船舶流體力學(xué)課件4

1、主講教師：孫 雷 宗 智 B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù) B4.2 積分形式的連續(xù)性方程積分形式的連續(xù)性方程 B4.3 伯努利方程及其應(yīng)用伯努利方程及其應(yīng)用 B4.4 積分形式的動(dòng)量方程及其應(yīng)用積分形式的動(dòng)量方程及其應(yīng)用 B4.5 積分形式的動(dòng)量矩方程積分形式的動(dòng)量矩方程 B4.6 積分形式的能量方程積分形式的能量方程 B4 積分形式的基本方程 B4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程 積分形式的流體力學(xué)基本方程描述空間有限體積域上的流體運(yùn)動(dòng) 規(guī)律，主要涉及流體質(zhì)量、動(dòng)量 、動(dòng)量矩和能量等物理量在有限體積 域上的積分值（廣延量）隨時(shí)間和位置的變化規(guī)律，它在工程上有廣 泛應(yīng)用。

2、 p主要內(nèi)容：流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)；積分形式的連續(xù)性方程、動(dòng)量 方程、動(dòng)量矩方程和能量方程及其應(yīng)用，伯努利方程及其應(yīng)用等。 重點(diǎn)：（1）有限控制體分析，輸運(yùn)公式； （2）有多個(gè)一維出入口的控制體上的連續(xù)性方程； （3）伯努利方程； （4）有多個(gè)一維出入口的控制體上的定常動(dòng)量方程等。 B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù) p 系統(tǒng)廣延量 由于 為流體系統(tǒng)內(nèi)物理量的空間分布函數(shù)，在系統(tǒng) （system）上積分： 稱為系統(tǒng)廣延量。當(dāng) 取密度、動(dòng)量、動(dòng)量矩和能量函數(shù) 時(shí)，分別可得系統(tǒng)質(zhì)量、系統(tǒng)動(dòng)量、系統(tǒng)動(dòng)量矩和系統(tǒng)能 量等。 ),(tr ( )( , ) sys sys Ntr t d p 控

3、制體廣延量 ( )( , , , ) CV CV Ntx y z t d 控制體表面為CS，一流體系統(tǒng)sys（實(shí)線包圍區(qū)域）在 t 時(shí)刻剛好與控制體重合，以后流體系統(tǒng)可以與控制體形狀 不同。右圖為控制體形狀變化示意圖： B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù) p 有限控制體分析，輸運(yùn)公式 在流場(chǎng)中取一固定不變形的有限控制體 CV （圖中虛線包圍的區(qū)域） B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù) t 時(shí)刻物理量的空間分布函數(shù)（單位體積之值），在系統(tǒng)上的積分 145 2345 () () tt CV 控制體 控制面 2345 CSAAAA ( )( , ) sys sys Ntr t

4、 d 由時(shí)間導(dǎo)數(shù)的定義，系統(tǒng)廣延量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)可表示為 00 d 11 lim()( )limdd d sys tt ttt N N ttN t ttt 由于控制體積分區(qū)域 可分割成數(shù)塊，()tt( ) tCV B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù) 230 45 0 23400 d 1 limddd d ddd 1 limdd 11 limddlimdd sys CVt tttt CV ttt CVCVt ttt tt tt N tt t tt 5 tt 右端第一項(xiàng)代表控制體廣延量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù) 0 1 Ilimddd CVCVCVt ttt tt B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的

5、隨體導(dǎo)數(shù) 230 23 1 IIlim()d()d ()d()d AAt tt AA A tA t t AA v nv n v nv n 右端第三項(xiàng)代表單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)控制面流出控制體的廣延量（正值） 450 45 1 IIIlim()d()d ()d()d AAt tt AA A tA t t AA v nv n v nv n out d()ddAtv n 450 1 IIIlimdd t tt t 右端第二項(xiàng)代表單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)控制面流入控制體的廣延量（負(fù)值） 230 1 IIlimdd t tt t in d()ddAt v n B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù) 將I，II，I

6、II式代入原系統(tǒng)廣延量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)公式，并用 D/DT代替d/dt () sys CVCS DN dv n dA DTt r r 上式被稱為雷諾輸運(yùn)公式，簡(jiǎn)稱輸運(yùn)公式。 將II與III相加可得 2345 II+III()d()d AAAACS AA v nv n 上式代表單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)控制面凈流出控制體的廣延量。 類似于流體質(zhì)點(diǎn)的隨體導(dǎo)數(shù)（質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)）概念，用控制 體上的歐拉坐標(biāo)表示流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)，關(guān)系式為： B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù) () sys CVCS DN dv n dA Dtt sys DN Dt d CV t () CS v n dA 表示系統(tǒng)與控制體重合時(shí)系

7、統(tǒng)廣延量對(duì)時(shí)間的隨體導(dǎo)數(shù)，又稱 系統(tǒng)導(dǎo)數(shù)； 表示控制體廣延量隨時(shí)間的變化率，又稱當(dāng)?shù)刈兓?，反映?場(chǎng)的不定常性（定常時(shí)為零）； 表示通過(guò)控制面凈流出控制體的廣延量流量，又稱為遷移變化 率，反映流場(chǎng)的不均勻性（均勻時(shí)為零）。 p 定常流場(chǎng)輸運(yùn)公式 上式表明在定常流場(chǎng)中，當(dāng)系統(tǒng)與控制體重合時(shí)，系統(tǒng) 廣延量的變化只取決于控制面上的流動(dòng)，與控制體內(nèi)的 流動(dòng)無(wú)關(guān)（見下圖）。 () sys CS DN v n dA Dt B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù) 思考題：思考題：運(yùn)輸公式： 是對(duì)固定控制體導(dǎo)出的，若控制體作勻速運(yùn)動(dòng) 時(shí)，下面哪個(gè)結(jié)論是對(duì)的： （A）仍然適用； （B）不再適用； （C

8、）形式不變，但需將遷移項(xiàng)中v改為相對(duì)速度vr。 B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù) () sys CVCS DN dv n dA Dtt B4.2 積分形式的連續(xù)性方程積分形式的連續(xù)性方程 上式稱為積分形式的連續(xù)性方程，適用于任何流體的 定常和不定常流動(dòng)。 設(shè) ，系統(tǒng)質(zhì)量為 ( , )r t sys sys md 根據(jù)質(zhì)量守恒定律： d d 0 dd sys sys m d tt ()0 CVCS dv n dA t 由輸運(yùn)公式可得： 上式表明：通過(guò)控制面凈流出的質(zhì)流量等于控制體內(nèi)流 體質(zhì)量隨時(shí)間的減少率。 B4.2.1 固定控制體固定控制體 p 不可壓縮流體 實(shí)際上，對(duì)固定不變形

