(jìn)中。對(duì)三次多項(xiàng)式函數(shù)的“懲罰函數(shù)”修正就是其中之一，但這類方法使模型變得復(fù)雜而臃腫，使用中也存在很多問(wèn)題。

29、例如懲罰函數(shù)修正雖然避免了收益率曲線的擺動(dòng)，但它也使曲線變得僵硬（注*：特別是修正常數(shù)取值過(guò)大時(shí)）。6-3指數(shù)樣條法三次指數(shù)樣條函數(shù)在多項(xiàng)式樣條函數(shù)的基礎(chǔ)上，vasicek和fong (1982) 提出的三次指數(shù)樣條函數(shù)得到了為廣泛的認(rèn)同，因?yàn)樗x取了自然對(duì)數(shù)底e關(guān)于時(shí)間t的冪作為表達(dá)貼現(xiàn)函數(shù)的基礎(chǔ)，這樣能夠更好地反映資產(chǎn)在經(jīng)過(guò)（關(guān)于時(shí)間的）連續(xù)復(fù)利后的增長(zhǎng)。三次指數(shù)樣條法的貼現(xiàn)函數(shù)的有如下的形式 （6-26）在樣條函數(shù)所具有的一般性質(zhì)和服從的約束條件上，指數(shù)樣條函數(shù)和多項(xiàng)式樣條函數(shù)并無(wú)不同。對(duì)于三次指數(shù)樣條函數(shù)來(lái)說(shuō)，通常的約束條件為分段函數(shù)在分段點(diǎn)上連續(xù)和一階、二階可導(dǎo)。自由參數(shù)u但值得注意

30、的是，指數(shù)樣條函數(shù)比多項(xiàng)式樣條函數(shù)多包含一個(gè)參數(shù)u，實(shí)際上可以證明 （6-27）也就是說(shuō)，u是一個(gè)具有明確經(jīng)濟(jì)意義的參數(shù)。它是前述的瞬間遠(yuǎn)期利率在即期計(jì)算的、發(fā)生時(shí)點(diǎn)趨向于無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)的極限值。有了這樣一個(gè)重要的參數(shù)，在我們研究最終樣條函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果時(shí)，可以通過(guò)u的最終值來(lái)估計(jì)擬合結(jié)果是否合理，這也是指數(shù)樣條法得到廣泛歡迎的原因。但這個(gè)參數(shù)也帶來(lái)了很大的麻煩，由于u在模型中是一個(gè)非線性參數(shù)，因此我們無(wú)法通過(guò)最小二乘法正則方程組得出關(guān)于自由參數(shù)的估計(jì)值，而必須通過(guò)迭代優(yōu)化方法來(lái)進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)。這就帶來(lái)了一個(gè)兩難的問(wèn)題，我們?nèi)绻》侄吸c(diǎn)過(guò)多，那么自由參數(shù)的數(shù)量也會(huì)相應(yīng)增加。但有的時(shí)候，為了擬合的準(zhǔn)確性，

31、我們又必須選取較多的分段點(diǎn)，所以研究人員必須在擬合的準(zhǔn)確性和速度之間尋找一個(gè)平衡點(diǎn)。比對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行迭代更麻煩的是，指數(shù)樣條函數(shù)需要非線性優(yōu)化，其目標(biāo)函數(shù)收斂速度要慢得多。在計(jì)算機(jī)硬件運(yùn)算速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)無(wú)法和現(xiàn)在相比的80年代，研究人員們通常估計(jì)一個(gè)u的值（例如5%），然后將它作為一個(gè)常數(shù)代入模型，這樣指數(shù)樣條函數(shù)就變成了一個(gè)線性回歸模型。即使失去了一個(gè)最重要的自由參數(shù)，指數(shù)樣條法的表現(xiàn)還是要優(yōu)于多項(xiàng)式樣條法。另一種折衷的方法是直接利用約束條件來(lái)化簡(jiǎn)（6-26）式，這樣可以約去一部分自由參數(shù)?；?jiǎn)的好處不僅僅是減少了參數(shù)，甚至連約束條件也包含在化簡(jiǎn)后的樣條函數(shù)中了。這樣的辦法在處理有3個(gè)以下分段點(diǎn)

