工程力學(xué)-11 組合變形

1、 上一章小結(jié)（應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論）上一章小結(jié)（應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論） 基本概念基本概念 應(yīng)力狀態(tài)（空間、平面、單向）、應(yīng)力狀態(tài)（空間、平面、單向）、主平面、主應(yīng)主平面、主應(yīng) 力、主應(yīng)變、應(yīng)力圓、廣義胡克定律、強(qiáng)度理論力、主應(yīng)變、應(yīng)力圓、廣義胡克定律、強(qiáng)度理論 、相當(dāng)應(yīng)力、相當(dāng)應(yīng)力 基本公式基本公式 斜截面應(yīng)力計(jì)算公式斜截面應(yīng)力計(jì)算公式 主應(yīng)力計(jì)算公式主應(yīng)力計(jì)算公式 2sin2cos 22 x yxyx 2cos2sin 2 x yx 2 2 22 x yxyx 主 主 yx x 2 2tan 0 應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系（廣義胡克定律）應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系（廣義胡克定律） 空間應(yīng)力狀態(tài) xzyy E 1 y

2、xzz E 1 G xy xy G yz yz G zx zx zyxx E 1 1max 2 31 max 強(qiáng)度理論 r 11r 3212r 2 13 2 32 2 214r 2 1 313r 第十一章第十一章 組組 合合 變變 形形 11.1 組合變形的概念組合變形的概念 11.2 斜彎曲斜彎曲 11.3 拉伸拉伸(壓縮壓縮)與彎曲的組合與彎曲的組合 11.4 彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合 一、組合變形一、組合變形 ：在復(fù)雜外載作用下，構(gòu)件的變形會(huì)包含在復(fù)雜外載作用下，構(gòu)件的變形會(huì)包含 幾種簡(jiǎn)單基本變形，當(dāng)幾種變形所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力屬同一幾種簡(jiǎn)單基本變形，當(dāng)幾種變形所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力屬同一 數(shù)量級(jí)

3、時(shí)，不能略去任一種變形，這類構(gòu)件的變形稱數(shù)量級(jí)時(shí)，不能略去任一種變形，這類構(gòu)件的變形稱 為為組合變形組合變形 (combined deformation)。 11.11.組合變形的概念組合變形的概念 P R 水壩水壩 q h P 二、組合變形工程實(shí)例二、組合變形工程實(shí)例 Hh D G1 煙囪煙囪 壓彎組合變形壓彎組合變形:同時(shí)發(fā)生軸向壓縮與彎曲同時(shí)發(fā)生軸向壓縮與彎曲 拉彎組合變形拉彎組合變形: :同時(shí)發(fā)生軸向拉伸與彎曲同時(shí)發(fā)生軸向拉伸與彎曲 PP 轆轤從深井中提水轆轤從深井中提水 彎扭組合變形彎扭組合變形: :同時(shí)發(fā)生彎曲與扭轉(zhuǎn)同時(shí)發(fā)生彎曲與扭轉(zhuǎn) 三、組合變形的研究方法三、組合變形的研究方法

4、疊加原理疊加原理 對(duì)于組合變形下的構(gòu)件，對(duì)于組合變形下的構(gòu)件，在線彈性范圍內(nèi)、小變形在線彈性范圍內(nèi)、小變形 條件下，可先將荷載簡(jiǎn)化為符合基本變形外力作用條件條件下，可先將荷載簡(jiǎn)化為符合基本變形外力作用條件 的外力系，分別計(jì)算構(gòu)件在每一種基本變形下的內(nèi)力、的外力系，分別計(jì)算構(gòu)件在每一種基本變形下的內(nèi)力、 應(yīng)力或變形。然后利用應(yīng)力或變形。然后利用疊加原理疊加原理，綜合考慮各基本變形綜合考慮各基本變形 的組合情況，以確定構(gòu)件的危險(xiǎn)截面、危險(xiǎn)點(diǎn)的位置及的組合情況，以確定構(gòu)件的危險(xiǎn)截面、危險(xiǎn)點(diǎn)的位置及 危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，并據(jù)此進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，并據(jù)此進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。 組合變形的計(jì)算方法與步驟