9、的控制體，上面式子中的當(dāng)?shù)仨?xiàng)中 微分和積分運(yùn)算可變換，遷移項(xiàng)中 為絕對(duì)速度。 v 當(dāng)密度為常數(shù)時(shí)，式中當(dāng)?shù)仨?xiàng)為零，遷移項(xiàng)中密度項(xiàng)可消去， 得 上式的物理意義是：對(duì)不可壓縮流體的流動(dòng)，從任何固定 不變形的控制面凈流出的體積流量恒為零。 CS A0d)(nv 0dd CSCV A t nv 對(duì)不可壓縮流體一維流管流動(dòng) B4.2.1 固定控制體固定控制體 ()()0 outin outin v n dAv n dA 12 QQ 2211 V AV A 令截面1,2上的流量大小分別為Q1, Q2，由流量公式可得 由平均速度公式可得 早在16世紀(jì)初，達(dá).芬奇就發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律。 outin QQ B4.2

10、.1 固定控制體固定控制體 若控制面上有多個(gè)出入口，設(shè)出入口的流量大小為 Qout, Qin，由前面的公式可得 ()() outin VAVA 思考題：思考題： 對(duì)于連續(xù)性方程： 的說(shuō)法，下列哪個(gè)是對(duì)的（ ） （A）僅適用于不可壓縮流體的定常流動(dòng)的； （B）也適用于不可壓縮流體的不定常流動(dòng)； （C）適用于任何流體的定常流動(dòng)。 CS dAnv0)( B4.2.1 固定控制體固定控制體 p 可壓縮流體定常運(yùn)動(dòng) B4.2.1 固定控制體固定控制體 ()0 CS v n dA ()() outin VAVA 對(duì)密度可變流體的定常流動(dòng)，可得 上式的物理意義是：對(duì)可壓縮流體定常流動(dòng)，從任何固定 不變形的控

11、制面凈流出的質(zhì)流量恒為零。 對(duì)一維流管流動(dòng)，設(shè)出入口的質(zhì)量流量大小分別為 和 ，從質(zhì)量流量公式可得 out m in m inout mm B4.2.1 固定控制體固定控制體 對(duì)有多個(gè)出入口的控制面上的定常流動(dòng)，由前面的 公式可得 inout mm ()() outin VAVA 例題B4.2.1：主動(dòng)脈弓流動(dòng)：多個(gè)一維出入口連續(xù)性方程 已知：下圖是人主動(dòng)脈弓模型示意圖。血液從升主動(dòng) 脈1經(jīng)主動(dòng)脈弓流向降主動(dòng)脈5，方向改變約 180，主動(dòng)脈弓上分支出頭臂干動(dòng)脈2，左 頸總動(dòng)脈3和左鎖骨下動(dòng)脈4。設(shè)所有管截面 均為圓形，管直徑分別為d1=2.5cm, d2=1.1cm, d3=0.7cm, d4

12、=0.8cm, d5=2.0cm。已知平均流量 分別為Q1=6 L/min, Q3= 0.07Q1, Q4 = 0.04Q1, Q5= 0.78Q1。 試求：(1)管2的平均流量Q2； (2)各管的平均速度（用cm/s表示）。 解：由取圖中虛線所示控制體，有多個(gè)出入口。血液按 不可壓縮流體處理，由式 Qout=QinQ1 = Q2 + Q3 + Q4 + Q5 例題B4.2.1：主動(dòng)脈弓流動(dòng)：多個(gè)一維出入口連續(xù)性方程 （1）管2的流量為 Q2 = Q1(Q3 + Q4 + Q5) = Q1(0.07+0.04+0.78)Q1 = 0.11Q1= 0.66 L/min （2）各管的平均速度為 c

13、m/s4 .20 s/min 60cm 5 . 2 /lcm 1000l/min 644 2 3 2 1 1 1 d Q V cm/s6 .11 s/min 60cm .11 /lcm 1000l/min 66. 044 2 3 2 2 2 2 d Q V cm/s2 .18 s/min 60cm .70 /lcm 1000l/min 6.07044 2 3 2 3 3 3 d Q V cm/s0 . 8 s/min 60cm .80 /lcm 1000l/min 6.04044 2 3 2 4 4 4 d Q V cm/s8 .24 s/min 60cm .02 /lcm 1000l/min

14、 6.78044 2 3 2 5 5 5 d Q V B4.2.2 運(yùn)動(dòng)控制體運(yùn)動(dòng)控制體 無(wú)論是慣性系還是非慣性系，只要將遷移項(xiàng)中的速度改 為相對(duì)于控制體的相對(duì)速度，即可得運(yùn)動(dòng)控制體形式的連續(xù) 性方程： 0)(d CVCS dA t nv r 對(duì)具有多個(gè)一維出入口的定常流動(dòng)為 ()() routrin V AV A 上兩式常在旋轉(zhuǎn)控制體（如流體機(jī)械）中運(yùn)用。 思考題：思考題： 所謂非慣性系是僅指： （A） 做加速運(yùn)動(dòng)的控制體； （B） 做勻角速度旋轉(zhuǎn)的控制體； （C） 做非勻角速度旋轉(zhuǎn)的控制體； （D） 包括以上三個(gè)答案。 B4.2.2 運(yùn)動(dòng)控制體運(yùn)動(dòng)控制體 相對(duì)于慣性系（靜止或勻速運(yùn)動(dòng)的參考

15、系）加速運(yùn)動(dòng)的參 考系稱為非慣性系參考系。地球有自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，我們?cè)诘?球上所觀察到的各種力學(xué)現(xiàn)象，實(shí)際上是非慣性系中的力 學(xué)問(wèn)題。 已知：下圖為灑水器示意圖。臂長(zhǎng)R=150mm，噴水管面積 A=40mm2，噴口偏轉(zhuǎn)角 水從中心轉(zhuǎn)軸底部流入， 總流量Q=120mL/s，從兩噴口流出。噴管角速度為 =500轉(zhuǎn)/分 求：（1）管內(nèi)水流的相對(duì)速度Vr。 （2）管口水流的絕對(duì)速度V。 解：取包圍噴管，并與噴管一起旋轉(zhuǎn)的控制體，如圖中虛線所示。對(duì)站在 控制體上的觀察者而言，水以速度Vr沿兩支噴管做定常直線流動(dòng)。由 下式： 30 ()() routrin V AV A 111222rr V AV AQ 例題

16、B4.2.2：灑水器：運(yùn)動(dòng)控制體連續(xù)性方程 可得 水為不可壓縮流體 ，且 ，由兩臂對(duì)稱方程 ，上式化為： 管內(nèi)相對(duì)速度為： 噴口的牽連速度為： 由噴口的速度矢量合成，絕對(duì)速度為： 21 12rrr VVV AAA 21 2 r V AQ 63 62 1200 10/ 15/ 22(40 10) r Qms Vm s Am smm s r RU/85. 7)15. 0( min/60 2min)/500( 221/2 221/2 2cos (15/ )(7.85/ )2(15/ )(7.85/ )cos30 9.1/ rr VVUV U m sm sm sm s m s 例題B4.2.2：灑水器