32、的樣條函數(shù)的時(shí)候還是很實(shí)用的。分段點(diǎn)的選擇樣條函數(shù)分段點(diǎn)的選取并不是越多越好。雖然理論上來(lái)說(shuō)，分段越多則最后的擬合結(jié)果越精確，但這也需要有足夠的樣本才可以。此外，考慮到避免“過(guò)度擬合（over fitting）”的問(wèn)題，因此每個(gè)分段區(qū)間包含的債券樣本不宜少于3只。priaulet（1997）認(rèn)為，樣條分段點(diǎn)數(shù)目的選取應(yīng)使樣本債券的平均定價(jià)誤差小于一個(gè)具體標(biāo)準(zhǔn)。priaulet選取“平均定價(jià)標(biāo)準(zhǔn)差”作為衡量定價(jià)誤差的依據(jù)，即 （6-28）（注*：這里的定價(jià)標(biāo)準(zhǔn)差，實(shí)際上沒(méi)有考慮有關(guān)自由度的問(wèn)題，不過(guò)我們通常并不是要把期限結(jié)構(gòu)模型作為一個(gè)經(jīng)濟(jì)模型來(lái)研究，而是側(cè)重于研究樣本債券和收益率曲線的關(guān)系，因

33、此priaulet的方法從實(shí)用的角度上看是較為恰當(dāng)?shù)模﹑riaulet認(rèn)為，定價(jià)標(biāo)準(zhǔn)差小于0.15%則說(shuō)明樣條分段點(diǎn)數(shù)目是合理的。但他的研究基礎(chǔ)是法國(guó)債券市場(chǎng)，其市場(chǎng)的成熟程度顯然是比較高的。對(duì)于中國(guó)債券市場(chǎng)來(lái)說(shuō)， 0.15%的平均定價(jià)誤差顯然是太小了。關(guān)于這個(gè)問(wèn)題，將在附錄中提供一些實(shí)證研究的資料。此外，即使我們確定了樣條分段點(diǎn)的數(shù)目，關(guān)于分段點(diǎn)的位置選取也需要研究者自行設(shè)定。一般來(lái)說(shuō)，分段原則上要考慮到能夠體現(xiàn)市場(chǎng)的自然屬性。moculloch從擬合原理的角度出發(fā)，認(rèn)為每一個(gè)分段區(qū)間內(nèi)包含的樣本債券數(shù)目都應(yīng)該是相同的。這樣的考慮在現(xiàn)實(shí)中并不一定符合市場(chǎng)的特征。最后需要指出的是，設(shè)置分段點(diǎn)的

34、做法，是考慮到樣條方法對(duì)于收益率曲線只是“一種合適的曲線擬合方法”而已，因?yàn)槠淠Ｐ捅旧戆年P(guān)于收益率曲線的經(jīng)濟(jì)意義信息非常有限，因此，如果我們手頭的債券樣本沒(méi)有足夠的某一期限的債券數(shù)據(jù)，那最終樣條曲線對(duì)于這一區(qū)域內(nèi)收益率曲線的表達(dá)就有會(huì)很大問(wèn)題。例如國(guó)內(nèi)交易所市場(chǎng)剩余期限最長(zhǎng)的債券只有不到20年，則對(duì)20年以上的收益率曲線就只是一種函數(shù)自然延伸的結(jié)果，并不一定代表市場(chǎng)的真實(shí)狀況或預(yù)期。6-4異方差問(wèn)題與處理異方差性在本章前面幾個(gè)小節(jié)中介紹的描述利率期限的參數(shù)模型中，通常都是以到期期限（或發(fā)生時(shí)點(diǎn)，相對(duì)于瞬間遠(yuǎn)期利率）作為重要的解釋變量，而由于我們?cè)趯?duì)模型中的自由參數(shù)向量進(jìn)行估計(jì)時(shí)，通常以殘差