5、組合變形的計(jì)算方法與步驟 先先分解而后疊加分解而后疊加 外力分析，確定基本變形：外力分析，確定基本變形：將外力分解為幾將外力分解為幾 組與之靜力等效的簡(jiǎn)單載荷，確定基本變形；組與之靜力等效的簡(jiǎn)單載荷，確定基本變形； 內(nèi)力分析，確定危險(xiǎn)截面：內(nèi)力分析，確定危險(xiǎn)截面：求每個(gè)外力分量求每個(gè)外力分量 對(duì)應(yīng)的內(nèi)力并畫內(nèi)力圖，確定危險(xiǎn)面；對(duì)應(yīng)的內(nèi)力并畫內(nèi)力圖，確定危險(xiǎn)面； 應(yīng)力分析，確定危險(xiǎn)點(diǎn)：應(yīng)力分析，確定危險(xiǎn)點(diǎn)：畫危險(xiǎn)面應(yīng)力分布畫危險(xiǎn)面應(yīng)力分布 圖，確定危險(xiǎn)點(diǎn)，疊加求危險(xiǎn)點(diǎn)應(yīng)力；圖，確定危險(xiǎn)點(diǎn)，疊加求危險(xiǎn)點(diǎn)應(yīng)力； 強(qiáng)度計(jì)算：強(qiáng)度計(jì)算：建立危險(xiǎn)點(diǎn)的強(qiáng)度條件，進(jìn)行強(qiáng)建立危險(xiǎn)點(diǎn)的強(qiáng)度條件，進(jìn)行強(qiáng) 度計(jì)算。度

6、計(jì)算。 y x z P y x z P MY 11.3 11.3 拉伸（壓縮）與彎曲的組合拉伸（壓縮）與彎曲的組合 一、一、拉拉( (壓壓) )彎組合變形：彎組合變形：桿件同時(shí)受橫向力（或縱截面內(nèi)桿件同時(shí)受橫向力（或縱截面內(nèi) 力偶）和軸向力的作用而產(chǎn)生的變形。力偶）和軸向力的作用而產(chǎn)生的變形。 P R P MY MZ P A P xP z z xM I yM z y y xM I zM y Mz My z z y y x I yM I zM A P y x z P Mz My 1、Bending combined with axial and lateral loads 橫向力與軸向力同時(shí)作用

7、橫向力與軸向力同時(shí)作用 設(shè)橫梁設(shè)橫梁(cross beam/transbeam)AB 由由20a工字鋼制成，最大吊重工字鋼制成，最大吊重P 20kN，材料的許用應(yīng)力，材料的許用應(yīng)力 120MPa，試校核橫梁，試校核橫梁AB的強(qiáng)度。的強(qiáng)度。 1.外力分析，確定基本變形 （External force analysis and determine basic deformation） AB梁的受力簡(jiǎn)圖如圖所示。梁的受力簡(jiǎn)圖如圖所示。 P YA XA NCD B CA 二、應(yīng)力分析：二、應(yīng)力分析： 03230sin0PNm CDA ： 030cos0 0 CDA NXX： AB AB梁產(chǎn)生軸向力作用

8、下的軸向壓縮與橫向力作用下的平面梁產(chǎn)生軸向力作用下的軸向壓縮與橫向力作用下的平面 彎曲的組合變形。彎曲的組合變形。 由平衡條件得由平衡條件得 kNNN CDCDy 3030sin kNNN CDCDx 5230cos kNPNCD603 kNX A 52 kNPYA102/ P YA XA NCD B CA NCDY NCDX 0120PYm AC ： 2.內(nèi)力分析，確定危險(xiǎn)截面 （Internal force analysis and determine critical cross-section） kNmM20kNFN52 3.應(yīng)力分析，確定危險(xiǎn)點(diǎn)（Stress analysis and

9、 determine critical point） 作出其軸力圖和彎矩圖作出其軸力圖和彎矩圖危險(xiǎn)截面在危險(xiǎn)截面在C截面的左側(cè)，其內(nèi)力值截面的左側(cè)，其內(nèi)力值: : 危險(xiǎn)截面危險(xiǎn)截面C C的下邊緣點(diǎn)有最大壓應(yīng)力，上邊緣點(diǎn)有最大拉應(yīng)力的下邊緣點(diǎn)有最大壓應(yīng)力，上邊緣點(diǎn)有最大拉應(yīng)力 P YA XA NCD B CA NCDY NCDX - 52kN FN - 20kNm M 4. Strength calculation 強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度計(jì)算 所以所以ABAB梁強(qiáng)度足夠梁強(qiáng)度足夠. . 對(duì)于拉壓等強(qiáng)度的塑性材料，則只需校核絕對(duì)值最大的應(yīng)力。對(duì)于拉壓等強(qiáng)度的塑性材料，則只需校核絕對(duì)值最大的應(yīng)力。本題中的本題

