第3章 理想流體動(dòng)力基本方程

1、2021-6-24工程流體力學(xué)第3章1 第三章 理想流體動(dòng)力學(xué)基本方程 n理想流體：不計(jì)粘性切應(yīng)力的運(yùn)動(dòng)流體 n本章研究理想流體運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章2 n思考1 為什么河道窄的地方流速較大？ 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章3 高樓的水壓為什么較低？ 思考2 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章4 思考3 自來(lái)水可以爬上幾十米的高樓，洪水為什 么不能爬上幾十米的岸邊山坡？ 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章5 3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法 n描述流體運(yùn)動(dòng)的方法有兩種：拉格朗日法和 歐拉法。 n拉格朗日法：研究每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。 并給出其運(yùn)動(dòng)軌跡。

2、n質(zhì)點(diǎn)的位置是時(shí)間的函數(shù)，某質(zhì)點(diǎn)的軌跡為： x=x(t), y=y(t), z=z(t) t z v t y v t x v zyx , 2 2 2 2 2 2 , t z a t y a t x a zyx 速度： 加速度： 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章6 n 流場(chǎng)有無(wú)數(shù)個(gè)質(zhì)點(diǎn)，設(shè)其中某一質(zhì)點(diǎn)t=0時(shí) 的位置為（a,b,c），則對(duì)于任意的流體質(zhì)點(diǎn)： t tcbaz v t tcbay v t tcbax v zyx ),( , ),( , ),( 2 2 2 2 2 2 ),( , ),( , ),( t tcbaz a t tcbay a t tcbax a zyx 軌跡：x=x

3、(a, b, c, t), y=y (a, b, c, t), z=z (a, b, c, t) 速度： 加速度： 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章7 n歐拉法：研究空間某個(gè)點(diǎn)的流動(dòng)參數(shù)， 并給出這些參數(shù)的分布： ),( ),(),(),( tzyxpp tzyxvvtzyxvvtzyxvv zzyyxx n由速度分布求加速度，方法比較復(fù)雜。 t ot 01 )( lim vv a 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章8 由速度分布求加速度： n設(shè)某個(gè)質(zhì)點(diǎn)，t 時(shí)刻位于（x, y, z,），速度為 ),( 0 tzyxv ),( 1 ttzzyyxxv z z y y x x t t vv

4、vv vv 01 t+t 時(shí)刻位于(x+x, y+y, z+z, t+t),速度為 v0和v1的關(guān)系為 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章9 n加速度: t ot 01 )( lim vv a z z y y x x t t vvvv vv 01 w t z t y u t x ttt 00 lim,lim,lim z w y v x u t vvvv a n而 n注意到 n因此 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章10 n加速度的投影式： 一元流動(dòng)： x u u t u a 一元恒定流動(dòng)： dx du ua z v v y v v x v v t v a z v v y v v x v v

5、 t v a z v v y v v x v v t v a z v y v x v t z z z y z x z z y z y y y x y y x z x y x x x x zyx vvvv a 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章11 3-2 流線、流管 n1跡線和流線 流線:在固定時(shí)刻t，設(shè)有某曲線，該曲線上 每一點(diǎn)的切線都與該點(diǎn)的流體速度方向相 同，此曲線稱(chēng)為 流線流線. 跡線：質(zhì)點(diǎn)的軌跡 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章12 流線的微分方程 n設(shè)流線微段為: kjiv zyx vvvv dzdydxdkjis zyx v dz v dy v dx 該點(diǎn)的流體速度為: 因

6、為v/ds,因此,兩矢量的分量成比例: 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章13 2)4( x dy y dx cyx 22 )4( 2 1 )2( 2 1 流線過(guò)點(diǎn)（0，0） c=10 流線方程為 (x+2)2+(y+4)2=20 n解: t=2時(shí)， vx=(y+4)， vy =x+2, vz =0， n流線方程 ndz =0 n例3-1 已知vx=(y+t2)， vy =x+t, vz =0，求t=2， 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0）的流線 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章14 流線和跡線的區(qū)別 n圖示為t時(shí)刻經(jīng)過(guò)點(diǎn)0的流線,以及t時(shí)刻經(jīng)過(guò) 點(diǎn)0的跡線. 顯然,定常流動(dòng)的跡線和流線重合 2021-6