35、方差和作為衡量參數(shù)最優(yōu)值的標(biāo)準(zhǔn)，即參數(shù)向量的估計(jì)量應(yīng)滿足目標(biāo)函數(shù)（6-6）和（6-7）。我們注意（6-6）和（6-7）的關(guān)系，在計(jì)算殘差時(shí)，我們是根據(jù)式（6-4）取得。對(duì)于其方差，我們記為。對(duì)于參數(shù)向量，我們也給出了其作為最小二乘估計(jì)量的解析解（6-8）和(6-24)。但注意，這種目標(biāo)函數(shù)設(shè)定中及其推導(dǎo)，都是基于普通最小二乘法的（注*：我們這里將前面所述的最小二乘法（ordinary least squares）稱為普通最小二乘法，是為了和后面內(nèi)容中廣義最小二乘法相區(qū)分）。熟悉數(shù)理統(tǒng)計(jì)的讀者應(yīng)該知道，普通最小二乘法要求：殘差項(xiàng)必須服從零均值，非自相關(guān)和同方差三個(gè)假設(shè)，這樣，（6-8）和(6-2

36、4)中的解才是對(duì)參數(shù)向量的線性無(wú)偏有效估計(jì)量。這也是普通最小二乘法的古典假設(shè)。在我們前述的幾種擬合方法中，殘差項(xiàng)服從零均值是體現(xiàn)在參數(shù)模型的目標(biāo)函數(shù)中的。而由于收益率曲線的擬合是對(duì)橫截面數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，因此我們也可不考慮自相關(guān)問(wèn)題。對(duì)上述的一系列方法來(lái)說(shuō)，最關(guān)鍵的模型風(fēng)險(xiǎn)，即其關(guān)于異方差問(wèn)題的處理。換而言之，對(duì)于個(gè)別的殘差項(xiàng)方差，其經(jīng)濟(jì)意義是什么呢？這里的i對(duì)應(yīng)的是某一只具體債券的定價(jià)誤差，而在期限結(jié)構(gòu)模型中與其對(duì)應(yīng)的唯一解釋變量是到期期限t。如果我們以即期利率曲線作為研究對(duì)象，這里的t對(duì)應(yīng)的也就是某一只具體債券的久期。在第三章中，我們已經(jīng)介紹了關(guān)于久期的概念。一個(gè)眾所周知的結(jié)論是：債券價(jià)格的波

37、動(dòng)主要受利率變動(dòng)影響，而在利率變動(dòng)同樣大小的條件下，其價(jià)格性同時(shí)受其久期（duration）和凸度(convexity)影響，表現(xiàn)為。如果我們忽略凸度影響，則近似為 。也就是說(shuō)，假設(shè)即期利率曲線上對(duì)應(yīng)每一個(gè)期限的點(diǎn)利率的波動(dòng)率水平都是一致的話，那么期限越長(zhǎng)的債券，價(jià)格波動(dòng)率越大，并且其波動(dòng)率與其久期有線性關(guān)系（注*：實(shí)際上，不同的點(diǎn)利率的波動(dòng)率水平并非一致，關(guān)于這個(gè)問(wèn)題，本書(shū)后面章節(jié)會(huì)有一些深入的討論）。我們還需要第二個(gè)假設(shè)，即債券市場(chǎng)是有效的，那么可以有另一個(gè)推論，就是債券的定價(jià)誤差是完全因隨機(jī)因素引起的，其被觀測(cè)到的平均定價(jià)誤差的大小應(yīng)是與其價(jià)格的波動(dòng)率水平一致的。因此我們可以認(rèn)為，對(duì)于殘