17、：運(yùn)動(dòng)控制體連續(xù)性方程 B4.3 伯努利方程及其應(yīng)用伯努利方程及其應(yīng)用 伯努利方程首次以動(dòng)能與壓強(qiáng)勢(shì)能相互 轉(zhuǎn)換的形式確定了流體運(yùn)動(dòng)中速度與壓強(qiáng)之 間的關(guān)系。 伯努利方程由伯努利（D.Bernouli， 1738）首先提出，后來(lái)由歐拉（L.Euler）完 善其理論推導(dǎo)過(guò)程。 B4.3.1 沿流線的伯努利方程沿流線的伯努利方程 p 沿流線的歐拉運(yùn)動(dòng)方程 在無(wú)粘性流體的重力流場(chǎng)中沿流線S取一圓柱形體積元控 制體（如圖）,控制元長(zhǎng)s, 端面面積為A; 兩端面上的壓 強(qiáng)分別為p和p + p,重力為gAs, 在流線切線方向（即速 度方向）運(yùn)用牛頓第二定律可得 d ( , ) cos( ) d pv a

18、t g A sp ApsAA s st 整理后取極限可得： 1d ( , ) cos d pv s t g st B4.3.1 沿流線的伯努利方程沿流線的伯努利方程 d ( , ) d v s tvv v tts 由幾何關(guān)系 cos z s 將流體元的加速度表達(dá)為歐拉形式 代回原式得： 1d ( , ) d zpv s tvv gv sstts 式中 s為流線坐標(biāo)，z為高度坐標(biāo)，p為圓柱形體積元端面 壓強(qiáng)， v為圓柱形體積元速度。 B4.3.1 沿流線的伯努利方程沿流線的伯努利方程 將上式沿流線積分，可得： 2 d d 2 vvp sgz t 常數(shù)（沿流線） 上式為無(wú)粘流體沿流線作不定常運(yùn)動(dòng)時(shí)

19、的積分方程。 上式為無(wú)粘流體沿流線運(yùn)動(dòng)的微分方程，又稱 一維歐拉運(yùn)動(dòng)方程。 1zpvv gv ssts p 伯努利方程及其限制條件 當(dāng)無(wú)粘性不可壓縮流體沿流線做定常運(yùn)動(dòng)時(shí)，一維歐拉方 程沿流線的積分形式可化為： 2 2 vp gzc 伯努利方程的限制條件： 定常流動(dòng)； 無(wú)粘流體（忽略粘性影響）； 不可壓縮流體； 沿流線。 B4.3.1 沿流線的伯努利方程沿流線的伯努利方程 上式稱為伯努利方程,式中c為常數(shù)。 p 伯努利方程的物理意義 表示單位質(zhì)量流體的動(dòng)能、位能和壓能之和沿流線保持 常數(shù)，即： 表示單位質(zhì)量流體所具有的動(dòng)能 表示單位質(zhì)量流體所具有的位置勢(shì)能 表示單位質(zhì)量流體所具有的壓強(qiáng)勢(shì)能 表

20、示單位質(zhì)量流體所具有的總能（常數(shù)） c 2 2 v gz p 動(dòng)能+位能+壓能=常數(shù) B4.3.1 沿流線的伯努利方程沿流線的伯努利方程 伯努利方程是無(wú)粘性不可壓縮流體在重力場(chǎng)中沿流線作 定常流動(dòng)時(shí)的機(jī)械能守恒方程。 思考題：伯努利方程的限制條件是：定常無(wú)粘 性不可壓縮和沿流線。實(shí)際上在推導(dǎo) 伯努利方程過(guò)程中未言明的還包括以下條 件：（ ） （A）無(wú)旋流動(dòng)； （B）等熵流動(dòng)； （C）無(wú)機(jī)械能輸入輸出。 B4.3.1 沿流線的伯努利方程沿流線的伯努利方程 B4.3.1 沿流線的伯努利方程沿流線的伯努利方程 伯努利方程的條件雖然苛刻，但揭示的規(guī)律可應(yīng)用 于實(shí)際流動(dòng)中去，例如解釋河道流動(dòng)規(guī)律，虹吸管

21、 原理及機(jī)翼升力產(chǎn)生原因等。 已知：流體密度為，U形管內(nèi)液體密度為m，液位差讀數(shù)為 h 求：來(lái)流速度v與這些參數(shù)的關(guān)系式。 例題B4.3.1 皮托測(cè)速管：總壓強(qiáng)與動(dòng)壓強(qiáng) 說(shuō)明：皮托測(cè)速管由法國(guó)人H. Pitot發(fā) 明。結(jié)構(gòu)示意圖如下，由粗細(xì)兩根同 軸管子組成，細(xì)管（直徑約1.5mm） 前端開口（O點(diǎn)），粗管（直徑約 8mm ）在距前端適當(dāng)長(zhǎng)距離處的側(cè)壁 上開數(shù)個(gè)小孔（B點(diǎn)），在孔后足夠 長(zhǎng)距離處兩管彎成柄狀，兩管的壓強(qiáng) 被引入U(xiǎn)形測(cè)壓計(jì)中。測(cè)量時(shí)管軸線 需沿來(lái)流方向放置。 解：設(shè)流動(dòng)符合無(wú)粘性不可壓縮定常流動(dòng)條件，從皮托管正前方的A點(diǎn)沿 端點(diǎn)O至側(cè)壁孔B是一條流線AOB（常稱為零流線）。設(shè)A點(diǎn)

22、的速度 為v，壓強(qiáng)為p ，沿流線AO伯努利方程為 例題B4.3.1 皮托測(cè)速管：總壓強(qiáng)與動(dòng)壓強(qiáng) (a) 在管端點(diǎn)O，流體速度降至零 ，稱為 駐點(diǎn)（或滯止點(diǎn)），p0 被稱為駐點(diǎn)壓 強(qiáng)，U形管右支管測(cè)到的為駐點(diǎn)壓強(qiáng)。 由于zA=zO ，由(a)式得： (b) 0 0 2 0 2 22 p gz vp gz v A 2 0 1 2 ppv 例題B4.3.1 皮托測(cè)速管：總壓強(qiáng)與動(dòng)壓強(qiáng) 因 vB=v，故pB=p ，U形管左支管測(cè)到的為當(dāng)?shù)仂o壓強(qiáng)。U形管內(nèi)靜力 學(xué)關(guān)系是 (d) 對(duì)流線上A,B兩點(diǎn)，忽略其高度差，伯努利方程可表示為 22 22 BB vpvp 0 () m ppg h 上式中右端第二項(xiàng)稱