7、-24工程流體力學(xué)第3章15 n2流管和流束的概念 n流管:在一條封閉曲線上的每一點(diǎn)作流線,這 些流線所圍成的管狀面稱(chēng)為流管。 n流束:流管內(nèi)的運(yùn)動(dòng)流體稱(chēng)為流束。 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章16 3流量 n對(duì)曲面A： A ndA vQ A nm dAvQ 質(zhì)量流量：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)面積A的流體體積。 體積流量：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)面積A的流體體積。 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章17 3-3 連續(xù)性方程:系統(tǒng)和控制體的概念 )( )()( tV dVttm 0 )()( lim 0 t tmttm dt dm t n質(zhì)量守恒:系統(tǒng)的質(zhì)量在任何時(shí)刻都相等： n系統(tǒng)的流體質(zhì)量為 2021-

8、6-24工程流體力學(xué)第3章18 系統(tǒng)與控制體 n系統(tǒng)：包含固定質(zhì)量的流體質(zhì)點(diǎn)的 總和。 n控制體：固定在空間中形狀不變的 體積。 n系統(tǒng)隨著其他流體一起運(yùn)動(dòng)?？刂?體則固定不動(dòng)。流體不斷的流經(jīng)控 制體。 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章192021-6-24船舶流體力學(xué)第三章19 n質(zhì)量守恒定理：加入空間體積V的質(zhì) 量，等于體積內(nèi)由于密度變化引起 的質(zhì)量增加，以及從該體積的表面 上流出的質(zhì)量之和。 VA n V dAvdV t dV dt d 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章202021-6-24船舶流體力學(xué)第三章20 n質(zhì)量守恒定理：如果空間體積V內(nèi)沒(méi) 有質(zhì)量源，則體積內(nèi)由于密度變化

9、 引起的質(zhì)量增加，以及從該體積的 表面上流出的質(zhì)量之和等于零。 0 VA ndA vdV t 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章21 n質(zhì)量守恒定理：對(duì)于不可壓縮流體， 從某控制體體積V的表面上流出的質(zhì) 量之和等于零。 0 A ndA v 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章222021-6-24船舶流體力學(xué)第三章22 n如果流動(dòng)定常： 12 12 AA dAvdAv n速度分布均勻： 222111 AvAv n流體不可壓縮： 2211 AvAv 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章23 t tMttM at dM t )()( lim 0 )()( )()()()( ttt dtdtttM

10、ttM )()( )()()( tt dtdttdtt dAtvttdttt dttdttt n tA t )()()( )()()( )( )( 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章24 dAvdV t p dV dt d dt dM A n VV n控制體的概念：一個(gè)空間固定體稱(chēng)為控制體 n在這里,我們選取t時(shí)刻系統(tǒng)的體積V和面積A為 控制體的體積和面積。 n因此： 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章25 n選控制體，表面為A，體積為（與t時(shí)刻系 統(tǒng)的表面積、體積相同），則對(duì)控制體來(lái)說(shuō)， 體積分d的時(shí)間變化率等于控制體內(nèi)因密 度變化引起的質(zhì)量增量加上控制體表面上的 質(zhì)量通量. A ndA

11、 vd t d dt d 對(duì)于一般物理量（如動(dòng)量）： dAvd t d dt d dt dM A n 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章26 n由于質(zhì)量守恒，因此： 0 A ndA vd t 0 A ndA v 此方程稱(chēng)為積分形式的連續(xù)性方程 定常流動(dòng): 一元流動(dòng)：1v1A1=2v2A2 不可壓縮的一元流動(dòng)：v1A1=v2A2 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章27 0 A ndA vd t n二元流動(dòng)，取控制體，長(zhǎng)dx, dy, 設(shè)控制體中心 點(diǎn)速度為vx， vy ，密度為。 dxdy t d t 第一項(xiàng)為: n微分形式連續(xù)性方程： 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章28 2021-6

12、-24工程流體力學(xué)第3章29 n考慮第二項(xiàng): dy dx x v v dx x x x ) 2 )( 2 ( dxdy x u )( 左側(cè)面流入質(zhì)量 右側(cè)面流出質(zhì)量 x方向純流出的質(zhì)量為: dy dx x v v dx x x x ) 2 )( 2 ( dy dx x v v dx x x x ) 2 )( 2 ( dy dx x v v dx x x x ) 2 )( 2 ( 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章30 微分形式連續(xù)性方程 同理, y方向純流出的質(zhì)量為: dxdy y vy )( 0 )( )( dxdy y v dxdy x v dxdy t y x 因此 即 三元流動(dòng)： 0