38、差的期望值與解釋變量t之間存在著線性關(guān)系，而具有不同期限的債券樣本的跨觀測(cè)值方差的期望值也不同。這顯然從根本上違反了普通最小二乘法的同方差假定。也就是說(shuō)，我們?cè)O(shè)定的目標(biāo)函數(shù)（6-7）的對(duì)最終估計(jì)結(jié)果是無(wú)效的估計(jì)量（注*：嚴(yán)格地講，根據(jù)擾動(dòng)項(xiàng)的具體分布等因素，目標(biāo)函數(shù)（6-7）下的估計(jì)量對(duì)并不一定是完全無(wú)效的，也可能存在可以得出一個(gè)的至少是無(wú)偏的估計(jì)量的情況。但這一部分的推斷的目的只是解釋異方差問(wèn)題帶來(lái)的模型風(fēng)險(xiǎn)，而且可以證明廣以最小二乘法可以得出更有效地估計(jì)量）。讓我們換一個(gè)角度，從直觀上來(lái)理解這個(gè)問(wèn)題。由于我們選擇的樣本債券本身就是一組期限不等（通常由小于1年到20年以上）的同質(zhì)債券，而至少

39、是從經(jīng)驗(yàn)上我們也可以判斷出，短期限的，尤其是即將到期的債券，其凈價(jià)迅速收斂于其面值；而長(zhǎng)期限的債券品種往往有更大的價(jià)格波動(dòng)性和定價(jià)誤差。然而，關(guān)于目標(biāo)函數(shù)（6-7），所有券種的定價(jià)誤差都擁有相同的權(quán)重，顯然，這樣的收益率曲線擬合結(jié)果對(duì)于長(zhǎng)期券是相對(duì)“過(guò)度擬合”的，而對(duì)于短期券則是相對(duì)“擬合不足”的。這個(gè)問(wèn)題在中國(guó)的債券市場(chǎng)上體現(xiàn)得特別明顯。久期修正的目標(biāo)函數(shù)與廣義最小二乘法顯然，我們理應(yīng)允許期限較長(zhǎng)的債券具有較大的定價(jià)誤差。因此，我們?cè)谠O(shè)定目標(biāo)函數(shù)時(shí)應(yīng)加入一個(gè)權(quán)重系數(shù)，使目標(biāo)函數(shù)（6-7）修正為一個(gè)加入權(quán)重的目標(biāo)函數(shù) （6-29）關(guān)于權(quán)重系數(shù)的選擇問(wèn)題，有許多不同的處理方法。但我們考慮到，的選

40、取原則是給與長(zhǎng)期券較低的權(quán)重，而給與短期券較高的券重。根據(jù)我們上一部分所提到的，若市場(chǎng)是有效的，且不同期限點(diǎn)利率具有相同的波動(dòng)性，則個(gè)券的定價(jià)誤差與其久期存在線性關(guān)系。也就是說(shuō)應(yīng)使這個(gè)久期在定價(jià)誤差中的影響被消去。基于這個(gè)原則，顯然應(yīng)是久期倒數(shù)的一個(gè)線性函數(shù)。如果我們?nèi)?，則有 （6-30）式（6-30）是一種最常見(jiàn)的權(quán)重選取方法。vasicek和fong (1982)也使用了類似的辦法，但相對(duì)略微復(fù)雜，他們采用美元久期的倒數(shù)作為修正的權(quán)重系數(shù)： （6-31）這兩種方法本質(zhì)上并無(wú)區(qū)別。根據(jù)（6-30）的方法，修正后的目標(biāo)函數(shù)為 （6-32）我們?nèi)绻Ｍㄟ^(guò)nelson-siegel-svenss

41、on模型進(jìn)行收益率曲線的擬合，可以直接在matlab軟件中設(shè)定（6-32）式作為修正的目標(biāo)函數(shù)。了解廣義最小二乘法的讀者應(yīng)該已經(jīng)注意到，上述方法在原理上是符合廣義最小二乘法對(duì)于異方差問(wèn)題的處理辦法的。我們考慮將殘差項(xiàng)寫(xiě)成下面的矩陣形式： （6-33）上式中，我們將異方差的殘差項(xiàng)方差-協(xié)方差矩陣寫(xiě)作權(quán)重矩陣和標(biāo)準(zhǔn)化的殘差方差的乘積形式。如果我們上述的兩個(gè)假設(shè)（市場(chǎng)有效且點(diǎn)利率同方差）成立，那么，對(duì)于（6-33），其中的 （6-34）而權(quán)重 （6-35）請(qǐng)讀者注意一點(diǎn)，廣義最小二乘法需要權(quán)重矩陣被標(biāo)準(zhǔn)化為的狀況，因此（6-35）與（6-30）的權(quán)重計(jì)算方法略有不同。但它們?cè)谠瓌t上都是符合修正的目標(biāo)