23、為動(dòng)壓強(qiáng)，指流體質(zhì)元的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為壓強(qiáng) 勢(shì)能時(shí)應(yīng)具有的壓強(qiáng)。（b）式表明駐點(diǎn)壓強(qiáng)為靜壓強(qiáng)和動(dòng)壓強(qiáng)之 和，故又稱為總壓強(qiáng)。由（b）式動(dòng)壓強(qiáng)可表示為 2 0 1 2 vpp (c) 例題B4.3.1 皮托測(cè)速管：總壓強(qiáng)與動(dòng)壓強(qiáng) (g) k 稱為皮托管系數(shù)，由標(biāo)定測(cè)量后確定。 實(shí)際流體有粘性，實(shí)際速度比(f)式略小，應(yīng)加以修正： 12 m vkg h 由(c), (d)兩式可得 2 1 () 2 m vg h (e) 12 m vg h (f) 已知：圖中所示一大的敞口貯水箱，側(cè)壁下部開一小孔，孔與 液面的垂直距離h（淹深）保持常數(shù)（水位不變），孔口 面積為A。 求：小孔出流速度v ；流量Q 。

24、例題B4.3.1A 小孔出流：托里拆里公式及縮頸效應(yīng) 解： 設(shè)流動(dòng)符合無(wú)粘性不可壓縮定常流動(dòng) 條件。從自由液面上任選一點(diǎn)（O）至小 孔畫一流線。列伯努利方程 )( 22 2 0 0 2 0 a p gZ vp gz v 液面速度取為零 v0= 0，液面和孔口均為大氣壓強(qiáng) p0= p =0（表壓）， 由（a）式可得 0 2 ()2( )vg ZZghb 例題B4.3.1A 小孔出流：托里拆里公式及縮頸效應(yīng) 討論1：（b）式稱為托里拆里（E.Torricelli, 1644） 公式，該式也適用于平行于液面的狹縫出流。 （b）式形式上與初始速度為零的自由落體運(yùn)動(dòng) 一樣，這是不考慮流體粘性損失的結(jié)果，

25、液面 上流體質(zhì)元具有的位能全部轉(zhuǎn)化為小孔出流的 動(dòng)能。 0 2 ()2( )vg ZZghb 例題B4.3.1A 小孔出流：托里拆里公式及縮頸效應(yīng) 小孔出流流量應(yīng)為 在孔口，由于兩側(cè)流體的運(yùn)動(dòng)慣性，流線不平行，形成縮頸 效應(yīng)，如圖b所示。設(shè)縮頸處的截面積為 Ae，與孔口截面積A之 比稱為收縮系數(shù) ： /( ) e AAc 2( ) e QVAV AAghd 上式中的h應(yīng)取液面至小孔中心的垂直距離。 收縮系數(shù) 與孔口邊緣狀況有關(guān)，如圖所示, 圖（b）為銳角邊=0.61 ， 圖（c）為內(nèi)伸管銳角邊 =0.5 ， 圖（d）為流線型圓弧邊 1 （沒(méi)有收縮）。 例題B4.3.1A 小孔出流：托里拆里公式

26、及縮頸效應(yīng) 2( )QAghf 討論2：實(shí)際流體具有粘性，在孔口因微團(tuán)碰撞和摩擦均有能量損失， 實(shí)際孔口出流速度應(yīng)小于（b）式，流量小于（d）式，均應(yīng)乘上 一修正系數(shù)k0.1h ）應(yīng)考慮速度不均勻分布的影響。 說(shuō)明：三角堰是一種簡(jiǎn)單而又實(shí)用的水力流量計(jì)。在明渠中人為設(shè)置一 帶三角形孔的薄壁障礙物，稱為三角堰。堰造成上游水位壅高， 測(cè)量壅高高度可計(jì)算渠內(nèi)流量。 已知：下圖為一個(gè)三角堰，倒三角孔口夾角為，上游水面距角尖的淹 深為 h，流動(dòng)為定常的。 求：三角堰流量Q的表達(dá)式。 解：取 Z 軸由水面鉛錘向下，通過(guò)角尖?？疾?三角孔口上淹深為 Z ，面積為bdz的狹縫微 元面上的流量，利用托里拆里公式

27、 例題B4.3.1B 三角堰流量計(jì)：孔口速度不均勻分布 其中 f()應(yīng)略小于理論值，由實(shí)驗(yàn)測(cè)定。 例題B4.3.1B 三角堰流量計(jì)：孔口速度不均勻分布 總流量為 但是考慮到粘性及孔口收縮等影響，令 p 沿流線法線方向的速度壓強(qiáng)關(guān)系式 當(dāng)無(wú)粘性不可壓縮流體在重力流場(chǎng)中沿流線作定常流動(dòng)時(shí)， 如圖，在流線上沿法線方向取圓柱形體積元 由牛頓第二定律可得： B4.3.2 沿總流的伯努利方程沿總流的伯努利方程 整理后取極限，考慮幾何關(guān)系： 若忽略重力影響（流體平行于地面流動(dòng)時(shí)），可得： B4.3.2 沿總流的伯努利方程沿總流的伯努利方程 取R 0則p/n 0，即彎曲流線外側(cè)的壓強(qiáng)總是大于 內(nèi)側(cè)，這是流線發(fā)

28、生彎曲的原因。 上式為無(wú)粘性不可壓縮流體在流線法線方向的速度壓強(qiáng)關(guān) 系式。式中R為流線曲率半徑，n為曲率半徑方向的法線坐 標(biāo)，z為高度坐標(biāo)，p為圓柱形體積元端面壓強(qiáng)，v為圓柱形 體積元的速度。 可得： 思考題： 在流線法線方向的關(guān)系式： 中 為流線 曲率半徑， 為流體速度，由此可判斷： （1）當(dāng) 和 不變時(shí)，流體速度大，要求法向 壓強(qiáng)梯度： （a）大；（b）小。 （2）保持 和 相同時(shí)，密度大的流體，要求 法向壓強(qiáng)梯度： （a）大；（b）小。 （A）a,a; （B）a,b; （C）b,a; （D）b,b。 R v n p 2 R n R Rv B4.3.2 沿總流的伯努利方程沿總流的伯努利方程

29、 p 緩變流有效截面上的壓強(qiáng)分布 B4.3.2 沿總流的伯努利方程沿總流的伯努利方程 當(dāng)流動(dòng)為緩變流 R ，且考慮重力時(shí)，可得 上式沿n方向積分可得 或 上式表明在緩變流中（圖中A1, A2截面），沿流線法線方向的壓強(qiáng) 分布規(guī)律與靜止流體中一樣。 利用上述性質(zhì)，通過(guò)測(cè)量緩變流邊界上的壓強(qiáng)，可計(jì)算內(nèi)部流線上 的壓強(qiáng)，將伯努利方程推廣應(yīng)用到緩變流流束和總流上去。 （1） p 沿總流的伯努利方程 伯努利方程描述單位質(zhì)量流體沿流線流動(dòng)時(shí)總機(jī)械能守恒。在由 無(wú)數(shù)流線組成的流束中，將伯努利方程中三項(xiàng)機(jī)械能在有效截面A 上按質(zhì)量流量積分，總機(jī)械能沿流束仍保持守恒，即 工程上常將上式化為沿總流的形式，并用總流