10、中的 材料是塑性材料，所以只需校核絕對(duì)值最大的應(yīng)力，即最大壓應(yīng)力材料是塑性材料，所以只需校核絕對(duì)值最大的應(yīng)力，即最大壓應(yīng)力 式中式中FN和和M是指危險(xiǎn)截是指危險(xiǎn)截 面的軸力和彎矩，軸力拉為面的軸力和彎矩，軸力拉為 正，壓為負(fù)，彎矩則用絕對(duì)正，壓為負(fù)，彎矩則用絕對(duì) 值代入。值代入。 max max W M A F W M A F N N 120MPa=MPamN 2 9 .98103 .846 .14 10237 1020 105 .35 1052 6 6 3 4 3 max max z N W M A F 建議：進(jìn)行危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力分建議：進(jìn)行危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力分 析時(shí)，繪出應(yīng)力分布圖！析時(shí)，繪出應(yīng)力分

11、布圖！ 對(duì)拉壓（彎）組合變形桿件進(jìn)行應(yīng)力分析時(shí)，通常忽略了彎曲剪應(yīng)對(duì)拉壓（彎）組合變形桿件進(jìn)行應(yīng)力分析時(shí)，通常忽略了彎曲剪應(yīng) 力，所以橫截面上只有正應(yīng)力，各點(diǎn)處于單向應(yīng)力狀態(tài)。力，所以橫截面上只有正應(yīng)力，各點(diǎn)處于單向應(yīng)力狀態(tài)。 30 L A B L C - 8.66kN 2.5kN.m + D 30 L A B L C - 8.66kN 2.5kN.m + MPaMPa W M A FN 1208 .107 6/6040 105 . 2 6040 1066. 8 2 63 max D 所以所以AB梁強(qiáng)度足夠。梁強(qiáng)度足夠。 2 、Eccentric tension or compression

12、偏心拉伸偏心拉伸(壓縮壓縮) 1. 外力分析，確定基本變形： 2.內(nèi)力分析，確定危險(xiǎn)截面 彎曲與拉伸的組合變形彎曲與拉伸的組合變形 任一橫截面，其內(nèi)力為：任一橫截面，其內(nèi)力為：FN=P， M=Pe 3. 應(yīng)力分析，確定危險(xiǎn)點(diǎn)： 式中式中FN和和M是指危險(xiǎn)截面的軸力和彎矩，軸力拉為正，壓為負(fù)，是指危險(xiǎn)截面的軸力和彎矩，軸力拉為正，壓為負(fù)， 彎矩則用絕對(duì)值代入。彎矩則用絕對(duì)值代入。 4. 強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度計(jì)算 左側(cè)和右側(cè)邊緣點(diǎn)為危險(xiǎn)點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)邊緣點(diǎn)為危險(xiǎn)點(diǎn) max max W M A F W M A F N N max W M A FN MPa75. 8 2 . 02 . 0 350000 max

13、A P A FN 11 max zZ N W M A P W M A F MPa7 .11 3 . 02 . 0 650350 3 . 02 . 0 350000 2 解：解：兩柱均為兩柱均為壓應(yīng)力壓應(yīng)力 圖示不等截面與等截面柱，受力圖示不等截面與等截面柱，受力P=350kN，試求出兩柱內(nèi)的絕對(duì)值最大正應(yīng)力。，試求出兩柱內(nèi)的絕對(duì)值最大正應(yīng)力。 圖（1）圖（2） z 左側(cè)柱的最大左側(cè)柱的最大壓應(yīng)力壓應(yīng)力為為: 右側(cè)柱的最大右側(cè)柱的最大壓應(yīng)力壓應(yīng)力為為: x y z A B My Mz C D y y z zN W M W M A F A max處： y y z zN W M W M A F B