13、 )( )( y v x v t y x 0 )( )( )( z v y v x v t z y x 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章31 微分形式連續(xù)性方程 定常流動(dòng): 如果流體不可壓縮=常數(shù)時(shí)（不可壓）： 0 )( )( )( z v y v x v z y x 0 z v y v x v z y x 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章32 cossin,sincos yxyxr vvvvvv 0 )()( 1 v r rv rt p r cossin,sincosvvvvvv ryrx n極坐標(biāo)的連續(xù)性方程 n極坐標(biāo)形式的連續(xù)性方程： n極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的速度關(guān)系 2021-6-

14、24工程流體力學(xué)第3章33 作業(yè) n3-1 n3-4 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章34 3-4 動(dòng)量方程和運(yùn)動(dòng)方程 Fv )(m dt d FvdV dt d A ndA vdV t Fv v)( n系統(tǒng)的動(dòng)量方程 n質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量方程 n對(duì)于控制體，不計(jì)粘性力影響,則有動(dòng)量方程 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章35 x方向的運(yùn)動(dòng)方程: m ax=Fx dxdydzax ()() 22 x p dxp dx f dxdydzpdydzpdydz xx 1 xx p af x yy p af y zz p af z n運(yùn)動(dòng)微分方程： n取一個(gè)流體的長(zhǎng)方體，邊長(zhǎng)為dx，dy，dz。 設(shè)長(zhǎng)方

15、體中心的壓強(qiáng)為p，則各個(gè)面的壓強(qiáng)如 圖示。 n簡(jiǎn)化后得到： n同理得到： 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章36 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章37 3-5 伯努利方程 n考察理想流體沿流線 s 的運(yùn)動(dòng)方程 s p fa ss 1 s u u t u as ) 2 ( 2 u ss u uas n加速度： n如果流動(dòng)定常： 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章38 伯努利方程 )(cosgz ss z ggfs )( 1 p ss p 0)()() 2 ( 2 p s gz s u s const up gz 2 2 則 n如果流體不可壓縮： n如果質(zhì)量力僅有重力 n積分得： 2021

16、-6-24工程流體力學(xué)第3章39 constH g u g p z 2 2 n或?qū)懗桑?n伯努利方程：流體的位置 水頭，壓力水頭，速度水 頭之和(稱(chēng)為總水頭H)沿流 線是一個(gè)常數(shù)。 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章40 作業(yè) n3-16 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章41 3-6 壓強(qiáng)沿流線法向的變化 r p fa rr 1 r z ggf r u a rr cos, 2 )( 2 p gz rr u n徑向加速度和質(zhì)量力為： n設(shè)流線某處的曲率半徑為r ，沿曲率半徑方向 的運(yùn)動(dòng)方程為： n徑向的運(yùn)動(dòng)方程改寫(xiě)為： 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章42 )( 2 p gz rr u

17、 , 0)( p gz r 常數(shù) g p z 緩變流和急變流的概念: 如果某處的流線的曲率半徑非 常大,則此處的流動(dòng)稱(chēng)為緩變流.否則稱(chēng)為急變流. n徑向的運(yùn)動(dòng)方程的積分為： n當(dāng)曲率半徑無(wú)限大時(shí)： n這時(shí)，沿流線的法線方向，壓強(qiáng)分布符合靜 壓分布規(guī)律。 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章43 3-7 總流的伯努利方程 g u g p z g u g p z 22 2 22 2 2 11 1 不可壓縮連續(xù)方程u1dA1=u2dA2 或 dQ1=dQ2 n總流是全部流束的總體： n研究總流在截面11和22的部份，取某一流 束，速度和截面積分別為：u1, dA1和u2 ，dAu2 。 n伯努利方程

18、： 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章44 總流的伯努利方程 22 2 22 211 2 11 1 ) 2 () 2 ( 21 dAu g u g p zdAu g u g p z AA n設(shè)兩截面處在緩變流中，在1-1和2-2截面上， z+p/g=常數(shù)，則 A Q g p zdQ g p z)()( Av g v udA g u A 22 22 n令： n式中，v為斷面平均速度。 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章45 dA V u A A 3 )( 1 n對(duì)圓管層流，=2，工程上的管流為紊流， 1 2 2 2 2 2 21 2 1 1 1 1 ) 2 () 2 (Q g V g p z