30、有效截面上的平均 速度代替不均勻的速度分布，為此引入動(dòng)能修正因子 ，定義為： 若截面A符合緩變流條件，將（1）（3）代入到（2）中，考慮到 Q=常數(shù)，可得： B4.3.2 沿總流的伯努利方程沿總流的伯努利方程 （2） （3） （4）和（5）兩式稱為沿總流的伯努力方程或一維平均流動(dòng)伯努力方程。 沿總流伯努力方程成立的限制條件： （1）忽略粘性； （2）不可壓縮流體； （3）定常流動(dòng)； （4） A1、A2 截面符合緩變流條件，其它截面 上允許有急變流存在。 B4.3.2 沿總流的伯努利方程沿總流的伯努利方程 （4） 常用的形式為沿總流取兩個(gè)緩變流截面A1、A2，平均速度分別為V1、 V2，可得 （

31、5） 如下圖所示，文丘里管（Venturi tube）是一段先收縮后擴(kuò)張的變截面直 管道，管截面面積變化引起流速改變，從而導(dǎo)致壓強(qiáng)改變。通過(guò)測(cè)量不 同截面上的壓強(qiáng)差，利用沿總流的伯努利方程計(jì)算管內(nèi)流量，是用于定 常流動(dòng)的常用流量計(jì)。按圖中所示條件，求管內(nèi)流量Q。 例題B4.3.2 文丘里管：沿總流的伯努利方程 解：設(shè)流動(dòng)符合不可壓縮流體定常流動(dòng)條件，忽略粘性。取大小直圓 管的截面為A1、A2，平均速度為V1、V 2，流體密度為，由沿總流 的伯努利方程，設(shè) 1 =2 = 1 (a) 移項(xiàng)可得 (b) 例題B4.3.2 文丘里管：沿總流的伯努利方程 (c) 及 (d) 由于A1、A2截面上為緩變流

32、，截面上的壓強(qiáng)分布 規(guī)律與U形管內(nèi)靜止流體一樣，分別可得 設(shè)U形管內(nèi)液體的密度為m，液位差為h 。由 于3，5點(diǎn)位于等壓面上p3= p5，由壓強(qiáng)公式可得 例題B4.3.2 文丘里管：沿總流的伯努利方程 (e) (f) 將上兩式代入(d)式可得 將(c )、(e )式代入(b)式，整理后可得 22 21 (1) 2 m VV gh 由連續(xù)性方程 例題B4.3.2 文丘里管：沿總流的伯努利方程 上式中 代入（f）式，整理后可得大管的平均速度為 (g) 稱為流速系數(shù)，文丘里管的流量公式為 (h) (i) 討論：當(dāng)、m確定后，Q與h的關(guān)系僅取決于文丘里管的面積比 A1 / A2，且與管子的傾斜角無(wú)關(guān)。

33、文丘里管中收縮和擴(kuò)張段內(nèi)的流 動(dòng)不符合緩變流條件，伯努利方程的計(jì)算截面不能選擇在這兩段內(nèi)。 在本例中，選擇的A1、A2截面之間存在收縮段急變流并不影響應(yīng)用 伯努利方程。 B4.3.3 伯努利方程的水力學(xué)意義伯努利方程的水力學(xué)意義 沿總流的伯努利方程可改寫為： 該式表示無(wú)粘性不可壓縮流體作定常流動(dòng)時(shí)單位質(zhì)量流體沿總流 機(jī)械能守恒，該式是水力學(xué)中常用的形式。 如圖，在水力學(xué)中： 將相應(yīng)的水頭高度連成線稱為水頭線。水面線為測(cè)壓管水頭線， 總水頭線保持定值。 思考題： 在下圖所示的伯努利方程的水頭線圖中，理論 總水頭線（實(shí)線）保持水平，但實(shí)際水流的總 水頭線（虛線）是逐漸下降的這是因?yàn)椋?） （A）下

34、游坡度變陡 （B）下游水中壓強(qiáng)增大 （C）水的粘性影響。 B4.3.3 伯努利方程的水力學(xué)意義伯努利方程的水力學(xué)意義 B4.3.4 不定常伯努利方程不定常伯努利方程 對(duì)于粘性不可壓縮流體的不定常流動(dòng)，由歐拉一元 運(yùn)動(dòng)方程沿流線從位置1到位置2積分可得： 上式為不定常流伯努利方程。式中最后一項(xiàng)表示單 位質(zhì)量流體的非定常慣性力沿流線從位置1到位置2 所做的功。 已知：圖示開口式U形管，管內(nèi)液柱長(zhǎng) l 。設(shè)液柱從液面高度差位為2h 的靜止?fàn)顟B(tài)開始，在重力作用下做震蕩運(yùn)動(dòng)，各點(diǎn)的速度隨時(shí)間 變化。 求：液柱振蕩規(guī)律。 解：取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，z軸鉛垂向上，左右 液面分別記為（1）和（2）。 例題B4

35、.3.4 U形管內(nèi)振蕩流：不定常流伯努利方程 因管截面面積處處相等由不可壓連續(xù)性方程， 速度也處處相等： )()()( 21 tVtVtV 非定常慣性力所做功為 l dt dV l dt dV dl dt dV dl t V 2 1 2 1 2 1 (a) 例題B4.3.4 U形管內(nèi)振蕩流：不定常流伯努利方程 因 z1=-z2, p1=p2=0，（表壓），由不定常流伯努利方程可得 上式表明非定常慣性力所做功與流體位能的守恒關(guān)系。考慮到 v2=dz2/dt，上式可化為 上式為簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程。當(dāng)初始條件為 t = 0時(shí)， z2=h及 dz2/dt =0，可解得 02 2 2 gz dt dV l (

36、b) 0 2 2 2 2 2 z l g dt zd ) 2 cos( 2 t l g hz (c) 例題B4.3.4 U形管內(nèi)振蕩流：不定常流伯努利方程 討論：該簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率為 ，由重 力加速度和液柱長(zhǎng)決定，液柱越長(zhǎng) 振動(dòng)頻率越低，這種情況同單擺相 似（單擺振動(dòng)頻率為 ，l為擺 長(zhǎng)）。液柱振動(dòng)周期為 ， 振幅為h。 l g2 glT22 l g ) 2 cos( 2 t l g hz B4.4 積分形式的動(dòng)量方程及其應(yīng)用積分形式的動(dòng)量方程及其應(yīng)用 設(shè) ，流體系統(tǒng)的動(dòng)量為vr)t ,( 根據(jù)牛頓第二定律 上式稱為流體系統(tǒng)的動(dòng)量方程， 為作用在流體系統(tǒng) 上的合外力。 B4.4.1 固定控制體固