14、max處： 強(qiáng)度條件：強(qiáng)度條件： y y z zN y y z zN W M W M A F W M W M A F max max mm5 102010100 201020 c z 2 3 510010 12 10010 c y I 45 2 3 mm1027. 7 252010 12 2010 例例: :圖示鋼板厚圖示鋼板厚10mm10mm，受力，受力P=100kNP=100kN，試求最大正應(yīng)力；若試求最大正應(yīng)力；若 將缺口移至板寬的中央，且使最大正應(yīng)力保持不變，則挖將缺口移至板寬的中央，且使最大正應(yīng)力保持不變，則挖 空寬度為多少？空寬度為多少？ 100 20 20 解：解：內(nèi)力分析內(nèi)力分

15、析 ycy z N M 坐標(biāo)如圖，坐標(biāo)如圖，則挖孔處截面的形心：則挖孔處截面的形心： Nm500105 3 PM 100 20 20 ycy z yc I zM A N max max MPa8 .1628 .37125 應(yīng)力分析如圖，最大正應(yīng)力應(yīng)力分析如圖，最大正應(yīng)力: : 7 3 6 3 1027.7 1055500 10800 10100 孔移至板中間時(shí)孔移至板中間時(shí) )100(10mm9 .631 108 .162 10100 2 6 3 max x N A mm8 .36 x 10kN 1.2m 1.6m1.6m A C B A X A Y A R 10kN B R 例例:兩根無(wú)縫鋼

16、管焊接而成的折兩根無(wú)縫鋼管焊接而成的折 桿。鋼管外徑桿。鋼管外徑D=140mm,壁厚壁厚 t=10mm。求危險(xiǎn)截面上的最。求危險(xiǎn)截面上的最 大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。 kN5 BA RR kN4,kN3 AA YX 解解1)求約束反力求約束反力: 確定危險(xiǎn)截面：確定危險(xiǎn)截面：2 _ _ 3kN 3kN C AB FN圖： 8kN 8kN C A B M圖： 3 求最大應(yīng)力求最大應(yīng)力 maxt maxc W M A N 4 3 22 )(1 32 )( 4 D dD M dD N tDd2 其中其中 maxt maxc = +63.8MPa -65.2MPa kNm8,kN3

17、MNC處： 代入數(shù)據(jù)，可得： a 6m 7m 1m y z x xq 11 aq 22 解：壓彎組合壩底截面： )kN(14077 22 aaqN )kNm(360)6()6( 6 0 11 6 0 xdxxdxqxM 例例:混凝土壩混凝土壩 ，受最高水位為，受最高水位為6m的水壓力的水壓力 ，水的重度為，水的重度為 1 110KN/10KN/m3 3，壩體自身的重度，壩體自身的重度 2=20KN /m3 ；求壩底不；求壩底不 產(chǎn)生拉應(yīng)力時(shí)的最小寬度產(chǎn)生拉應(yīng)力時(shí)的最小寬度a 。 危險(xiǎn)點(diǎn)為內(nèi)側(cè)邊： W M A N t max 0 6 1 360140 2 aa a m93.3 140 3606

18、a即即 即不產(chǎn)生拉應(yīng)力的最小寬度為3.93m。 圖示正方形截面直柱，受縱向力圖示正方形截面直柱，受縱向力P的壓縮作用。則當(dāng)?shù)膲嚎s作用。則當(dāng)P力作力作 用點(diǎn)由用點(diǎn)由A點(diǎn)移至點(diǎn)移至B點(diǎn)時(shí)柱內(nèi)最大壓力的比值：點(diǎn)時(shí)柱內(nèi)最大壓力的比值： （）（）: （）（）: （）（）: （）（）: B z A a a y P P C 選擇題選擇題 11.4 Bending combined with torsion 彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合 1.External force analysis and determine basic deformation 外力分析，確定基本變形外力分析，確定基本變形 2. I

19、nternal force analysis and determine critical cross-section 內(nèi)力分析，確定危險(xiǎn)截面內(nèi)力分析，確定危險(xiǎn)截面 Bending combined with torsion彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形 A截面是危險(xiǎn)截面截面是危險(xiǎn)截面 T=m, and M=Pl 3. Stress analysis and determine critical point 應(yīng)力分析，確定危險(xiǎn)點(diǎn)應(yīng)力分析，確定危險(xiǎn)點(diǎn) z W M T Wp 危險(xiǎn)截面危險(xiǎn)截面A的上、下兩點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)切的上、下兩點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)切 應(yīng)力達(dá)到最大，故這兩點(diǎn)為危險(xiǎn)點(diǎn)應(yīng)力達(dá)到最大，故這兩