42、函數(shù)（6-29）的。針對(duì)多項(xiàng)式樣條函數(shù)，我們?cè)谝阎藗瘶颖镜氖袌?chǎng)價(jià)格觀測(cè)值向量p、數(shù)據(jù)矩陣x和權(quán)重矩陣的情況下，可以求出自由參數(shù)向量的廣義最小二乘估計(jì)量 （6-36）同樣，對(duì)于分段的樣條函數(shù)，我們也可以繼續(xù)求出約束條件下的自由參數(shù)估計(jì)量。由于其解析表達(dá)式比較復(fù)雜，這里就不再列出了。 應(yīng)該說(shuō)明的式，雖然上面所列的這種解決方案是最常用的修正樣條函數(shù)的，但它在理論上也需要依賴一些假設(shè)。事實(shí)上，除此之外，我們也沒(méi)有其他的更好的方法來(lái)處理異方差問(wèn)題。大多數(shù)關(guān)于期限結(jié)構(gòu)參數(shù)模型的文獻(xiàn)對(duì)這些問(wèn)題也沒(méi)有進(jìn)行特別深入的研究。這是因?yàn)?，在成熟高效、且債券品種較多的市場(chǎng)上，即使不考慮異方差問(wèn)題，采取樣條方法進(jìn)行收

43、益率曲線擬合的質(zhì)量也是很高的。但對(duì)于中國(guó)市場(chǎng)來(lái)說(shuō)，異方差的影響對(duì)于收益率曲線擬合的影響特別嚴(yán)重。因此，重視這個(gè)問(wèn)題對(duì)于進(jìn)行期限結(jié)構(gòu)的高質(zhì)量研究還是非常重要的。附錄：收益率曲線擬合方法的比較研究在本章的正文部分已經(jīng)對(duì)收益率曲線的擬合技術(shù)原理作了詳細(xì)的介紹。但這些方法和理論在實(shí)際應(yīng)用中的表現(xiàn)如何呢？特別是它們?cè)谥袊?guó)債券市場(chǎng)的應(yīng)用效果如何呢？相信這是很多讀者都很關(guān)心的問(wèn)題。相對(duì)而言，由于我國(guó)的交易所債券市場(chǎng)的流動(dòng)性較好，同一時(shí)點(diǎn)可獲得的橫截面數(shù)據(jù)較為完全地體現(xiàn)了所有交易品種的狀況，也基本上不存在類似銀行間市場(chǎng)的非正常報(bào)價(jià)和成交。因此在附錄中，將基于上海證券交易所債券市場(chǎng)數(shù)據(jù)，借鑒國(guó)外一些成熟的方法進(jìn)

44、行利率期限結(jié)構(gòu)的構(gòu)造，并根據(jù)實(shí)證研究的結(jié)論，對(duì)最常用的兩種收益率曲線擬合方法：svensson方法和三次指數(shù)樣條法的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行具體分析。此外，我們還將考察針對(duì)異方差問(wèn)題的久期修正對(duì)擬合效果的影響。定價(jià)誤差比較我們以2002年11 -12月內(nèi)國(guó)債交易所市場(chǎng)14只固息國(guó)債的價(jià)格信息，分別采用nelson-siegel-svensson擴(kuò)展模型和三次指數(shù)樣條法，對(duì)國(guó)債交易所的收益率曲線進(jìn)行擬合，并考察擬合結(jié)果的差別和定價(jià)誤差。我們參照priaulet的“平均定價(jià)標(biāo)準(zhǔn)差”方法來(lái)定義針對(duì)收益率曲線擬合結(jié)果的樣本債券定價(jià)誤差 （6-37）同時(shí)，考慮到為了解決異方差問(wèn)題，我們?cè)谀繕?biāo)函數(shù)加入了久期權(quán)重修正，因