37、定控制體 如下圖，在流場(chǎng)中取固定不變形 的控制體CV，控制面CS。 設(shè)在 t 時(shí)刻，作用在流體系統(tǒng)上的合外力與作用在控制體上 的外力也重合。 上式為對(duì)固定不變形控制體的流體動(dòng)量方程, 式中v均取絕對(duì) 速度。 設(shè)在 t 時(shí)刻，流體系統(tǒng)與控制體相重 合，利用輸運(yùn)公式可得系統(tǒng)動(dòng)量在控 制體上的隨體導(dǎo)數(shù)： 當(dāng)流動(dòng)為定常時(shí)，動(dòng)量方程中的當(dāng)?shù)仨?xiàng)為零，方程變?yōu)椋?上式為對(duì)固定不變形控制體的定常流動(dòng)動(dòng)量方程， 該式表明: 定常流動(dòng)中作用在 控制體上的合外力等于從控制 面凈流出的動(dòng)量流量（見圖） B4.4.1 固定控制體固定控制體 p 沿流管的定常流動(dòng) B4.4.1 固定控制體固定控制體 圖示為一維流管控制體，

38、出入口截面為A1, A2，平均速度 為 V1, V2，凈流出流管的動(dòng)量流量為 這里 , ，為出入口質(zhì)量流 量大小，式中負(fù)號(hào)是因?yàn)槿肟诙?的(v n) 0。 1 m 2 m 上式稱為沿流管的定常流動(dòng)動(dòng)量方程或一維定常流動(dòng)動(dòng) 量方程。 運(yùn)用可壓縮流體定常流動(dòng)連續(xù)性方程 B4.4.1 固定控制體固定控制體 mmm 21 FVV)(m 12 由動(dòng)量方程可得 它表明: 流出流管的動(dòng)量流量減去流入流管的動(dòng)量流量 等于作用在流束上的合外力。 思考題: 對(duì)一維定常流動(dòng)的動(dòng)量方程 ，請(qǐng)判斷如 下說(shuō)法哪個(gè)是錯(cuò)誤的（ ） （A） 坐標(biāo)系可任意設(shè)定； （B） 合外力作用方向可任意設(shè)定； （C） 但分量式中速度和外力的

39、正負(fù)號(hào)與坐標(biāo) 系的選擇和外力方向的設(shè)定均有關(guān)； （D） 作用在控制體上的合外力等于凈流入的 動(dòng)量流量。 B4.4.1 固定控制體固定控制體 p 在具有多個(gè)一維出入口的控制體上的定常流動(dòng) B4.4.1 固定控制體固定控制體 當(dāng)控制面上有多個(gè)一維出入口時(shí)，由不定常流動(dòng)動(dòng)量 方程可得： FVV inout )()( iiii mm 式中：out代表是出口，in代表是 入口， 應(yīng)滿足連續(xù)性方程要求。 思考題： 關(guān)于動(dòng)量方程中的 ，下列說(shuō)法正確 的是（ ） （A）流體對(duì)固壁的作用力合力； （B）固壁對(duì)流體作用力的合力； （C）作用在控制體上的作用力合力； F B4.4.1 固定控制體固定控制體 已知：下

40、圖是人主動(dòng)脈弓模型示意圖。血液 從升主動(dòng)脈1經(jīng)主動(dòng)脈弓流向降主動(dòng)脈5，方 向改變約180，主動(dòng)脈弓上分支出頭臂干 動(dòng)脈2，左頸總動(dòng)脈3和左鎖骨下動(dòng)脈4。設(shè) 所有管截面均為圓形，管直徑分別為 d1=2.5cm, d2=1.1cm, d3=0.7cm, d4=0.8cm, d5=2.0cm。已知平均流量分別為 Q1=6L/min, Q3= 0.07Q1, Q4 = 0.04Q1, Q5= 0.78Q1。設(shè)血 液密度為=1055 kg/m3 試求：血流對(duì)主動(dòng)脈弓的平均沖擊力F。 例題B4.4.1A 主動(dòng)脈弓流動(dòng)：多個(gè)一維出入口動(dòng)量方程 y x 解：由取圖中虛線所示控制體，并建立坐標(biāo) 系如圖所示。血流

41、對(duì)主動(dòng)脈弓的沖擊力 為F，設(shè)控制體受到的外力僅為-F。這是 控制面有多個(gè)一維出入口的問(wèn)題，用動(dòng) 量方程： 例題B4.4.1A 主動(dòng)脈弓流動(dòng)：多個(gè)一維出入口動(dòng)量方程 y x 質(zhì)流量 例題B4.4.1A 主動(dòng)脈弓流動(dòng)：多個(gè)一維出入口動(dòng)量方程 主動(dòng)脈弓的平均受力為 (mV)x = Q1(0.11V2sin16+ 0.07V3sin6+ 0.04 V4sin23) = (0.1055kg/s) 0.11(0.116m/s)(0.2756) + 0.07(0.182m/s)(0.1045) + 0.04(0.08m/s)(0.3907) = 110 4 N (mV)y = Q1(0.11V2cos16+

42、 0.07V3cos6+ 0.04 V4cos23 0.78V5 V1 ) = (0.1055kg/s)0.11(0.116m/s)(0.9613) + 0.07(0.182m/s)(0.9945) + 0.04(0.08m/s)(0.9205) 0.78(0.248m/s) (0.204m/s) = 0.039 N 討論：結(jié)果表明血流的平均沖擊力很小。實(shí)際上主動(dòng)脈 弓除了受到血流沖擊力外還有各出入口壓強(qiáng)合力，而且 由于心臟的搏動(dòng)，這些力都是隨心動(dòng)周期變化的。 x F y F 已知:如下圖，收縮噴管底面積為 ， 進(jìn)出口速度為： ，現(xiàn)設(shè)噴管前半部向 下彎曲，偏轉(zhuǎn)角 , 忽略重力。 求：噴管所受的

43、力F。 smQmA/02. 0,00636. 0 32 0 smVsmV/29.28,/14. 3 30 30 解：建立圖示坐標(biāo)系oxy和包圍噴管內(nèi) 流體的控制體CV。忽略重力，沿 管軸列伯努力方程 例題B4.4.1B 彎曲噴管受力分析：壓強(qiáng)合力影響 因 上式中 ，i為x方向單位矢， 動(dòng)量方程的x方向分量式為 設(shè)力 F 如圖所示，則流體控制體上受噴管合外力為 -F。 由一維定常流動(dòng)動(dòng)量方程可得： 例題B4.4.1B 彎曲噴管受力分析：壓強(qiáng)合力影響 3 100.0220/mQKg s 壓強(qiáng)合力動(dòng)量變化 例題B4.4.1B 彎曲噴管受力分析：壓強(qiáng)合力影響 y方向分量式為 討論：從上述結(jié)果可看到彎曲