19、Q g V g p z g V g p z g V g p z QQ 22 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 21 z, p 通常在截面中心取值。 n稱(chēng)為動(dòng)能修正系數(shù)： 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章46 3-8 伯努利方程應(yīng)用舉例 n一、小孔定常出流 g v g p z g p z aa 2 2 1 110 hzz 101 , 1 ghv2 1 對(duì)00和11： n對(duì)斷面0-0和1-1應(yīng)用總流伯努利方程： 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章47 二、 畢托管的測(cè)速原理 n考察圖示的測(cè)壓管和總壓管。 g v g p z g v g p z 22 2 11 1 2 00 0 gh g

20、 pp gv vzz 22 0, 10 1 010 沿流線的伯努利方程： n使用的畢托管將測(cè)壓管和總壓管套在一起。 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章48 g v g p z g v g p z 22 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 )( )(1 2 )( 21 21 4 2 2 12212211 g pp zz D d g v DdAAvvAvAv n三、文丘里流量計(jì) n文丘里流量計(jì)由收縮段、喉部、擴(kuò)散段組成。 使用時(shí)接于管道中。 n對(duì)截面1和2應(yīng)用總流伯努利方程： 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章49 n如果用水銀壓差計(jì)測(cè)壓差則有： hzzzz g pp zzgzzgpzzg

21、p ) 1/)(1/()( )()()( , 3421 21 34422311 4 ,2 22 )/(1 ) 1/(2 4Dd hgd VAQ 為流量系數(shù) 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章50 作業(yè) n3-11 n3-12 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章51 3-9 葉輪機(jī)械內(nèi)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的伯努利方程 n 采用動(dòng)坐標(biāo)，離心慣性力屬質(zhì)量力 s p fa ss 1 ) 2 (. 2 u ss u ua s 沿動(dòng)坐標(biāo)的一條流線s: 加速度: 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章52 n不計(jì)重力,質(zhì)量力為慣性力 ds dr rrfs 22 cos 0) 22 ( 222 rup ds d g R

22、R g u g p g u g p g RR g uu g pp 2 )( 22 0 2 )( 2 : 2 1 2 2 22 11 2 22 2 1 2 2 22 1 2 212 積分得 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章53 3-10 非定常的伯努利方程 s p gz ss u u t u 1 )( 0) 2 ( 2 up gz st u 2 1 0 2 )( 2 1 2 112 12 s s uupp zzgds t u 或 n沿流線從1到2點(diǎn)積分 n非定常一元流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程： 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章54 2 1 0 2 )( 2 1 2 212 12 s s uupp z

23、zgds t u 0 2 2 u ghl dt du 即 1. 旁管非定常流出流 ut dt lugh du 00 2 1 2 ) 2 2 (2t l gh thghu n容器的旁管打開(kāi)瞬間，出流速度從零開(kāi)始增加， 容器內(nèi)速度視為零，水深 h 可視常數(shù)。 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章55 2. U形管中的液體振蕩 0)sin()sin(xgxg dt du l 2 1 0 2 )( 2 1 2 212 12 s s uupp zzgds t u 2 l )sin(sing , dt dx u令 0 2 2 2 x dt xd n設(shè)U形管的液柱之長(zhǎng)為l。 n初始時(shí)，液面在虛線上。 振蕩時(shí)

24、，左液面向下位移x，右液面向上位移x。 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章56 1 0 2 0 2 101 01 0 2 )( uupp zzgds t u 44 22 D V d u n例 習(xí)題3-21 n水庫(kù)的出水管設(shè)有調(diào)壓井，已知水管長(zhǎng)度l、 水管直徑d、調(diào)壓井原水深h、調(diào)壓井直徑D， 求調(diào)壓井水面的振蕩周期。 n解：振蕩時(shí)，水庫(kù)內(nèi)的流速很小，忽略不計(jì)。 調(diào)壓井水面偏離平衡水面的高度y遠(yuǎn)小于調(diào)壓 井水深h。 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章57 n其解為 y=y0sint 0 2 )( 2 2 2 V gy dt dv d D lh 2 2 2 2 , 2 d D lh g dt