20、點(diǎn)為危險(xiǎn)點(diǎn) 4. Strength calculation 強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度計(jì)算 1 22 22 () 2 0 3 22 22 () 若軸為塑性材料若軸為塑性材料, ,選第三強(qiáng)度理論，選第三強(qiáng)度理論， 其相當(dāng)應(yīng)力為其相當(dāng)應(yīng)力為: : 4 22 31r3 22 Z W TM r3 若選第四強(qiáng)度理論，若選第四強(qiáng)度理論， 其相當(dāng)應(yīng)力為其相當(dāng)應(yīng)力為: : 3 )()()( 2 1 22 2 13 2 32 2 21 r4 75. 0 22 Z W TM r4 確定主應(yīng)力： W TMM zy 222 r3 W TMM zy 222 r4 75. 0 若若圓截面圓截面構(gòu)件在構(gòu)件在xz平面和平面和xy平面都有彎

21、曲發(fā)生平面都有彎曲發(fā)生,則則 r3 MT W 22 r4 MT W 22 075. MPa7 .35 1 . 0 700016 3 P W T MPa37. 610 1 . 0 504 3 2 A P 解：拉扭組合,危險(xiǎn)點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)如圖 P T P T A A A 例:直徑為d=0.1m的圓桿受力如圖，T=7kNm，P=50kN， =100MPa，試按第三強(qiáng)度理論校核此桿的強(qiáng)度。 安全 22 r3 4 MPa7 .71 7 .35437. 6 22 例：處于水平位置的圓截面直角拐軸受力下圖所示，已知例：處于水平位置的圓截面直角拐軸受力下圖所示，已知P=3.2kN， =50MPa，試用第三強(qiáng)度理論

22、確定，試用第三強(qiáng)度理論確定AB段的直徑段的直徑d。 解：解：(1) 外力分析，確定基本變形 ABAB產(chǎn)生彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形。產(chǎn)生彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形。 (2) 內(nèi)力分析，確定危險(xiǎn)截面 Nm44814. 0 PTNm6402 . 0 PM 可知危險(xiǎn)截面為可知危險(xiǎn)截面為A A截面，其上的扭矩與彎矩分別為截面，其上的扭矩與彎矩分別為 (3) 應(yīng)力分析，確定危險(xiǎn)點(diǎn) A A截面的上、下邊緣點(diǎn)是危險(xiǎn)點(diǎn)截面的上、下邊緣點(diǎn)是危險(xiǎn)點(diǎn) (4) 強(qiáng)度計(jì)算 32 3 2222 r3 d TM W TM mm54 1050 44864032 32 3 6 22 3 22 TM d 100100 考慮：考慮： 例例:圖

23、示剛架，兩桿在水平面內(nèi)且互相垂直，受力與剛架圖示剛架，兩桿在水平面內(nèi)且互相垂直，受力與剛架 平面垂直，平面垂直，P=2kN, L=1m,各桿直徑各桿直徑d=10m, =70Mpa,按按 最大剪應(yīng)變強(qiáng)度理論校核強(qiáng)度。最大剪應(yīng)變強(qiáng)度理論校核強(qiáng)度。 C D 2PL PL M: 3PL T L P L L A B C D 2P PL M 32 2 3 max max d PL W M Z 32 10 32 3 33 22 22 3 d PL d PLPL W TM Z r MPa4 .64 1 . 0 11021032 3 3 安全安全 解: (DBC)段: (AB)段: 例例:圖示水平直角折桿受豎直力圖示水平直角折桿受豎直力P作用，軸直徑作用，軸直徑 d=100mm， a=400mm，E=200GPa，m m =0.25，在，在D截面頂點(diǎn)截面頂點(diǎn)k處測(cè)出軸處測(cè)出軸 向應(yīng)變向應(yīng)變 2.752.7510104 4， ，求該折桿危險(xiǎn)點(diǎn)的相當(dāng)應(yīng)力求該折桿危險(xiǎn)點(diǎn)的相當(dāng)應(yīng)力 r3。 2Pa Pa 扭矩: A D B Pa 彎矩: C D A k a P B a a 解: (1)k 點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài): E