44、噴管受力中壓強(qiáng)合力占主 要部分，流體加速造成的動(dòng)量變化引起的力只占次要部 分。當(dāng)角改變時(shí)，壓強(qiáng)合力保持不變，僅動(dòng)量變化引 起的力發(fā)生變化，且占的比例較小。如在Fx中動(dòng)量變化 占的比例在 =83.62為零。在 =180時(shí)最大為25 。 因 ，故 ； 由不可壓縮條件 。 已知:如下圖，一股由噴管流出的自由射流沿水平方向沖入固 定導(dǎo)流片水平入口，水流截面積 ，速度 。 設(shè)水流沿導(dǎo)流片偏轉(zhuǎn)以角度 后流出，忽略質(zhì)量力和粘性影 響。 求：射流對(duì)固定導(dǎo)流片的沖擊力 與 的關(guān)系。 解：建立圖示坐標(biāo)系和控制體， 按一維流動(dòng)處理，設(shè)出口速 度為 ，由伯努力方程： 2 1 10cmA smV/45 1 F 2 V

45、例題B4.4.1C 自由射流沖擊固定導(dǎo)流片：偏轉(zhuǎn)角的影響 12 0pp 12 VVV 12 AAA 例題B4.4.1C 自由射流沖擊固定導(dǎo)流片：偏轉(zhuǎn)角的影響 12 3342 (10g/)(45/ )(40 10)180/ mmmQVA kmm smkg s 質(zhì)流量為 設(shè)F如圖示，控制體所受的合外力為F ，由動(dòng)量方程 21 ()m V VF 12 ()AFVVV或 2 (cos )(1 cos ) (180/ )(45/ )(1 cos ) 8100(1 cos ) () x FVA VVV A kg sm s N 2 sinsin8100sin() y FVAVV AN 例題B4.4.1C 自

46、由射流沖擊固定導(dǎo)流片：偏轉(zhuǎn)角的影響 討論：本題中水流對(duì)導(dǎo)流片的沖擊力完全由出入口 動(dòng)量變化決定。作用力大小和方向由（a）和 （b）式?jīng)Q定。隨著角增大，沖擊力F逐漸增 大，方向從y 軸負(fù)方向（=0+）逐漸轉(zhuǎn)到x軸 正向（ =180 ）。 1 (/)sin/(1 cos ) yx arctg FFtg 22 8100 2(1 cos ) () xy FFFN（a） （b） 作用力大小和方向 令 ， vr為運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中的相對(duì)速度。由動(dòng)量定律 和輸運(yùn)公式可得 B4.4.2 勻速運(yùn)動(dòng)控制體勻速運(yùn)動(dòng)控制體 當(dāng)控制體作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，固結(jié)于控制體上的坐標(biāo)系 仍是慣性系。 上式為勻速運(yùn)動(dòng)控制體的流體動(dòng)量方程。 r

47、 v FnvvvA t rrr d)(d CSCV 當(dāng)流動(dòng)為定常時(shí)： 如下圖，對(duì)具有多個(gè)一維出入口的控制體中的定常流動(dòng)： B4.4.2 勻速運(yùn)動(dòng)控制體勻速運(yùn)動(dòng)控制體 ()() rrrr outin mm vvF 式中： 為運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中的質(zhì)流量 r m 已知:一車廂以 的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，一般由固 定噴管流出的自由射流沿車廂前進(jìn)方向沖入固結(jié)于車廂上的 導(dǎo)流片，水流截面積 ，速度 ，水流沿導(dǎo)流 片偏轉(zhuǎn)一角度 后流出，忽略質(zhì)量力和粘性影響。 求：射流對(duì)固定導(dǎo)流片的沖擊力F 與 的關(guān)系。 解：建立圖示坐標(biāo)系和控制體，按一 維流動(dòng)處理，在坐標(biāo)系中，入口 和出口的速度分別為 ,由伯 努力方程： 2 1

48、40cmA smVe/15 smV/45 21 , rr VV 例題B4.4.2 自由射流沖擊運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)流片：相對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響 因 ，故 ，由 不可壓縮條件 ，質(zhì)流量為 例題B4.4.2 自由射流沖擊運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)流片：相對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響 12 0pp 121 (45 15)/30/ rrre VVVVVm sm s 12 AAA 12 3342 (10g/)(30/ )(40 10)120/ rrrrr mmmQV A kmm smkg s 作用在控制體上的外力為 ，由動(dòng)量方程 21 () rr m V VF 12 () rrr AFVVV或 2 (cos )(1 cos ) (120/ )(30/ )(

49、1 cos ) 3600(1 cos ) xrrrr FV A VVV A kg sm s 2 sinsin3600sin yrrr FV AVV A 例題B4.4.2 自由射流沖擊運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)流片：相對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響 討論：計(jì)算結(jié)果表明與例B4.4.1C相比，除了沖擊 力減小外，其余結(jié)果相似，相當(dāng)于用絕對(duì)速 度 v=30m/s，沖擊固定導(dǎo)流片情況一樣。 結(jié)果相似 1 (/)sin/(1 cos ) yx arctg FFtg 22 3600 2(1 cos ) xy FFF（a） （b） 作用力大小和方向 B4.5 積分形式的動(dòng)量矩方程積分形式的動(dòng)量矩方程 B4.5.1 固定的控制體固定的控制體 根

50、據(jù)動(dòng)量矩定律，流體系統(tǒng)的動(dòng)量矩方程為： 設(shè) ，r為從原點(diǎn)到流體元的矢徑，v為流體元 的速度。由系統(tǒng)廣延量定義，流體系統(tǒng)的動(dòng)量矩為 )()t ,(vrr sys sys dvrL sys sys d d d d d Mvr L tt M為作用在流體系統(tǒng)上的合外力矩。 （a） 如圖，在流場(chǎng)中取固定不變形的控制體 CV，控制面為CS。設(shè)在 t 時(shí)刻流體系統(tǒng) 與控制體相重合，利用輸運(yùn)公式，可得 系統(tǒng)動(dòng)量矩在控制體上的隨體導(dǎo)數(shù)： 設(shè)在t時(shí)刻作用在流體系統(tǒng)上的合外力矩與作用在控制 體上的合外力矩也重合: B4.5.1 固定的控制體固定的控制體 CSCVsys sys d)(d)(d d d A tDt D