45、此同時(shí)選取另一標(biāo)準(zhǔn)，即經(jīng)久期加權(quán)的定價(jià)誤差 （6-38）其中，權(quán)重項(xiàng)選取為 （6-39）我們?cè)诒容^nelson-siegel-svensson模型和三次指數(shù)樣條法的擬合效果時(shí)，均采用了matlab 6.1軟件進(jìn)行迭代優(yōu)化。優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)均為加入久期修正的目標(biāo)函數(shù)（6-29）。nelson-siegel-svensson（加入久期修正）擬合的平均定價(jià)誤差為（共43個(gè)樣本點(diǎn)）：sd = 1.3211%wsd = 0.3735%考慮到交易所市場(chǎng)債券品種較少，而樣條分段函數(shù)的分段點(diǎn)應(yīng)代表出市場(chǎng)的特性，因此我們選取3年和8年作為樣條函數(shù)的兩個(gè)分段點(diǎn)。三次指數(shù)樣條法的平均定價(jià)誤差為（共43個(gè)樣本點(diǎn)）：sd

46、 = 1.4067%wsd = 0.4042%圖6-4為2002年11月29日分別以nelson-siegel-svensson擴(kuò)展模型和三次指數(shù)樣條法（加入久期修正）擬合的交易所市場(chǎng)國(guó)債即期利率曲線。同時(shí)，我們還在圖中標(biāo)出了交易所國(guó)債當(dāng)日的位置（橫坐標(biāo)為久期，縱坐標(biāo)為到期收益率）以供參考。我們可以看出：三次指數(shù)樣條法和nelson-siege-svensson模型的擬合結(jié)果，從直觀上來(lái)看并不太大。但從定價(jià)誤差來(lái)看，無(wú)論是否進(jìn)行久期加權(quán)，svensson模型的定價(jià)誤差都要略小于指數(shù)樣條法。而且考慮到久期加權(quán)的定價(jià)標(biāo)準(zhǔn)差wsd已經(jīng)考慮到了減小長(zhǎng)期債對(duì)最終誤差數(shù)值的影響（實(shí)際上一半以上的絕對(duì)標(biāo)準(zhǔn)誤

47、差sd都來(lái)自兩只長(zhǎng)期品種01國(guó)債7和 02國(guó)債13的貢獻(xiàn)），因此svensson模型在定價(jià)誤差上表現(xiàn)出了優(yōu)于指數(shù)樣條法的特征。目標(biāo)函數(shù)設(shè)置在已知異方差問(wèn)題存在的情況下，我們還可以比較采用修正的目標(biāo)函數(shù)（6-29）和未經(jīng)修正的目標(biāo)函數(shù)（6-7）的擬合效果。定價(jià)誤差見(jiàn)表6-1，定價(jià)誤差為樣本債券在2002年11 12月的均值，指數(shù)樣條函數(shù)選取3年、8年兩個(gè)分段點(diǎn)。表6-1 目標(biāo)函數(shù)對(duì)定價(jià)誤差的影響平均定價(jià)誤差sd久期（倒數(shù)）加權(quán)的平均定價(jià)誤差wsdnelson-siegel-svensson模型（目標(biāo)函數(shù)加入久期修正）1.3211%0.3735%nelson-siegel-svensson模型（目標(biāo)函數(shù)無(wú)修正）1.1900%0.8436%三次指數(shù)樣條法（目標(biāo)函數(shù)加入久期修正）1.4067%0.4042%三次指數(shù)樣條法（目標(biāo)函數(shù)無(wú)修正）1.5397%0.9919%我們注意到，久期修正對(duì)指數(shù)樣條法的影響更為明顯，采取修正后的目標(biāo)函數(shù)擬合之后，不僅