25、dy V V 令且忽略 0 2 2 2 y dt yd n振蕩方程及其解： 0 2 0 2 V gy dt dv h dt du l 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章58 作業(yè) n3-20 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章59 3.11 動(dòng)量方程、動(dòng)量矩方程 12 12 AA dQdQFuu n1. 定常流動(dòng)的總流動(dòng)量方程 n設(shè)流體在流道中定常流動(dòng)，取圖示的控制體。 n在斷面1-1上的點(diǎn)速度為u1 ，平均速度為v1， 斷面2-2上的點(diǎn)速度為u2 ，平均速度為v2。 n總流的伯努利方程為： 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章60 Fvv 流入流出 )()(QQ Frrvrv 流入流出

26、)()(QQ A vQudQ AA dA v u A dQ v u Q 2 )( 11 n斷面上的速度u分布很復(fù)雜，為此引入斷面 平均速度v及動(dòng)量修正系數(shù)。 n總流的動(dòng)量方程可表示為： n兩邊各項(xiàng)對(duì)某點(diǎn)取矩得到總流的動(dòng)量矩方程： 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章61 2動(dòng)量方程和動(dòng)量矩方程的應(yīng)用 n1. 水流對(duì)彎管的作用力 n分析管壁受力 n設(shè)為水流對(duì)彎管的總作用力 力為F， dApp A a 0 0 )(nF n彎管對(duì)水流的作用力F與水流 對(duì)彎管的總作用力F，大小 相等，方向相反：F=-F。 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章62 1122222111 )()(vvnnFQQAppAp

27、p aa n動(dòng)量方程為： sinsin)( )cos(cos)()( sinsin)( )cos(cos)()( 222 122211 222 122211 QvAppF QvvQAppAppF QvAppF QvvQAppAppF ay aax ay aax n由x和y方向的投影式求彎管對(duì)水流的作用力： 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章63 例:求固定彎水管所需外力。 g v g p g v g p 22 2 22 2 11 得 p2-pa=p1-pa+(v12-v22)/2=9387Pa n已知:q=0.08 m3/s，d1=0.3m，d2=0.2m, =30, p1-pa=12kPa

28、,求外力F x ，F(xiàn) y。 n解:v1=1.13m/s, v2=2.55m/s NQvAppF NQvvQAppAppF ay aax 5 .249sinsin)( 467)cos(cos)()( 222 122211 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章64 2水流對(duì)噴嘴的合力 n已知水管出口的噴嘴兩端的直徑分 別為d1和d2， n截面1的表壓強(qiáng)p1-pa。截面2通大氣。 n求:為固定噴嘴所需的力F n解：取圖示的控制體， 2211 1211 )()( AvAv vvQAppF a 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章65 )(1 2 )(1 22 22 2 1 2 2 2 1 1 2 1

29、2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 11 A Av pp g pp A A g v g vv g v g p g v g p a a a 1 2 1 )( )( )1 ( 1 )( )1 ()( 21 2 11 11 21 2 2 11 21 2 211 AA A App App AAv App AAvAppF a a a a n利用伯努利方程和連續(xù)性方程求速度： n由動(dòng)量方程得到： 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章66 3水流對(duì)水壩的合力 n水壩長(zhǎng)度為b，上下游水深為h1和h2，求水 壩給水流的合力F。 n解：對(duì)圖示的截面1-1和2-2之間的水體應(yīng)用 動(dòng)量定理： bhvbhvQ vv

30、QbhhgF 2211 12 2 2 2 1 )()( 2 1 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章67 n利用伯努利方程和連續(xù)性方程求速度： 21 3 21 21 21 21 2 2 2 1 12 2 2 2 1 )( 2 1 2)( 2 1 )()( 2 1 hh hh gb hh hh hgbhhhgb vvQhhgbF 21 21 21 1 2 2 2 212 21 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2)1 ()( )(1 22 22 hh hh hgbh h h bhvvvQ hh h h g v g vv g v g p h g v g p h aa 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章68 4射流對(duì)固定平板的作用力 sin)sin(0 cos0 0000 002211 vQvQF vQvQvQ n平面射流沖擊傾斜平板。射流沖擊平板發(fā)生在 水平面內(nèi)。求射流對(duì)平板的沖擊力。 n解：用動(dòng)量定理求平板對(duì)射流的阻擋力。板的 阻擋力與水流沖擊力大小相等，方向相反。 n圖示的控制體為三個(gè)截面0-0， 1-1，2-2之間的水體。 2021-6-24工程流體力學(xué)第3章69 210 2102