51、 t nvvvrvr L r（b） 上式為對(duì)固定不變形控制體的流體動(dòng)量矩方程。式中v 為絕對(duì)速度。合外力包括重力、表面力等全部外力對(duì)原 點(diǎn)的力矩： B4.5.1 固定的控制體固定的控制體 由（a）式和（b）式可得： CSCV d)(d)( t MnvvrvrAt )(FrM B4.5.1 固定的控制體固定的控制體 當(dāng)流體繞定軸旋轉(zhuǎn)時(shí)常單列出由轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生的力矩，稱為 軸矩Ts, 即 將動(dòng)量矩方程應(yīng)用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的流體機(jī)械時(shí)，在一般情況 下，重力和表面力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩與軸矩相比可以忽略，而 且正常運(yùn)行時(shí)流動(dòng)可視為定常的，方程可簡(jiǎn)化為 p 定軸旋轉(zhuǎn)流場(chǎng)動(dòng)量矩方程 s TFrM )( 上式為定軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)流場(chǎng)

52、的動(dòng)量矩方程一般式，常用于 渦輪機(jī)械。 p 歐拉渦輪機(jī)方程 右圖為渦輪機(jī)轉(zhuǎn)子示意圖，轉(zhuǎn)子繞z軸以勻角速度旋轉(zhuǎn)， 流體以均勻分布的絕對(duì)速度V1 流入內(nèi)圓面（半徑為r2）， 質(zhì)流量為 ；以均勻分布的絕對(duì)速度V2流出外圓面（半 徑為 r1），質(zhì)流量守恒質(zhì)流量守恒。 m B4.5.1 固定的控制體固定的控制體 B4.5.1 固定的控制體固定的控制體 定義軸功率 ，由上式可得： ss WT mVrVrW 2 )( 112s 考慮到牽連速度 ，上式又可表示為Ur mVUVUWs )( 1122 由定軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)流場(chǎng)的動(dòng)量矩方程得： mVrVrTs)( 1122 上式稱為歐拉渦輪機(jī)方程，式中V1 , V2 為

53、轉(zhuǎn)子內(nèi)外圓上 切向速度分量，負(fù)號(hào)是因?yàn)樵趦?nèi)圓上(vn)0 。該式適用 于各類定軸旋轉(zhuǎn)流體機(jī)械。 思考題: 請(qǐng)指出下列說(shuō)法中正確的說(shuō)法：（ ） （A） 歐拉渦輪機(jī)方程僅適用于渦輪機(jī)，即輸出 功的機(jī)械； （B） 歐拉渦輪機(jī)方程既適用于輸出功的機(jī)械 （Ts0 ， 如泵類）； （C） 歐拉渦輪機(jī)方程僅適用于不可壓縮流動(dòng)。 B4.5.1 固定的控制體固定的控制體 mVrVrTs)( 1122 已知:如圖一小型離心泵（軸向進(jìn)水，徑向出水），入口直 徑 , 出口直徑 ，葉輪寬 , 葉輪 轉(zhuǎn)速 ,出流徑向速度為 。 試求：（1）輸入葉輪的軸距 ； （2）輸入軸功率 解：取包圍整個(gè)葉輪的固定控制體 如圖中虛線所

54、示，忽略體積力 和表面力。設(shè)流動(dòng)是定常的， 由連續(xù)性方程可得: smVn/3 2 mmd30 1 mmd100 2 mmb10 min/4000 rn )(mNTs () s W W 例題B4.5.1 混流式離心泵：固定控制體動(dòng)量矩方程 )kg/s9.425(30.011 . 010mm 3 2221 n bVd 例題B4.5.1 混流式離心泵：固定控制體動(dòng)量矩方程 葉輪旋轉(zhuǎn)角速度為 = 2n / 60 = 24000 / 60 = 418.88 (rad/s ) V2 = R2 = d2 /2 = 418.880.1 / 2 = 20.94 (m/s) 流體的出口切向速度為 因入口為軸向流動(dòng)

55、，V1= 0，由歐拉渦輪機(jī)方程，軸矩為 )mN(9.869.42520.94 2 0.1 2 )( 2 1 12 -mV d mVrVrT 12s 輸入功率為 )kw(4.139.86418.88)( 2122s s TmVrVrW B4.6 積分形式的能量方程積分形式的能量方程 設(shè) (r, t)=e，e為單位質(zhì)量流體的儲(chǔ)存能： B4.6.1 固定的控制體固定的控制體 2 2 v eegz sys sys Ee d 式中: e為單位質(zhì)量流體的內(nèi)能，v2/2為單位質(zhì)量流體的 動(dòng)能，gz為單位質(zhì)量流體的重力勢(shì)能。 由系統(tǒng)廣延量的定義式，流體系統(tǒng)的能量為 (1) 設(shè)在 t 時(shí)刻流體系統(tǒng)與控制體相重

56、合，利用輸運(yùn)公式，可得系統(tǒng)能量在 控制體上的隨體導(dǎo)數(shù)： D dd()d D sysCVCS eeeA tt vn 如圖，在流場(chǎng)中取固定不變形的控制 體CV，控制面為CS。 B4.6.1 固定的控制體固定的控制體 d d d dd sys sys E eQW tt 根據(jù)熱力學(xué)第一定律，流體系統(tǒng)的能量方程為 (2) (3) B4.6.1 固定的控制體固定的控制體 設(shè)在 t 時(shí)刻, 單位時(shí)間外界傳入系統(tǒng)的熱能與外界傳入 控制體的熱能相同，系統(tǒng)對(duì)外界所做的功與控制體內(nèi)流體 對(duì)外界所做的功也相同，由(2)和(3)式，可得： d()d CVCS eeAQW t vn 上式中， 包括在控制面上流體壓強(qiáng)所作功

57、率 和通過(guò)旋轉(zhuǎn)軸表面所作的功率（軸功率） , 及粘性切應(yīng)力 所作摩擦功 ： W CS Apd)(nv s W v W CS vs WWApW d)(nv (4) (5) 上式為對(duì)固定不變形控制體的流體能量方程。 u 若流動(dòng)為定常的，上式可變?yōu)椋?2 d()()d 2 sv CVCS vp eegzAQWW vn B4.6.1 固定的控制體固定的控制體 將（5）式代入（4）式中，并利用（1）式，可整理得： 2 ()()d 2 sv CS vp egzAQWW vn u 當(dāng)控制體有多個(gè)一維出入口 時(shí)（如圖），忽略粘性切應(yīng)力 所做功率，由定常流動(dòng)能量方 程可得： B4.6.1 固定的控制體固定的控制體 sinin 2 outout 2 ) 2 () 2 (WQm p gz V em p gz V e ) 2 ( 2 p gz V e上式中 取出入口截面上的平均值。 u 若只有一個(gè)出口（如圖） ： B4.6.1 固定的控制體固定的控制體 由連續(xù)性方程 ， 上式可化為 mmm inout sin 2 out 2 ) 2 () 2 (wq p